Труды Физико-технологического института. T. 28 : Квантовые компьютеры, микро- и наноэлектроника : физика, технология, диагностика и моделирование

УДК 621.38
ББК 30.31  
 
Т78

Рецензенты:
член-корреспондент РАН  В.Ф. Лукичёв, 
доктор технических наук  П.П. Мальцев

Труды Физико-технологического института / гл. ред. В.Ф. Лукичёв ; Физико- 

технологич. ин-т им. К.А. Валиева РАН. – М. : Наука, 1991–     . – ISSN 0868-7129.
T. 28: Квантовые компьютеры, микро- и наноэлектроника : физика, технология, 
диагностика и моделирование / отв. ред. Т.М. Махвиладзе. – 2019. – 
151 с. – ISBN 978-5-02-040185-3.
Том 28 Трудов ФТИАН посвящен актуальным проблемам технологии микро- и наноэлектроники. 
Сборник включает в себя статьи, в которых представлены последние результаты 
сотрудников института по физике и моделированию процессов функционирования 
и технологии изготовления перспективных элементов современной микро- и наноэлектроники. 
Рассмотренные проблемы относятся, в частности, к разработке физических и 
математических моделей для эффективного исследования прочностной надежности многослойной 
наноэлектронной металлизации при больших плотностях тока, приводящих к 
сильной ионной электромиграции, анализа особенностей процессов, протекающих в на-
нотранзисторных структурах, а также возможностей совершенствования и оптимизации 
технологических процессов формирования наноструктурных элементов, в том числе и 
перспективных для создания полномасштабных твердотельных квантовых компьютеров.
Для специалистов в области микро- и наноэлектроники, аспирантов и студентов старших 
курсов соответствующих специальностей.

Proccedings of the Physiso-Technological Institute / Editor-in-Chief V.F. Lukichev ; 
Valiev Institute of Physics and Technology of RAS. – Moscow: Nauka, 1991 –     . – 
ISSN 0868-7129.
Vol. 28: Quantum computers, micro- and nanoelectronics: physics, technology, 
diagnostics and modeling / Ed. by T.M. Makhviladze. – 2019. 151 p. ISBN 978-5-02-040185-3.

The next volume 28 of  Proceedings of Valiev IPT of RAS (FTIAN) is devoted to urgent problems 
of micro- and nanoelectronics technology. The topics covered include the articles which present 
the last results ot the institute scientists on physics and modeling of the processes of operation and 
fabrication technology of element base for up-to-date or promising micro- and nanoelectronics are 
presented. In particular, the problems considered refer to development of physical and mathematical 
models necessary for effective research of the strength reliability of manylayer nanoelectronic 
interconnections at high current densities leading to the strong ion electromigration, for analyzing 
the peculiarities of the processes taking place in nanotransistor structures, as well as possibilities 
for development and optimization of the technological processes of fabrication of nanostructural 
elements, including ones that are promising for creation of a fullscale solid-state quantum computer.
For specialists in the field of micro- and nanoelectronics and undergraduate and postgraduate 
students of the appropriate disciplines.

ISBN 978-5-02-040185-3 
©  Физико-технологический институт 
им. К.А. Ва лиева РАН, 2019

 
©  Российская академия наук и издательство «
Наука», продолжающееся 
 издание «Труды ФТИАН» (разработка, 
оформление), 1991 (год основания), 
2019 

 
©  ФГУП Издательство «Наука», ре дак-

ционно- издательское оформление, 
2019

DOI: 10.7868/S0868712919280012

Р О С С И Й С К А Я   А К А Д Е М И Я   Н А У К

2019 
ТРУДЫ  ФИЗИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО  ИНСТИТУТА им. К.А. ВАЛИЕВА 
Том 28

