Методы инженерного синтеза сложных систем управления: аналитический аппарат, алгоритмы приложения в технике. Часть 1. Элементы функционального анализа: пространства, операторы и их матричная форма - математическая основа метода матричных операторов

 
 
 
 
 
 
 
МЕТОДЫ ИНЖЕНЕРНОГО СИНТЕЗА 
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ: 
АНАЛИТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, 
АЛГОРИТМЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ 
В ТЕХНИКЕ 
 
 
ЧАСТЬ I. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА: 
ПРОСТРАНСТВА, ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЧНАЯ ФОРМА — 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА МЕТОДА МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 
 
 
Под редакцией К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова 
 
 
 
Допущено Учебно-методическим объединением вузов 
по университетскому политехническому образованию 
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению 160400 «Системы управления 
движением и навигация», специальности 160403 
«Системы управления летательными аппаратами» 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 519.71 + 519.2 + 519.6 
ББК 32.81 + 22.18 
 
М54 
 
Рецензенты: 

1. Заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, проф., лауреат Ленинской 
премии Ц. Л. Литовченко (ЦНИИ «Комета»). 
2. Заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, проф., лауреат премии 
Правительства РФ в области науки и техники В. А. Матвеев (МГТУ 
им. Н. Э. Баумана). 
3. Кафедра автоматических систем Московского института радиотехники, электроники 
и автоматики (заведующий кафедрой — чл.-кор. РАН Е. Д. Теряев). 

Авторы: 
К. А. Пупков, Н. Д. Егупов, Л. В. Колесников, А. К. Рамазанов, Г. В. Васина, 
Р. А. Каллимулин, Ю. Л. Лукашенко, Е. Л. Межирицкий, Н. А. Никифоров, 
В. М. Никифоров, Л. Ю. Соловьева, А. И. Трофимов, М. А. Трофимов, Н. В. Фалдин 
 
 
М54 Методы инженерного синтеза сложных систем управления: аналитиче-
ский аппарат, алгоритмы, приложения в технике. Часть I. Элементы функ-
ционального анализа: пространства, операторы и их матричная форма 
— математическая основа метода матричных операторов / Под ред. 
К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Бау-
мана, 2012. — 272 с. 
 
ISBN 978-5-7038-3613-2 
 
Ключевым положением книги является описание элементов систем управления ин-
тегральными уравнениями с непрерывным или вполне непрерывным оператором (если 
элемент описывается дифференциальным уравнением, то реализуется известными ме-
тодами этап перехода к уравнению с интегральным оператором), после чего строится 
матричное представление компактного оператора, которое аналогично матричному пред-
ставлению операторов в конечномерных пространствах. Основной результат — каждый 
элемент системы управления описывается уравнением с матричным оператором. Осно-
вы вычислительных технологий — матричные вычисления. Их организация является 
предметом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований. Разраба-
тываются матричные вычислительные системы, ориентированные на реализацию кле-
точных алгоритмов, а также мультипроцессорные системы. 
Книга имеет инженерную направленность и предназначена студентам, аспирантам, 
инженерам, которым приходится либо восстанавливать, либо приобретать заново зна-
ния по теории управления. 
 
УДК 519.71 + 519.2 + 519.6 
ББК 32.81 + 22.18 
 
 
 
 
 
