Динамика колесных машин. Часть 2

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

 

 

 

 
 
А.А. Полунгян, А.Б. Фоминых,  
Н.Н. Староверов 
 
 
ДИНАМИКА  
КОЛЕСНЫХ МАШИН 

Часть 2 

Под редакцией А.А. Полунгяна 
 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов  
Российской Федерации по образованию в области 
транспортных машин и транспортно-технологических  
комплексов в качестве учебного пособия для студентов вузов,  
обучающихся по специальности  
«Автомобиле- и тракторостроение» 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2013 

УДК 629.3.015.5(075.8) 
ББК 534.01 
        П49 

Рецензенты: Е.А. Галевский, В.Н. Наумов 

Полунгян А. А. 
П49 
Динамика колесных машин : учеб. пособие. – Ч. 2 / А. А. По- 
лунгян, А. Б. Фоминых, Н. Н. Староверов ; под ред. А. А. По-
лунгяна. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. 

ISBN 978-5-7038-3742-9 
Ч. 2. – 114, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3692-7 

Рассмотрены вопросы формирования исходных и расчетных ди-
намических систем колесных машин, точные и приближенные методы 
определения собственных частот и форм свободных колебаний кон-
сервативных и неконсервативных динамических систем с конечным и 
бесконечным числом степеней свободы, условия резонанса в системах 
с конечным числом степеней свободы при гармоническом воздействии 
и меры борьбы с резонансными явлениями, энергетический способ 
оценки амплитуд колебаний в трансмиссии при полигармоническом 
воздействии со стороны двигателя и расчет колебаний подрессорен-
ных и неподрессоренных масс, а также узлов и деталей трансмиссии 
при пространственном нагружении со стороны дороги. 
Для студентов вузов и университетов машиностроительного 
профиля, обучающихся по специальностям «Автомобиле- и трак-
торостроение» и «Многоцелевые колесные и гусеничные машины». 

УДК 629.3.015.5(075.8) 
                                                                   ББК 534.01 

ISBN 978-5-7038-3692-7 (Ч. 2) 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 
ISBN 978-5-7038-3742-9

1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ  
С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 

1.1. Способы составления  
дифференциальных уравнений движения 

Общий вид дифференциальных уравнений движения может 
быть получен в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, которые в 
консервативных системах имеют вид 

 
d
П
0,
d
i
i
i

T
T
t
q
q
q
⎛
⎞
∂
∂
∂
−
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠

(1.1) 

где T и П – кинетическая и потенциальная энергии; 
iq  и iq  – 
обобщенные координаты и скорости; i = 1, 2, …, s – номер коор-
динаты (s – число степеней свободы). 
Из курса теоретической механики [15] известно, что при ма-
лых движениях голономной системы со стационарными связями 
около положения равновесия кинетическая и потенциальная 
энергии выражаются через обобщенные координаты следующим 
образом: 

 
,
,
1

1
2
=
=
∑
s

j k
j k
j k
T
a
q q , 
,
,
1

1
П
,
2

s

j k
j
k
j k
с
q q

=
=
∑
 
(1.2) 

где ajk = akj – инерционные коэффициенты; cjk = ckj – квазиупругие 
коэффициенты, называемые также обобщенными коэффициента-
ми жесткости; j = 1, 2, …, s; k = 1, 2, …, s. 
Если соответствующее нулевым значениям координат поло-
жение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет 

изолированный минимум, а второе из выражений (1.2) есть поло-
жительно определенная квадратичная форма. В этом случае необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства 
(критерий Сильвестра): 

 

11
12
11
21
22

11
12
1
11
12
13
21
22
2
21
22
23

31
32
33
1
2

0,
0,

...

...
0, ...,
0.
...
...
...
...

...

>
>

>
>

s

s

s
s
ss

c
c
с
c
c

c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c

c
c
c
c
c
c

 
(1.3) 

При выполнении неравенств (1.3) система, выведенная из по-
ложения равновесия, совершает свободные колебания. Подставив 
выражения (1.2) в уравнение (1.1), получим следующую систему 
линейных однородных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами: 

 
(
)
1
0

=

+
=
∑
s

jk
k
jk
k
k
a q
c q
,   j = 1, 2, …, s.  
(1.4) 

Конечно, фактическое составление системы уравнений (1.4) не 
обязательно вести по схеме Лагранжа. Во многих задачах о коле-
баниях удобнее пользоваться непосредственными способами – 
прямым и обратным. 
Согласно прямому способу, из системы выделяют сосредото-
ченные массы (или твердые тела) и каждая рассматривается как 
свободная материальная точка (или свободное тело), находящаяся 
под действием позиционных (восстанавливающих) сил, которые 
выражаются через выбранные обобщенные координаты; после 
чего записывают соответствующие дифференциальные уравнения 
движения для материальных точек (тел). 
Обратный способ противоположен прямому: после отделения 
сосредоточенных масс (или твердых тел) рассматривают остав-
шуюся безынерционную систему жестких и упругих связей, т. е. 

