Основы анализа сложных и нелинейных цепей

 

 

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное автономное образовательное 

учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Инженерно-технологическая академия 

 
 
 
 
 

А. М. ПИЛИПЕНКО 

 
 

ОСНОВЫ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ  

И НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону – Таганрог 

Издательство Южного федерального университета 

2022 
  

 

 

 

УДК 621.372.061 (075.8) 
ББК 32.841я73 

  П324 

 
Печатается по решению кафедры теоретических основ радиотехники 

Института радиотехнических систем и управления  

Южного федерального университета (протокол № 8 от 7 июня 2022 г.) 

 

Рецензенты: 

профессор кафедры «Радиоэлектронные и электротехнические системы  
и комплексы» Института сферы обслуживания и предпринимательства  

(филиала) Донского государственного технического университета,  

доктор технических наук, профессор В. И. Марчук 

доцент кафедры антенн и радиопередающих устройств Инженерно-

технологической академии Южного федерального университета,  

кандидат технических наук А. В. Демьяненко 

 

   Пилипенко, А. М. 

П324       Основы анализа сложных и нелинейных цепей : учебное пособие / 

А. М. Пилипенко ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-
Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 
2022. – 111 с. 

ISBN 978-5-9275-4216-1 

В учебном пособии представлены материалы лекционных и практических 

занятий по следующим разделам дисциплины «Основы теории цепей»: «Цепи с 
взаимной индуктивностью»; «Связанные колебательные контуры»; «Методы 
формирования уравнений электрического равновесия сложных цепей»; «Основные 
теоремы теории цепей»; «Нелинейные резистивные цепи». Учебное пособие 
предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки 
бакалавров 11.03.01 «Радиотехника» и 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии 
и системы связи». 

 
УДК 621.372.061 (075.8) 

 
ББК 32.841я73 

ISBN 978-5-9275-4216-1 

© Южный федеральный университет, 2022 
© Пилипенко А. М., 2022 
© Оформление. Макет. Издательство  

      Южного федерального университета, 2022 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 5 

1. ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ .......................................... 6 

1.1. Общие сведения о связанных катушках индуктивности ..................... 6 

1.2. Анализ цепей со связанными индуктивностями ............................... 11 

1.3. Эквивалентные преобразования цепей со связанными 

индуктивностями .................................................................................. 14 

1.4. Трансформаторы на основе цепей с взаимной индуктивностью ...... 20 

2. СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ ........................................ 27 

2.1. Общие сведения о связанных контурах .............................................. 27 

2.2. Комплексные схемы замещения связанных контуров ....................... 28 

2.3. Настройка связанных контуров .......................................................... 31 

2.4. Коэффициент связи между контурами ............................................... 35 

2.5. Частотные характеристики связанных контуров ............................... 37 

3. МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО 
РАВНОВЕСИЯ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ............................................................ 45 

3.1. Общие сведения об уравнениях электрического равновесия ............ 45 

3.2. Методы, основанные на непосредственном применении законов 

Кирхгофа ............................................................................................... 45 

3.3. Метод контурных токов ....................................................................... 48 

3.4. Метод узловых напряжений ................................................................ 51 

4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ ............................................ 57 

4.1. Принцип наложения ............................................................................ 57 

4.2. Теорема об эквивалентном источнике ................................................ 59 

4.3. Теорема взаимности ............................................................................ 62 

4.4. Теорема компенсации .......................................................................... 64 

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ ЦЕПИ ................................................. 66 

5.1. Общие сведения о нелинейных цепях и нелинейных элементах ...... 66 

5.2. Уравнения электрического равновесия нелинейных цепей .............. 73 

5.3. Графические методы анализа нелинейных цепей .............................. 74 

Содержание 

 

5.4. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов .................... 80 

5.5. Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии .......... 85 

5.6. Нелинейное сопротивление при бигармоническом воздействии ...... 89 

6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ........................................................................ 91 

6.1. Контрольные вопросы ......................................................................... 91 

6.2. Практические задачи ............................................................................ 94 

6.3. Примеры решения задач ...................................................................... 98 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................. 109 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................. 110 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

При разработке современных радиотехнических и телекоммуникационных 
устройств, как правило, возникают задачи анализа сложных цепей. В 
отличие от простых цепей, которые являются одноконтурными или 
двухузловыми, сложные цепи содержат большое количество узлов и контуров. 