 
© Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3613-2 
 
им. Н. Э. Баумана, 2012 

Предисловие 
3 

Заслуженному деятелю науки РФ, лауреату 
Государственной премии СССР, заслуженному 
изобретателю 
РСФСР, 
лауреату 
премии 
Правительства РФ в области науки и техники, 
почетному судостроителю, доктору технических 
наук, профессору Юрию Леонидовичу Лукашенко 
посвящают авторы эту книгу. 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В функциональном анализе отчетливо проявляется тенденция к пробле-
мам, так или иначе связанным с приложениями. Вместе с тем значительно 
усложнились математические модели, описывающие процессы в различных 
технических системах, в частности, системах автоматического управления. 
Эти тенденции порождаются развитием и расширением возможностей ЭВМ. 
Настоящая книга отражает эти тенденции и ориентирована на решение 
задач теории автоматического управления (ТАУ). 
Выдающийся ученый А. М. Летов, который стоял у истоков современной 
теории управления и внес большой вклад в её развитие, дал следующие определения: «
теория управления есть совокупность методов, позволяющих выработать 
и обосновать решение, которое принимается для достижения заранее 
поставленной цели в условиях как-либо определенной ситуации» [24]. 
В частности, теория автоматического управления — «наука о методах определения 
законов управления какими-либо объектами, допускающих реализацию 
с помощью технических средств автоматики» [24]. В русле последнего 
определения находится содержание настоящей книги (части I и II). 
Применение результатов функционального анализа к решению конкретных 
проблем связано со значительными трудностями ввиду, например, их высокого 
уровня общности. Тем не менее в области сверхинтеллекта основная 
дисциплина — теория управления с задачами целенаправленного изменения 
технических, физических, химических, природных, социально-экономических 
процессов в желаемом направлении. Как указано в [24], «здесь приходится не 
просто прокладывать в неизвестное будущее траекторию прогнозируемого 
процесса, а рассматривать всё неисчислимое «виртуальное» множество его 
всевозможных траекторий… И всё же теория управления, используя специальные 
методы функционального анализа, успешно справляется с этими задачами… 
Она позволяет указать, как воздействие, приложенное к системе 
«здесь и сейчас», повлияет на состояние системы «там и потом», т. е. в точных 
терминах позволяет управлять «будущим из настоящего». 
Необходимость разработки методов инженерного синтеза систем автоматического 
управления требует ограничиться основным руслом как функционального 
анализа, так и теории автоматического управления. «Центральной 
задачей в теории автоматического управления всегда была, есть и будет задача 
синтеза, т. е. проектирование регулятора (управляющего устройства), ко-

Методы инженерного синтеза систем управления  

торый обеспечил бы системе нужные статические и динамические свойства». 
Эта формулировка принадлежит крупному ученому, профессору А. С. Вострикову [
112]. Приведем его оценку: «Проблема синтеза линейных систем 
далека до полного разрешения». 
В двух частях книги представлен достаточно полно теоретически обоснованный 
аппарат инженерного синтеза сложных линейных и нелинейных автоматических 
систем с постоянными и переменными параметрами, ключевыми 
фундаментальными положениями которого являются следующие положения. 

Положение 1. «Исследование многих математических задач существенно 
упрощается, если их удается свести к уравнениям в функциональных пространствах 
с непрерывными и вполне непрерывными операторами… Для перехода 
к уравнениям с непрерывным или вполне непрерывным оператором 
обычно стремятся свести исходную задачу к некоторому интегральному 
уравнению» [75]. 
Содержание этого положения распадается на три независимые части [75]: 
1) переход к интегральному уравнению [18]; 
2) изучение операторов в 
[
]
2 0,
L
T  и 
[
]
0,
C
T  [86]; 
3) применение общих методов функционального анализа: аппроксимации 
вполне непрерывного оператора в банаховом пространстве с базисом 
конечномерными операторами; результат — математические модели 
технических систем различного назначения строятся в форме операто-
ров Фредгольма 1-го и 2-го рода, а последние допускают матричные 
представления, которые вполне аналогичны известному из элементов 
линейной алгебры матричному представлению операторов в конечно-
мерных пространствах [86, 96–99]. 
Положение 2. Содержание первого положения — теория метода, позво-
ляющая перейти от математических моделей элементов системы в форме 
дифференциальных и интегральных уравнений к матричному описанию. 
Содержание данного положения — формулировка задач детерминирован-
ного и статистического исследования, синтеза и оптимизации систем в тер-
минах матричного описания элементов систем и системы в целом [92, 121]. 
Положение 3. Применение суперкомпьютерных технологий для решения 
задач расчета и проектирования сложных систем автоматического управле-
ния. Разрабатываются матричные вычислительные системы, ориентирован-
ные на реализацию клеточных алгоритмов, а также мультипроцессорные 
системы, в которых используется параллелизм различных уровней: от век-
торных операций, реализуемых в векторных процессорных элементах, до 
клеточных операций, под которые выделяются отдельные кластеры процес-
сорных элементов. 
Приведенные положения определяют возможность создания теоретиче-
ской базы для построения аппарата вычислительно-аналитического экспери-
мента, реализуемого на ЭВМ, имеющего полное математическое обоснование 
и ориентированного на создание самых современных технических систем 
различного назначения. 

