Расчет истечения газов и паров при проектировании конусного сопла Лаваля

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 

РАСЧЕТ ИСТЕЧЕНИЯ 
ГАЗОВ И ПАРОВ 
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ 
КОНУСНОГО СОПЛА ЛАВАЛЯ

Практикум 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 533.6(076) 
ББК 22.213я7

Р24 

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. К. Х. Гильфанов 
д-р техн. наук, проф. Ю. Ф. Гортышов 

Р24 

Авторы: Д. И. Сагдеев, С. В. Визгалов, И. М. Абдулагатов, В. А. Аляев 
Расчет истечения газов и паров при проектировании конусного сопла Лаваля : практикум / 
Д. И. Сагдеев, С. В. Визгалов, И. М. Абдулагатов, В. А. Аляев; Минобрнауки России, 
Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 128 с. 

ISBN 978-5-7882-3187-7

Изложены основные теоретические положения, рассмотрены расчетные соотношения истечения 
идеального и реального газов и паров из комбинированного конусного сопла Лаваля. Приведено 
описание пакета CoolPack, позволяющего рассчитывать и определять параметры узловых 
точек процессов истечения газов и паров, а также физико-химические и теплофизические свойства 
газов и паров в широком диапазоне температур и давлений. Представлены варианты расчетных 
заданий, справочные материалы и образец оформления отчета по курсовой работе с использованием 
табличного процессора Excel. 
Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 15.03.02 «Технологические 
машины и оборудование». 
Подготовлен на кафедре вакуумной техники электрофизических установок. 

Дамир Исмагилович Сагдеев, Сергей Владимирович Визгалов,  
Ильмутдин Магомедович Абдулагатов, Валерий Алексеевич Аляев 

Р А С Ч Е Т  И С Т Е Ч Е Н И Я  Г А З О В  И  П А Р О В  
П Р И  П Р О Е К Т И Р О В А Н И И  К О Н У С Н О Г О  С О П Л А  Л А В А Л Я  

Редактор Е. И. Шевченко 

Подписано в печать 26.08.2022 
Формат 60´84 1/16 

Бумага офсетная 
Печать цифровая 
7,44 усл. печ. л. 

8,0 уч.-изд. л. 
Тираж 400 экз. 
Заказ 82/22 

Издательство Казанского национального исследовательского  

технологического университета 

Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального 

исследовательского технологического университета 

420015, Казань, К. Маркса,  68 

ISBN 978-5-7882-3187-7 
© Сагдеев Д. И., Визгалов С. В., Абдулагатов И. М.,  

Аляев В. А., 2022

© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 

УДК 533.6(076) 
ББК 22.213я7

СОДЕРЖАНИЕ 

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ........................................................ 6 

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 8 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И ПАРОВ ................ 10 
1.1. Первый закон термодинамики в применении к потоку 
движущегося газа и пара ........................................................................ 10 
1.2. Работа проталкивания. Дальнейшее развитие уравнения первого 
закона термодинамики для потока газа или пара ................................ 11 
1.3. Располагаемая работа при истечении газа или пара ........................... 14 
1.4. Адиабатный процесс истечения газа или пара .................................... 17 
1.5. Истечение капельной жидкости ............................................................ 18 
1.6. Скорость истечение и секундный расход идеального газа 
из суживающегося сопла ........................................................................ 19 
1.7. Анализ уравнения массового секундного расхода идеального газа 
и критическое давление .......................................................................... 21 
1.8. Критическая скорость и максимальный секундный расход 
идеального газа ....................................................................................... 23 
1.9. Основные условия течения идеального газа по каналам 
переменного сечения .............................................................................. 26 
1.10. Случаи истечения идеального газа из суживающегося сопла ............ 28 
1.11. Истечение идеального газа из комбинированного сопла Лаваля ...... 31 
1.12. Истечение газов с учетом трения .......................................................... 32 
1.13. Истечение водяного пара – реального газа .......................................... 33 
1.14. Процессы изменения состояния водяного пара ................................... 36 
Контрольные вопросы .................................................................................... 41 