УДК 530.145

А.В. ЦУКАНОВ,   И.Ю. КАТЕЕВ

ИСТОЧНИК ФОТОНОВ НА КЯ/КТ-СТРУКТУРЕ 
В МИКРОРЕЗОНАТОРЕ

Предложена схема генерации фотонов в полупроводниковой структуре 

 состоящей из квантовой точки и двух квантовых ям, через которую туннели-
руют электроны с совершением оптического перехода. В качестве источника 
вынуждающего поля и концентратора электромагнитной энергии, получаемой 
в ходе каскадного транспорта электронов, используется микрорезонатор на основе 
линейного дефекта в одномерном фотонном кристалле. Получены зависимости 
заселенностей электронных уровней структуры, фоковских состояний 
резонатора и среднего числа фотонов (мощности излучения) от времени, 
скорости распада моды и скоростей туннелирования электронов между точкой 
и металлическими контактами. Показано, что мощность генерации корневым 
образом зависит от скоростей туннелирования, а максимальная мощность ге-
нерации ограничена скоростью диссипации фотонов.

Введение

Реализация квантовых вычислений предполагает наличие: а) физических 
систем, играющих роль элементарных носителей квантовой информации – 
квантовых битов (кубитов), б) физических процессов, контролирующих эволю-
цию кубитов. В качестве таких процессов обычно рассматриваются резонанс-
ные переходы между логическими состояниями кубита(ов), соответствующие 
некоторой квантовой операции, под действием внешнего поля [1]. Как прави-
ло, используются переменные радиочастотные, микроволновые и оптические 
(лазерные) импульсы, а также квазистатические электрические и магнитные 
поля. Важное требование к источникам управляющего сигнала состоит в из-
бирательности его применения, когда поле активно взаимодействует только 
с одним или несколькими кубитами, входящими в квантовый регистр из сотен 
или тысяч кубитов. Кроме того, желательно расположить источник на том же 

©  А.В. Цуканов, И.Ю. Катеев, 2019

чипе, где находится квантовый регистр, используя для его изготовления ту же 
технологию, что и для кубитов.
Сама по себе генерация электромагнитного поля в полупроводниковых низ-
коразмерных системах является важной практической задачей. Идея использова-
ния для этой цели переходов между электронными состояниями гетероструктур 
была высказана более сорока лет назад и воплощена в квантовых каскадных ла-
зерах [2] и диодах [3] на квантовых ямах. Подобные устройства продемонстри-
ровали возможность стабильной генерации классического монохроматического 
излучения в терагерцовом диапазоне длин волн. Однако для управления кван-
товой эволюцией кубитов, в том числе для создания их запутанных состояний, 
требуются квантовые поля, содержащие строго определенное число фотонов. 
Для работы источника в таком режиме необходимо реализовать принцип одно-
квантового энергетического обмена между наноструктурой и резонатором, на-
капливающим фотоны. С этой целью слоистую геретоструктуру, формирующую 
одномерную последовательность туннельно-связанных квантовых ям, следует 
заменить на квантовую точку (КТ), ограничивающую электронную волновую 
функцию в трех измерениях. Тогда благодаря эффекту кулоновской блокады 
в активной области наноструктуры может находиться только один электрон, переход 
которого с верхнего на нижний уровень квантовой точки сопровождается 
эмиссией строго одного фотона [4]. Если кубиты также изготавливаются на основе 
комплекса КТ, то можно говорить об универсальности технологии изготовления 
регистра, интегрированного со средствами контроля.
Как было показано Э. Перселлом [5], количество фотонов, испускаемых 
источником, например КТ, в единицу времени, меняется, если последний поместить 
в оптический микрорезонатор (МР) с высокой добротностью. Если частота 
испускаемого фотона совпадает с частотой ωс одной из мод МР, а сам он 
находится в области пучности электромагнитного поля, то наблюдается возрастание 
скорости эмиссии, которая характеризуется фактором Перселла F. Величина 
F определяется отношением скорости эмиссии источника, находящегося 
в МР, к скорости испускания излучения этим же источником в вакууме. В об-
ратном случае происходит подавление оптического излучения, и F становится 
меньше единицы. Таким образом, использование МР позволяет регулировать 
количество фотонов, генерируемых КТ. 
На сегодняшний день уже существуют достаточно развитые технологии из-
готовления высокодобротных МР различного типа [6–8]. Это МР, поддержива-
ющие моды шепчущей галереи, слоистые брэгговские структуры и МР на основе 
дефектов в фотонных кристаллах (ФК). ФК, интегрирующиеся с полупроводни-
ковыми КТ, представляют собой тонкую пластину с вытравленными отверстиями, 
которые образуют периодическую решетку. Благодаря тому что движение фото-
нов в ФК ограничено во всех направлениях, в оптическом спектре возникают раз-
решенные и запрещенные зоны. Формируя в некоторой области периодической 
структуры ФК дефекты, можно создавать в запрещенной зоне моды, имеющие 
большую добротность. Высокая степень локализации поля обеспечивает сильное 
взаимодействие между дефектной модой ФК и помещенной в ее пучность КТ.
В данной работе рассматриваются различные режимы генерации оптическо-
го поля в ходе взаимодействия электронов, туннелирующих через каскадную на-
ноструктуру, с квантовым полем МР. Мы исследуем эволюцию данной системы 
в установившемся режиме, уделяя основное внимание поиску такого режима, 

