Линейная алгебра и аналитическая геометрия

 
 
 
А. А. Туганбаев 
 
 
 
 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
И 
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 
 
 
 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 
 
 

УДК 512.64+514(075.8) 
ББК  22.143+22.151.5я73 
         Т81 

Т81           

Туганбаев А. А. 
Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебник / 
А. А. Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2022. — 260 c. — 
ISBN 978-5-9765-5265-4. — Текст : электронный.

Учебник соответствует программам курсов высшей математики 
для учащихся и преподавателей различных нематематических 
специальностей и может также выполнять функции 
учебника и задачника по высшей математике. В книге рассмотрены 
следующие важнейшие разделы математики — линейная 
алгебра и аналитическая геометрия. 

УДК 512.64+514(075.8) 
ББК  22.143+22.151.5я73 

ISBN 978-5-9765-5265-4
© Туганбаев А.А., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Содержание 

 
 

1. Матрицы и определители ......................................................... 
1.1. Матрицы ..................................................................................... 
1.2. Действия над матрицами .......................................................... 
1.3. Перестановки и транспозиции ................................................. 
1.4. Определители квадратных матриц и их свойства .................. 
1.5. Разложение определителя по элементам строки  
или столбца ....................................................................................... 
1.6. Вычисление определителей методом Гаусса .......................... 
1.7. Обратная матрица ...................................................................... 
1.8. Метод Гаусса-Жордана вычисления обратной матрицы ........ 
1.9. Правило Крамера решения СЛУ .............................................. 
1.10. Ранг матрицы. Линейная зависимость .................................. 
1.11. Задачи к разделу 1 ................................................................... 
         Ответы к задачам раздела 1 .................................................... 
 
2. Системы линейных уравнений ................................................ 
2.1. Основные определения ............................................................. 
2.2. Совместность системы .............................................................. 
2.3. Однородные системы ................................................................ 
2.4. Неоднородные системы ............................................................ 
2.5. Метод исключения Гаусса решения СЛУ ............................... 
2.6. Число действий при решении методом Гаусса ...................... 
2.7. Метод исключения Гаусса и LU-разложение ......................... 
2.8. Формулы для ведущих элементов метода Гаусса .................. 
2.9. Об ошибках округления ............................................................ 
2.10. Матричные уравнения ............................................................ 
2.11. Задачи к разделу 2 ................................................................... 
         Ответы к задачам раздела 2 .................................................... 
 
3. Аналитическая геометрия ........................................................ 
3.1. Геометрические векторы .......................................................... 
3.2. Скалярное произведение и его свойства ................................. 
3.3. Векторное произведение и его свойства ................................. 
3.4. Смешанное произведение и его свойства ............................... 
3.5. Системы координат на плоскости ........................................... 
3.6. Линии на плоскости .................................................................. 
3.7. Прямые на плоскости ................................................................ 
3.8. Линии второго порядка на плоскости ..................................... 

6 
6 
7 
23 
25 
 
33 
37 
38 
39 
41 
43 
48 
56 
 
59 
59 
60 
62 
65 
68 
73 
74 
78 
79 
81 
83 
87 
 
89 
89 
95 
97 
100 
102 
107 
110 
114 

3.9. Общие уравнения кривых второго порядка ............................ 
3.10. Поверхности и линии в пространстве ................................... 
3.11. Плоскости в пространстве ...................................................... 
3.12. Прямые в пространстве ........................................................... 
3.13. Прямая и плоскость в пространстве ...................................... 
3.14. Цилиндрические поверхности ............................................... 
3.15. Поверхности вращения ........................................................... 
3.16. Поверхности второго порядка ................................................ 
3.17. Задачи к разделу 3 ................................................................... 

3.17.1. Задачи к разделу 3.1 ........................................................ 
            Ответы к задачам раздела 3.1 ......................................... 
3.17.2. Задачи к разделу 3.2 ........................................................ 
            Ответы к задачам раздела 3.2 ......................................... 
3.17.3. Задачи к разделу 3.3 ........................................................ 
            Ответы к задачам раздела 3.3 ......................................... 

 
4. Линейные пространства ........................................................... 
4.1. Определение линейного пространства .................................... 
4.2. Размерность и базис .................................................................. 
4.3. Изоморфизм линейных пространств ....................................... 
4.4. Переход к новому базису .......................................................... 
4.5. Подпространства линейного пространства ............................. 
4.6. Задачи к разделу 4 ..................................................................... 
       Ответы к задачам раздела 4 ...................................................... 
 
