Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика : задачник

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Казанский национальный исследовательский

технологический университет

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Контрольные задания

Динамика

Задачник

Казань

Издательство КНИТУ

2022

УДК 531(076)
ББК 22.21я7

Т33

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Д. В. Бережной

д-р техн. наук, проф. Б. А. Снигерев

Составители: 

Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин

Т33

Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика
: 

задачник / сост.: Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2022. – 80 с.

ISBN 978-5-7882-3132-7

Представлены материалы для подготовки к контрольным работам по 

теоретической механике, раздел «Динамика». 

Предназначен для студентов механических и технологических 

направлений подготовки всех форм обучения.

Подготовлен на кафедре теоретической механики и сопротивления 

материалов.

ISBN 978-5-7882-3132-7
© Гумерова Х. С., Сагдатуллин М. К., 2022
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2022

УДК 531(076)
ББК 22.21я7

2

В В Е Д Е Н И Е

Теоретическая механика – одна из важнейших физико-математических 
дисциплин, предусмотренных учебными планами инженеров 
различных специальностей. На базовых принципах и законах теоретической 
механики базируются многие общеинженерные дисциплины, 
такие как сопротивление материалов, теория машин и механизмов, 
детали машин и т. д.  
Особое место в предложенном курсе отводится упражнениям 
и контролю усвоения практических навыков. Поскольку решение 
примеров и задач – один из наиболее эффективных способов оценки 
уровня знаний, данное пособие рекомендуется для проверки текущей 
успеваемости студентов.  
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для 
аудиторных контрольных работ, предлагаемых студентам технологических 
и механических специальностей при изучении дисциплины 
«Теоретическая механика», раздел «Динамика». Здесь приведены основные 
понятия, законы, уравнения и принципы механики, а также задачи, 
основанные на предлагаемом теоретическом материале. Решение 
задач, включенных в методическое пособие, не требует особых искусственных 
приемов или сложных математических преобразований. 

3

1 . Д И Н А М И К А

1 . 1 .  З а к о н ы  д и н а м и к и

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается 

движение материальных тел под действием сил. Материальными объектами 
в динамике являются материальная точка (точка, обладающая 
массой), абсолютно твердое тело и механическая система материальных 
точек или тел. При изучении движения тел в динамике, в отличие 
от кинематики, принимают во внимание как действующие на них 
силы, так и инертность самих материальных тел. Количественной мерой 
инертности тела является масса m тела. В классической (теоретической) 
механике масса тела предполагается величиной скалярной, 
положительной, постоянной и не зависящей от скорости тела. В основу 
динамики положены законы Галилея–Ньютона, являющиеся 
обобщением практической деятельности человека и проверяемые на 
опыте. Законы динамики описывают механическое движение материальных 
тел по отношению к неподвижным осям и инерциальным 
осям. Инерциальные оси движутся относительно неподвижных осей 
поступательно, равномерно и прямолинейно. При движении многих 
задач техники оси, связанные с Землей, считают неподвижными. 

Первый закон динамики (закон инерции): материальная точка, 

изолированная от действия каких-либо других тел, сохраняет относительно 
неподвижной системы отсчета состояние покоя или равномерного 
прямолинейного движения. В этих случаях ускорение 
точки равно нулю. Такое кинематическое состояние точки называется 
инерциальным, а ускорение точки равно нулю.

Второй (основной) закон динамики: произведение массы мате-

риальной точки на ускорение, которое она получает под действием 
силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает 
с направлением силы:

𝑚𝑎̄ = 𝐹̄.
(1.1)

На основании второго закона динамики устанавливается связь 

между массой тела и его весом: 

𝑚𝑔 = 𝑃,
(1.2)

где 𝑔 = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения.

