Методы расчёта строительных конструкций: теория и задачи с реализацией в программном комплексе Scilab

МЕТОДЫ РАСЧЁТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ
 КОНСТРУКЦИЙ

ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ С РЕАЛИЗАЦИЕЙ 

В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ SCILAB

Б.А. ТУХФАТУЛЛИН
A.M. ЧЕРНЯК

Рекомендовано 

Учебно-методическим советом ВО 

в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по укрупненной группе специальностей 

08.00.00 «Техника и технологии строительства»

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
Т91

Тухфатуллин Б.А.

Т91 
 
Методы расчёта строительных конструкций: теория и задачи с реа-

лизацией в программном комплексе Scilab : учебное пособие / Б.А. Тух-
фатуллин, A.M. Черняк. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 124 с. — (Высшее 
образование).

ISBN 978-5-16-018835-5 (print)
ISBN 978-5-16-107239-4 (online)
В учебном пособии рассмотрены основные положения метода конеч-

ных элементов для расчета плоских стержневых систем, элементы которых 
работают на растяжение-сжатие и изгиб. Приведены тексты программ, 
реализующие изложенные в пособии алгоритмы в открытой среде разработки 
прикладных программ для инженерных и научных расчетов Scilab.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначено для бакалавров профилей подготовки: «Промышлен-

ное и гражданское строительство», «Инженерно-сметная деятельность 
в строительстве», для студентов специальности «Строительство уникальных 
зданий и сооружений» специализации «Строительство высотных 
и большепролетных зданий и сооружений», а также магистрантов программы «
Конструктивные расчеты в SCAD Office и информационное моделирование 
конструкций зданий и сооружений (BIM)».

УДК 624.04(075.8)

ББК 38.112я73

Р е ц е н з е н т ы:

Малёткин О.Ю., кандидат технических наук, главный инженер 

проектов ООО «ПКБ ТДСК»;

Путеева Л.Е., кандидат технических наук, доцент кафедры «Стро-

ительная механика» Томского государственного архитектурно-строительного 
университета

ISBN 978-5-16-018835-5 (print)
ISBN 978-5-16-107239-4 (online)

© Тухфатуллин Б.А., Черняк A.M., 

2019

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
Введение...................................................................................... ..4 
1. Расчёт стержня, работающего на растяжение-сжатие...... ..7 

1.1. Матрица жёсткости КЭ постоянного сечения................ ..7 
1.2. Примеры расчёта.............................................................. ..9 
1.3. Матрица жёсткости КЭ линейно-переменного 
по длине сечения......................................................................25 
1.4. Пример расчёта. Анализ результатов...............................28 
1.5. Расчёты стержней постоянного и переменного 
сечения в программном комплексе Scilab ..............................32 

2. Расчёт балок постоянного и переменного сечения ............42 

2.1. Матрица жёсткости изгибаемого стержня.......................42 
2.2. Пример расчёта .................................................................50 
2.3. Учёт внеузловой нагрузки ................................................55 
2.4. Пример расчёта двухпролётной балки .............................59 
2.5. Расчёт балки в программном комплексе Scilab ...............67 

3. Расчёт плоских стержневых систем..........................................72 

3.1. Матрицы жёсткости стержней, работающих 
на растяжение-сжатие и изгиб ................................................72 
3.2. Матрицы направляющих косинусов ................................75 
3.3. Примеры расчёта...............................................................79 
3.4. Scilab-программа для расчёта плоских стержневых 
систем по МКЭ.......................................................................106 

4. Словарь терминов и определений МКЭ............................119 
5. Заключение............................................................................122 
Библиографический список....................................................123 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Метод конечных элементов (МКЭ) предназначен для ав-

томатизированного расчёта конструкций [1, 3 − 6]. МКЭ первоначально 
появился в строительной механике в начале пятидесятых 
годов ХХ века; в последующие десятилетия метод развивался, 
получил широкое распространение, и начал применяться 
не только для расчёта конструкций, но и для решения задач математической 
физики. 

МКЭ основан на дискретизации исходной схемы, т. е. ус-

ловном расчленении её на конечные элементы (КЭ), взаимодействующих 
между собой в узловых точках или просто узлах. 
Дискретная схема представляет собой набор конечных элементов (
КЭ). В МКЭ набор КЭ называют ансамблем, моделирующим 
геометрию конструкции. Замена исходной конструкции 
совокупностью дискретных элементов подразумевает равенство 
энергий конструкции и её дискретной модели. 