5. Линейные операторы ................................................................ 
5.1. Основные определения ............................................................. 
5.2. Действия над линейными операторами .................................. 
5.3. Изменение матрицы линейного оператора  
при переходе к новому базису ........................................................ 
5.4. Ранг и дефект линейного оператора ........................................ 
5.6. Невырожденный линейный оператор ..................................... 
5.7. Инвариантные подпространства .............................................. 
5.8. Собственные векторы и собственные значения ..................... 
5.9. Задачи к разделу 5 ..................................................................... 
       Ответы к задачам раздела 5 ...................................................... 
 
6. Евклидово пространство .......................................................... 
6.1. Скалярное произведение .......................................................... 
6.2. Ортонормированный базис ...................................................... 
6.3. Согласованные нормы и обусловленность матриц ................ 

125 
131 
132 
136 
140 
141 
142 
143 
148 
148 
152 
152 
156 
158 
161 
 
162 
162 
163 
166 
168 
169 
172 
173 
 
174 
174 
177 
 
180 
181 
182 
183 
185 
188 
191 
 
192 
193 
194 
198 

6.4. Метод наименьших квадратов для решения  
несовместных систем линейных уравнений .................................. 
6.5. Приведение матриц к трехдиагональному виду ..................... 
6.6. Задачи к разделу 6 ..................................................................... 
       Ответы к задачам раздела 6 ...................................................... 
 
7. Билинейные и квадратичные формы .................................... 
7.1. Билинейный функционал. Квадратичная форма .................... 
7.2. Канонический вид квадратичной формы ................................ 
7.3. Закон инерции квадратичных форм ........................................ 
7.4. Определенные формы матриц .................................................. 
7.5. Полуопределенные и неопределенные формы матрицы ....... 
7.6. Метод неопределенных коэффициентов  
для получения разложения Холецкого  
симметричной положительно определенной матрицы ................. 
7.7. Евклидова норма и обусловленность матриц ......................... 
7.8. Задачи на собственные значения  
и собственные векторы .................................................................... 
7.9. Итерационные методы решения систем уравнений .............. 
7.10. Замечания к задачам матричного исчисления ...................... 
7.11. О приложениях матричного исчисления .............................. 
7.12. Задачи к разделу 7 ................................................................... 
         Ответы к задачам раздела 7 .................................................... 
 
Предметный указатель .................................................................. 
 

 
201 
206 
213 
215 
 
217 
217 
220 
223 
223 
226 
 
 
229 
232 
 
236 
242 
246 
247 
250 
253 
 
256 
 

 
 
 

!!"#$ %$%!&m n !'(A =

⎛

⎜
⎜
⎝

a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
am1
am2
. . .
amn

⎞

⎟
⎟
⎠

&A = (aij)$i = 1, 2, . . . , m ) j = 12, . . . n ) !*$A m × n (m × nAm×n+aij(&(*) !&,!a23 %$!*(2 × 3)(&- A2×3 =
4
0
−3
−7
3
1

.

.aij$i = j(/% $%a11, a22, . . . , akk$k = min(m, n)% a1 n, a2 n−1, . . . ) '$!A = B(&aij = bij i = 1, 2, . . . , mj = 1, 2, . . . , n0!"( An×n (n n0A ) $%0A = (aij) ) n12 A =
ni=1
aii A/"&$$(3A =

⎛

⎝
3
0
0
0
−17
0
0
0
99

⎞

⎠ !$%( 

!"# ### B =

⎛

⎝
1
7
13
0
−2
9
0
0
7

⎞

⎠ C =

⎛

⎝
2
0
0
8
5
0
1
−3
2

⎞

⎠B $ ##C $ ## # %# &
# "'# "E('# #n )# '# EnE3 =

⎛

⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
1

⎞

⎠ En =

⎛

⎜
⎜
⎝

1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
1

⎞

⎟
⎟
⎠ $

'#* n +# "&
'# "O('# m×n )#
# # ,

Om×n =

⎛

⎜
⎜
⎝

0
0
. . .
0
0
0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0

⎞

⎟
⎟
⎠ .

+)# "# - ,

A =

⎛

⎜
⎜
⎝

a1
a2
. . .
am

⎞

⎟
⎟
⎠ ,
B =
b1
b2
. . .
bn
.

