Цифровые цепи и сигналы

Москва

Горячая линия – Телеком

2019

Рекомендовано редакционно-издательским советом Ярославского 
государственного университета им. П. Г. Демидова в качестве 
учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по укрупненной 
группе направлений подготовки бакалавров и магистров 
11.00.00 – «Электроника, радиотехника и системы связи»

 

 

УДК 621.37/.39 (075) 
ББК 32.841 
Б89 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор техн. наук, профессор  В. В. Витязев (Рязанский 

государственный радиотехнический университет); доктор техн. наук, 
доцент  В. И. Джиган (Национальный исследовательский университет 
«Московский институт электронной техники») 
Брюханов Ю.А. 
Б89   Цифровые цепи и сигналы. Учебное пособие для вузов. – 3-е изд. 
перераб. и доп. – М.: Горячая линия – Телеком, 2019. – 160 с.: 
ил. 

ISBN 978-5-9912-0572-6. 
Приведен математический аппарат для анализа сигналов и цепей 
дискретного времени. Изложены спектральная теория периодических 
и непериодических цифровых сигналов, теория цепей дискретного 
времени. Подробно рассмотрены частотные свойства и временные характеристики 
базовых нерекурсивных и рекурсивных линейных цепей 
(цифровых фильтров) первого и второго порядков. Изложены методы 
изменения частоты дискретизации цифровых сигналов: децимация и 
интерполяция, а также способы их реализации. Уделено внимание 
теории случайных сигналов и процессов дискретного времени, протекающих 
в цифровых цепях. Рассмотрены эффекты квантования в 
цифровых сигналах и цепях. 
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки 
«Радиофизика», «Радиотехника» и «Инфокоммуникационные технологии 
и системы связи». 
 
Адрес издательства в Интернет www.techbook.ru 

 
Учебное издание 

 
Брюханов  Юрий Александрович 
ЦИФРОВЫЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ 

Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2017 г. 

 
Все права защищены. 
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена 
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения правообладателя 
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком» 
www.techbook.ru 
             © Брюханов Ю.А. 

Введение

Начало XXI века характеризуется бурным развитием информационных 
технологий.
Главенствующую роль в этом развитии играют 
цифровые методы формирования и обработки сигналов. По-
явилась новая область науки и техники — цифровая обработка сиг-
налов, включающая общие для разных областей применения мето-
ды, алгоритмы и средства переработки сигналов на основе принци-
пов вычислительной математики с использованием средств цифро-
вой вычислительной техники. Идеология, методология и технология
новой области получили широкое распространение в обработке ре-
чи, телевидении, передаче данных, радиоприеме и радиопередаче,
построении медицинской аппаратуры, геологии, робототехнике, ра-
диолокации и др.
К главным достоинствам средств цифровой обработки сигна-
лов относятся многофункциональность, реализация произвольных
преобразований сигналов, высокая стабильность и повторяемость
характеристик, уникальные возможности для адаптации, высокая
точность реализации алгоритма обработки, реализация с помощью
больших и сверхбольших интегральных схем, высокая надежность,
малые масса, габариты и энергопотребление, широкие возможнос-
ти унификации и диагностики.
Однако в технике достоинств без
недостатков не бывает.
Главными из них являются эффекты ап-
проксимации (эффекты квантования), возникающие из-за конечной
точности представления чисел и явления переполнения, обусловлен-
ные нелинейностью основных элементов схем. Поскольку цена до-
стоинств выше, да и меры борьбы с недостатками разработаны, внед-
рение цифровых технологий является магистральным направлением
развития информационных систем. В радиоэлектронике и телеком-
муникациях с их помощью решаются следующие задачи: модуля-
ция и демодуляция, разделение сигналов, генерация, формирование
и коррекция, фильтрация и оценивание, анализ спектров, сжатие,
обнаружение и распознавание, кодирование и декодирование.
Дисциплина «Цифровые цепи и сигналы» является базовой для
изучения теории и методов цифровой обработки сигналов.
Здесь
изучаются спектральная теория периодических и непериодических
сигналов дискретного времени и теория цепей дискретного време-
ни. Рассматриваются способы построения цифровых цепей, частот-

Введение

ные и временные характеристики базовых звеньев первого и второ-
го порядков, методы изменения частоты дискретизации цифровых
сигналов. Изучаются случайные сигналы и процессы дискретного
времени, а также эффекты квантования и переполнения в цифро-
вых сигналах и цепях. Значительную часть этого материала можно
найти в известных монографиях Л. Рабинера и Б. Гоулда (1978 г.),
А.В. Оппенгейма и Р.В. Шафера (1979 г.), В. Каппелини, А.Дж. Кон-
стантинидиса и П. Эмилиани (1983 г.).
Пособие состоит из семи разделов. Математические методы и
приемы, используемые в теории сигналов и цепей дискретного вре-
мени (дискретный ряд Фурье, z-преобразование, дискретное преоб-
разование Фурье, теория сверток, разностные уравнения) изложены
в первом разделе. Прочное овладение ими совершенно обязательно,
поскольку они служат логической основой изучения последующего
материала.
Второй раздел посвящен спектральной теории сигналов диск-
ретного времени. Приведены полученные с помощью дискретного
преобразования Фурье спектральные характеристики типовых пе-
риодических и непериодических сигналов: гармонического колеба-
ния, показательных и прямоугольных импульсов, прямоугольных
радиоимпульсов, цифрового единичного импульса, единичного скач-
ка. Рассматривается связь между спектрами сигналов непрерывного
и дискретного времени.
В третьем разделе излагается теория цепей дискретного време-
ни, принципы и способы построения цифровых цепей. Подробно опи-
саны частотные свойства и временные характеристики (импульсная
и переходная характеристики, реакция на воздействие прямоуголь-
ного импульса и радиоимпульса) базовых звеньев — нерекурсивных
и рекурсивных цепей первого и второго порядков.
Четвертый раздел посвящен изложению методов широко ис-
пользуемого в настоящее время изменения частоты дискретизации
цифровых сигналов: децимации и интерполяции. Описаны этапы и
способы реализации систем децимации и интерполяции.
Теория случайных сигналов и процессов дискретного времени
рассмотрена в пятом разделе.
Изложены виды и характеристики
случайных последовательностей.
Отдельно разобраны стационар-
ные последовательности, их спектральные и корреляционные свойст-
ва. Описано воздействие случайных последовательностей на линей-
ные цифровые цепи. Показана связь между характеристиками слу-
чайных последовательностей на входе и выходе цифровой цепи.
Специфическими для цифровых сигналов и цепей являются эф-
фекты, обусловленные конечной точностью представления в двоич-

Введение
5

ной системе счисления значений последовательностей и коэффици-
ентов цифровых цепей, называемые эффектами квантования. Эф-
фекты, обусловленные аппроксимацией отсчетов сигнала, описыва-
ются в шестом разделе.
Здесь же рассмотрены вопросы аналого-
цифрового и цифро-аналогового преобразований сигналов.
Седьмой раздел посвящен эффектам квантования и переполне-
ния в цифровых цепях. Рассматриваются квантование арифмети-
ческих операций в цепях с конечными и бесконечными импульсными
характеристиками, квантование коэффициентов, а также вызванные
переполнением разрядной сетки предельные циклы и пульсации в
цифровых цепях. Изложение материала завершается рассмотрени-
ем технической реализации алгоритмов работы цифровых цепей.
Для удобства при решении задач в пособие введены два прило-
жения, содержащие некоторые полезные математические формулы,
а также краткий справочный материал по дисциплине.
В основу учебного пособия положен материал лекций по дисцип-
лине «Цифровые цепи и сигналы», в течение многих лет читавшихся
автором студентам физического факультета Ярославского универ-
ситета, обучающимся по специальности «Радиофизика и электро-
ника».
Автор признателен коллегам, особенно проф. А.А. Ланнэ,
проф. С.И. Баскакову, проф. В.В. Витязеву, проф. В.Г. Карташеву,
а также преподавателям и сотрудникам кафедры динамики элек-
тронных систем ЯрГУ д-ру техн. наук А.Л. Приорову, канд. техн.
наук В.В. Хрящеву, канд. техн. наук А.Н. Тараканову, канд. техн.
наук В.А. Волохову и Ю.А. Лукашевичу за творческие дискуссии
и неизменную поддержку. Именно в результате дискуссий с проф.
А.А. Ланнэ эта дисциплина получила свое название, его конструк-
тивные критические замечания и рекомендации оказали большую
помощь в подготовке книги. Автор выражает глубокую благодар-
ность Ю.А. Лукашевичу за компьютерный набор рукописи.

Математический аппарат

Теория цифровых сигналов и систем связана с описанием и об-
работкой временных последовательностей. В настоящем разделе и
большей части книги будем считать, что квантование элементов по-
следовательности по уровню отсутствует. Это предположение о бес-
конечно малом шаге квантования, относящееся как к отсчетам сиг-
нала, так и к коэффициентам линейных цепей (систем), будет использовано 
при изучении общей теории дискретных (по времени, но
не по уровню) сигналов и цепей.
После этого будут рассмотрены
различные эффекты, возникающие в цифровых сигналах и цепях
с определенной точностью квантования по уровню из-за конечной
длины машинного слова.

1.1. Последовательности

Цифровые последовательности определяются лишь для дискретных 
значений независимой переменной (времени). Обычно время 
квантуется равномерно, т. е. t = kT , где T — интервал между отсчетами. 
Математически цифровые сигналы представляются в виде
непрерывной последовательности чисел. Для описания последовательностей 
может быть использовано одно из следующих обозначений:

{
x(n)},
N1 ⩽ n ⩽ N2;
(1.1а)

{x(nT )},
N1 ⩽ n ⩽ N2;
(1.1б)

x(n),
N1 ⩽ n ⩽ N2;
(1.1в)

x(nT ),
N1 ⩽ n ⩽ N2.
(1.1г)

Обозначения (1.1а) и (1.1в) могут применяться и при неравномерном 
расположении отсчетов, тогда как (1.1б) и (1.1г) явно предполагают 
их равномерное размещение. Если отсчеты расположены
равномерно, то такая последовательность называется решетчатой
функцией.

Математический аппарат
7

Рис. 1.1. Примеры изображения последовательностей: a — в виде отрезков
соответствующей длины; b — в виде огибающей

Последовательность может быть получена несколькими способами. 
Проще всего взять набор чисел и расположить их в виде последовательности. 
Например, числа 0, 1, 2 ,...,(N − 1) образуют «пилообразную» 
последовательность x(n) = n, 0 ⩽ n ⩽ N − 1. Другой
способ состоит в использовании некоторого рекуррентного соотношения. 
Например, x(n) = x(n − 1)/2 с начальным условием x(0) = 1
дает последовательность

x(n) = (1/2)n,
0 ⩽ n < ∞.

Еще один способ: взять равноотстоящие отсчеты непрерывного 
колебания и из их величин образовать последовательность, т. е.
положить x(nT ) = x(t)|t=nT , −∞ ⩽ n ⩽ ∞, где T — интервал (период) 
дискретизации. Физически для получения x(n) этим способом
используются дискретизаторы, а для получения цифровых последовательностей - 
аналогово- цифровые преобразователи (АЦП).
Первые два способа получения последовательностей не связаны
с временем, тогда как третий существенно от него зависит. Отсюда
видно, что для описания последовательностей пригодны в том или
ином смысле все обозначения (1.1).
Часто полезным и информативным является графическое изображение 
последовательностей. Для получения графического изображения 
будем использовать два способа.
Покажем это на примере 
изображения последовательности x(n) = n, 0 ⩽ n ⩽ N − 1.
При использовании первого способа n0-й элемент последовательности 
изображается отрезком соответствующей длины, проведенным от
оси абсцисс из точки n = n0 (рис. 1.1,a). В некоторых случаях нет
смысла изображать каждую выборку, достаточно провести только
огибающую последовательности (рис. 1.1,b).

1.2. Разложение последовательностей
в дискретный ряд Фурье
Поскольку комплексный спектр произвольной последовательности 
x(n) является периодической функцией частоты, он может

Р а з д е л 1

быть выражен функцией

X(ej¯ω) =

∞
n=−∞
x(n)e−j¯ωn.
(1.2)

Здесь и ниже ¯ω = ωT .
Существует и обратное преобразование, позволяющее выразить
x(n) через X(ej¯ω):

x(n) = 1

2π

π

−π
X(ej¯ω)ej¯ωnd¯ω.
(1.3)

1.3. z-преобразование

Одним из наиболее полезных методов представления последовательностей 
и работы с ними является z-преобразование. Для последовательности 
x(n), заданной при всех n, оно определяется следующим 
образом:

X(z) =

∞
n=−∞
x(n)z−n,
(1.4)

где z — комплексная переменная. Ясно, что комплексная функция
(1.4) определена лишь для тех значений z, при которых степенной
ряд сходится.