При одновременном действии на точку нескольких сил 
kF урав-

нение, выражающее основной закон динамики в векторной форме,  
принимает следующий вид:

𝑚

𝑑2𝑟̄

𝑑𝑡2 = ∑
𝐹𝑘

__

𝑛
𝑘=1
.              
(1.3)

Проектируя обе части равенства (1.3) на оси 
z
y
x
,
,
, получим

𝑚𝑥̈ = ∑
𝐹𝑘𝑥

𝑛
𝑘=1
,      𝑚𝑦̈ = ∑
𝐹𝑘𝑦

𝑛
𝑘=1
,      𝑚𝑧̈ = ∑
𝐹𝑘𝑧

𝑛
𝑘=1
.      (1.4)

Уравнения (1.4) являются дифференциальными уравнениями 

движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

Аналогично получим дифференциальные уравнения движения 

точки в проекциях на естественные оси:

𝑚𝑠̈ = ∑
𝐹𝑘𝜏

𝑛
𝑘=1
,       𝑚

𝜐2

𝜌 = ∑
𝐹𝑘𝑛

𝑛
𝑘=1
,       0 = ∑
𝐹𝑘𝑏

𝑛
𝑘=1
,   (1.5)

где 𝑠̈ = 𝜐̇ = 𝑎𝜏 − касательное ускорение; 𝜐2/𝜌 = 𝑎𝑛− нормальное 
ускорение.

Третий закон динамики: всякое действие вызывает равное 

и прямо противоположное противодействие.

1 . 2 . Д в е  о с н о в н ы е  з а д а ч и  д и н а м и к и  т о ч к и

Первая задача динамики точки: зная закон движения точки, 

найти действующую на точку силу. Если заданы уравнения движения 
точки в координатной форме 𝑥 = 𝑓1(𝑡),𝑦 = 𝑓2(𝑡),𝑧 = 𝑓3(𝑡) или 
в естественной форме 𝑠 = 𝑓(𝑡), то путем дифференцирования можно 
найти составляющие ускорения точки, а затем, используя второй закон 
динамики, определить действующую на точку силу.

Вторая задача динамики точки: зная приложенные к точке 

силы, определить закон движения точки. Вторую задачу динамики 
рекомендуется решать в следующем порядке:

1) выбрать систему координат;
2) записать начальные условия движения точки;
3) изобразить на рисунке точку, смещенную относительно 

начала координат; 

4) изобразить на рисунке приложенные к точке силы;
5) составить дифференциальные уравнения движения точки;
6) проинтегрировать систему дифференциальных уравнений;

7) определить постоянные интегрирования через начальные 

условия, найти искомые величины.

Так как силы, действующие на точку, могут быть постоянными, 

зависящими от времени, скорости или координаты, то дифференциальные 
уравнения следует преобразовать к уравнениям с разделенными 
переменными.

1 . 3 .  В в е д е н и е  в  м е х а н и к у  с и с т е м ы

Систему материальных точек или тел, движение которой рас-

сматривается,  называют механической системой. В статике действующие 
на механическую систему силы разделяют на активные 𝐹̄ 𝑎 и реакции 
связей 𝑁̄ . В динамике разделяют силы на внешние 𝐹̄ 𝑒 и внутренние 
𝐹̄ 𝑖 (индексы e и i от лат. exterior – внешний и interior – внутренний). 
Внешними называют силы, действующие на точки системы 
со стороны точек или тел, не входящих в состав данной механической 
системы. Внутренними называют силы, с которыми точки или тела 
данной системы действуют друг на друга.

Отметим два свойства внутренних сил:
1. Главный вектор всех внутренних сил равен нулю (𝑅̄ 𝑖 = 0). Вы-

берем две произвольные точки 𝐾1, 𝐾2 механической системы и некоторый 
неподвижный центр О (рис. 1.1). Силы взаимодействия этих 
точек обозначим через 𝐹̄1

𝑖 и 𝐹̄2

𝑖. Согласно аксиоме о равенстве дей-

ствия противодействию 𝐹̄1

𝑖 = −𝐹̄2

𝑖, или 𝐹̄1

𝑖 + 𝐹̄2

𝑖 = 0. Рассуждая анало-

гично, для всех точек системы получим

𝑅̄ 𝑖 = ∑
𝐹̄𝑘

𝑖 = 0.
𝑛
𝑘=1
(1.6)

2. Главный момент всех внутренних сил механической системы 

относительно произвольного центра равняется нулю (𝑀̄ 𝑜𝑖 = 0). 
Найдем сумму моментов сил 𝐹̄1