Предисловие 
5 

Для метода матричных операторов, содержание которого отражено в при-
веденных положениях, характерно следующее: 
• возможность описания динамики всех элементов системы, включая не-
стационарные, нелинейные, с распределенными параметрами, в форме 
матричных операторов и использования при решении задач исследова-
ния и синтеза математически обоснованного вычислительного аппарата 
линейной алгебры (матрично-вычислительные технологии) и методов 
нелинейного программирования; 
• возможность вскрывать причины того или иного поведения системы при 
решении задач синтеза, учитывая аналитическое содержание метода; 
• исследовать влияние каждого параметра на её свойства и, таким образом, 
разработать структуру регулятора (этап структурного синтеза) и рассчитать 
его параметры (этап параметрического синтеза) из условия 
обеспечения близких к эталонным динамических характеристик проектируемой 
системы в целом; 
• при синтезе оптимальных систем ценным является то, что имеет место 
алгебраизация математического описания системы и, следовательно, 
возможность применения аппарата современной алгоритмической теории 
управления, основа которой — матричные операторы, при создании 
прикладных программных систем, в том числе при разработке 
встроенных систем управления. 
Помимо обеспечения оптимальности самого управляющего воздействия, 
алгоритмизация и компьютерная реализация большинства этапов процесса 
оптимального управления сводятся к решению целой цепочки оптимизационных 
задач. В этом смысле можно утверждать, что теория конечномерной 
оптимизации является важным алгоритмическим фундаментом теории, 
использующей аппарат матричного представления операторов для широко-
го класса систем. 
 
 

Методы инженерного синтеза систем управления  

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящее учебное пособие состоит из двух частей. 
Часть I. Элементы функционального анализа: пространства, операторы и их 
матричная форма — математическая основа метода матричных операторов. 
Часть II. Вычислительно-аналитический эксперимент: аппарат матричных 
операторов и вычислительные технологии. 

В.1. КРИТЕРИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ 
РЕЗУЛЬТАТОВ В АРСЕНАЛ СРЕДСТВ РЕШЕНИЯ 
ЗАДАЧ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Из сказанного ясно, что книга ориентирована на рассмотрение идей и ме-
тодов функционального анализа, т. е. таких понятий, как функциональное 
пространство, операторы, функционалы и др., на решение конкретных про-
блем теории автоматического управления. 
Теория автоматического управления, ставя себе целью разработку методов 
создания систем автоматического управления, имеет большое практическое 
значение, так как в настоящее время вряд ли можно назвать такую отрасль 
техники, в которой принципы автоматического управления не находили бы 
себе применения. Методы и их возможные фундаментальные основы отра-
жены в [92]. Теория автоматического управления, имеющая целью решение 
инженерных задач, в то же время вынуждена использовать весьма сложный 
математический аппарат. Это объясняется тем, что системы автоматического 
управления (САУ) представляют собой динамические системы со многими 
степенями свободы, содержащие не только постоянные, но и изменяющиеся 
во времени нелинейные, а также распределенные параметры. Математиче-
ский аппарат играет в теории управления очень большую роль. Однако важ-
ным, а часто и определяющим степень эффективности математического ме-
тода, является возможность создания на его основе рабочего аппарата для 
решения конкретных инженерных задач с целью расчета параметров, кото-
рые отражены в техническом задании (ТЗ) на проектирование. Разработка 
рабочего аппарата для решения задач, определенных общей проблемой соз-
дания системы, является не менее важной, чем разработка общего мате-
матического метода, не учитывающего специфику и особенности конкрет-
ного, во многих случаях весьма сложного изделия. 
Например, важным является фактор, когда удается с помощью рабочего 
аппарата получить приближенные с необходимой степенью адекватности аналитические 
выражения для процессов, зависящих от искомых параметров, на 
основе которых строятся соответствующие алгоритмы оптимизации. В таких 
случаях эффективным с инженерных позиций является оптимизационный 
подход (параметрическая оптимизация), позволяющий довести решение 
сложных задач синтеза систем до числовых результатов. В [117] приводится 
пример, когда Н. Винером и А. Н. Колмогоровым были получены известные 

