Прикладная теория удара

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.А. Велданов

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА

Допущено учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по специальности
«Средства поражения и боеприпасы» направления
подготовки дипломированных специалистов
«Оружие и системы вооружения»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 531.58(075.8)
ББК 22.213
В27

В27

Рецензенты: А.Н. Чуков, М.С. Воротилин, Н.А. Гладков

Велданов В.А.
Прикладная теория удара : учеб. пособие / В.А. Велданов. –
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 42, [2] с. : ил.

Рассмотрены физическая модель, математическая постановка, ал-
горитм и экспериментально-теоретические инженерные методики ре-
шения на персональном компьютере задачи проникания недеформи-
руемых тел в грунты и горные породы и задачи проникания дефор-
мируемых срабатывающихся ударников в металлические преграды.
Для студентов 4-го и 5-го курсов, обучающихся по специальности
«Средства поражения и боеприпасы», изучающих дисциплины «Дей-
ствие средств поражения и боеприпасов», «Проектирование средств
поражения и боеприпасов», «Основы конечной баллистики». Посо-
бие также может быть использовано при проведении практических
занятий и лабораторных работ.

УДК 531.58(075.8)
ББК 22.213

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Для проектирования изделий проникающего типа (в дальней-
шем — тел): артиллерийских снарядов, проникающих модулей ра-
кет и космических аппаратов, пулевых перфораторов, применяе-
мых при добыче нефти, пенетраторов для исследования грунтов
Земли и других планет Солнечной системы — требуется знание
характеристик их движения (траектории, скорости, ускорения) при
проникании.
При движении тел в сопротивляющихся средах типа грунта и
бетона имеют место такие особенности, как криволинейность и
пространственность траектории, вращение вокруг продольной и
поперечной осей, изменение осевых и боковых ускорений (пере-
грузок) при проникании. Эти особенности в полной мере могут
быть учтены только при решении уравнений пространственного
движения твердого тела с использованием экспериментальной ин-
формации при определении силового воздействия сопротивляю-
щейся среды на тело.
Высокоскоростному взаимодействию современных бронебой-
ных снарядов с броневыми преградами присущи такие особенно-
сти, как значительная пластическая деформация и срабатывание —
уменьшение массы корпуса в процессе проникания. Эти особен-
ности описываются решением, в основе которого лежит уравне-
ние Бернулли, модифицированное В.П. Алексеевским и А. Тейтом
введением учета прочностных характеристик материала преграды
(динамической твердости и удельной работы вытеснения объема)
и ударника (динамического предела текучести).
С помощью рассматриваемых в пособии методик студенты
должны научиться определять характеристики пространственного
движения недеформируемых тел в преградах типа грунта, а так-
же характеристики проникания деформируемых срабатывающихся
тел в металлические преграды.

3

1. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ПРОНИКАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В СОПРОТИВЛЯЮЩУЮСЯ СРЕДУ

1.1. Особенности процесса взаимодействия тел
с сопротивляющейся средой

Характер движения тел в сопротивляющейся среде во мно-
гом определяется условиями их встречи с ней. Как правило, угол
встречи αv — угол между вектором скорости и нормалью к поверхности 
преграды (рис. 1) — не равен нулю. При этом и угол
нутации δ0 (угол атаки, т. е. угол между вектором скорости и осью
тела) обычно отличается от нуля и не находится в плоскости полета 
тела, а угол ν0 прецессии, определяющий положение плоскости
угла атаки в пространстве, может иметь любые значения в диапазоне 
0◦ . . . 360◦. Условия встречи могут характеризоваться также

Рис. 1. Встреча тела с преградой

4

наличием угловых скоростей нутации, прецессии и собственного
вращения. Таким образом, сопротивление среды в различных точках 
поверхности проникающего тела оказывается неодинаковым.
В результате вектор результирующей силы сопротивления среды
не совпадает с осью симметрии тела, траектория его движения искривляется 
и представляет собой, как правило, пространственную
кривую.
Появление несимметричного распределения сил сопротивления 
по поверхности проникающего тела, а также перемещение к
его вершине точки приложения равнодействующей силы сопротивления 
вследствие инерционного движения среды и образования 
кавитационной полости приводят к развороту тела в среде.
Этот разворот сопровождается появлением ненулевых углов между
осью тела и касательной к траектории (углов атаки при движении
в сопротивляющейся среде) и угловых скоростей вокруг эквато-
риальных осей. На искривление траектории и разворот тела су-
щественно влияет многослойность или разнесенность отдельных
слоев сопротивляющейся среды.