Непосредственное применение законов Кирхгофа для анализа сложных 
цепей приводит к получению большого числа уравнений электрического 
равновесия, моделирующих данные цепи. Для уменьшения числа уравнений 
электрического равновесия предложен ряд методов и теорем, рассмотренных 
в данной работе. 

Важным классом сложных цепей являются цепи с взаимной индуктивностью, 
также рассмотренные в данной работе. Наиболее известными 
примерами таких цепей являются трансформаторы и связанные колебательные 
контуры. Наличие в цепи связанных индуктивностей приводит к 
появлению дополнительных особенностей при составлении уравнений и 
при выполнении эквивалентных преобразований.  

Серьезные трудности при анализе цепей возникают в случаях, когда 

цепи содержат нелинейные элементы. Наличие нелинейного элемента в цепи 
приводит к тому, что система уравнений электрического равновесия 
данной цепи будет нелинейной и ее аналитическое решение в общем случае 
определить не удается. В связи с этим в данной работе представлены основные 
методы анализа нелинейных резистивных цепей, включая графические 
и аналитические методы, а также методы аппроксимации характеристик 
нелинейных элементов. 

 
 

1. ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ 

1.1. Общие сведения о связанных катушках индуктивности 

Наличие в цепи двух и более связанных катушек индуктивности приводит 
к дополнительным трудностям при анализе данной цепи, в частности, 
к появлению дополнительных параметров катушек и усложнению компонентных 
уравнений. 

Как известно из школьного курса физики в катушке индуктивности 

имеет место явление самоиндукции, которое заключается в том, что изменение 
тока катушки вызывает наведение ЭДС в этой катушке. Ток, протекающий 
в катушке, создает вокруг нее магнитное поле и, соответственно, вызывает 
магнитный поток самоиндукции, пронизывающий витки этой ка-
тушки. 

Очевидно, что магнитный поток самоиндукции одной катушки индуктивности 
может также пронизывать витки других катушек индуктивности, 
расположенных в одном радиоэлектронном устройстве или в различных 
неэкранированных радиоэлектронных устройствах, находящихся на 
сравнительно малом расстоянии друг от друга. При этом имеет место явление 
взаимоиндукции, которое заключается в том, что изменение тока одной 
катушки вызывает наведение ЭДС в другой катушке. Магнитный поток 
взаимоиндукции – это магнитный поток, пронизывающий витки одной катушки, 
но вызванный током другой катушки. 

Катушки индуктивности называются связанными, если в них имеет 

место явление взаимоиндукции, т. е. изменение тока одной катушки вызывает 
наведение ЭДС в другой. 

На рис. 1.1 показаны две связанные катушки индуктивности, где i1 и 

i2 – токи первой и второй катушек; Φ11 и Φ22 – магнитные потоки самоиндукции 
первой и второй катушек; Φ12 и Φ21 – магнитные потоки взаимоиндукции 
первой и второй катушек. 

В первом случае витки обоих катушек намотаны в одинаковом 

направлении (рис. 1.1, а), во втором случае – в противоположных направле-
ниях (рис. 1.1, б). Для каждой из катушек на рис. 1.1 показано по одной силовой 
линии магнитного поля. Направление силовых линий определяется 
по правилу правого винта. 

1.1. Общие сведения о связанных катушках индуктивности  

7 

Из рис. 1.1 следует, что магнитный поток самоиндукции первой катушки 
Φ11 пронизывает ее собственные витки, а также витки второй катушки. 
В свою очередь, магнитный поток самоиндукции второй катушки Φ22 
пронизывает ее собственные витки, а также витки первой катушки. 

 

Рис. 1.1. Связанные катушки индуктивности: а – согласное включение;  

б – встречное включение 

Таким образом, каждую из катушек пронизывает магнитный поток 

самоиндукции, вызванный ее собственным током и магнитный поток взаимоиндукции, 
вызванный током другой катушки. 