Для стержневых конструкций, которые уже состоят из от-

дельных элементов с дискретным сочленением их между собой, 
дискретная модель адекватна исходной конструкции. Соблюдение 
энергетического баланса ведет к получению дискретной модели, 
точно описывающей поведение исходной конструкции. 
Это значит, что расчёт стержневых систем по МКЭ даёт точный 
результат. 

В континуальных конструкциях типа панелей, пластин, 

оболочек 
и 
т. п. 
КЭ 
являются 
также 
континуальными 

и в реальной конструкции сопрягаются со смежными элементами 
непрерывно по линии контакта. При построении дискретной 
модели мы вынуждены делать некоторые предположения о характере 
силового и кинематического взаимодействия между 
смежными элементами. В этом случае дискретная модель будет 
лишь приближенно отражать поведение исходной конструкции. 
Характер взаимодействия между элементами должен быть вы-

бран таким, чтобы уменьшение размеров КЭ приводило к решению, 
стремящемуся к точному значению. 

При выполнении условий сопряжения КЭ в узлах возмож-

ны три варианта. В первом варианте за неизвестные принимают 
перемещения в узлах, а для их определения используют уравнения 
равновесия узлов. Это вариант МКЭ в форме метода перемещений. 
Во втором варианте за неизвестные принимаются усилия, 
для определения которых используются условия неразрывности 
деформаций и перемещений  в узлах. Это вариант МКЭ 
в форме метода сил. В третьем варианте за неизвестные принимают 
как перемещения, так и усилия КЭ в узлах, а для их определения 
используют уравнения равновесия и условия неразрывности 
деформаций и перемещений. Такой вариант приводит 
к МКЭ в смешанной форме. 

Наибольшее распространение получил МКЭ в форме ме-

тода перемещений. Этот вариант и будет рассматриваться в данном 
учебном пособии. В каждом узле дискретной схемы может 
быть как одно, так и несколько неизвестных перемещений. Каждое 
неизвестное перемещение в МКЭ называют степенью свободы. 
Если в каждом узле m  степеней свободы, а дискретная 
модель конструкции имеет n  узлов, то общее число степеней 
свободы всей системы равно 
n
m
s
⋅
=
, для отыскания которых 

следует составить s  уравнений равновесия. 

Количество степеней свободы в узле зависит от мерности 

пространства (одно-, двух-, трех) КЭ и вида деформации конструкции 
при внешнем воздействии. Например, в стержне, подверженном 
продольной деформации, в каждом узле дискретизации 
имеется только одна степень свободы – перемещение вдоль 
оси стержня, а в узле изгибаемой пластины три степени свободы – 
прогиб и два угла поворота. 

Составление уравнений равновесия узлов в автоматизиро-

ванном режиме проводится поэлементным способом, для реализации 
которого необходимо знать усилия, возникающие в уз-

лах КЭ от их принудительных смещений по направлениям степеней 
свободы. Связь между усилиями в узлах КЭ и перемещениями 
его узлов выражается матрицей жёсткости КЭ. В соответствующих 
разделах пособия приведены матрицы жёсткости 
для простейших случаев продольной и изгибной деформации 
стержня, в том числе с переменными вдоль длины элемента размерами 
поперечного сечения. 

В каждом разделе учебного пособия решён ряд примеров, 

иллюстрирующих основные этапы МКЭ при расчёте плоских 
стержневых систем, работающих на растяжение-сжатие и (или) 
изгиб. Даже из рассмотрения этих элементарных с точки зрения 
практики примеров очевидно, что МКЭ совершенно не предназначен 
для «ручных» расчётов и при небольшом количестве неизвестных 
проигрывает классическим методам строительной 
механики. Все преимущества МКЭ проявляются в случае его 
программной реализации, где в настоящее время ему нет альтернативы. 


В первую очередь по этой причине каждый раздел пособия 

завершается параграфом, в котором изложенные алгоритмы 
МКЭ реализованы в программной среде Scilab [2]. Scilab – бесплатное 
программное обеспечение с открытым исходным кодом 
для численного решения различных инженерных и научных задач. 
Загрузить дистрибутив программной среды Scilab можно 
непосредственно с сайта разработчиков по адресу: 

– https://www.scilab.org/en/download/6.0.1. 
Scilab имеет встроенный язык программирования высоко-

го уровня, а так же большое число функций для решения задач 
линейной алгебры, математической статистики, оптимизации, 
моделирования систем в различных областях инженерного анализа. 
Инструкции по работе в Scilab можно найти по адресам: 

– https://www.scilab.org/en/resources/documentation/tutorials; 
– http://www.openeering.com/scilab_tutorials. 
 