+1×1#)# '## '(5)1×1 = 5+'# "# "&

'# AT !A =
1
2
3
4

, AT =
1
3
2
4

. .A =

⎛

⎝
1
2
3

⎞

⎠ ,

AT =
1
2
3 .

/# #&
#"&
0 "

α
β
γ
! !(3 × 3)"#

A =

⎛

⎝
98
24
42
39
15
22
22
15
17

⎞

⎠ .

$%$& '(' )(%& "
*+ ! '(+) #

B =

⎛

⎝
55
19
44
43
53
38
11
40
20

⎞

⎠ .

,%($!α& ! "
'!- !-  & !. !& "
- ! $!!%#
98 + 55 = 153& ($!γ& ! *& !# 15 + 40 = 55/& ! ' !- *- !$& !#
⎛

⎝
98 + 55
24 + 19
42 + 44
39 + 43
15 + 53
22 + 38
22 + 11
15 + 40
17 + 20

⎞

⎠ =

⎛

⎝
153
43
86
82
68
60
33
55
37

⎞

⎠ .

0 .-*)1* $- !!
! '!-  ,' "
! 'A B& $) . %"
' !- Am×n = (aij) Bm×n = (bij) *!' Cm×n = (cij) '& $cij = aij+bij& %i = 1, 2, . . . , m& j = 1, 2, . . . , n2&
!*+! $& %- !*3 %!& 4&
2
−3
0
4
5
6

+
3
3
−1
−2
−5
4

=
5
0
−1
2
0
10

.

5%$'' + ! !"
!- - '!' %%α
6
6
6β
76
7776

A =
910
1275
1210
1304
860
967
667
1048

!" #$ % !!B =
2050
1340
1344
1384
1380
1058
1011
1189

. !&!!' !#( #$ %' &) ' &α ( 2050−910 = 1140*!+&β , 1189 − 1048 = 141-' % 2050 − 910
1340 − 1275
1344 − 1210
1384 − 1304
1380 − 860
1058 − 967
1011 − 667
1189 − 1048

=
1140
65
134
80
520
91
344
141

&#(

#$ % -' %' ' '
!% %' !% %' Am×n = (aij) k % Bm×n = (bij) %' bij = k · aij % i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n.'

k = 3,
A =
0
−1
2
3
4
5

,
k · A =
0
−3
6
9
12
15

.

/−A = (−1) · A % A − B 0 A − B = A + (−B)' !A' B' C' O 1 ) 1, α β 1
0

A + B = B + A;
A + (B + C) = (A + B) + C;
A + O = A;
A − A = O;
α · (A + B) = α · A + α · B;
1 · A = A;
(α + β) · A = α · A + β · A;
α · (β · A) = (α · β) · A'

&!58' 26 8 ' +10' 20
30 !!58 · 10 + 26 · 20 + 8 · 30 = 1340 a' b' !a =

⎛

⎝
58
26
8

⎞

⎠' b =

⎛

⎝
10
20
30

⎞

⎠ . !

aT b ! "aT b # ! $%
aT b =
58
26
8
·
10
20
30
T = 1340. &aT b :
aT ' b ' ! "( a =

⎛

⎜
⎜
⎝

a1
a2
. . .
an

⎞

⎟
⎟
⎠ b =

⎛

⎜
⎜
⎝

b1
b2
. . .
bn

⎞

⎟
⎟
⎠ , aT b aT b = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn =
ni=1
aibi! )'

'( *a b + aT b ' ( !

, !-!. *' ! &' ( *( ( */! , !

$,*( !!

!!- -!!. .!!012
-3
2

&*/1-
12
-

&.
4

5+ **' *!

$,( !!

058 · 10 + 26 · 20 + 8 · 30 = 1340

&*/52 · 10 + 58 · 20 + 12 · 30 = 2040

&1 · 10 + 3 · 20 + 9 · 30 = 340

67A =

⎛

⎝
58
26
8
52
58
12
1
3
9

⎞

⎠ ⎛

⎝
1340
2040
340

⎞

⎠ . )( aT b( aT A!
&'Ab; *( Ab aT b( aT ' 'A( '! 6'(

Ab =

⎛

⎝
58
26
8
52
58
12
1
3
9

⎞

⎠·

⎛

⎝
10
20
30

⎞

⎠ =

⎛

⎝
58 · 10 + 26 · 20 + 8 · 30
52 · 10 + 58 · 20 + 12 · 30
1 · 10 + 3 · 20 + 9 · 30

⎞

⎠ =

⎛

⎝
1340
2040
340

⎞

⎠ .