безмассовый скелет системы, находящийся под действием кине-
тических реакций отделенных частей, причем кинетические реак-
ции (силы инерции) выражают через обобщенные ускорения. За-
тем формулируют статические соотношения для перемещений 
безмассового (безынерционного) скелета системы. 
Проследим особенности названных способов на примере системы 
с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел массой 
m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны 
с1 и с2 (рис. 1.1, а). 

Рис. 1.1. Пример двухмассовой системы 

За обобщенные координаты примем горизонтальные перемещения 
х1 и х2 грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния 
равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения 
пружин в процессе движения ∆l1 = x1, ∆l2 = x2 – x1. 
Основной способ (уравнения Лагранжа 2-го рода). 
Прежде всего находим кинетическую энергию грузов 

2
2
1 1
2 2
2
2
=
+
m x
m x
T
 

и потенциальную энергию деформации пружин 

2
2
1 1
2
2
1
(
)
П
2
2
−
=
+
c x
c
x
x
. 

Далее образуем производные, необходимые для подстановки в 
уравнение Лагранжа: 

1 1
2 2
1 1
2 2
1
2
1
2

1 1
2
2
1
2
2
1
1
2

d
d
,
,
,
,
d
d

П
П
(
),
(
).

T
T
T
T
m x
m x
m x
m x
x
x
t
x
t
x

с x
с
x
x
с
x
x
x
x

⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠

∂
∂
=
−
−
=
−
∂
∂



После подстановки производных в уравнение Лагранжа получаем 

 

1 1
1 1
2
2
1

2 2
2
2
1

(
)
0,

(
)
0.

+
−
−
=

+
−
=

m x
c x
c
x
x

m x
c
x
x
 
(1.5) 

Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их как 
свободные тела под действием сил упругости N1 и N2, определяемых 
удлинениями ∆l1 и ∆l2 обеих пружин (см. рис. 1.1, б): 

1
1
1
1 1

2
2
2
2
2
1

,

(
).

N
c
l
c x

N
c
l
c
x
x

=
Δ
=

=
Δ
=
−
 

Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид 

1 1
1
2

2 2
2

,

.

= −
+

= −

m x
N
N

m x
N
 

Подставив сюда выражения для сил N1 и N2, приходим к ранее 
полученной системе уравнений: 

1 1
1 1
2
2
1

2 2
2
2
1

(
)
0,

(
)
0.

+
−
−
=

+
−
=

m x
c x
c
x
x

m x
c
x
x
 

Обратный способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий 
безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций 

1 1
−
m x  и 
2
2
−
m x (см. рис. 1.1, в). В этой схеме первая пружина 
нагружена силой 
1 1
2
2,
−
−
m x
m x
 а вторая – силой 
2
2.
−
m x
 Перемещение 
х1 конца первой пружины, равное ее удлинению, можно 
записать в виде 

1 1
2 2
1
1
.
−
−
=
m x
m x
x
c
 

Перемещение правого конца второй пружины х2 равно сумме 
удлинений обеих пружин, т. е. 

1 1
2 2
2 2
2
1
2
.
−
−
−
=
+
m x
m x
m x
x
c
c
 

Из двух последних соотношений имеем 

 

1 1
2 2
1 1

2
2
1 1
2
2
2 2
1
1

0,

1
0.

m x
m x
c x

c
c m x
m
x
c x
c
c

+
+
=

⎛
⎞
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠


(1.6) 

Полученные выше по основному и прямому способам формы 
записи совпали потому, что при выборе обобщенных координат 
кинетическая энергия записывается в канонической форме: 

 
2

1

1
,
2
=
= ∑
s

j
j
j
T
a q
 
(1.7) 

т. е. без произведений скоростей j
k
q q  при j ≠ k. Каждое из уравнений 
Лагранжа содержит только по одному обобщенному ускорению, 
как при прямом способе. Если обобщенные координаты 
были выбраны так, чтобы каноническую форму имела потенциальная 
энергия 

2

1

1
П
2
=
= ∑

s

j
j
j
с q , 
(1.8) 

уравнения Лагранжа совпали бы с полученными обратным способом. 
Сопоставляя варианты записи по прямому и обратному способам, 
можно сделать следующее общее заключение относительно 
структуры дифференциальных уравнений: в случае составления 
системы уравнений по прямому способу aij = 0 при i ≠ j, а по 
обратному способу cij = 0 при i ≠ j. Таким образом, пользуясь прямым 
способом, мы приходим вместо (1.4) к системе 

