Применение матричных методов для расчета частот и форм свободных колебаний динамических моделей силовых передач колесных машин с конечным числом степеней свободы

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

М.Г. Лахтюхов 

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ  
ДЛЯ РАСЧЕТА ЧАСТОТ И ФОРМ  
СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ  
МОДЕЛЕЙ СИЛОВЫХ ПЕРЕДАЧ  
КОЛЕСНЫХ МАШИН С КОНЕЧНЫМ  
ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве  
учебного пособия по курсу «Динамика колесных машин» 

Под редакцией А.А. Полунгяна  

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 7 

УДК 629.113(075.8) 
ББК 39.33-04+22.213 
Л29 

Рецензенты: Е.А. Галевский, С.В. Аринчев 
Лахтюхов М.Г. 
Л29 
Применение матричных методов для расчета частот и форм 
свободных колебаний динамических моделей силовых передач 
колесных машин с конечным числом степеней свободы: Учеб. 
пособие по курсу «Динамика колесных машин» / Под ред. 
А.А. Полунгяна. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 
60 с.: ил.  
ISBN 5-7038-2933-Х 
Даны рекомендации по выбору матричных методов расчета частот 
и форм свободных колебаний консервативных и неконсервативных 
динамических моделей силовых передач колесных машин с конечным 
числом степеней свободы в зависимости от типа матриц и их 
размерности, объема решаемой задачи (расчета всех или части частот и, 
возможно, форм свободных колебаний) и т. д. Показано, что решение 
задачи нахождения частот и форм свободных колебаний математически 
эквивалентно решению задачи на собственные значения. Рассмотрены 
особенности расчета собственных значений и собственных векторов. 
Приведены сведения о программных средствах для решения спектральных 
задач. Включены примеры расчета частот и форм свободных 
колебаний динамических систем  в среде MathCAD. 
Для студентов старших курсов специальностей «Автомобилестроение» 
и «Многоцелевые гусеничные и колесные машины». 

                                                                                          УДК 629.113(075.8) 
     ББК 39.33-04+22.213 

Учебное издание 
Михаил Георгиевич Лахтюхов 
Применение матричных методов  
для расчета частот и форм свободных колебаний 
динамических моделей силовых передач  
колесных машин с конечным числом степеней свободы 

Редактор С.А. Серебрякова 
Корректор Л.И. Малютина 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 

Подписано в печать 26.12.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. 
Печ. л. 3,75. Усл. печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 3,25. 
Тираж 100 экз. Изд. № 104. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 

ISBN 5-7038-2933-Х 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

Поведение силовой передачи колесной машины (КМ) при динамическом 
воздействии во многом определяется ее частотами и 
формами свободных колебаний. При проведении исследований 
расчет частот и форм собственных колебаний динамических систем 
является одной из важнейших задач. При этом можно выделить 
несколько задач, отличающихся по объему вычислений.  
В зависимости от поставленных целей может возникнуть необходимость 
вычисления: нескольких низших собственных частот и, 
возможно, соответствующих форм колебаний; всех собственных 
частот и соответствующих форм колебаний; только собственных 
частот (всех или нескольких); числа собственных частот, лежащих 
в заданном диапазоне, и т. п. 

1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ  

ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ  

С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 

Теоретическому исследованию динамической нагруженности силовой 
передачи КМ предшествует ее схематизация. При исследованиях 
в низкочастотном диапазоне силовая передача КМ (рис. 1), 
представляющая собой систему с рассредоточенными параметрами, 
как правило, моделируется линейными системами с сосредоточенными 
параметрами (рис. 2), состоящими из конечного числа жестких 
масс, совершающих вращательное движение и соединенных между 
собой безынерционными упругими валами. Число степеней свободы 
при этом не превосходит 150. 
Дифференциальные уравнения голономной динамической системы 
с сосредоточенными параметрами и стационарными связями 
могут быть получены с помощью дифференциальных уравнений 
Лагранжа второго рода 

,     
1, ,
i
i
i
i
i

d
T
T
Ф
П
Q
i
n
dt
q
q
q
q
∂
∂
∂
∂
−
+
+
=
=
∂
∂
∂
∂


где 
, 
T П  – соответственно кинетическая и потенциальная энергии 
системы; Ф  – диссипативная функция системы; 
i
Q  – i-я обобщенная 

сила; 
, 
i
i
q
q– соответственно i-е обобщенные координата и скорость; 
t  – время; n  – число степеней свободы динамической системы. 
При малых колебаниях около положения равновесия кинетическая 
и потенциальная энергии системы, а также ее диссипативная 
функция могут быть выражены квадратичными формами от обобщенных 
координат: 

 

1
1
1
1
1
1

1
1
1
,   
,   
, 
2
2
2

n
n
n
n
n
n

ij i
j
ij
i
j
ij i
j
i
j
i
j
i
j
T
a q q
П
с q q
Ф
b q q

=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑∑
∑∑
∑∑
 (1)  

где 
, 
ij
ij
a
c  – соответственно инерционные и жесткостные коэффи-

циенты; 
ij
b  – коэффициенты диссипации. 