𝑖и 𝐹̄2

𝑖 относительно центра О. По опре-

делению 𝑚̄ 𝑜(𝐹̄) = [𝑟̄ × 𝐹̄] с учетом того, что 𝐹̄1

𝑖 = −𝐹̄2

𝑖, получаем

𝑚
__

𝑜(𝐹̄1

𝑖) + 𝑚

__

𝑜(𝐹̄𝑖2) = [𝑟̄1 × 𝐹̄1

𝑖] + [𝑟̄2 × 𝐹̄2

𝑖] = [𝑟̄1 × 𝐹̄1

𝑖] − [𝑟̄2 × 𝐹̄1

𝑖] =

= [(𝑟̄1 − 𝑟̄2) × 𝐹̄1

𝑖] = [𝐾2𝐾1

______

× 𝐹̄1

𝑖],

Рис. 1.1

где 𝑟̄1 и 𝑟̄2 – радиус-векторы точек 𝐾1 и 𝐾2 (рис. 1.1). Векторы 𝐾2𝐾1

______

и 𝐹̄1

𝑖 направлены по одной линии, поэтому их векторное произведение

[𝐾2𝐾1

______

× 𝐹̄1

𝑖] = 0. Следовательно, 𝑚̄ 𝑜(𝐹̄1

𝑖) + 𝑚̄ 𝑜(𝐹̄2

𝑖) = 0. Для всех то-

чек системы

𝑀̄ 𝑜𝑖 = ∑
(𝐹̄𝑘

𝑖)
𝑛
𝑘=1
= 0.
(1.7)

1 . 4 . Ц е н т р  м а с с  с и с т е м ы

Масса механической системы равна арифметической сумме 

масс всех точек или тел, образующих систему:

𝑀 = ∑
𝑚𝑘

𝑛
𝑘=1
.         
(1.8)

Для тел, находящихся вблизи поверхности Земли, вес матери-

альных точек или тел: 𝑃𝑘 = 𝑚𝑘𝑔. Представим формулы, определяющие 
координаты центра тяжести тела, в следующем виде:

𝑥𝐶 =

∑
𝑚𝑘𝑥𝑘

𝑛
𝑘=1

𝑀
;       𝑦𝐶 =

∑
𝑚𝑘у𝑘

𝑛
𝑘=1

𝑀
;      𝑧𝐶 =

∑
𝑚𝑘𝑧𝑘

𝑛
𝑘=1

𝑀
.    
(1.9)

В полученные формулы входят массы 
k
m материальных точек, 

образующих тело или механическую систему, координаты 𝑥𝑘, 𝑦𝑘, 𝑧𝑘
материальных точек, масса М системы и координаты 𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶 точки
С. Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (
1.9), называется центром масс или центром инерции механической 
системы, а оси с началом в точке С – центральными осями.

Таким образом, при расчетах можно считать, что центр масс совпадает 
с центром тяжести механической системы.

Формулы (1.9) эквивалентны одному векторному выражению:

𝑟̄𝐶 =

∑
𝑚𝑘𝑟̄𝑘

𝑛
𝑘=1

𝑀
⇒ 𝑀𝑟̄𝐶 = ∑
𝑚𝑘

𝑛
𝑘=1
𝑟̄𝑘,       
(1.10)

где 𝑟̄𝑘 − радиус-вектор, определяющий положение 𝑘 -й точки; 𝑟̄𝐶 − радиус-
вектор, определяющий положение центра масс механической 
системы.

1 . 5 . Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е  у р а в н е н и я  д в и ж е н и я

м е х а н и ч е с к о й  с и с т е м ы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из 𝑛 материаль-

ных точек. Выберем произвольную точку 𝐾 системы. На нее действуют 
внешние и внутренние силы. Равнодействующие этих сил: 𝐹̄𝑘

𝑒

и 𝐹̄𝑘

𝑖 (рис. 1.2). 

Рис. 1.2

Второй закон Ньютона для всех точек системы записывается 

в следующем виде: ∑
𝑚𝑘𝑎̄𝑘 = ∑
𝐹̄𝑘

𝑒 + ∑
𝐹̄𝑘

𝑖
𝑛
𝑘=1

𝑛
𝑘=1

𝑛
𝑘=1
. Учитывая свой-

ство внутренних сил
(1.6), получим дифференциальное уравнение 

движения механической системы в векторной форме:

∑
𝑚𝑘𝑎̄𝑘 = ∑
𝐹̄𝑘

𝑒
𝑛
𝑘=1

𝑛
𝑘=1
или
∑
𝑚𝑘

𝑑2𝑟̄𝑘
dt2 =
𝑛
𝑘=1
∑
𝐹̄𝑘

𝑒
𝑛
𝑘=1
.         (1.11)