Введение 
7 

результаты по теории фильтрации, но лишь после того как рядом авторов была 
показана специфика и инженерная интерпретация применения этих результатов, 
метод Колмогорова–Винера получил надлежащее признание и применение 
для расчета и проектирования автоматических систем. 
Изложенные соображения могут служить своего рода критерием при 
решении вопроса о том, следует ли тот или иной математический результат 
или метод включать в арсенал средств теории автоматического 
управления (ТАУ). Этот критерий очень важен для того, чтобы предупредить 
излишнюю формализацию ТАУ, затрудняющую её использование для реше-
ния конкретных инженерных задач. 
Эту мысль выдающийся ученый А. А. Красовский в [119] выразил так: 
«Классическую ТАУ в основном создавали инженеры для инженеров и лишь 
частично математики для инженеров. Современную теорию автоматического 
управления (СТАУ) создают в основном математики для инженеров и во всё 
большей мере математики для математиков. Последнее с точки зрения практики 
вызывает определенное беспокойство. Главное негативное влияние на 
практическое внедрение методов СТАУ оказывает масса оторванных от практических 
потребностей и возможностей работ и даже направлений, интересных 
в математическом отношении, но бесплодных в отношении современных 
приложений». 
Метод матричных операторов ориентирован на решение широкого спектра 
инженерных задач: 
• синтез и исследование САУ самонаводящихся ракет; 
• синтез электрогидравлических усилителей в условиях неопределенности; 
• синтез и исследование электрогидравлических, электропневматических 
и электрических приводов; 
• сервоприводы: синтез регуляторов и их аппаратная реализация, исследование 
систем; 
• исследование и синтез систем, применяемых в турбиностроении; 
• исследование и синтез многосвязных систем; 
• синтез робастных регуляторов и др. детально рассмотрен во второй 
части учебного пособия [112]. 

В.2. КЛЮЧЕВЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО 
АНАЛИЗА, ОПРЕДЕЛИВШИЕ ИДЕОЛОГИЮ 
МЕТОДА МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 

Математической базой являются результаты работ крупных математиков. 
Многие из этих результатов стали классическими. Изложим соображения, 
отображающие математический фундамент метода матричных операторов. 
Ведущие ученые в области теории автоматического управления много лет 
говорят об особой обобщающей и упорядочивающей роли функционального 
анализа. Понятия функционального анализа наиболее абстрактны и общи, 
а следственно, наиболее универсальны и общеприменимы, «поэтому вполне 
естественным можно считать все увеличивающееся стремление использовать 
мощное и давно выковывающееся орудие функционального анализа в … быстро 