при котором происходит быстрое накопление фотонов в моде резонатора с опре-
деленным (фиксированным) средним числом. Как будет показано, ключевую 
роль здесь играет добротность моды, так как она (при заданной энергии взаимо-
действия резонатора и точки) определяет количество фотонов в моде. Помимо 
добротности, распределение фотонов по фоковским состояниям зависит и от 
скоростей туннелирования электрона между точкой и металлическими резерву-
арами. В качестве примера конкретной реализации мы приводим схему генера-
тора на чипе, основой которого служит одномерный фотонный кристалл (ОФК).

1. Описание модели

Рассмотрим структуру, которая состоит из последовательности полупрово-
дниковых (GaAs/InAs) гетерослоев и двух металлических контактов (рис. 1, а). 
Эта структура размещается в дефектной области ОФК, которая представляет со-
бой оптический МР. В центральном слое находятся одиночные КТ, образовав-

Рис. 1. а: Принципиальная схема источника фотонов. В области дефекта ОФК находится 
полупроводниковая КТ, сформированная в центральном слое гетероструктуры. К этому 
слою сверху и снизу примыкают гетерослои, образующие КЯ. Разность потенциалов на 
контактах, напыленных на поверхность ОФК, вынуждает электроны туннелировать через 
структуру от источника к стоку, генерируя фотоны;
б: Потенциальный рельеф гетероструктуры. Электрон из области левого контакта ин-
жектируется в КЯ 1 со скоростью ГL и туннелирует в КТ на уровень e .  Совершив излуча-
тельный переход между состояниями e  и g  и испустив фотон с частотой ℏ
=
−
ω
ε
ε ,
e
g  
электрон попадает в КЯ 2 и отводится в правый контакт со скоростью ГR

КЯ 1 + КТ + КЯ 2

ас
а
2R

ΓL

εF

ΓR

ω

s

εF
d

КТ
КЯ 1

КЯ 2

|g〉

|e〉

а

б

шиеся в результате фазового перехода Странского–Крастанова. Химический со-
став и толщина слоев, формирующих буферные квантовые ямы (КЯ), подобраны 
так, чтобы энергетический профиль зоны проводимости в направлении роста 
структуры имел вид, показанный на рис. 1, б. В этом случае нижний электронный 
уровень, принадлежащий КЯ 1(2), имеет ту же энергию, что и верхний (нижний) 
уровень КТ. Толщина слоев-барьеров, которые разделяют КЯ и КТ, должна быть 
такой, чтобы можно было говорить о резонансном характере туннелирования 
электрона между ними. Подобный выбор электронного спектра позволяет оп-
тимизировать процесс взаимодействия КТ и МР за счет блокировки туннелиро-
вания электрона из КТ без совершения излучательного перехода. Чтобы обеспе-
чить непрерывный ток через структуру, на КЯ-слои напыляются металлические 
контакты, играющие роль фермионных резервуаров. Энергия Ферми контак-
та-источника (стока), примыкающего к КЯ 1(2), лежит выше (ниже) ее нижнего 
уровня, что дает возможность подводить (отводить) электроны в (из) КТ. Регу-
лировать положение уровня Ферми контактов и электронных уровней в КЯ и КТ 
можно при помощи электрического поля за счет эффекта Штарка.
Чтобы описать процесс генерации фотонов в комбинированной  
КЯ/КТ-структуре, нам необходимо корректно учесть особенности туннели-
рования электронов от источника к стоку и взаимодействия активной об-
ласти (открытой КТ) с полем МР. Переход электрона из металлического 
контакта (резервуара) в КТ описывается в рамках теории неэластичного тун-
нелирования [4], что обусловлено континуальной структурой спектра зоны 
проводимости контактов. Тем не менее небольшой объем и дискретность  
спектра КТ делают возможным (в отличие от КЯ) одноэлектронное заселение КТ 
благодаря кулоновской блокаде. Этот эффект был положен в основу функциони-
рования целого класса приборов, принцип действия которых связан с зависимо-
стью туннельного тока от внешних условий (например, от присутствия электро-
нов в непосредственной близости от прибора). Наиболее известные и широко 
применяемые из них – одноэлектронный транзистор [9] и квантовый точечный 
контакт [10]. В нашем случае присутствие только одного электрона в КТ позво-
ляет контролировать заселение МР с точностью до одного фотона в результате 
излучательного перехода в КТ. Отметим, что при замене КТ на КЯ генерация 
электромагнитного излучения (фотонов) носила бы лавинообразный характер, 
а поле представляло бы собой классическую волну. Такая система известна как 
квантовый каскадный лазер на межподзонных переходах [2]. В некоторых рабо-
тах рассматривается и когерентная накачка КЯ-структуры электронами, описы-
ваемыми монохроматической плоской волной де Бройля [11]. Неясно, однако, 
как практически реализовать такую накачку. Вместе с тем, как мы увидим далее, 
некогерентный характер электронного туннелирования между КТ и резервуара-
ми не препятствует когерентному обмену квантом энергии КТ и МР.
Туннельное взаимодействие уровней КЯ и КТ приводит к их расщепле-
нию и образованию двух гибридизированных орбиталей, волновые функции 
которых локализованы в области КЯ и КТ. Энергия расщепления оказывается 
порядка энергии туннелирования и обычно составляет 10–3 эВ при  толщине 
b = 5–10 нм и высоте U = 10–1 эВ барьеров. Таким образом, в области КТ при-
сутствуют два дублета с достаточно высокой степенью дискретности. Из четы-
рех разрешенных оптических дипольных переходов желательно выделить один, 
связывающий нижние орбитали дублетов. Если энергия верхней орбитали 

возбужденного дублета больше энергии Ферми источника, то заселяться будет 
только нижняя орбиталь. Подбирая частоту моды МР вблизи частоты указан-
ного перехода, можно исключить и верхнюю орбиталь основного дублета. 
Итак, наша четырехуровневая система может быть с хорошей точностью 
описана в рамках двухуровневого приближения. Обозначим рабочие состояния 
КЯ/КТ-наноструктуры с энергиями 
g
ε  и 
eε  как g  и e  соответственно. 
В отсутствие электрона она находится в вакуумном состоянии vac .  Приход 
одного электрона из источника в структуру на уровень e  со скоростью 

L
G  описывается оператором Линблада 
(
)
G D e
vac ,
L
 а его уход с уровня g  
из структуры в сток со скоростью GR – оператором Линдблада 
(
)
G D
g
vac
.
R
 
Здесь D A
A A
A A,
2
†
†
( ) =
− 



r
r
 – оператор Линдблада, отвечающий неэрмито-
вому оператору A, r  – матрица плотности.
Для описания когерентного взаимодействия КТ с частотой электронного 
перехода 
eg
e
g
=
−
ω
ε
ε  и моды МР с частотой 
c
ω  мы воспользуемся стандартной 
схемой Джейнса–Каммингса, в которой присутствуют два параметра: отстройка (
разность) указанных частот 
eg
c
=
−
d
ω
ω  и частота Раби W, равная 
произведению амплитуды поля МР в области расположения КТ и матричного 
элемента оператора дипольного момента:

 
(
)
=
+
+
d
W
H
e e
a e
g
a
g
e ,
JC
†
 
(1)

где a – оператор уничтожения фотона в МР. Некогерентные процессы 
(распад состояния МР за счет диссипации энергии со скоростью k  в моды фо-
тонного континуума и релаксация электрона в КТ со скоростью g  за счет его 
взаимодействия с фононами) учитываются с помощью формализма Линдблада. 
Тогда матрица плотности, описывающая открытую электрон-фотонную систе-
му, удовлетворяет уравнению

 
(
)
(
)
(
)
[
]
( )
= −
+
+
+
+
r
r
G
G
k
g
i H
D e
D
g
D a
D g
e
,
vac
vac
.
L
R
JC
  (2)

Так как правая часть уравнения (2) не зависит от времени, то для его решения 
применяется метод диагонализации [12].
Мы будем рассматривать случай строгого резонанса частот моды и КТ  
(d = 0). Все величины даны в единицах частоты перехода в КТ (или часто-
ты моды ωc), которая для GaAs/InAs КТ с характерным радиусом 5–10 нм 
может принимать значения от нескольких десятков до сотен миллиэлек-
тронвольт. Что касается энергии взаимодействия, то она также берется до-
статочно большой, W = 10–5. Данное значение достигается для указанного 
радиуса КТ при напряженности вакуумного поля МР порядка 1–10 В/см,  
характерного для МР на основе дефектов в ОФК. Наконец, последним 
фиксированным параметром, входящим в уравнение (2), является ско-
рость безызлучательной релаксации возбужденного электрона в КТ, об-
условленной контактом электрона с акустическими и/или оптическими 
фононами. Используя методы инженерии фононного спектра в низкораз-
мерных системах, можно существенно замедлить этот процесс, «разрежая» 
фононную плотность состояний вблизи частоты электронного перехо-
да за счет манипуляций с геометрией системы [13]. Учитывая это, мы по-
лагаем g = 10–7, что указывает на серьезное подавление процесса релак-
сации. Нас будут интересовать заселенности электронных состояний КТ  

Рис. 2. Зависимости заселенностей фоковских состояний МР от времени взаимодействия 
его с КТ в режиме слабого тока для умеренной (а) и высокой (б) добротности МР

n = 0

n = 1

n = 2

0
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
1
2
3
4
5

t, 106

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

P(n)

Ω = 10–5

δ = 0
κ = 10–6

γ = 10–7

ΓL = 10–4

ΓR = 10–6

а

n = 0

n = 1

n = 2

0
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
1
2
3
4
5

t, 106

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

P(n)

Ω = 10–5

δ = 0
κ = 10–7

γ = 10–7

ΓL = 10–4

ΓR = 10–6

б

и фоковских состояний МР, которые равны соответствующим элементам  
матрицы плотности r или их комбинациям.

2. Заселенности фотонных и электронных состояний

Зависимости заселенностей P(n) фоковских состояний поля МР c числом 
фотонов n = 0, 1, 2, … от времени определяются степенью туннельной связи 
КТ с источником и стоком, взаимодействием КТ и МР, а также скоростями 
распада электронной и фотонной составляющих. Можно выделить три режима 
генерации поля, каждый из которых характеризуется своим распределением 
заселенностей. Первый из них реализуется при условии сильного взаимодей-
ствия перехода в КТ и моды МР, слабой диссипацией и малой проницаемостью 
барьера, отделяющего КТ от правого резервуара (стока), т.е. GR, g, k  W, GL. 
В этом случае КТ оказывается закрытой: электрон, попавший в структуру из 
источника, длительное время остается внутри нее, блокируя поступление дру-
гих электронов. Находясь в двухуровневой КТ, он совершает осцилляции Раби 
(рис. 2), периодически обмениваясь квантом энергии с МР.
Как можно видеть на графиках, скорость диссипации фотонов за-
дает не только максимальную вероятность генерации однофотонного  
(n = 1) состояния, достигаемую при t ≈ p/2W, но и влияет на количество 
других (n > 1) фоковских компонент (и их амплитуду). При малых (kt  1)  
временах квантовая эволюция представляет собой сложный осцилляцион-
ный процесс, в котором участвуют несколько низших фоковских состояний 