В проекциях на оси координат это уравнение будет иметь вид

∑
𝑚𝑘

𝑑2𝑥𝑘
dt2 =
𝑛
𝑘=1
∑
𝐹𝑘𝑥

𝑒
𝑛
𝑘=1
,

∑
𝑚𝑘

𝑑2𝑦𝑘
dt2 =
𝑛
𝑘=1
∑
𝐹𝑘𝑦

𝑒
𝑛
𝑘=1
, .
(1.12)

∑
𝑚𝑘

𝑑2𝑧𝑘
dt2 =
𝑛
𝑘=1
∑
𝐹𝑘𝑧

𝑒
𝑛
𝑘=1
.

1 . 6 . Т е о р е м а  о  д в и ж е н и и  ц е н т р а  м а с с

Дважды продифференцировав по времени уравнение (1.10), 

находим 𝑀

𝑑2𝑟̄𝐶
𝑑𝑡2 = ∑
𝑚𝑘

𝑑2𝑟̄𝑘
dt2

𝑛
𝑘=1
или  𝑀𝑎̄𝐶 = ∑
𝑚𝑘𝑎̄𝑘

𝑛
𝑘=1
. С учетом

(1.11) получим

𝑀𝑎̄𝐶 = ∑
𝐹̄𝑘

𝑒
𝑛
𝑘=1
.                                      (1.13) 

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс 

равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил.
По внешнему виду это уравнение напоминает уравнение движения
точки. Отличие состоит в том, что материальной точкой центр масс 
не является. Поэтому теорема о движении центра масс системы
формулируется следующим образом: центр масс механической системы 
движется как материальная точка, к которой приложены 
действующие на систему все внешние силы, а масса точки равна 
массе всей системы.

Из уравнения (1.13) следует, что движение центра масс воз-

можно только при наличии внешних сил, внутренние же силы не 
могут изменить положения центра масс. Внутренние силы иногда 
являются причиной появления внешних сил. Например, внутренняя 
сила, приводящая в движение ведущее колесо автомобиля, вызывает 
действие на колесо внешней силы сцепления с дорогой, которая «
толкает» автомобиль. Если дорогу принять за абсолютно гладкую 
плоскость, то сила сцепления равна нулю, а колесо будет двигаться 
таким образом, что его центр масс останется неподвижным 
(явление пробуксовки).

Отметим, что уравнение (1.13) является также дифференциаль-

ным уравнением поступательного движения твердого тела. Действительно, 
при поступательном движении ускорения всех точек в каждый 

момент времени одинаковы и, следовательно, равны ускорению центра 
масс тела, которое определяется теоремой о движении центра масс.

Рассмотрим частные случаи. 
1) Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна 

нулю: ∑
𝐹̄𝑘

𝑒
𝑛
𝑘=1
= 0. Тогда из уравнения (1.13) следует, что 𝑎̄𝐶 = 0

и 𝜐̄𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Следовательно, при отсутствии внешних сил центр масс 
системы движется прямолинейно и равномерно.

2) Если при отсутствии внешних сил в начальный момент вре-

мени центр масс был в покое, то он и останется в покое:

∑
𝐹̄𝑘

𝑒
𝑛
𝑘=1
= 0, 𝜐̄𝐶(0) = 0
⇒
𝜐̄С(𝑡) = 0.

1 . 7 . М о м е н т ы  и н е р ц и и

Движение механической системы зависит не только от массы 

тела, но и от момента инерции. Момент инерции есть мера инертности 
при вращательном движении тела. Осевой момент инерции относительно 
оси z равен сумме произведений массы 
k
m
каждой точки си-

стемы на квадрат ее расстояния до оси (рис. 1.3):

𝐼𝑧 = ∑
𝑚𝑘ℎ𝑘𝑧

2
𝑛
𝑘=1
.                                     (1.14)

Из определения следует, что осевой момент инерции тела или системы 
относительно любой оси является величиной положительной.

Рис. 1.3
Рис. 1.4

По теореме Пифагора ℎ𝑘𝑧

2 = 𝑥𝑘

2 + 𝑦𝑘

2,  следовательно