Методы инженерного синтеза систем управления  

развивающейся теории автоматического управления» — говорит А. Г. Бутковский [
19]. 
Функциональный анализ, зародившийся в начале прошлого столетия 
и оформившийся в самостоятельную математическую дисциплину в 20–30-х 
годах XX столетия, развивался и развивается быстро и бурно. Идеи и язык 
функционального анализа проникают в самые различные разделы математи-
ки и её приложений. Идеи функционального анализа не только позволили 
существенно упростить взгляд на многие численные методы, но и привели 
к разработке принципиально новых вычислительных схем в проблемах ли-
нейной алгебры, дифференциальных уравнений, нелинейного анализа. На-
пример, оценка Л. Коллатца в [71], касающаяся применения положений 
функционального анализа в вычислительной математике, звучит так: «те, кто 
решает задачи на электронных вычислительных машинах, иногда не знают, 
что для этих задач имеется удовлетворительный математический аппарат, 
позволяющий оценить точность приближенного решения и найти решение 
других важных задач, связанных со сходимостью». 
Далее Л. Коллатц продолжает: «Понятие гильбертова пространства оказа-
лось весьма важным для широкого поля применений; …однако оказалось, что 
для нелинейных задач, которые приобретают всё большее значение, необхо-
димо переходить к более общим пространствам; этот путь указал Стефан Ба-
нах. В дальнейшем исследовались различные еще более общие абстрактные 
пространства… Задачи техники и физики подчас настолько сложны, что се-
годняшняя математика не в состоянии дать удовлетворительные результаты; 
особенно это касается нелинейных задач, всё более выступающих сегодня на 
передний план…» [71]. 
Отразим точку зрения А. Т. Талдыкина: «Выделение из функционального 
анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получе-
ния решений задач, носит условный характер и преследует главным образом 
методическую цель — сделать эти методы доступнее тем, кто занимается 
приложениями математики». 
Применение аппарата функционального анализа позволяет обнаружить 
общие глубокие закономерности и связи, так как при таком расширении не 
имеющие значения детали каждой отдельной задачи опускаются; стано-
вится яснее родство различных по форме и происхождению задач. 
Теперь приведем конкретные положения функционального анализа, кото-
рые следует рассматривать как ключевые, определившие идеологию метода 
матричных операторов, и укажем авторов и соответствующие источники. 
Положение 1. Исследование многих математических задач существенно 
упрощается, если их удается свести к уравнениям в функциональных про-
странствах с непрерывными и вполне непрерывными операторами. Обычно 
стремятся свести исходную задачу к некоторому уравнению с интегральным 
непрерывным или вполне непрерывным оператором. После этого подбирает-
ся или конструируется такое функциональное пространство, в котором соот-
ветствующий интегральный оператор обладает достаточно хорошими свой-
ствами. На заключительном этапе имеет место применение общих методов 
функционального анализа исследования линейных и нелинейных оператор-
ных уравнений. 

Введение 
9 

Положение 1, содержание которого сформулировано М. А. Красносель-
ским, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльником, П. Е. Соболевским в [75], явля-
ется общим и по существу определяет содержание других положений. Да-
лее сформулируем не только содержание положений, но и проиллюстриру-
ем их применение на достаточно сложных математических моделях систем. 
Такая иллюстрация способствует уже на этом этапе изучения материала 
лучшему восприятию ключевых теоретических фактов, которые определя-
ют конструкцию метода. 
Положение 2. Аналитические схемы перехода от дифференциальных 
уравнений к интегральным уравнениям 1-го и 2-го рода с вполне непрерыв-
ными операторами. Одна из основных схем, охватывающая класс линейных 
систем с постоянными и переменными сосредоточенными параметрами, 
а также некоторые системы с распределенными параметрами предложена 
А. В. Бицадзе [18]. 
Рассмотрим нестационарную систему, поведение которой описывается 
дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами: 

 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

1

0
0
.
n
m
n
k
k
k
k
k
k
x
t
a
t x
t
b
t y
t
−

=
=
+
=
∑
∑
 
(В.1) 

Этому уравнению эквивалентно операторное уравнение Вольтерра 2-го 
рода с вполне непрерывными интегральными операторами [18]: 

 
( )
(
) ( )
(
) ( )

0
0
,
,
,

t
t

x
y
x t
k
t
x
d
k
t
y
d
+
τ
τ
τ =
τ
τ
τ
∫
∫
 
(В.2) 

где 

 
(
)
(
)
(
)
( )(
)

1
1

0

1
,
;
1 !

k
k
n
n
x
k
k
k

d
k
t
a
t
n
d

−
−

=

−
⎡
⎤
τ =
τ
− τ
⎣
⎦
−
τ
∑
 
(В.3) 

 
(
)
(
)
(
)
( )(
)
1

0

1
,
,
1 !

k
k
m
n
y
k
k
k

d
k
t
b
t
n
d

−

=

−
⎡
⎤
τ =
τ
− τ
⎣
⎦
−
τ
∑
 
(В.4) 