2. ВОДЯНОЙ ПАР — РАБОЧЕЕ ТЕЛО ДЛЯ ПАРОЭЖЕКТОРНЫХ
ВАКУУМНЫХ НАСОСОВ ................................................................................. 43 
2.1. Основные понятия и определения ......................................................... 43 
2.2. Особенности 𝜌𝜐-диаграммы водяного пара ......................................... 45 
2.3. Основные параметры жидкости и сухого насыщенного пара. 
Теплота парообразования ....................................................................... 47 
2.4. Основные параметры влажного насыщенного водяного пара ........... 49 
2.5. Основные параметры перегретого пара ................................................ 50 
2.6. Энтропия воды и водяного пара ............................................................ 51 
2.7. Т–s-диаграмма водяного пара ................................................................ 53 
2.8. Таблица водяного пара ........................................................................... 55 
2.9. h–s-Диаграмма водяного пара ................................................................ 55 
Контрольные вопросы .................................................................................... 57 

3. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ЭЛЕМЕНТАХ ПАРОЭЖЕКТОРНЫХ
ВАКУУМНЫХ НАСОСОВ ................................................................................. 59 
3.1. Принципы расчета газовых потоков в элементах проточной части. 
Уравнение обращения воздействий ...................................................... 59 
3.2. Режимы течения газа в канале, имеющем горло ................................. 62 
3.3. Сопло Лаваля и его разновидности при течении газов и паров ......... 64 
3.3.1. Геометрическое воздействие при течении газов и паров 
с изменением сечения ................................................................. 64 
3.3.2. Расходное воздействие (расходное сопло) при течении 
газов и паров с подводом и отводом массы .............................. 66 
3.3.3. Тепловое воздействие (тепловое сопло) при течении газов 
и паров с подводом и отводом тепла ......................................... 68 
3.4. Анализ знаков для оценки режимов течения газов и паров 
в пароэжекторном вакуумном насосе ................................................... 69 
3.5. Течение газов и паров в сужающихся и расширяющихся каналах .... 72 
Контрольные вопросы .................................................................................... 75 

4. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ ПАКЕТ COOLPACK ДЛЯ РАСЧЕТА
ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И ПАРОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
КОНУСНОГО СОПЛА ЛАВАЛЯ ....................................................................... 76 
4.1. Назначение и основные возможности программы CoolPack .............. 77 
4.2. Порядок установки программы ............................................................. 78 
4.3. Структура меню и панели инструментов ............................................. 78 
4.4. Работа с диаграммой h–s для газов и паров ......................................... 81 
4.4.1. Выбор газа, пара и настройка диапазона рабочих 
параметров диаграммы ............................................................... 82 
4.4.2. Сохранение листа диаграммы, выход из программы, 
ошибочные ситуации, настройка печати и печать листа ......... 86 
4.4.3. Изменение масштаба отображения диаграммы 
на экране ....................................................................................... 88 
4.4.4. Рисование линий, ввод текстовых строк и их 
редактирование ............................................................................ 89 
4.4.5. Форматирование поля диаграммы и ее элементов ................... 93 
4.5. Работа со справочником термодинамических и теплофизических 
свойств холодильных агентов ................................................................ 97 
Контрольные вопросы .................................................................................. 102 

5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ ........................... 103 
5.1. Цель расчетного задания ...................................................................... 103 
5.2. Назначение комбинированного конусного сопла Лаваля ................. 103 
5.3. Основные расчетные соотношения ..................................................... 105 
5.4. Порядок выполнения расчетного задания .......................................... 108 
Контрольные вопросы .................................................................................. 109 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................................. 110 

ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................................... 111 
Приложение 1 ................................................................................................ 111 
Приложение 2 ................................................................................................ 112 
Приложение 3 ................................................................................................ 113 
Приложение 4 ................................................................................................ 117 
Приложение 5 ................................................................................................ 118 
Приложение 6 ................................................................................................ 119 
Приложение 7 ................................................................................................ 121 
Приложение 8 ................................................................................................ 122 
Приложение 9 ................................................................................................ 123 
Приложение 10 .............................................................................................. 126 
Приложение 11 .............................................................................................. 127 
Приложение 12 .............................................................................................. 128 

П Е Р Е Ч Е Н Ь  У С Л О В Н Ы Х  О Б О З Н А Ч Е Н И Й

 – подведенная удельная теплота от внешних источников тепла
 – изменение удельной внутренней энергии газа
 – работа против внешних сил, называемая работой проталкивания 

(она не равна работе расширения газа 
) 