1.2. Физическая модель пространственного проникания

Пространственное проникание тела представляет собой дви-
жение тела с шестью степенями свободы и может быть описано
уравнениями движения твердого тела, записанными для общего
случая.
Движение тела описывается уравнениями движения центра
масс тела C и вращательного движения тела вокруг него:

md⃗VC
dt = ⃗F;
(1..1)

d ⃗KC
dt
= ⃗M,
(1..2)

где m — масса тела; ⃗VC, ⃗KC — скорость центра масс тела C и
его кинетический момент; ⃗F, ⃗M — сила сопротивления среды и ее
момент относительно центра масс тела C.
Для решения уравнений (1.1) и (1.2) воспользуемся следующи-
ми декартовыми системами координат (рис. 2):

5

Рис. 2. Неподвижная и связанная системы координат

OXY Z — неподвижная система с началом координат на по-
верхности преграды;
Cxyz — центральная система, связанная с телом, имеющая на-
чало координат в центре масс тела и ось Cx, совпадающую с осью
симметрии тела.
Система координат OXY Z необходима для определения поло-
жения тела в преграде, система Cxyz — для определения силовых
характеристик со стороны среды при проникании.
Уравнения (1.1) и (1.2) образуют систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, которая может быть решена числен-
ным интегрированием, например, методом Рунге — Кутта. Cиловые
факторы ⃗F и ⃗M, вызванные сопротивлением грунта, определяют
интегрированием выражений нормального σn и касательного τn
удельных сопротивлений прониканию по всей поверхности тела,
учитывая возможность того, что часть поверхности тела может не
иметь контакта со средой:

⃗F =
Sк

(σn⃗n + τn⃗τ)ds,
(1..3)

6

⃗M =
Sк

[⃗ρ, (σn⃗n + τn⃗τ)]ds,
(1..4)

где Sк — площадь поверхности тела, находящейся в контакте с
грунтом; ⃗n, ⃗τ — единичные векторы соответственно нормали и
касательной в рассматриваемой точке поверхности тела; ds — эле-
ментарная площадка в окрестности рассматриваемой точки; ⃗ρ —
радиус-вектор рассматриваемой точки поверхности тела относи-
тельно его центра масс C.
Для определения силовых факторов необходимо знать распре-
деление нормального σn и касательного τn удельных сопротивле-
ний среды по поверхности проникающего тела. Независимо от его
формы удельные сопротивления σn и τn в какой-либо точке его по-
верхности, находящейся в контакте с преградой, являются функци-
ями физико-механических свойств среды и вектора ⃗Vn — проекции
скорости ⃗V (рис. 3) рассматриваемой точки на вектор нормали к
поверхности тела в этой точке. В общем виде эти функции для
большинства грунтов записывают одинаково:

σn = AV 2
n + BVn + C;

τn = μσn,
(1..5)

Рис. 3. Пространственная схема скорости точки поверхности тела и эле-
ментарные силы сопротивления в ее окрестности

7

где A, B, C — коэффициенты, характеризующие способность сре-
ды оказывать сопротивление прониканию; μ — коэффициент тре-
ния материала преграды о корпус тела (см. подразд. 1.3).
При вычислении сил на боковой поверхности, которая при про-
никании на глубину, превышающую высоту головной части, вза-
имодействует с инерционно-расширяющейся средой, приведенной
в движение головной частью, скорость движения среды в окрест-
ностях рассматриваемых точек боковой поверхности учитывается
через проекцию ⃗Vn в выражениях (1.5):

Vn = Vn отн = ⃗Vотн⃗n =
⃗V − ⃗Vср
⃗n,

где Vn отн — проекция скорости рассматриваемой точки боковой
поверхности относительно инерционно-расширяющейся среды
на нормаль к боковой поверхности тела; ⃗V = ⃗VC + [⃗ϖ, ⃗ρ] — ско-
рость рассматриваемой точки на поверхности тела; ⃗Vcр — скорость
инерционно-расширяющейся среды в окрестности рассматривае-
мой точки (при определении ее направления в пространстве счи-
тается, что частицы среды после отрыва от поверхности головной
части движутся по траекториям, нормальным к поверхности го-
ловной части); ⃗n — единичный вектор нормали в рассматриваемой
точке боковой поверхности тела.
Направление единичного вектора касательной ⃗τ совпадает с
направлением проекции вектора ⃗V на плоскость, касательную к
поверхности тела в рассматриваемой точке:

⃗τ =
⃗V − ⃗Vn
⃗V − ⃗Vn
.
(1..6)

При определении вектора касательной на боковой поверхности
тела учитывают инерционное движение среды и в выражение (1.6)
вместо ⃗V и ⃗Vn подставляют ⃗Vотн и ⃗Vn отн соответственно.