Рис. 1. Кинематическая схема силовой передачи колесной машины (8×8) 

с раздачей крутящего момента по бортам 

Рис.2. Приведенная динамическая система силовой передачи колесной машины (8×8) с раздачей крутящего 
момента по бортам 

Уравнение, описывающее движение линейной динамической 
модели силовой передачи с n  степенями свободы, может быть записано 
в матричной форме 

 
,
A
B
C
+
+
=
q
q
q
F  
(2) 

где A, C  – матрицы инерционных и жесткостных коэффициентов 
(размерности n
n
×
); B  – матрица коэффициентов диссипации 
(демпфирования) ( n
n
×
); q  – 
-
n мерный вектор обобщенных координат; 
F  – -
n мерный вектор внешних сил. 
Если вектор внешних сил F  равен нулевому вектору 0, то из 
уравнения (2) получаем матричное уравнение  

 
,
A
B
C
+
+
= 0
q
q
q
 
(3) 

или, что одно и то же, систему однородных дифференциальных 
уравнений,  

 

11 1
12 2
1
11 1
12 2
1

11 1
12 2
1

21 1
22 2
2
21 1
22 2
2

                                       
0,

                              

n
n
n
n

n
n

n n
n
n

a q
a q
...
a q
b q
b q
...
b q

c q
c q
...
c q

a q
a q
...
a
q
b q
b q
...
b q

+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
=

+
+
+
+
+
+
+
+

21 1
22 2
2

1 1
2 2
1 1
2 2

         
0,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .        

                

n n

n
n
nn
n
n
n
nn
n

c q
c q
...
c
q

a q
a
q
...
a q
b q
b q
...
b q

+
+
+
+
=

+
+
+
+
+
+
+
+
1 1
2 2
                       
0.
n
n
nn
n
c q
c q
...
c q











+
+
+
+
=


  (4) 

Уравнение (3) и система уравнений (4) описывают малые свободные 
колебания линейной неконсервативной системы. 
Выражения для квадратичных форм (1) и соответственно 
структура матриц A, B  и C  определяются выбором обобщенных 
координат .q  На практике в качестве обобщенных координат 
q  обычно принимают отклонения масс от положения равновесия. 
В этом случае выражения (1) для кинетической и потенциальной 
энергий и для диссипативной функции преобразуются 
к виду 

(
)

1
 2
2
2

1
1
1
1

1
1
1
,  
,
2
2
2

n
n
n
n

i i
ij
i
j
i i
i
i
j i
i
T
J q
П
k
q
q
k q
−

=
=
= +
=
=
=
−
+
∑
∑ ∑
∑


 
(
)

1
 2
2

1
1
1

1
1
,
2
2

n
n
n

ij
i
j
i i
i
j i
i
Ф
f
q
q
f q
−

=
= +
=
=
−
+
∑ ∑
∑
 
(5) 

где 
iJ  – момент инерции i-й массы; 
,  
ij
ij
k
f −  соответственно ко-

эффициенты жесткости и диссипации упругого участка, соединяющего 
i-ю и j-ю массы; 
  
i
i
k , f
−  соответственно коэффициенты 
жесткости и диссипации упругого участка, соединяющего i-ю массу 
с заделкой. 
Все три квадратичные формы в (5) положительны. 
Уравнение движения произвольной i-й массы (рис. 3), связанной 
с j-й, l-й, m-й и т. д. массами и заделкой, имеет вид 

 
(
)

(
)

 

   
0

i i
ij
il
im
i
i
ij
j
im
m
il
l

ij
il
im
i
i
ij
j
im m
il
l

J q
f
f
f
f
q
f q
f q
f q

k
k
k
k
q
k q
k q
k q
.

+
+
+
+
+
−
−
−
−
+

+
+
+
+
+
−
−
−
−
=

…
…

…
…
  (6) 

 
Рис. 3. Произвольная i-я масса динамической системы  

Нетрудно убедиться, что матрица инерционных коэффициентов 
A в данном случае является диагональной и, следовательно, 
симметричной. На ее главной диагонали располагаются моменты 

инерции масс. Все внедиагональные элементы матрицы равны нулю. 
Так как все моменты инерции системы и, следовательно, все 
диагональные элементы матрицы A положительны: 

0,    
1, ,
ii
i
a
J
i
n
=
>
=
 

то матрица 
,
A  кроме того, является положительно определенной. 
Матрица жесткостных коэффициентов C  также является симметричной. 
Ее внедиагональный элемент 
,
ij
c
 расположенный на 

пересечении i-й строки и j-го столбца (
)
i
j
≠
, равен взятому со 
знаком минус коэффициенту жесткости 
ij
k  упругого участка, соединяющего 
i-ю и j-ю массы: 

 
,
ij
ij
c
k
= −
 
(7) 

если связь между массами есть, или равна нулю: 