1. РАСЧЁТ СТЕРЖНЯ, РАБОТАЮЩЕГО 

НА РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ 

 
1.1. Матрица жёсткости КЭ постоянного сечения 
 
Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, 

подверженного растяжению-сжатию. Выделим из стержня КЭ 
длиной 
.l  Пусть ось КЭ совпадает с координатной осью 
,x  

а начальное и конечное сечение имеют индексы «н» и «к» соответственно (
рис. 1.1, а). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1.1 

 

Деформации растяжения-сжатия КЭ соответствуют про-

дольные перемещения Z  сечений «н» и «к», положительные 
направления которых совпадают с направлением оси .x  Принудительные 
перемещения Z  сечений «н» и «к» приводят к возникновению 
в этих сечениях сил r , положительное направление 
которых показано на рис. 1.1, б. Усилия r  имеют два индекса: 
первый указывает сечение, в котором возникает сила; 
второй индекс – сечение, к которому приложено перемещение. 

Установим связь между перемещениями Z  и усилиями r  

в сечениях «н» и «к» КЭ. Зададим сечению «н» принудительное 

а 
б 

в 
г 

y

l  

н

x

к
нr  
н
Z  
кr  
к
Z  

l  

н
Z  

нн
r
 
кн
r
 

к
Z  

нк
r
 

кк
r
 

l  

перемещение 
;
н
Z
 сечение «к» при этом остаётся неподвижным 

(рис. 1, в). Следовательно, перемещение 
н
Z  является продоль-

ной деформацией стержня l , которая связана с внешней нагрузкой 
формулой сопротивления материалов 

ЕА
Fl
l =
Δ
 или 
.l
l
Δ
=
= ЕА
F
                       (1.1) 

В нашем случае 
,
нн
r
F =
 а 
.
н
Z
=
Δl
 Тогда из (1.1) 

.
н
нн
Z
ЕА
r
l
=
                                     (1.2) 

Из условий равновесия очевидно, что 

.
н
нн
кн
Z
ЕА
r
r
l
−
=
−
=
                              (1.3) 

Если задать принудительное перемещение 
н
Z  сечению «к» 

(рис. 1, г), то аналогично предыдущему случаю получим: 

к
кк
Z
ЕА
r
l
=
,                                     (1.4) 

к
кк
нк
Z
ЕА
r
r
l
−
=
−
=
.                            (1.5) 

Введём для перемещений и для усилий соответствующие 

векторы: 

[
] ,

Т

к
н
Z
Z
Z =
 
[
] .

Т

к
н
r
r
r =
                     (1.6) 

Здесь верхний индекс «т» обозначает транспонирование. 

На основании формул (1.2) – (1.5) векторы усилий и перемещений 
связаны следующим образом 

,

к

н

кк
кн

нк
нн

к

н
⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥
⎥
⎥

⎦

⎤

⎢
⎢
⎢

⎣

⎡

−

−

=
⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡
=
⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡
=
Z

Z

ЕА
ЕА

ЕА
ЕА

r
r

r
r

r

r
r

l
l

l
l
        (1.7) 

или 
.
Z
r
r

r

⋅
=
 Здесь r  – матрица жёсткости стержня постоян-

ного сечения, работающего на растяжение-сжатие 

.

⎥
⎥
⎥

⎦

⎤

⎢
⎢
⎢

⎣

⎡

−

−

=

l
l

l
l

ЕА
ЕА

ЕА
ЕА

r
                                  (1.8) 

В (1.8) каждый элемент r  имеет смысл силы в узле i  от 

единичного принудительного перемещения узла 
.j  Обращаем 

внимание читателя на различие знаков для усилий, принятых 
в МКЭ и строительной механике. Чтобы установить соотношение 
знаков, рассмотрим равновесие части КЭ (рис. 1.2). 
 