Полный магнитный поток первой катушки Φ1 равен алгебраической 

сумме магнитного потока самоиндукции первой катушки Φ11, вызванного 
ее собственным током, и магнитного потока взаимоиндукции первой катушки 
Φ12, вызванного током второй катушки: 

 
Φ1 = Φ11 ± Φ12. 
(1.1) 

Полный магнитный поток второй катушки Φ2 равен алгебраической 

сумме магнитного потока самоиндукции второй катушки Φ22, вызванного 
ее собственным током, и магнитного потока взаимоиндукции второй катушки 
Φ21, вызванного током первой катушки: 

 
Φ2 = Φ22 ± Φ21. 
(1.2) 

Следует отметить, что магнитный поток взаимоиндукции, вызываемый 
катушкой, не может превышать магнитный поток самоиндукции этой 
катушки, поскольку является его частью или совпадает с ним: 

 
Φ21 ≤ Φ11 и Φ12 ≤ Φ22. 
(1.3) 

Потокосцепление катушки определяется суммой магнитных потоков, 

пронизывающих каждый ее виток. Если все витки катушки пронизывают 
одинаковые магнитные потоки, то полное потокосцепление каждой из катушек 
можно представить в виде: 

1. Цепи с взаимной индуктивностью  

8 

 
Ψ1 = N1Φ1 = N1Φ11 ± N1Φ12 = Ψ11 ± Ψ12; 
(1.4) 

 
Ψ2 = N2Φ2 = N2Φ21 ± N2Φ22 = Ψ22 ± Ψ21, 
(1.5) 

где N1 и N2 – число витков первой и второй катушек; Ψ11 = N1Φ11 и 
Ψ22 = N2Φ22  – потокосцепление самоиндукции первой и второй катушек; 
Ψ12 = N1Φ12 и Ψ21 = N2Φ21  – потокосцепление взаимоиндукции первой и 
второй катушек. 

Выбор знака в выражениях (1.1), (1.2) и (1.4), (1.5) зависит от способа 

включения катушек индуктивности. В случае согласного включения катушек (
рис. 1.1, а) магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции совпадают 
по направлению и складываются. В случае встречного включения 
катушек (рис. 1.1, б) магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции 
имеют противоположные направления и вычитаются. 

На рис. 1.1 одинаковыми символами (кружками и звездочками) обозначены 
одноименные зажимы катушек индуктивности, т. е. такие зажимы 
при одинаковом направлении токов относительно которых, магнитные потоки 
самоиндукции и взаимоиндукции складываются. 

Как известно, в теории цепей принято рассматривать, так называемые, 
схемы замещения (эквивалентные схемы), на которых изображаются 
идеализированные элементы, каждый из которых моделирует только основную 
характеристику соответствующего реального элемента. В частности, 
идеальные связанные катушки индуктивности, называемые связанными 
индуктивностями, являются упрощенными моделями реальных катушек 
индуктивности, которые отражают только явления самоиндукции и 
взаимоиндукции, происходящие в реальных катушках, и не учитывают потери 
и процессы запасания энергии электрического поля в катушках. 

Условные графические изображения связанных индуктивностей при 

согласном и встречном включении показаны на рис. 1.2.  

 

Рис. 1.2. Условное графическое изображение связанных индуктивностей: 

а – согласное включение; б – встречное включение 

1.1. Общие сведения о связанных катушках индуктивности  

9 

При согласном включении связанных индуктивностей токи относительно 
одноименных зажимов направлены одинаково (рис. 1.2, а), а при 
встречном включении – в противоположные стороны (рис. 1.2, б). 

Компонентные уравнения связанных индуктивностей можно записать 

на основании закона электромагнитной индукции, в соответствии с которым 
ЭДС, наводимая в каждой катушке, пропорциональна скорости изменения 
потокосцепления катушки и препятствует этому изменению: 

 

𝑒1 = −

𝑑Ψ1
𝑑𝑡 = − (

𝑑Ψ11

𝑑𝑡 ±

𝑑Ψ12

𝑑𝑡 ) = 𝑒си1 ± 𝑒ви1;

𝑒2 = −

𝑑Ψ2
𝑑𝑡 = − (

𝑑Ψ22

𝑑𝑡 ±

𝑑Ψ21

𝑑𝑡 ) = 𝑒си2 ± 𝑒ви2.