Рис. 3. Зависимости заселенностей фоковских состояний МР от номера состояния для 
нескольких моментов времени: 1 – t = 2 × 106; 2 – t = 106; 3 – t = 1.5 × 106

1
0
2
3
4
5
6
7
8
9

0.05

0

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3
P(n)

Ω = 10–5

δ = 0
γ = 10–7

κ = 5 × 10–7

ΓL = 10–5

ΓR = 10–4

n

1

2
3

МР, а при больших временах (kt ~ 1) происходит переход в установившийся 
режим. Чем медленнее диссипация, тем дольше система сохраняет когерент-
ность, осциллируя между фоковскими состояниями, и тем больше их задей-
ствуется (рис. 2). При полной блокировке туннелирования в сток макси-
мальная энергия, запасаемая системой, не превышает энергии одного кванта 
(фотона). Таким образом, возможен перевод МР из вакуумного состояния 
в однофотонное состояние, что соответствует дельтообразному распределе-
нию заселенностей компонент вектора состояния поля. Если же электрон 
может покинуть структуру через правый порт при конечном значении GR, то 
следующий электрон, попадая из источника на возбужденный уровень КТ 
и совершая излучательный переход, приносит в МР дополнительную энергию 
в виде второго кванта, и т.д. Следовательно, чем дольше МР взаимодействует 
со структурой, тем больше фотонов поступает в него, и номер максимально 
заселяемого фоковского состояния увеличивается (рис. 3). Структура рас-
пределения P(n) близка к структуре когерентного состояния, свойственного 
лазерному полю.
В установившемся режиме при kt > 1 заселенности выходят на постоян-
ные значения, которые определенным образом зависят от параметров струк-
туры. Например, изменение параметра GR от 0 (сток закрыт) до 10–5 вызывает 
плавное перераспределение заселенностей и увеличение номера фоковского 
состояния с максимальной величиной P(n), рис. 4. И снова вид графиков за-
висит от скорости диссипации k, которая регулирует скорость возрастания 
данного номера.
Как известно, мощность электромагнитного излучения, выходящего из 
МР, пропорциональна среднему числу < nph > фотонов в моде МР. Варьирова-
ние параметра GR дает линейно-корневую зависимость < nph >, переходящую 
в режим насыщения с величиной, которая определяется скоростью фотонной 
диссипации, как видно из данных рис. 5.
Регулировка процесса генерации фотонов путем выбора скорости туннели-
рования GL электрона из источника в КТ приводит к аналогичному результату 
(рис. 6). Как можно видеть, с увеличением k среднее число фотонов в МР резко 
уменьшается. Очень похожие зависимости получаются при замене GR на GL 
и для среднего числа фотонов (рис. 7). Как и выше, оптимальный режим генерации 
достигается при высоких скоростях туннелирования электронов и низкой 
скорости диссипации фотонов.
Отметим, что ухудшение даже одного из указанных параметров приводит 
к резкому уменьшению концентрации фотонов. Таким образом, для достижения 
максимальной мощности генерации следует выбирать высокодобротные 
МР и сбалансировать скорости туннелирования, которые также должны быть 
большими.
Изучим зависимости заселенностей Pe, Pg и Pvac электронных состояний 
от скоростей некогерентного туннелирования и диссипации фотонов. Начнем 
с анализа этих величин как функций параметра GR, характеризующего быстроту 
ухода электрона из КТ в сток (рис. 8). При малых GR доминирующей является 
компонента Pg, что объясняется низкой вероятностью ухода электрона из 
основного состояния g КТ, в котором он оказывается после совершения излучательного 
перехода, в сток. Если величина GL также небольшая, то для случая 
GR > GL система переходит в вакуумное состояние, обусловленное дисбалансом