 
0,
ij
c =
 

если этой связи нет. 
Элементы матрицы 
,
C  расположенные на главной диагонали, 
равны сумме коэффициентов жесткостей, характеризующих упругие 
связи i-й массы с заделкой и другими массами: 

 

1 (
)
,
n

ii
i
ij
j
j i
c
k
k

=
≠
=
+ ∑
 
1  .
i
, n
=
 
(8) 

Выражения для потенциальной энергии и диссипативной функции в 
(5), как и коэффициенты при q  и qв (6), одинаковы по структуре. Поэтому 
матрицы B  и C  также имеют сходную структуру, и, следовательно, 
матрица B  также является симметричной. Формирование матриц B  и 
C  подчиняется одним и тем же правилам. 
На практике заполнение матриц B  и C  удобно проводить одновременно. 
Вначале все элементы обеих матриц приравниваются 
к нулю. А затем в соответствии со связями в динамической системе 
коэффициенты жесткости 
ij
k  согласно (7) и (8) прибавляются к 

элементам 
,
ij
c
 
,
ji
c
 
iic  и 
jj
c  матрицы 
,
C  а коэффициенты 
ijf  с 

такими же знаками, что и 
ij
k , − к элементам 
,
ij
b
 
,
ji
b
 
ii
b  и 
jj
b  мат-

рицы 
.
B  Коэффициенты 
ik  и 
,
if  характеризующие упругий участок, 
который соединяет i-ю массу с заделкой, прибавляют соответственно 
к диагональным элементам матриц C  и 
,
B  расположенным 
на пересечении i-й строки и i-го столбца. 

2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ 

ЧАСТОТ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ 

ЗНАЧЕНИЯ 

2.1. Линейные консервативные системы 

При отсутствии демпфирования в системе все коэффициенты 
диссипации 
,
ij
b
 являющиеся элементами матрицы B  в уравне-

нии (3), равны нулю: 

0,   
1, ;   
1, .
ij
b
i
n
j
n
=
=
=
 

Тогда после упрощения уравнения (3) и системы уравнений (4) 
приходим к матричному уравнению  

 
A
C
+
= 0
q
q
  
(9) 

и системе однородных дифференциальных уравнений 

 

11 1
12 2
1
11 1
12 2
1

21 1
22 2
2
21 1
22 2
2

...
...
0,

...
...
0,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   

n
n
n
n

n
n
n
n

a q
a q
a q
c q
c q
c q

a q
a q
a q
c q
c q
c q

+
+
+
+
+
+
+
=

+
+
+
+
+
+
+
=

1 1
2 2
1 1
2 2

.    

...
...
0,
n
n
nn n
n
n
nn
n
a q
a q
a q
c q
c q
c q






+
+
+
+
+
+
+
=

(10) 

которые описывают малые свободные колебания линейной консервативной 
системы.  
Частное решение однородной системы линейных дифференциальных 
уравнений (10) соответствует свободным колебаниям системы 
с s-й круговой частотой и имеет вид  

 
sin(
),
М

s
s
s
s
t
=
ω
+ ϕ
q
q
 
(11) 

где 

1

2

 

...

 

М
s
М
М
s
s

М
ns

q

q

q







= 








q
 − искомый амплитудный n-мерный вектор; 
М
js
q
 – 

искомая амплитуда колебаний j-й массы (
1, )
j
n
=
 при свободных 
колебаниях с s-й круговой частотой; 
, 
s
s
ω
ϕ  − искомые s-я круговая 
частота и соответствующий фазовый угол. 
Колебания, описываемые уравнением (11), называются главными. 
Общим решением системы линейных дифференциальных уравнений (
10) является линейная комбинация частных решений (11) 

 

1
sin(
).

n
М
s
s
s
s
t

=
=
ω
+ ϕ
∑
q
q
 
(12) 

При подстановке частного решения (11) в (10) получим 

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
2
11
11
1
12
12
2
1
1

2
2
2
21
21
1
22
22
2
2
2

 
 
...
 
0,

 
 
...
 
0,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   

М
М
М
s
s
s
s
n
n
s
ns

М
М
М
s
s
s
s
n
n
s
ns

c
a
q
c
a
q
c
a
q

c
a
q
c
a
q
c
a
q

−
ω
+
−
ω
+
+
−
ω
=

−
ω
+
−
ω
+
+
−
ω
=

(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
2
2

.   .  

 
 
...
 
0
М
М
М
n
n
s
s
n
n
s
s
nn
nn
s
ns
c
a
q
c
a
q
c
a
q






−
ω
+
−
ω
+
+
−
ω
=


 

или в матричной форме 

 
(
)

2
.
М
s
s
C
A
− ω
= 0
q
 
(13) 

Уравнение (13) можно преобразовать к виду 

 
(
)

1
2
М
s
s
A C
I
−
− ω
= 0
q
,  
(14) 

где 
1
A−  − матрица, обратная матрице A; I  − единичная матрица 
(размерности n
n
×
).