1.3. Характеристики сопротивления среды прониканию

Коэффициенты зависимостей (1.5), характеризующие способ-
ность среды оказывать сопротивление прониканию, можно опреде-
лять различными способами. Возможным способом расчета этих

8

коэффициентов по стандартным физико-механическим характери-
стикам (плотность, сжимаемость, угол внутреннего трения, сцеп-
ление, пористость, модуль сдвига) является аналитическое или чи-
сленное решение задач проникания с позиций механики сплошной
среды.
Далее представлены выражения (1.7) для коэффициентов, полу-
ченные на основе обобщения данных численного моделирования
расчетных зависимостей для напряжений на поверхности прони-
кающего тела. При этом использованы возможности численного
моделирования с доведением до практического использования в
обобщающих зависимостях, связывающих удельное сопротивле-
ние на поверхности проникающего тела с его скоростью и физико-
механическими характеристиками преграды. В качестве основных
характеристик выбраны следующие физико-механические харак-
теристики:
ρ — плотность;
G — модуль сдвига;
Y0 — сцепление;
μв = tg ϕв — коэффициент внутреннего трения (ϕв — угол внутреннего 
трения);
α — пористость.
Поскольку численное
моделирование
позволяет определять
значение
удельного
сопротивления
при конкретном наборе
выбранных
факторов,
то
построение
выражения
σn =
= σn(Vn, ρ, G, Y0, μв, α) заключается в аппроксимации множества 
точек, полученных при варьировании значений физико-
механических характеристик и скорости. Выражение для удельного 
сопротивления σn построено в результате нахождения частных 
аппроксимаций с последовательным расширением числа
рассматриваемых факторов. В аппроксимации были использованы
234 расчетные точки, отражающие влияние всех пяти основных
параметров. Построение аппроксимирующего выражения проводилось 
с использованием метода сингулярного разложения на базе
вычислительной программы SVD. Применение предложенного
подхода позволило получить следующие выражения для коэффициентов 
в выражении для удельного сопротивления:

9

A = {1,23 + 0,238α − 1,6α2 + [0,0846 +

+ 0,00123 ln(G/Gб) − 0,0586μв − (0,267−

− 0,00087 ln(G/Gб) − 0,19μв)α]μв×

× (23 + ln(G/Gб))}ρ,

B = {(0,984 ln(G/Gб) + 5,87)μв + [(0,74 − 4,31μв)×

× ln(G/Gб) − 26,45μв + 17]α}μв(ln(G/Gб) + 23) · 0,001×

× ρ

Gб/ρб,

C = [0,0158 ln(G/Gб) + 0,192 − 0,0367Y0/Y0б − 0,145α]×

× [ln(G/Gб) + 23]Y0,

(1..7)

где Gб = 104 МПа, Y0б = 102 МПа, ρб = 2600 кг/м3 — базовые значения 
размерных физических величин, входящих в аппроксимирующее 
выражение (в качестве их выбраны значения, являющиеся
верхними пределами изменения указанных физических величин).
Некоторая громоздкость полученных выражений не является 
препятствием для их использования, так как применение
соотношений ориентировано прежде всего на использование
в экспериментально-теоретической методике расчета на ЭВМ.
При этом определение коэффициентов проводится по заданным
физико-механическим свойствам один раз за весь вычислительный
процесс.
В табл. 1 представлены характерные значения основных физико-
механических характеристик некоторых типов грунтовых приведены. 
Помимо указанных выше характеристик здесь также приведены 
значения коэффициента поверхностного трения μ.
При проведении оценочных расчетов проникания в грунты и
бетон оказывается возможным воспользоваться более простыми,
чем (1.7), зависимостями для определения коэффициентов A, B, C
через коэффициенты свойств преграды в известных эмпирических
формулах. Так, коэффициенты A, B, С через коэффициенты a, b
(табл. 2) в формуле Забудского находят с помощью следующих
зависимостей:

10