 
(1.6) 

Первое слагаемое в выражениях (1.6) представляет собой ЭДС самоиндукции (
ecи1 и ecи2), а второе слагаемое – ЭДС взаимоиндукции (eви1 и 
eви2) соответствующей катушки: 

 

𝑒си1 = −

𝑑Ψ11

𝑑𝑡 = −𝑁1

𝑑Φ11

𝑑𝑡 ; 𝑒си2 = −

𝑑Ψ22

𝑑𝑡 = −𝑁2

𝑑Φ22

𝑑𝑡 ;

𝑒ви1 = −

𝑑Ψ12

𝑑𝑡 = −𝑁1

𝑑Φ12

𝑑𝑡 ; 𝑒ви2 = −

𝑑Ψ21

𝑑𝑡
= −𝑁2

𝑑Φ21

𝑑𝑡 .

 

Потокосцепления самоиндукции и взаимоиндукции зависят от вызвавших 
их токов Ψ11 = Ψ11(i1), Ψ12 = Ψ12(i2), Ψ22 = Ψ22(i2), Ψ21 = Ψ21(i1), а токи, 
в свою очередь, являются функциями времени, поэтому производные 
потокосцеплений в выражениях (1.6) можно представить как производные 
сложных функций: 

 

𝑒1 = − (𝑑Ψ11

𝑑𝑖1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ±

𝑑Ψ12
𝑑𝑖2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ) ;

𝑒2 = − (

𝑑Ψ22
𝑑𝑖2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ±

𝑑Ψ21
𝑑𝑖1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ) .

 
(1.7) 

Далее будем полагать, что рассматриваемые связанные индуктивности 
являются линейными, т.е. зависимости потокосцеплений самоиндукции 
и взаимоиндукции от вызвавших их токов описываются линейными функциями.  


Индуктивность катушки равна отношению потокосцепления самоиндукции 
к вызвавшему его току: 

 
𝐿1 =

Ψ11

𝑖1 =

𝑁1Φ11

𝑖1
=

𝑑Ψ11

𝑑𝑖1 ; 𝐿2 =

Ψ22

𝑖2 =

𝑁2Φ22

𝑖2
=

𝑑Ψ22

𝑑𝑖2 . 
(1.8) 

Взаимная индуктивность между катушками – это отношение пото-

косцепления взаимоиндукции к вызвавшему его току: 

1. Цепи с взаимной индуктивностью  

10 

 
𝑀12 =

Ψ12
𝑖2 =

𝑁1Φ12

𝑖2
=

𝑑Ψ12

𝑑𝑖2 ; 𝑀21 =

Ψ21

𝑖1 =

𝑁2Φ21

𝑖1
=

𝑑Ψ21
𝑑𝑖1 . 
(1.9) 

В случае линейной индуктивности выполняется следующее условие: 

 
M12 = M21 = М. 
(1.10) 

Индуктивность и взаимная индуктивность выражаются в генри (Гн). 
С учетом выражений (1.8) – (1.10) ЭДС, наводимые в катушках, мож-

но преобразовать к следующему виду: 

 

𝑒1 = − (𝐿1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ± 𝑀

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ) ;

𝑒2 = − (𝐿2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ± 𝑀

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ) .

 
(1.11) 

Принято считать, что ЭДС, наводимая в катушке, и напряжение на 

ней имеют противоположные знаки [1], поэтому компонентные уравнения 
связанных индуктивностей имеют следующий вид: 

 

𝑢1 = 𝐿1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ± 𝑀

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ;

𝑢2 = 𝐿2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ± 𝑀

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 .

 
(1.12) 

Для количественной оценки степени связи между катушками исполь-

зуется коэффициент связи, равный отношению средних геометрических 
значений потоков взаимоиндукции и потоков самоиндукции двух связан-
ных катушек: 

 
𝑘М =

√Φ12Φ21
√Φ11Φ22 = √

Φ12Φ21
Φ11Φ22. 
(1.13) 

С учетом неравенств (1.3) Φ21 ≤ Φ11 и Φ12 ≤ Φ22 получаем, что коэф-

фициент связи лежит в следующих пределах 

 
0 ≤ kM ≤ 1. 
(1.14) 

Минимальный коэффициент связи kM min = 0 соответствует отсут-

ствию взаимной индуктивности между катушками. Максимальный коэф-
фициент связи kM max = 1 соответствует случаю, когда магнитный поток са-
моиндукции первой катушки полностью пронизывает вторую катушку, а 
магнитный поток самоиндукции второй катушки полностью пронизывает 
первую катушку. В этом случае справедливы следующие равенства: 
Φ21 = Φ11 и Φ12 = Φ22. 

