Расчет действия кумулятивных зарядов с полусферическими и сегментными облицовками

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

С.В. Ладов, С.В. Фёдоров, Ф.С. Загрядцкий 

Расчет действия кумулятивных зарядов  
с полусферическими и сегментными  
облицовками 

Методические указания к выполнению домашних работ  
 
 
 
  
 
 
 
 
 

 
 

УДК 623.4.082.6 
ББК 22.632 
 
Л15 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/169/book1550.html 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Высокоточные летательные аппараты» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
Рецензент 
д-р техн. наук, доцент В.И. Колпаков 
 
Ладов, С. В. 
Л15   
Расчет действия кумулятивных зарядов с полусфериче-
скими и сегментными облицовками : методические указания к 
выполнению домашних работ / С. В. Ладов, С. В. Фёдоров, 
Ф. С. Загрядцкий. 
— 
Москва 
: 
Издательство 
МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2016. — 49, [3] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4542-4 
Представлены материалы для выполнения домашних заданий по специальности 
170100 «Боеприпасы и взрыватели» в части проектирования и 
оценки действия кумулятивных боеприпасов различного назначения. Изложены 
инженерная методика и алгоритм расчета функционирования кумулятивных 
зарядов с полусферическими и сегментными облицовками, формирующими 
массивные низкоградиентные кумулятивные струи или удлиненные 
и компактные безградиентные элементы. Рассмотрены вопросы 
численного моделирования подобных кумулятивных зарядов. Приведены 
примеры расчетов и требования к выполнению домашнего задания по дисциплине «
Действие боеприпасов». 
Для студентов 4‒5-го курсов, изучающих дисциплины «Действие боеприпасов», «
Основы проектирования боеприпасов» и «Проектирование боеприпасов» (
по специализациям). Могут быть полезны дипломникам, аспирантам, 
инженерно-техническим и научным работникам по данному направлению 
подготовки. 
 
 УДК 623.4.082.6 
 
 ББК 22.632 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4542-4 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 

Введение 

Предлагаемые методические материалы посвящены описанию 
физико-математической модели процесса функционирования кумулятивных 
зарядов с полусферическими и сегментными облицовками, 
а также разработанных на ее основе инженерной методики 
и программы расчета. 
Такие кумулятивные заряды в зависимости от прогиба облицовки (
отношение высоты к диаметру основания) могут формировать 
как массивные низкоградиентные кумулятивные струи (для 
облицовок из меди выход металла в струю порядка 50...70 %, скорость 
головных элементов порядка 4,5…5 км/c, хвостовых элементов 
порядка 1,5…2 км/c), так и компактные или удлиненные поражающие 
элементы (для облицовок из меди выход металла в практически 
безградиентные элементы составляет 70…100 %, скорость 
образованного элемента — 2,2…4 км/c в зависимости от степени 
удлинения) [2, 7, 10].  
Заряды с такими облицовками используют в серийных кумулятивных 
перфораторах и скважинных торпедах для вскрытия продуктивных 
пластов и проведения ремонтно-восстановительных 
работ при перфорации нефтяных и газовых скважин; для образования 
шпуров при взрывном способе разрушения и дробления 
массивов материалов; в инженерных боеприпасах для проделывания 
отверстий в металле, железобетоне, мерзлом грунте, льде  
и т. п.; в кумулятивно-фугасных боевых частях глубинных бомб, 
торпед и противокорабельных ракет, а также для решения ряда 
других задач военного и гражданского значения [3, 6, 9]. 
В настоящее время существуют многочисленные методики для 
расчета действия кумулятивных зарядов с коническими облицовками. 
Для них реализуется «классическая» схема образования кумулятивной 
струи, в соответствии с которой струя образуется в 
результате схлопывания элементов облицовки на оси заряда.  

Параметры формирующейся струи достаточно точно описываются 
гидродинамической теорией кумуляции [2, 10]. В методиках используются 
как простые инженерные подходы, так и подходы, основанные 
на численном интегрировании систем дифференциальных 
уравнений [2, 4]. 
Применять имеющиеся методики расчета кумулятивных зарядов 
с коническими облицовками для оценки действия зарядов с 
полусферическими и сегментными облицовками нельзя. Механизм 
образования кумулятивных струй из полусферических облицовок 
различной кривизны принципиально отличается от механизма образования 
кумулятивных струй из конических облицовок. 
В представленных методических материалах описана инженерная 
методика расчета, учитывающая особенности формирования 
кумулятивных струй из полусферических и сегментных кумулятивных 
облицовок. По изложенной методике с приемлемой для 
инженерных оценок точностью можно проводить сравнительный 
анализ эффективности действия кумулятивных зарядов с различными 
геометрическими параметрами (радиус кривизны, толщина, 
прогиб) полусферических и сегментных облицовок.  
Кроме того, приведен раздел, посвященный возможностям 
численного моделирования функционирования кумулятивных зарядов 
с использованием зарубежных и отечественных пакетов 
универсальных программных систем. 
В результате освоения методических материалов студенты выполняют 
домашнее задание в соответствии с изложенными требованиями 
и контрольными вопросами для самоподготовки.  

Cписок сокращений 

ВВ 
— взрывчатое вещество 
ГМТ 
— геометрическое место точек 
ГУ 
— граничное условие 
КЗ 
— кумулятивный заряд 
КС 
— кумулятивная струя 
МСС 
— механика сплошных сред 
ПД 
— продукты детонации 
ПЭ 
— поражающий элемент 
ПЭВМ — персональная электронная вычислительная машина 
ТИ 
— точка инициирования 
УВ 
— ударная волна 
УрС 
— уравнение состояния 
 
 

1. Физико-математическое описание и алгоритм расчета 
функционирования кумулятивных зарядов  
с полусферическими и сегментными облицовками 

Известно несколько режимов образования кумулятивной струи 
(КС) (рис. 1.1): режимы классической и обратной кумуляции,  
а также режим, осуществляющийся через выворачивание кумулятивной 
облицовки, который присущ именно полусферическим облицовкам 
кумулятивных зарядов (КЗ) [2]. В зависимости от формы 
заряда и места инициирования (т. е. от характера изменения давления 
по профилю полусферической облицовки, ее толщины, величины 
прогиба и других геометрических параметров) возможно получение 
как КС, близких к классическим, так и компактных тел. 
Элементы полусферической облицовки, находящиеся в ее вершине, 
практически не имеют радиальной составляющей скорости 
при схлопывании облицовки. Кроме того, они начинают свое движение 
гораздо раньше по сравнению с элементами, расположенными 
на периферии облицовки, так как распространяющаяся в заряде 
взрывчатого вещества (ВВ) детонационная волна приходит 
раньше всего к вершине облицовки. В силу указанных причин 
возникает ситуация, когда движущаяся с большой осевой скоростью 
вершинная часть облицовки мешает дальнейшему схлопыванию 
на оси заряда периферийных элементов. Эти элементы, не 
имея возможности схлопнуться на оси, как бы выдавливают головные 
элементы КС, а сами затем пристраиваются в ее хвостовой 
части. В результате описанного процесса возникает картина, очень 
сходная с выворачиванием полусферической облицовки. 
Указанный механизм образования КС подтверждается имеющимися 
рентгенограммами процессов схлопывания полусфериче-
ских и сегментных облицовок [2‒3]. 
В силу физических особенностей формирования КС из полу-
сферических облицовок для определения их параметров нельзя 
использовать гидродинамическую теорию кумуляции. В связи  

с этим была сформулирована физико-математическая модель и на 
ее основе разработана инженерная методика расчета функционирования 
КЗ с полусферическими облицовками.  
Кроме того, разработанная методика основана на предположении 
о линейном распределении осевой скорости элементов КС по 
ее длине. Это распределение возникает, по-видимому, в результате 
обмена энергией между различными элементами полусферической 
облицовки при ее схлопывании. 

 

  
Рис. 1.1. Различные режимы кумуляции:  
а — классическая; б — обратная;  в — промежу- 
  
точная  
 

Был проведен анализ существующих численных методов расчета 
функционирования КЗ с полусферическими облицовками в 
широком диапазоне изменения их конструктивных параметров. Он 
подтвердил, что струеобразование в этом случае происходит в результате «
выворачивания» кумулятивной облицовки, а распределение 
скорости вдоль струи близко к линейному. 
При разработке инженерной методики расчета функционирования 
зарядов с полусферическими облицовками использовались 
аппроксимации имеющихся двумерных численных решений и известные 
экспериментальные данные отечественных и зарубежных 
авторов. 
Для выполнения приближенного расчета разобьем полусфери-
ческую облицовку на п (1, 2, ..., i, ..., п) частей из центра окружности 
внешней поверхности облицовки осесимметричными коническими 
поверхностями с общей вершиной так, как это показано на рис. 1.2.  

 

Рис. 1.2. Расчетная схема кумулятивного заряда с сегментной обли- 
  
цовкой (ТИ — точка инициирования) 
 
Примем следующие допущения: 
• детонация заряда ВВ происходит мгновенно; 
• движение каждого элемента кумулятивной облицовки происходит 
по нормали к внешней поверхности полусферы, причем до 

момента схлопывания элементы облицовки не оказывают взаимного 
влияния друг на друга; 
• градиент скорости формирующейся КС по длине последней 
является постоянным 

grad 
/
const ,
c
c
v
dv dz


 а линеаризация 
скорости по длине КС происходит в момент схлопывания элемента 
облицовки, лежащего в ее основании; 
• скорость головной части струи определяется скоростью метания 
вершинного элемента облицовки ui. 
С учетом этих допущений среднюю скорость схлопывания 
каждого i-го элемента полусферической облицовки определяли из 
уравнения баланса энергии для одномерного одностороннего истечения 
продуктов детонации [2, 7]: 

2
2
a
a
2
.
2(
1)
2
6

i
i
i
i
i
m D
m u
M u
k



 

Для k = 3 (где k — коэффициент политропы продуктов детонации) 


3
0,353
,
3


 

i
i
i
u
D
 

где 

ai
i
i

m
M
 
 — коэффициент нагрузки в i-м сечении; ma i — актив-

ная масса ВВ в i-м сечении; Mi — масса кумулятивной облицовки 
в i-м сечении; D — скорость детонации ВВ. 
Для расчета масс элементов облицовки Mi, заряда ВВ mВВ i и 
корпуса заряда Mк i в каждом сечении определяли сначала объемы 
соответствующих элементов. Вычисление объема элемента, представляющего 
собой фигуру, образованную вращением плоского 
контура (1–2–3–4) вокруг оси, поясняет рис. 1.3: 

1234
11'4'4
44'3'3
33'2'2
22'1'1,




V
V
V
V
V
 

где V11'4'4, V44'3'3 , V33'2'2, V22'1'1 — объемы соответствующих усеченных 
конусов, определяемые по формулам: 

2
2
11'4'4
4
1
1
1 4
4
(
)(
),
3
V
z
z
r
r r
r





 

2
2
44'3'3
3
4
3
3 4
4
(
)(
),
3
V
z
z
r
r r
r





 

2
2
33'2'2
3
2
2
2 3
3
(
)(
),
3
V
z
z
r
r r
r





 

2
2
22'1'1
2
1
1
1 2
2
(
)(
).
3
V
z
z
r
r r
r





 

Аналогичным образом после определения радиальных и осевых 
координат граничных точек 
1
1
( ,
)
r z
, 
2
2
(
,
)
r z
, 
3
3
( ,
)
r z
 и 
4
4
(
,
)
r z
 
определяют объемы элементов облицовки, заряда ВВ и корпуса 
заряда во всех сечениях, на которые КЗ разбивают при расчете. 
Массы соответствующих элементов рассчитывают умножением 
вычисленных объемов на плотность материала, входящего в 
состав элемента: 

o
o


i
i
M
V
 — масса элемента облицовки; 

ВВ
ВВ
ВВ


i
i
m
V
 — масса элемента заряда ВВ; 

к
к
к


i
i
M
V
 — масса элемента корпуса заряда. 
Активную массу ВВ в каждом сечении, т. е. ту условную массу 
ВВ, энергия которой расходуется непосредственно на метание 
элемента облицовки, определяли с учетом метаемой массы кумулятивной 
облицовки Mi и массы корпуса заряда Mк i: 

ВВ
к
a
к
ВВ
1
,
2












i
i
i
i
i
i
i

m
M
M
m
M
M
m
 

 
 

Рис. 1.3. Определение массы элементов 
в расчетных сечениях кумулятивных 
зарядов с полусфе-
рическими и сегментными обли- 
  
цовками