A =

⎛

⎝
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33

⎞

⎠ ,
b =

⎛

⎝
b1
b2
b3

⎞

⎠ Ab =

⎛

⎝
a11b1 + a12b2 + a13b3
a21b1 + a22b2 + a23b3
a31b1 + a32b2 + a33b3

⎞

⎠ =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

3k=1
a1kbk

3k=1
a2kbk

3k=1
a3kbk

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

Ab a1jAb;
!!Ab"

#Ab !!$A %!$& !'
'$ b" (Ab '$'
!$A" )$A m k $'$b
kAb '$ m!i'kj=1
aijbj i = 1, 2. . . . , k"

*!aT B $" +'
!'aT !$$B %"" !$B&!aT B '$!B" #aT B BaT !BaT '
!aT B"

+$$ '
 $" ,$ A B $B '$" '
AB $'
$A '$$B" -A =

⎛

⎜
⎜
⎝

1
0
2
3
1
1
1
2
1
−1
3
2

⎞

⎟
⎟
⎠ B =

⎛

⎝
1
2
0
1
0
−1

⎞

⎠ ,

!!$B '$b1 =

⎛

⎝
1
0
0

⎞

⎠ b2 =

⎛

⎝
2
1
−1

⎞

⎠ . $A 

BAb1 =

⎛

⎜
⎜
⎝

1 · 1 + 0 · 0 + 2 · 0
3 · 1 + 1 · 0 + 1 · 0
1 · 1 + 2 · 0 + 1 · 0
−1 · 1 + 3 · 0 + 2 · 0

⎞

⎟
⎟
⎠ =

⎛

⎜
⎜
⎝

1
3
1
−1

⎞

⎟
⎟
⎠ ,

Ab2 =

⎛

⎜
⎜
⎝

1 · 2 + 0 · 1 + 2 · (−1)
3 · 2 + 1 · 1 + 1 · (−1)
1 · 2 + 2 · 1 + 1 · (−1)
−1 · 2 + 3 · 1 + 2 · (−1)

⎞

⎟
⎟
⎠ =

⎛

⎜
⎜
⎝

0
6
3
−1

⎞

⎟
⎟
⎠

AB = (Ab1Ab2) =

⎛

⎜
⎜
⎝

1
0
3
6
1
3
−1
−1

⎞

⎟
⎟
⎠ .

AB =

⎛

⎜
⎜
⎝

1
0
2
3
1
1
1
2
1
−1
3
2

⎞

⎟
⎟
⎠ ·

⎛

⎝
1
2
0
1
0
−1

⎞

⎠ =

⎛

⎜
⎜
⎝

1
0
3
6
1
3
−1
−1

⎞

⎟
⎟
⎠ .

 ! """#A B $%#%& i! A & jB' "#! "!(

)! #ij! #AB( "#! A #%B; #! 3 · 2 + 1 · 1 + 1 · (−1) = 6( *%#! ! 6( )i! #%AB !"#i! A #%Bi! #%AB ! #i! A #%B(

*"ij! #AB A B !""%#i! A ! #j%B( +#%iA ai1
ai2
. . .
ain
j! b1j
b2j
. . .
bnj
T ij! #AB

! ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj =
nk=1
aikbkj(

A =
1
0
2
−1
4
3

B =

⎛

⎝
0
6
1
5
1
1
2
7
2
4
4
3

⎞

⎠ . *%#

AB A B !" 1 · 0 + 0 · 1 + 2 · 2 = 4; AB1 · 6 + 0 · 1 + 2 · 4 = 14; AB−1 · 1 + 4 · 2 + 3 · 4 = 19# $A · B =
4
14
9
11
10
10
19
32

.

%AB !j ! B &!!' i ! A &!'# $!
&'B !A# (AB A B# %AB AB#

)A B! !A BAB AB# *A + (m×n) B + (n×l) ## A = (aij)i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , nB = (bij)i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , lAB (m × l) ij nk=1
aikbkj#

*AB = (
nk=1
aikbkj), i = 1, 2, . . . , m j =

1, 2, . . . , l#

# )A =
1
5
3
0

B =
3
6
1
2
2
4

, ABA B − "

AB =
1
5
3
0

·
3
6
1
2
2
4

=
13
16
21
9
18
3

.

(AB (2 × 3) # ,BA B A +
#

-! (Am×n)# (AB !" Am×nBn×l = Cm×l# ./! A B #

$!# $ABC ! ! AB C# 0!AB