1.2. Анализ цепей со связанными индуктивностями  

11 

С помощью выражений (1.8) и (1.9) потоки самоиндукции и потоки 

взаимоиндукции двух связанных индуктивностей можно представить в 
следующем виде: 

 
Φ11 =

𝐿1𝑖1
𝑁1 ; Φ22 =

𝐿2𝑖2
𝑁2 . 
(1.15) 

 
Φ12 =

𝑀12𝑖2

𝑁1 ; Φ21 =

𝑀21𝑖1

𝑁2 . 
(1.16) 

Подставляя выражения (1.15) и (1.16) в (1.14) получаем 

 
𝑘М = √

𝑀12𝑖2/𝑁1
𝐿1𝑖1/𝑁1

𝑀21𝑖1/𝑁2
𝐿2𝑖2/𝑁2 = √

𝑀12𝑀21

𝐿1𝐿2 . 
(1.17) 

Учитывая равенство взаимных индуктивностей линейных катушек 

M12 = M21 = М, получаем коэффициент связи между двумя катушками, кото-
рый равен отношению взаимной индуктивности к среднему геометриче-
скому индуктивностей двух рассматриваемых катушек [1]: 

 
𝑘М =

𝑀

√𝐿1𝐿2. 
(1.18) 

Из выражения (1.18) можно определить взаимную индуктивность че-

рез собственные индуктивности катушек и коэффициент связи: 

 
𝑀 = 𝑘М√𝐿1𝐿2. 
(1.19) 

C учетом того, что коэффициент связи 0 ≤ kM ≤ 1 получаем пределы 

изменения взаимной индуктивности 

 
0 ≤ 𝑀 ≤ √𝐿1𝐿2. 
(1.20) 

1.2. Анализ цепей со связанными индуктивностями 

В качестве примера рассмотрим цепь, содержащую три связанные 

индуктивности (рис. 1.3). 

Основная система уравнений цепей со связанными индуктивностями, 

как и цепей без них, будет содержать топологические уравнения для неза-
висимых узлов и независимых контуров, составленных по законам Кирхго-
фа, и компонентные уравнения, отражающие связь напряжений и токов 
элементов цепи.  

Топологические уравнения цепей со связанными индуктивностями 

будут иметь такой же вид, как и для цепей без них. Особенность основной 

1. Цепи с взаимной индуктивностью  

12 

системы уравнений электрического равновесия цепей со связанными ин-
дуктивностями состоит в специфическом виде компонентных уравнений 
индуктивных элементов, которые наряду с собственными индуктивностями 
будут содержать взаимные индуктивности. В частности, компонентные 
уравнения двух связанных индуктивностей L1 и L2 имеют следующий вид 
(см. выражения (1.12)): 

 

𝑢𝐿1 = 𝐿1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ± 𝑀

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ;

𝑢𝐿2 = ±𝑀

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 + 𝐿2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 .

 
(1.21) 

Компонентные уравнения трех связанных индуктивностей L1, L2 и L3 

можно записать следующим образом: 

 

𝑢𝐿1 = 𝐿1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ± 𝑀12

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ± 𝑀13

𝑑𝑖3
𝑑𝑡 ;

𝑢𝐿2 = ±𝑀21

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 + 𝐿2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 ± 𝑀23

𝑑𝑖3
𝑑𝑡 ;

𝑢𝐿3 = ±𝑀31

𝑑𝑖1
𝑑𝑡 ± 𝑀32

𝑑𝑖2
𝑑𝑡 + 𝐿3

𝑑𝑖3
𝑑𝑡 .

 
(1.22) 

 

Рис. 1.3. Пример цепи со связанными индуктивностями 

Знак «+» перед взаимной индуктивностью в выражениях (1.21) и 

(1.22) соответствует согласному включению катушек, знак «−» − встречно-
му включению. Из рис. 1.3 видно, что катушки L1 и L2 включены встречно. 
Катушки L1 и L3, а также L2 и L3 – включены согласно.  

Принимая во внимание законы Кирхгофа, а также компонентные 

уравнения идеализированных пассивных элементов, в том числе связанных