 

1
0 (
1, 2, ..., ),
s

j
j
jk
k
k
a q
c q
j
s

=
+
=
=
∑

(1.9) 

а применяя обратный способ – к системе 

 
j
1
0 (
1, 2, ..., )
s

jk
k
j
k
a q
c q
j
s

=
+
=
=
∑

(1.10) 

(вместо аjj в уравнениях (1.7) и (1.9) записано aj, так как второй 
индекс становится лишним; аналогично вместо cjj в уравнениях 
(1.8) и (1.10) записано сj). 
Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных 
координат можно придать каноническую форму как 
кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты 
ξj (j = 1, 2, ..., s) называют нормальными или главными. При этом 

 
2

1

1
2
=
=
ξ
∑
s

j
j
j
T
a
, 
2

1

1
П
2
=

=
ξ
∑

s

j
j
j
с
 
(1.11) 

и уравнения Лагранжа приобретают наиболее простой вид 

 
0 (
1, 2, ..., ).
ξ +
ξ =
=
j
j
j
j
a
c
j
s  
(1.12) 

Каждое из них интегрируется независимо от других. Иначе говоря, 
при использовании главных координат система как бы ста-

новится совокупностью независимых парциальных систем с одной 
степенью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие 
кинематические параметры (или их комбинации) являются главными 
координатами, и для перехода к ним требуются обширные 
выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при решении 
задачи в произвольно принятых (не главных) обобщенных 
координатах. Поэтому введение понятия главных координат практически 
не облегчает решение задачи о свободных колебаниях, но 
весьма полезно для углубленного понимания их закономерностей 
и теоретического анализа. 

1.2. Собственные частоты линейной консервативной  
двухмассовой системы 

Если условия (1.3) устойчивости состояния равновесия выполнены, 
то частное решение системы дифференциальных уравнений (
1.5) можно представить в виде 

 
sin(
)
j
j
x
A
t
=
ω + α  (
1,2)
=
j
. 
(1.13) 

Этими выражениями описывается моногармонический колебательный 
режим с частотой ω, общей для всех координат хj. 
Подставив (1.13) в уравнения (1.5), получим систему алгебраических 
уравнений 

 

2
1
1
1 1
2
2
1

2
2
2
2
2
1

(
)
0,

(
)
0,

⎧−
ω
+
−
−
=
⎪⎨
⎪−
ω
+
−
=
⎩

m
A
c A
c
A
A

m
A
c
A
A
 
(1.14) 

однородную относительно неизвестных амплитуд А1, А2:  

 

2
1
1
1
2
2
2

2
1
2
2
2
2

(
)
0

(
)
(
)
0.

A
m
c
c
c A

A
c
A c
m

⎧
−
ω +
+
−
=
⎪⎨
⎪
−
+
−
ω
=
⎩
 
(1.15) 

При колебаниях все они не могут равняться нулю, поэтому, согласно 
общему свойству однородных систем, должен равняться нулю 
определитель, составленный из коэффициентов этой системы: 

2
1
2
1
2

2
2
2
2
0.
+
−
ω
−

=

−
−
ω

c
c
m
c

c
c
m
 
(1.16) 

После развертывания определителя получим алгебраическое 
уравнение 2-й степени относительно ω2: 

2
2
2
2
2
1
2
1
2
(
)(
)
0
−
ω
+
−
ω
−
=
c
m
c
c
m
с
. 

Напишем это уравнение в виде 

 
4
2
1
2
1 2
2 1
2 2
1 2
(
)
0.
ω − ω
+
+
+
=
m m
m c
m c
m c
c c
 
(1.17) 

Это уравнение называют частотным или вековым: 

4
2
1
2
2
1 2

1
1
2
1
2
0
c
c
c
c c
m
m
m
m m
⎛
⎞
ω − ω
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Решим полученное биквадратное уравнение 

2
2
1
2
2
1
2
2
1 2

1
1
2
1
1
2
1
2

1
1
2
4
c
c
c
c
c
c
c c
m
m
m
m
m
m
m m
⎛
⎞
⎛
⎞
ω =
+
+
±
+
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
. 

Вводя обозначения 
1
2
2
1 2

1
1
2
1
2
,   
c
c
c
c c
m
m
m
m m
+
+
= α
= β , приходим к 

записи 

2
2
1
2
4
α
ω =
α ±
− β . 

Отсюда 

2

1
1
2
4
α
ω =
α −
−β , 

2

2
1
2
4
α
ω =
α +
−β .