 – изменение внешней кинетической энергии рабочего тела (рас-

полагаемая работа) 
 – секундная масса газа, протекающего через любое сечение канала
(массовый расход) 
– площадь поперечного сечения канала
– скорость рабочего тела
– удельный объем
– удельный объем влажного водяного пара
– степень сухости водяного пара
– скорость звука
– критическая скорость

 – элементарная работа проталкивания газа

 – энтальпия рабочего тела
S – энтропия рабочего тела 
 – теплоемкость при 

– площадь поверхности, сечения
– показатель изоэнтропы
– пьезометрическая высота
– располагаемая работа

 – механическая работа, длина
– работа сил трения
– длина расширяющейся насадки
– число Маха
– массовый секундный расход жидкости, газа
– давление

dq
du

ld ¢

dl

2

2
dw

m

f
w
u

x
u
x
a

кр
a

tld ¢

h

рc
const
p =

F
n
z

расп
l
L

rL

l
M

c
M
p

– тепловая энергия

– тепловая энергия, подводимая извне

– газовая постоянная
T – температура, К 
– температура, оС;
– коэффициент динамической вязкости
 – коэффициент кинематической вязкости
 – плотность жидкости, газа

– критическое отношение давлений

– показатель адиабаты
– критическое давление

– критическая скорость

– критический удельный объем

– максимальный секундный расход газа

– минимальное сечение сопла

– угол конусности расширяющейся части сопла Лаваля
– действительная скорость газа

– коэффициент скорости (скоростной коэффициент)
 – коэффициент потери энергии

– коэффициент полезного действия канала

– диаметр выходного отверстия, диаметр сопла в минимальном
сечении 

Индексы 

0 – исходное состояние 
1 – начальное сечение 
2 – конечное сечение 
г – горло канала 
кр – критическое сечение 
ʹ – жидкость на линии насыщения 
ʺ – сухой насыщенный пар 
c – сечение выхода из сопла 

Q

e
Q
R

t
µ
n
r

кр
b

k

кр
p

кр
w

кр
u

макс
m

мин
f
W

д
w

ск
j
y

к
h

d
D,

В В Е Д Е Н И Е

Промышленная революция (ПР) – коренное, качественное преобразование 
производительных сил на основе превращения науки в ведущий 
фактор развития общественного производства, непосредственную 
производительную силу. В эпоху, когда все в большей мере проявляется 
роль науки как непосредственной производительной силы, главными 
становятся уже не отдельные достижения, какими бы блестящими 
они ни были, а высокий научно-технический уровень всего производства. 
ПР выдвинула требования коренной перестройки технической 
базы производства, что, в свою очередь, требует от выпускника 
вуза нового мышления, новой идеологии. Развитие науки и техники 
должно быть подчинено решению экономических и социальных задач, 
стоящих перед нашим обществом. 
Промышленная революция – весомый фактор дальнейшего развития 
вакуумных технологий, которые являются основой для термоядерной 
энергетики, космических исследований, инноваций в электронике 
и электротехнике, машиностроении и металлургии, химической, 
легкой, пищевой промышленности, медицинской и т. д. ПР также диктует 
самое широкое использование современных компьютерных технологий 
для решения сложнейших задач по моделированию термо- и газодинамических 
процессов. 
Специалистам, работающим в области вакуумного откачного 
оборудования, турбин, компрессоров, часто приходится иметь дело 
с расчетом или исследованием газовых потоков в различных частях машин 
и установок. Поэтому они должны хорошо знать законы движения 
газов и паров в условиях разреженного газа и сплошной среды, а также 
уметь применять их на практике. 
Широкое распространение в современных технологиях получили 
струйные аппараты. Из всех видов струйных аппаратов, различающихся 
по типу эжектирующей струи, авторами рассмотрены две 
группы (паро- и газоструйные), рабочими средами в которых являются 
водяной пар и идеальный газ. Основные достоинства струйных вакуумных 
насосов – простота конструкции, компактность, незначительный 
износ, возможность работы с засоренными и агрессивными средами. 

Газоструйные насосы (эжекторы), обычно выполняемые одно-

ступенчатыми, работают с коэффициентом эжекции больше единицы 
при незначительном перепаде давлений вблизи атмосферного. 