 
 

Рис. 1.2 

 

Из равновесия левой части КЭ 

.
нr
N
−
=
                                         (1.9) 

Из равновесия правой части 

.
кr
N =
                                     (1.10) 

Полученная матрица жёсткости (1.8) может использовать-

ся для расчёта стержневых конструкций, в которой стержни 
подвергаются только растяжению-сжатию. Соотношения (1.9) 
и (1.10) используются для определения внутренних сил N  в КЭ 
при известных силах r  в узлах. 

 
1.2. Примеры расчёта 
 
Пример 1.1. Требуется определить с помощью МКЭ внут-

ренние силы, деформации и перемещения в стержне (рис. 1.3, а). 
Данные для расчёта: 
м;
0,1
=
a
 
м;
8,0
=
b
 
м;
5,0
=
c
 
const.
=
E
 

Для решения задачи по МКЭ используем рассмотренный 

выше КЭ. Стержень имеет три участка с постоянной жёсткостью 
на каждом. Назначим для расчёта четыре узла 1, 2, 3, 4 

нr  
N  
N  
кr  

и три КЭ: 1, 2, 3 (рис. 1.3, б). Под действием силы F  элементы 
будут деформироваться, и узлы получат продольные перемещения 
,

1
Z  
,
2
Z
 
,
3
Z
 
.
4
Z  

Для отыскания неизвестных следует составить четыре 

уравнения равновесия сил в узлах. Обращаем внимание на то, 
что порядок системы уравнений равновесия равен числу степеней 
свободы дискретной модели конструкции и может быть определён 
сразу после дискретизации. Поэтому в автоматизированном 
варианте МКЭ составляется полная система уравнений 
равновесия, не обращая внимания на опорные связи. Учёт последних 
производится внесением корректив в систему уравнений. 
Составление системы уравнений проводится одновременно 
для матрицы коэффициентов при неизвестных, которую называют 
матрицей жёсткости всей конструкции и обозначают 
,
R  

и для вектора свободных членов, который обозначают 
.
F  

 
 
 

 

 

 

 

 
 

Рис. 1.3. 

 

Один из способов формирования матрицы R  поэлемент-

ный. Суть этого способа в том, что матрица R  формируется не 
по строкам или столбцам, а по всему полю сразу. Последовательно 
просматриваются КЭ ансамбля, и матрица жёсткости 

а 

б 

F

A
3
 

x  

a
b  
c

A
2
A

1

x

1
2
3  

2
3  
4

элемента r  разносится в ячейки матрицы жёсткости всей конструкции 
.

R  Завершив просмотр всех КЭ, заканчиваем форми-

рование матрицы .
R  

Для определения ячейки матрицы 
,
R  в которую следует 

поместить элемент матрицы КЭ 
,r  руководствуются следую-

щим. Каждому неизвестному перемещению Z соответствует i -я 
строка, i -й столбец и ii -я ячейка на главной диагонали матрицы 
.

R  Далее устанавливается соответствие между глобальной 

(для всей конструкции) и местной (для данного КЭ) нумерациями 
перемещений. Затем последовательно берутся элементы из 
матрицы r  и вносятся в соответствующие ячейки матрицы 
.
R  

Причём, элементы с главной диагонали r  вносятся в ячейки на 
главной диагонали 
,
R  а с побочной – в побочную ячейку 

в матрице .
R  

Применим изложенный способ для формирования матри-

цы 
.
R  Для определенности будем считать, что в КЭ начало «н» 

примыкает к узлу с меньшим номером, а конец «к» – к узлу 
с большим номером. 

КЭ № 1. Матрица жёсткости 
)
1
(r
 имеет вид 

.
)
1(

кк

)
1
(
кн

)
1(

нк

)
1
(
нн
)
1(
⎥
⎦

⎤

⎢
⎣

⎡
=

r
r

r
r
r
                                  (1.11) 

Начало КЭ № 1 примыкает к узлу № 1, а конец – к узлу 

№ 2. Поэтому разносим элементы матрицы r  в следующие 
ячейки матрицы
:
R  

)1
(
нн
r
 – в ячейку на главной диагонали узла № 1; 

)1
(
кк
r
 – в ячейку на главной диагонали узла № 2; 

)1
(
нк
r
 – в ячейку на пересечении 1-й строки и 2-го столбца; 

)1
(
кн
r
 – в ячейку на пересечении 2-й строки и 1-го столбца. 

КЭ № 2. Начало этого элемента находится в узле № 2, 

а конец – в узле № 3. Поэтому его матрица жёсткости