или, что то же самое: 

 
( )
(
) ( )
(
) ( )
ф
ф

0
0
,
,
,

T
T

x
y
x t
k
t
x
d
k
t
y
d
+
τ
τ
τ =
τ
τ
τ
∫
∫
 
(В.5) 

причем 

 
(
)
(
)
ф
при

при

,
  
;
,
0
  
;

x
x
k
t
t
k
t
t

⎧
τ
τ ≤
⎪
τ = ⎨
τ >
⎪⎩
 
(В.6) 

 
(
)
(
)
ф
при

при

,
   
;
,
0
   
.

y
y
k
t
t
k
t
t

⎧
τ
τ ≤
⎪
τ = ⎨
τ >
⎪⎩
 
(В.7) 

Уравнение (В.5) — уравнение Фредгольма 2-го рода с вполне непрерывны-
ми операторами. 
Положение 3. Аппроксимация вполне непрерывного оператора в банахо-
вом пространстве с базисом конечномерным матричным оператором. Ре-
зультат аппроксимации: вполне непрерывный оператор представляется в ви-

Методы инженерного синтеза систем управления  

де суммы двух операторов, из которых один — конечномерный матричный, 
а норма второго не превосходит наперед заданного числа, которое можно 
выбрать сколь угодно малым. 
Задача представления вполне непрерывного оператора в виде системы 
двух матричных операторов рассмотрена Л. А. Люстерником, В. И. Соболе-
вым в [86], А. В. Ефимовым, Ю. Г. Золотаревым, В. М. Терпигоревой в [46], 
Г. Е. Шиловым в [140], А. В. Архангельским в [8]. Задача перехода от впол-
не непрерывного интегрального оператора к матричному оператору (к мат-
рице вполне непрерывного оператора) может быть решена с помощью про-
стого алгоритма. 
Пусть 

 
( )
( )
( )
( )
T
1
2
l
t
t
t
t
= ⎡ϕ
ϕ
ϕ
⎤
⎣
⎦
Φ


 — ортонормированный базис в банаховом пространстве (в данном случае 

[
]
2 0,
L
T ). Разложение функций в уравнении (В.5) по базису 
( )t
Φ
 позволяет 
получить: 

 
( )
( )
( )
( )

(
)
( )
( )
(
)
( )
( )

T
T

ф
T
ф
T
0

;
;

,
;
,
,

x
y

x
y
x
y

x t
t
y t
t

k
t
t
k
t
t

=
=

τ =
τ
τ =
τ

Φ
C
Φ
C

Φ
A Φ
Φ
A Φ
 
(В.8) 

где 

 
T
T
1
2
1
2
;
;
y
y
y
x
x
x
x
y
l
l
c
c
c
c
c
c
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
⎣
⎦
⎣
⎦
C
C


 

(
)
( )
( )

(
)
( )
( )

ф
0
0 0
,
1

ф

0 0
,
1

,
;

,
.

T T
x
x
i
j

i j

T T
y
y
i
j

i j

k
t
t
dtd

k
t
t
dtd

∞

=

∞

=

⎛
⎞
=
τ ϕ
ϕ
τ
τ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

⎛
⎞
=
τ ϕ
ϕ
τ
τ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

∫∫

∫∫

A

A

 
(В.9) 

Подставляя (В.8) в (В.5) и учитывая свойство ортонормированности, при-
ходим к решению задачи: получаем операторное уравнение с матричным 
оператором: 
 
0
,
x
x
x
y
y
+
=
C
A C
A C
 или 
,
x
x
y
y
=
A C
A C
 
(В.10) 
где 
 
0.
x
x
=
+
A
I
A
 
(В.11) 
Матрицу вполне непрерывного оператора (В.5) можно записать так: 

 

11
12
1

21
22
2

0

1
2

.

l

l
x

l
l
ll

a
a
a
a
a
a

a
a
a

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

A

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

 
(В.12) 

Представление (В.12) в виде двух операторов: конечномерного и опера-
тора с нормой, не превосходящей наперед заданного числа, имеет следую-
щий вид: