Современная математика и ее творцы

Â. Ô. Ïàíîâ

ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
È ÅÅ ÒÂÎÐÖÛ

Ïîä ðåäàêöèåé Â. Ñ. Çàðóáèíà

Ìîñêâà  2011

ÓÄÊ 51(091)
ÁÁÊ 22.1ã
Ï16

Ð å ö å í ç å í ò û :

çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòèêè Âîåííîé àêàäåìèè ÐÂÑÍ èìåíè Ïåòðà Âåëèêîãî,
ä-ð òåõí. íàóê, ïðîô. Â.Â. Áëàæåíêîâ;
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. À.Í. Êàíàòíèêîâ

Ïàíîâ Â. Ô.
Ï16
Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà è åå òâîðöû / Â. Ô. Ïàíîâ; ïîä ðåä.
Â. Ñ. Çàðóáèíà. – Ì. : Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, 2011. – 646,
[2] ñ. : èë.

ISBN 978-5-7038-3536-4

 äîñòóïíîé ôîðìå ðàññêàçàíî î ðàçâèòèè òðàäèöèîííûõ ðàçäåëîâ ìà-
òåìàòèêè âòîðîé ïîëîâèíû XIX – íà÷àëà XXI â., ñîçäàíèè íîâûõ ðàçäåëîâ ìàòå-
ìàòèêè. Ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå âåõè æèçíåííîãî è òâîð÷åñêîãî ïóòè ìíîãèõ
îòå÷åñòâåííûõ è çàðóáåæíûõ ìàòåìàòèêîâ. Îòðàæåíà âçàèìîñâÿçü ìàòåìàòè-
êè è ôèëîñîôèè.
Ðåêîìåíäîâàíî ñòóäåíòàì, àñïèðàíòàì, ó÷èòåëÿì ìàòåìàòèêè, à òàêæå âñåì,
êòî èíòåðåñóåòñÿ èñòîðèåé íàóêè.

ÓÄÊ 51(091)
ÁÁÊ 22.1ã

© Ïàíîâ Â.Ô., 2011
© Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ
ISBN 978-5-7038-3536-4
èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ïðåäèñëîâèå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9

×àñòü I.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÌ ÌÈÐÅ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13
Ãëàâà 1.
Îñîáåííîñòè ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15
Ïðèîðèòåòû â ìàòåìàòèêå ÕÕ â.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15
Àêñèîìàòèçàöèÿ è ñèñòåìàòèçàöèÿ ìàòåìàòèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23
Ñïîðû ñòîðîííèêîâ àáñòðàêòíîé è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè  . . . . . . .   26
«Àðõèòåêòóðà» ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31
Ãëàâà 2.
Ðîëü ìåæäóíàðîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíãðåññîâ
â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37
Ïåðâûå ìåæäóíàðîäíûå êîíòàêòû  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37
Ïåðâûé Ìåæäóíàðîäíûé êîíãðåññ ìàòåìàòèêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . .   38
Âòîðîé Ìåæäóíàðîäíûé êîíãðåññ ìàòåìàòèêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . .   38
Äîêëàä Ãèëüáåðòà «Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû»  . . . . . . . . . . . . . . . .   39
Ìåæäóíàðîäíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíãðåññû â ÕÕ è XXI ââ.  . . . . . .   42
Íåðåøåííûå (îòêðûòûå) ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû  . . . . . . . . . . . . .   46
Ãëàâà 3.
Ïðîôåññèîíàëüíûå íàãðàäû ìàòåìàòèêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   50
Ìåæäóíàðîäíûå íàãðàäû ïî ìàòåìàòèêå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   50
Ìåæäóíàðîäíûå íàãðàäû, â êîòîðûõ îäíîé èç íîìèíàöèé ÿâëÿåòñÿ
«ìàòåìàòèêà»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   61

×àñòü II. ÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ.
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ØÊÎËÛ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   67
Ãëàâà 4.
Êàê íà÷èíàëàñü ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69
Îá èñòîðèè ïÿòîãî ïîñòóëàòà Åâêëèäà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69
Ñóùíîñòü íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   70
Í.È. Ëîáà÷åâñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   72
ßíîø Áîëüÿé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   75
Àëãåáðàèçàöèÿ ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà  . . . . . . . . . . . .   76
Ýâàðèñò Ãàëóà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   78
Äæîðäæ Áóëü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   83
Ñîçäàíèå òåîðèè áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   85
Ãåîðã Êàíòîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92
Ãëàâà 5.
Ñïîðû îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   96
Èíòóèöèÿ è ëîãèêà â ìàòåìàòèêå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   96
Ëîãèöèçì, èíòóèöèîíèçì, ôîðìàëèçì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   98
Àëôðåä Óàéòõåä  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  109
Áåðòðàí Ðàññåë  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  111
Ëåéòçåí Áðàóýð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  112
Îòêðûòèÿ Êóðòà øäåëÿ è Ïîëà Êîýíà. Ñîçäàíèå êîíñòðóêòèâíîé
ìàòåìàòèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  115
À.À. Ìàðêîâ-ìëàäøèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  120
Êóðò øäåëü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123
Ïîë Êîýí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  127
Ãëàâà 6.
Ïåòåðáóðãñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  128
Îñíîâàíèå ïåòåðáóðãñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû  . . . . . . . . . . . . . . .  128
Ï.Ë. ×åáûø¸â  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  129

3

À.À. Ìàðêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  132
À.Ì. Ëÿïóíîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  135
Â.À. Ñòåêëîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  137
Í.Ì. Ãþíòåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139
Â.È. Ñìèðíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  140
Ãëàâà 7.
Íåìåöêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  143
Ñèñòåìà îáó÷åíèÿ â óíèâåðñèòåòàõ Ãåðìàíèè â XIX â.  . . . . . . . . . . .  143
Êàðë Âåéåðøòðàññ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  145
Áåðíõàðä Ðèìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  146
Þëèóñ Äåäåêèíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  149
Ôåëèêñ Êëåéí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  149
Äàâèä Ãèëüáåðò  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  152
Ãåðìàí Ìèíêîâñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  159
Ãåðìàí Âåéëü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  161
Ðèõàðä Êóðàíò  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  165
Ðàçãðîì íåìåöêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû íàöèñòàìè  . . . . . . . . . . . .  168
Ãëàâà 8.
Ôðàíöóçñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172
Ñèñòåìà îáðàçîâàíèÿ âî Ôðàíöèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172
Àíðè Ïóàíêàðå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  174
Æàê Àäàìàð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  181
Ýìèëü Áîðåëü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  183
Àíðè Ëåáåã  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  186
Ãëàâà 9.
Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  189
Îðãàíèçàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé äî 1941 ã.  . . . . . . . . . . . .  189
Í.Å. Æóêîâñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  194
Ä.Ô. Åãîðîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  197
Í.Í. Ëóçèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  199
À.Í. Êîëìîãîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  203
«Ëóçèòàíèÿ» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  209
Âíåäðåíèå äèàëåêòèêè â ìàòåìàòèêó  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  213
Îðãàíèçàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé â ãîäû âîéíû è ïîñëå-
âîåííîå âðåìÿ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  218
Ãëàâà 10. Àìåðèêàíñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222
Ñèñòåìà îáðàçîâàíèÿ â ÑØÀ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222
Äæîðäæ Áèðêãîô  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  225
Ñîëîìîí Ëåôøåö  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  226
Äæåéìñ Àëåêñàíäåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  228
Ìàðñòîí Ìîðñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  229
Äæîí ôîí Íåéìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  231
Õàññëåð Óèòíè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  237
Ñîíäåðñ Ìàêëåéí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  238

×àñòü III.ÐÀÇÂÈÒÈÅ ÒÐÀÄÈÖÈÎÍÍÛÕ ÐÀÇÄÅËΠÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  241
Ãëàâà 11. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé  . . . . . . . . . . . . .  243
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  244
Êàðë Ïèðñîí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  246
Óèëüÿì Ãîññåò (Ñòúþäåíò)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  248
Å.Å. Ñëóöêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  249

Îãëàâëåíèå

Ðîíàëä Ôèøåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  251
Åæè Íåéìàí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  253
Ýãîí Ïèðñîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  254
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  255
À.ß. Õèí÷èí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  259
Á.Â. Ãíåäåíêî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  262
Êè¸øè Èòî  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  265
Øðèíèâàñà Âàðàäõàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  266
Âåíäåëèí Âåðíåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  267
Ãëàâà 12. Òîïîëîãèÿ ïåðâîé ïîëîâèíû ÕÕ â.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  268
×åì çàíèìàåòñÿ òîïîëîãèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  268
Ôåëèêñ Õàóñäîðô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  273
Ï.Ñ. Óðûñîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  275
Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  277
Õåéíö Õîïô  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  280
Ë.Â. Êåëäûø  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  281
Øýíøýíü ×æýíü (×åðí)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  283
Ãëàâà 13. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  285
×èñëåííûå è àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  285
À.Í. Êðûëîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  288
Á.Ã. Ãàë¸ðêèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  290
À.Í. Òèõîíîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  293
À.À. Äîðîäíèöûí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  296
Ã.È. Ìàð÷óê  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  298
À.À. Ñàìàðñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  301
Ãëàâà 14. Òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  303
Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  303
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè  . . . . . . .  307
Ñ.Í. Áåðíøòåéí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  309
È.À. Ëàïïî-Äàíèëåâñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  312
Ì.À. Ëàâðåíòüåâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  313
È.Ã. Ïåòðîâñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  316
Ì.Â. Êåëäûø  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  319
Ëàðñ Õ¸ðìàíäåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  322
Ñåäðèê Âèëëàíè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  323
Ãëàâà 15. Òåîðèÿ ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  325
Òåîðèÿ ôóíêöèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  325
Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  327
øñòà Ìèòòàã-˸ôôëåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  330
Êîíñòàíòèí Êàðàòåîäîðè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  331
Õàðàëüä Áîð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  333
Ñòåôàí Áàíàõ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  334
Ä.Å. Ìåíüøîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  336
Ì.ß. Ñóñëèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  338
Í.Ê. Áàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  341
Ðîëüô Íåâàíëèííà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  342
Ë.À. Ëþñòåðíèê  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  343
Ï.Ñ. Íîâèêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  344
Ëàðñ Àëüôîðñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  346

Îãëàâëåíèå

Ñ.Ë. Ñîáîëåâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  347
È.Ì. Ãåëüôàíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  352
×àðëüç Ôåôôåðìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  355
Àëåí Êîíí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  356
Ñ.Ê. Ñìèðíîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  357
Ãëàâà 16. Àáñòðàêòíàÿ àëãåáðà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  359
Ðàçâèòèå àëãåáðû â Åâðîïå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  359
Ôåðäèíàíä Ôðîáåíèóñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  362
Ýììè ͸òåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  363
Ýìèëü Àðòèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  365
Áàðòåë Âàí-äåð-Âàðäåí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  367
Äæîí Òîìïñîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  369
Ðàçâèòèå àëãåáðû â ÑÑÑÐ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  370
Ä.À. Ãðàâå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  374
Î.Þ. Øìèäò  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  375
Í.Ã. ×åáîòàð¸â  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  377
À.È. Ìàëüöåâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  379
È.Ð. Øàôàðåâè÷  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  380
Ã.À. Ìàðãóëèñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  382
Å.È. Çåëüìàíîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  383
Ãëàâà 17. Ãåîìåòðèÿ â Ðîññèè â XX – íà÷àëå XXI â.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  384
Î÷åðê ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ãåîìåòðèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  384
Ñ.Ï. Ôèíèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  387
Á.Í. Äåëîíå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  389
À.Ä. Àëåêñàíäðîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  391
À.Â. Ïîãîðåëîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  395
Ì.Ë. Ãðîìîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  397

×àñòü IV. ÊÎÐÅÍÍÛÅ ÈÇÌÅÍÅÍÈß ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÐÀÇÄÅËÎÂ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÏÎÑËÅ ÂÒÎÐÎÉ ÌÈÐÎÂÎÉ ÂÎÉÍÛ  . . . . . . . . . .  399
Ãëàâà 18. Íèêîëÿ Áóðáàêè – êîëëåêòèâíûé ïñåâäîíèì ãðóïïû ìàòåìàòèêîâ  401
Âîçíèêíîâåíèå îáúåäèíåíèÿ ôðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ  . . . . . . . . . . .  401
Áóðáàêè è ðåôîðìà ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ  . . . . . . . . . . . . . .  408
Àíðè Êàðòàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  411
Àíäðå Âåéëü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  412
Êëîä Øåâàëëå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  414
Ëîðàí Øâàðö  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  415
Æàí-Ïüåð Ñåðð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  416
Äæîí Òåéò  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  418
Àëåêñàíäð Ãðîòåíäèê  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  419
Æàê Òèòñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  422
Ãëàâà 19. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà è ìàòåìàòèêà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  424
Î ïðîáëåìàõ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  424
Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö  . . . . . . . . . . . . . . .  425
Òåîðèÿ ñóïåðñòðóí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  430
Í.Í. Áîãîëþáîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  436
Ðè÷àðä Ôåéíìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  440
Ðîäæåð Ïåíðîóç  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  443
Ë.Ä. Ôàääååâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  445

Îãëàâëåíèå

Øèíòàí ßó  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  448
Ýäâàðä Âèòòåí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  449
Âîãàí Äæîíñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  450
Ì.Ë. Êîíöåâè÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  451
Ãëàâà 20. Òîïîëîãèÿ âòîðîé ïîëîâèíû ÕÕ â.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  454
Íîâûå èäåè â òîïîëîãèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  454
Â.À. Ðîõëèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  458
Ðåíå Òîì  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  461
Ñòèâåí Ñìåéë  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  462
Äæîí Ìèëíîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  463
Ìàéêë Àòüÿ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  464
Ñ.Ï. Íîâèêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  466
Ãèïîòåçà Ïóàíêàðå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  469
Óèëüÿì Ò¸ðñòîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  471
Ìàéêë Ôðèäìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  472
Ñàéìîí Äîíàëäñîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  473
Ã.ß. Ïåðåëüìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  474
Ãëàâà 21. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  478
Î÷åðê ðàçâèòèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  478
Êóíèõèêî Êîäàèðà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  481
Õåéñóêå Õèðîíàêà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  482
Äýâèä Ìàìôîðä  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  483
Ïüåð Äåëèíü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  484
Ãåðä Ôàëòèíãñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  485
Ñèãåôóìè Ìîðè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  485
Â.À. Âîåâîäñêèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  486
Ãëàâà 22. Òåîðèÿ ÷èñåë  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  489
Îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  489
Ãîäôðè Õàðäè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  493
Øðèíèâàñà Ðàìàíóäæàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  495
È.Ì. Âèíîãðàäîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  498
Ë.Ã. Øíèðåëüìàí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  500
À.Î. Ãåëüôîíä  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  502
Àòëå Ñåëüáåðã  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  504
Êëàóñ Ðîò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  505
Àëàí Áåéêåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  506
Ýíðèêî Áîìáüåðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  507
Þ.Â. Ìàòèÿñåâè÷  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  508
Òåðåíñ Òàî  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  509
Ãëàâà 23. Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  511
Ïðåäûñòîðèÿ Âåëèêîé òåîðåìû Ôåðìà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  511
Ãèïîòåçà Òàíèÿìû – Øèìóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  514
Çàâåðøàþùèå àòàêè íà Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà  . . . . . . . . . . . . . . . .  517
Ýíäðþ Óàéëñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  518
Ðîáåðò Ëåíãëåíäñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  521
Â.Ã. Äðèíôåëüä  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  523
Ëîðàí Ëàôôîðã  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  524
À.Þ. Îêóíüêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  525
Áàî ×àó Íãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  526

Îãëàâëåíèå

×àñòü V. ÐÀÇÂÈÒÈÅ ÍÎÂÛÕ ÐÀÇÄÅËΠÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
ÏÎÑËÅ ÂÒÎÐÎÉ ÌÈÐÎÂÎÉ ÂÎÉÍÛ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  527
Ãëàâà 24. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, êèáåðíåòèêà, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà  . . . . . .  529
Èç ïðåäûñòîðèè âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  529
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  530
Êèáåðíåòèêà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  533
Ìàòåìàòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  537
Àäà Ëàâëåéñ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  538
Íîðáåðò Âèíåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  539
Àëàí Òüþðèíã  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  541
Êëîä Øåííîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  543
Â.Ì. Ãëóøêîâ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  545
Ãëàâà 25. Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé è òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  548
Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé è êðóã ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ . . . . . . . . . . .  548
Àãíåð Ýðëàíã  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  553
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  554
Ðè÷àðä Áåëëìàí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  558
Ë.Â. Êàíòîðîâè÷  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  559
Í.Í. Ìîèñååâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  563
Äæîí Ôîðáñ Íýø-ìëàäøèé  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  565
Ëîòôè Çàäå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  566
Ãëàâà 26. Íåñòàíäàðòíûå ìåòîäû àíàëèçà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  571
Ðàñõîæäåíèå ñîâðåìåííûõ ôèçè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé ñ èäåÿìè
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  571
Íåñòàíäàðòíûé (èíôèíèòåçèìàëüíûé) àíàëèç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  572
Áåñêîíå÷íî ìàëûå âåëè÷èíû â òðàêòîâêå Ëåéáíèöà  . . . . . . . . . . . . . .  580
Îòíîøåíèå ó÷åíûõ ê èäåå áåñêîíå÷íî ìàëûõ âåëè÷èí  . . . . . . . . . . .  580
Áóëåâîçíà÷íûé àíàëèç  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  584
Òóðàëüô Ñêîëåì  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  585
Àáðàõàì Ðîáèíñîí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  586
Ïåòð Âîïåíêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  587
Ãëàâà 27. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ïîðÿäîê è õàîñ.
Ñîçäàíèå ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  589
Ïîèñê åäèíûõ çàêîíîâ ýâîëþöèè  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  589
Êëþ÷åâûå ïîíÿòèÿ êà÷åñòâåííîé òåîðèè ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ
ñèñòåì  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  590
Âàðèàíòû êà÷åñòâåííîé òåîðèè ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì  . . . . . .  593
Ôðàêòàëû  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  601
À.Ñ. Áåçèêîâè÷  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  607
È.Ð. Ïðèãîæèí  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  609
Ýäâàðä Ëîðåíö  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  611
Áåíóà Ìàíäåëüáðîò  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  614
Þðãåí Ìîçåð  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  616
Â.È. Àðíîëüä  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  617
Æàí-Êðèñòîô Éîêêîç  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  620
Ýëîí Ëèíäåíøòðàóññ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  621
Çàêëþ÷åíèå  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  622
Ëèòåðàòóðà  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  626
Èìåííîé óêàçàòåëü  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  629

Îãëàâëåíèå

Íèêàêàÿ èíàÿ íàóêà íå îáëàäàåò òàêèì ñîâåðøåííûì ïðåä-
ñòàâëåíèåì îá èñòèííîñòè è ëîæíîñòè ñóæäåíèé, êàê ìàòå-
ìàòèêà… Ìàòåìàòè÷åñêîå òâîð÷åñòâî òðåáóåò àáñîëþòíî
òî÷íîãî ñîáëþäåíèÿ çàêîíîâ ìûøëåíèÿ, äèñöèïëèíèðóåò
è ôîðìèðóåò ëè÷íîñòü, ïîìîãàÿ åé âûðàáîòàòü ñèñòåìó öåí-
íîñòåé âûñîêîé ïðîáû.

À.Â. Àðõàíãåëüñêèé

ПРЕДИСЛОВИЕ

Ìàòåìàòèêà ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì ïðåäìåòîì ïðè îáó÷åíèè â øêîëàõ
è ïðåïîäàåòñÿ âî âñåõ òåõíè÷åñêèõ âóçàõ. Íî ýòî ëèøü çíàêîìñòâî ñ ýëåìåí-
òàðíîé ìàòåìàòèêîé è íåñêîëüêèìè êëàññè÷åñêèìè ðàçäåëàìè âûñøåé ìàòå-
ìàòèêè.
Ãðàíäèîçíûé «ãîðîä» ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ñ åãî «íåáîñêðåáàìè»
ðàçëè÷íûõ ðàçäåëîâ, èíîãäà ñòîÿùèõ îñîáíÿêîì, íî ÷àùå ñâÿçàííûõ îáùåé
èíôðàñòðóêòóðîé, äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà âûïóñêíèêîâ òåõíè÷åñêèõ
âóçîâ – «òåððà èíêîãíèòà». Äàæå äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ-ìàòåìàòèêîâ ìíîãîå
îñòàåòñÿ íåïîçíàííûì, òàê êàê â íàñòîÿùåå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ òåíäåíöèÿ
ê ñóæåíèþ äèàïàçîíà ìàòåìàòè÷åñêèõ èíòåðåñîâ.
Ðàíüøå áûëà òàêàÿ ñïåöèàëüíîñòü – «ìàòåìàòèê», ïîòîì óäîáíåå ñòàëî
ãîâîðèòü î ïðîôåññèîíàëüíîì ìàòåìàòèêå «ãåîìåòð» èëè «àëãåáðàèñò», èëè
«àíàëèòèê», à ñåãîäíÿ è òàêîå äåëåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ êðóïíûì. Èáî îñíîâ-
íûå ìàòåìàòè÷åñêèå äèñöèïëèíû – ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà, àðèôìåòèêà (òåî-
ðèÿ ÷èñåë) è ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç – ðàñïàëèñü íà ðÿä øêîë è íàïðàâëåíèé,
êàæäîå èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì ïîäõîäîì, ñâîèì ñïåöèôè÷åñêèì
«ÿçûêîì». È âîò óæå, êàæåòñÿ, ñïåöèàëèñòû ïî ãåîìåòðèè «â ìàëîì» ðàçó÷è-
ëèñü ïîíèìàòü ñïåöèàëèñòîâ ïî ãåîìåòðèè «â öåëîì»; ñïåöèàëèñòû ïî àëãåá-
ðàè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë – ñïåöèàëèñòîâ ïî àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë;
ó÷åíûå, ðàçðàáàòûâàþùèå ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò òåîðèè îòíîñèòåëüíîñ-
òè, – ñïåöèàëèñòîâ ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìåòîäàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
 îäíîé èç ñâîèõ ñòàòåé âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê-óíèâåðñàë ÕÕ â. Äæîí
ôîí Íåéìàí ïèñàë, ÷òî åñëè õîðîøèé ôèçèê-òåîðåòèê ìîæåò àêòèâíî îðèåí-
òèðîâàòüñÿ ïðàêòè÷åñêè â ïîëîâèíå ñâîåãî ïðåäìåòà, òî ñîìíèòåëüíî, ÷òî
êòî-íèáóäü èç ìàòåìàòèêîâ îáëàäàåò õîòÿ áû ÷åòâåðòüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ
çíàíèé.
 áîëüøèíñòâå ñîâðåìåííûõ ó÷åáíèêîâ ìàòåìàòèêà èçëàãàåòñÿ êàê âíå-
âðåìåííàÿ è áåçëèêàÿ ñîâîêóïíîñòü áîëåå èëè ìåíåå ñîãëàñîâàííûõ îïðåäå-
ëåíèé, ïîíÿòèé, èäåé è ìåòîäîâ. Ýòî çàòðóäíÿåò ïîíèìàíèå âíóòðåííåé ëîãè-

êè ðàçâèòèÿ íàóêè, äâèæóùèõ ïðóæèí ýòîãî ðàçâèòèÿ è íåîáõîäèìîñòè ââåäå-
íèÿ òîãî èëè èíîãî ïîíÿòèÿ.
Äàííàÿ êíèãà ïðîäîëæàåò ðàçâèòèå èäåé, ïðåäñòàâëåííûõ àâòîðîì â êíèãå
«Ìàòåìàòèêà äðåâíÿÿ è þíàÿ», âûøåäøåé â ñâåò â Èçäàòåëüñòâå ÌÃÒÓ èì.
Í.Ý. Áàóìàíà â 2004 ã. Îòíîñèòåëüíî êðàòêàÿ èíôîðìàöèÿ î ñîâðåìåííîé ìà-
òåìàòèêå, èçëîæåííàÿ â ïðåäûäóùåé êíèãå, çäåñü çíà÷èòåëüíî ðàñøèðåíà.
 ðàáîòó âêëþ÷åíû áèîãðàôèè èçâåñòíûõ ìàòåìàòèêîâ, âíåñøèõ çàìåòíûé
âêëàä â åå ðàçâèòèå ïåðèîäà XIX – íà÷àëà XXI â. Ê ñîæàëåíèþ, î ìàòåìà-
òèêàõ, ðàáîòàþùèõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ, èíôîðìàöèè î÷åíü ìàëî. Âî-ïåðâûõ,
ýòî ñâÿçàíî ñ ýòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè, à âî-âòîðûõ, ñî ñëîæíîñòüþ îöå-
íèâàíèÿ çàñëóã ñîâðåìåííèêîâ. Â ïîäòâåðæäåíèå ñêàçàííîìó õîòåëîñü áû
ïðîöèòèðîâàòü Ñ.À. Åñåíèíà: «Ëèöîì ê ëèöó ëèöà íå óâèäàòü. // Áîëüøîå
âèäèòñÿ íà ðàññòîÿíüå». Ïîýòîìó î ïåðâûõ äâóõ òðåòÿõ ÕÕ â. ðàññêàçàíî
áîëåå ïîäðîáíî, ÷åì î ïîñëåäíåé.
Ïîäáîð ïåðñîíàëèé, î æèçíè è òâîð÷åñòâå êîòîðûõ ðàññêàçûâàåòñÿ â êíèãå,
ÿâëÿåòñÿ ñóáúåêòèâíûì âûáîðîì àâòîðà. Âñëåäñòâèå ýòîãî êíèãà ÿâëÿåòñÿ
îòðàæåíèåì ïðåäñòàâëåíèÿ àâòîðà î âåëè÷èíå âêëàäà òîãî èëè èíîãî ó÷åíîãî
â ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè. Èç íûíå æèâóùèõ ìàòåìàòèêîâ âûáðàíû òå, êîòîðûå
ïîëó÷èëè ìèðîâîå ïðèçíàíèå, áûëè óäîñòîåíû ìåæäóíàðîäíûõ íàãðàä.
Ïåðèîäèçàöèÿ èñòîðèè ìàòåìàòèêè îñòàåòñÿ ñïîðíûì âîïðîñîì.
À.Í. Êîëìîãîðîâ ïðåäëîæèë ñ÷èòàòü ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêó ñ ìîìåíòà
ïîÿâëåíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé â XIX â. äî íàøèõ äíåé.  ñâÿçè
ñ ýòèì, íà÷àëîì ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ñ÷èòàþò ïîÿâëåíèå íååâêëèäîâîé
ãåîìåòðèè.
Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà ìíîãîãðàííà, è åå òåðìèíîëîãèÿ íåîáû÷àéíî
ñëîæíà. Ïðè ðàáîòå íàä êíèãîé àâòîðó ïðèõîäèëîñü âûáèðàòü ìåæäó äîñòóï-