1.3.1. Последовательности конечной длины

Если x(n) отлична от нуля только в интервале N1 ⩽ n ⩽ N2
(N1 < N2), где N1 и N2 конечны, то X(z) сходится в z-плоскости
везде, за исключением, может быть, точек z = 0 или z = ∞.

Рис. 1.2. Типичная последовательность
конечной длины

На последовательностях ко-
нечной длины основан важный
класс цифровых цепей. Типич-
ная последовательность x(n) ко-
нечной длины имеет следующий
вид (рис. 1.2).
Последовательности беско-
нечной длины составляют основу другого большого класса цифро-
вых цепей.

1.3.2. Физически реализуемые последовательности

Физически реализуемые последовательности: если x(n) отлича-
ется от нуля только при 0 ⩽ N ⩽ n < ∞.
При этом ряд X(z)
сходится везде вне круга радиуса R1. Величина R1 зависит от по-
ложения полюсов функции X(z).
Ниже будет показано, что при

Математический аппарат
9

R1 < 1 соответствующая система является устойчивой. Физичес-
ки реализуемые последовательности весьма важны, так как на их
основе строится большинство реальных систем.

1.3.3. Нереализуемые последовательности

Физически нереализуемые последовательности: если x(n) имеет
ненулевые значения в области −∞ < n < N1 ⩽ 0. При этом ряд
X(z) сходится во всех точках, лежащих в круге радиуса R1, при-
чем R1 определяется положением полюсов X(z). В практических
задачах нереализуемые последовательности обычно не встречаются,
но при рассмотрении некоторых теоретических вопросов они могут
представлять интерес.

1.3.4. z-преобразование некоторых последовательностей

а) цифровой единичный импульс

x(n) =
δ(n) = 1,
n = 0;
0,
n ̸= 0.

На основании определения (1.4) имеем X(z) = 1. Эта функция
сходится на всей z-плоскости, так как x(n) является последователь-
ностью конечной длины.
б) единичный скачок

x(n) =
1(n) = 1,
n ⩾ 0;
0,
n < 0.

Поскольку x(n) = 0 везде, кроме n ⩾ 0, где x(n) = 1, то

X(z) =

∞
n=−∞
z−n =
1

1 − z−1 ,

причем X(z) сходится при |z| > 1, так как X(z) имеет единственный
полюс z = 1.
в) комплексная экспонента

x(n) =
0,
n < 0;
ej¯ω,
n ⩾ 0.

Вычисляя z-преобразование, получим

X(z) =

∞
n=−∞
ej¯ωnz−n =

∞
n=−∞
(ej¯ωz−1)n =
1

1 − z−1ej¯ω ,

причем X(z) сходится при |z| > 1, так как единственным полюсом
X(z) является z = ej¯ω.

Р а з д е л 1

г) простая показательная последовательность

x(n) =
0,
n < 0;
an,
n ⩾ 0.

Подставив x(n) в выражение (1.4), получим

X(z) =

∞
n=−∞
anz−n =

∞
n=−∞
(az−1)n =
1

1 − az−1 .

Здесь X(z) сходится при |z| > a, так как имеет только один полюс
z = a.

1.4. Соотношение между z-преобразованием
и Фурье-преобразованием последовательности

z-преобразование последовательности можно рассматривать как
способ ее однозначного представления в комплексной z-плоскости.
Из определения (1.4) видно, что z-преобразование, вычисленное на
единичной окружности, т. е. при z = ej¯ω, дает

X(z)z=ej¯ω = X(ej¯ω) =

∞
n=−∞
x(n)e−j¯ωn,

что совпадает с преобразованием Фурье исходной последователь-
ности (см.
формулу (1.2)).
Поэтому единичная окружность в z-
плоскости играет весьма существенную роль.

Рис. 1.3. Графические изображения
z-преобразования: a — простой
показательной последовательности;
b — последовательности с парой
комплексно сопряженных полюсов

Обычным способом графичес-
кого
изображения
информации,
содержащейся в z-преобразовании,
является задание особых точек:
полюсов и нулей функции X(z).
Так, например, z-преобразование
простой показательной последова-
тельности может быть представле-
но так, как на рис. 1.3,a.
Здесь и ниже крестиком изо-
бражен полюс, а кружком — нуль
функции X(z). С помощью такого изображения расположения ну-
лей и полюсов, а также используя дополнительное предположение о
физической реализуемости системы, можно однозначно (с точностью
до постоянного множителя) восстановить z-преобразование.