При необходимости создания более значительных разрежений применяют 
одно- и многоступенчатые пароструйные насосы. Они могут обеспечивать 
большие производительности при давлении всасывания от атмосферного 
до 10–3 мм рт. ст. Эти преимущества обусловили широкое 
распространение паро- и газоструйных насосов в различных отраслях 
промышленности. В технике существует целый ряд производств, проведение 
технологического процесса в которых возможно только при 
условии применения струйных вакуумных насосов. Так, в химической 
промышленности для удаления газа из вакуум-холодильных и вакуум-
кристаллизационных аппаратов при осуществлении процессов дистилляции, 
сушки и выпарки используют в основном многоступенчатые пароэжекторные 
насосы. С развитием вакуумной металлургии возникло 
новое направление – метод внепечной обработки жидкого металла. 
Проведение процесса дегазации металла в ковше стало возможным благодаря 
разработке и применению в промышленных дегазационных 
установках высоковакуумных пароэжекторных насосов большой производительности. 

Широкое распространение в современных технологиях получили 
пароструйные аппараты – пароэжекторные вакуумные насосы 
(НВЭ). Их основными элементами являются: приемная камера с соплом 
Лаваля, входной коллектор, камера смешения, диффузор для выпуска из 
аппарата смеси взаимодействующих сред, или трубопровод для транспортирования 
смешанного потока. Неотъемлемой частью струйных аппаратов 
является сопло Лаваля, предназначенное для достижения сверхзвуковых 
скоростей и понижения давления в приемной камере. 
Каждый элемент струйного аппарата имеет свое конструктивное 
назначение и свои оптимальные конструктивные параметры. Отклонение 
от оптимальных значений конструктивных параметров, которые 
важны при расчетах сопла Лаваля, влечет за собой снижение эффективности 
работы элементов и струйного аппарата в целом.  

1 .  Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е  О С Н О В Ы  И С Т Е Ч Е Н И Я
Г А З О В  И  П А Р О В  

1 . 1 .  П е р в ы й  з а к о н  т е р м о д и н а м и к и  в  п р и м е н е н и и  
к  п о т о к у  д в и ж у щ е г о с я  г а з а  и  п а р а  

В вакуумной технике имеется большая группа машин, в которых 
работа производится за счет внешней кинетической энергии рабочего 
тела: пароэжекторные вакуумные насосы, паровые турбины, газовые 
турбины, реактивные двигатели, ракеты и др. 
В процессах изменения состояния движущегося с конечной скоростью 
газа или пара теплота расходуется не только на изменение внутренней 
энергии и на совершение внешней работы (против внешних 
сил), но и на приращение внешней кинетической энергии газа или пара 
при его перемещении по каналу. Поэтому уравнение первого закона 
термодинамики для 1 кг газа в дифференциальной форме имеет следующий 
вид: 

, 
(1.1) 

где 
 – подведенная теплота от внешних источников тепла; 
– из-

менение внутренней энергии газа; 
 – работа против внешних сил, 

называемая работой проталкивания (она не равна работе расширения 
газа 
); 
 – изменение внешней кинетической энергии рабочего 

тела (располагаемая работа). При выводе этого уравнения не учитывалось 
влияние гравитационных сил, а также считалось, что газом не совершается 
так называемая техническая работа. 
Изменение кинетической энергии рабочего тела может происходить 
как в трубах постоянного сечения, так и в специальных каналах 
переменного сечения, называемых соплами и диффузорами. Если при 
перемещении газа по каналу происходит его расширение с уменьшением 
давления и увеличением скорости, то такой канал называется 
соплом. Если в канале происходит сжатие рабочего тела с увеличением 

2
/
2
dw
ld
du
dq
+
¢
+
=

dq
du

ld ¢

dl
2
2
dw

его давления и уменьшением скорости, то такой канал называется диффузором. 


1 . 2 .  Р а б о т а  п р о т а л к и в а н и я .  Д а л ь н е й ш е е  
р а з в и т и е  у р а в н е н и я  п е р в о г о  з а к о н а  
т е р м о д и н а м и к и  д л я  п о т о к а  г а з а  и л и  п а р а

Определим величину работы против внешних сил, или работу 

проталкивания 
. При выводе уравнения принимаются определенные 
условия истечения. Осуществляется условие неразрывности струи, 
т. е. через любое поперечное сечение канала в единицу времени протекает 
одинаковая масса рабочего тела: 

, 
(1.2) 

где 
– площади поперечного сечения канала;
 – скорости 
рабочего тела; 
 – удельные объемы. 
Течение газа по каналу осуществляется без подвода и отвода 
теплоты, т. е. является адиабатным. 

В каждом поперечном сечении канала скорость 
, давление р, 
температура 
 и другие параметры рабочего тела постоянны по сечению 
канала, т. е. имеют во всех точках плоскости, перпендикулярной 
к оси трубы, одинаковое значение (осредненные величины). 

Рассматривается установившееся движение, называемое стаци-

онарным. При этом величины 
 могут меняться по длине канала, 
но в каждом сечении, к которому они относятся, не зависят от времени. 
Все величины являются только функцией координат. 
Предположим, что по каналу переменного сечения перемещается 
газ (рис. 1.1). 

Выделим сечениями I–I и II–II элементарную массу газа. В сече-

нии I–I действует сила p . f, а в сечении II–II – сила 
, 

действующая противоположно силе в сечении I–I. Обе силы в сечениях 
I–I и II–II совершают работу; алгебраическая сумма этих работ будет 
работой, затраченной на проталкивание элементарной массы газа. 

ld ¢

const
w
f
w
f
w
f
m
=
×
=
×
=
×
=
u
u
u
2
2
2
1
1
1

f
f
f
!
2
1,
w
w
w
!
2
1,

u
u
u
!
2
1,

w

T

T
p
w
,
,
,
u

(
) (
)
df
f
dp
p
+
×
+

Элементарную работу проталкивания газа на бесконечно малом пути 
между сечениями I–I и II–II за 1 с находим из уравнения 

. 
(1.3) 

Рис. 1.1. Перемещение газа по каналу переменного сечения 

Раскрывая скобки и отбрасывая бесконечно малые величины 
второго и высшего порядка, получаем 

. 
(1.4) 

Из уравнения (1.2) следует, что 

, 
(1.5) 

где т – секундная масса газа, протекающего через любое сечение канала. 


Заменяя величину 
 в уравнении (1.4) на 
, получаем 

(1.6) 

или 

. 
(1.7) 

Таким образом, элементарная работа проталкивания на единицу 
массы равна 

. 
(1.8) 

(
) (
) (
)
w
f
p
dw
w
df
f
dp
p
ld
×
×
-
+
×
+
×
+
=
¢t

(
)
dp
w
f
fw
d
p
ld
×
×
+
×
=
¢t

w
f
m
×
=
×u

w
f ×
u
×
m

(
)
dp
d
p
m
ld
×
+
×
=
¢
u
u
t

(
)
u
t
×
×
=
¢
p
d
m
ld

(
)
u
t
×
=
¢
p
d
ld

Уравнение первого закона термодинамики в дифференциаль-

ной форме для потока газа принимает вид 

 
 
(1.9) 

или 

 
. 
(1.10) 

Величина в скобках 
 является энтальпией, следова-

тельно, 

 
 
(1.11) 

или 

 
. 
(1.12) 

Уравнение (1.11) показывает, что подведенная теплота в про-

цессе при течении газа (или пара) расходуется на изменение внутренней 
энергии, работу проталкивания и изменение внешней кинетической 
энергии рабочего тела или подведенная теплота при течении газа расходуется 
на изменение его энтальпии и внешней кинетической энергии. 

Когда 1 кг движущегося газа или пара совершает полезную ра-

боту 
 (техническую) над внешним объектом, и в нем изменяется по-

тенциальная энергия положения (
 – пьезометрическая высота), то 

закон сохранения энергии приводит к следующему уравнению: 

 
, 
(1.13) 

или в дифференциальной форме 

 
. 
(1.14) 

Полученное уравнение справедливо как для обратимых, так 

и для необратимых (происходящих с трением) процессов. Действительно, 
при наличии трения должна затрачиваться работа трения 
, 

(
)
2
2
dw
p
d
du
dq
+
×
+
=
u

(
)
2
2
dw
p
u
d
dq
+
×
+
=
u

(
)
u
×
+ p
u

2
2
dw
di
dq
+
=

(
)
2
1

2
2
1
2
w
w
i
i
q
-
+
-
=

тl

1z
z -

(
) (
)
(
)
1
т

2
2
2

2
1
1
2
2
z
z
g
l
q
w
i
w
i
-
×
-
-
=
+
-
+

dz
g
dl
dq
dw
di
×
-
-
=
+
т

2 2

тр
l