íîñòüþ èçëîæåíèÿ è òî÷íîñòüþ. Ïðåäïî÷òåíèå îòäàâàëîñü äîñòóïíîñòè. ×è-
òàòåëÿìè êíèãè àâòîð âèäèò â îñíîâíîì ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ è èí-
æåíåðîâ, êîòîðûå èçó÷àëè âûñøóþ ìàòåìàòèêó, íî íå çíàêîìû ñ èñòîðèåé
ìíîãèõ åå ðàçäåëîâ. Îäíàêî êíèãà áóäåò ïîëåçíà è ãóìàíèòàðèÿì, èíòåðåñó-
þùèìñÿ èñòîðèåé íàóêè.
Õîòÿ â êíèãå îïèñàí ïðîöåññ ñòàíîâëåíèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, îíà
íå ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíèêîì, ïîýòîìó àâòîð ñòàðàëñÿ èçáåãàòü ôîðìóë. Ñóùå-
ñòâóåò ìíåíèå, ÷òî êàæäàÿ ôîðìóëà óìåíüøàåò âäâîå ÷èñëî ïîòåíöèàëüíûõ
÷èòàòåëåé.
Êíèãà ñîñòîèò èç ïÿòè ÷àñòåé, â êîòîðûå âõîäÿò 27 ãëàâ. Ïåðâàÿ ÷àñòü
âêëþ÷àåò â ñåáÿ òðè ãëàâû. Ýòà ÷àñòü çíàêîìèò ÷èòàòåëÿ ñ îñîáåííîñòÿìè
ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, àëüòåðíàòèâíûìè òî÷êàìè çðåíèÿ ó÷åíûõ íà öåëè
èññëåäîâàíèé è ñâÿçü ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ñ ðåàëüíîé æèçíüþ; îñíîâ-
íûìè èäåÿìè, äàâøèìè íà÷àëî ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå è òåìè ó÷åíûìè
XIX â., êîòîðûå îêàçàëè çàìåòíîå âëèÿíèå íà åå ñòàíîâëåíèå; ðàññêàçûâàåò
î ìåæäóíàðîäíûõ ñâÿçÿõ ìàòåìàòèêîâ è ìåæäóíàðîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
êîíãðåññàõ, à òàêæå î ïðîôåññèîíàëüíûõ íàãðàäàõ ìàòåìàòèêîâ, îòìå÷åííûõ
çà íàèáîëåå âûäàþùèåñÿ ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé.
Âî âòîðîé ÷àñòè ðàññêàçûâàåòñÿ îá èñòîêàõ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè,
äâóõ ðîññèéñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîëàõ (ïåòåðáóðãñêîé è ìîñêîâñêîé), äâóõ

Ïðåäèñëîâèå

Ïðåäèñëîâèå

êðóïíåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîëàõ Çàïàäíîé Åâðîïû (íåìåöêîé è ôðàíöóç-
ñêîé), àìåðèêàíñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëå è î ôèëîñîôñêèõ ñïîðàõ îòíîñè-
òåëüíî îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè ïåðâîé òðåòè ÕÕ â.
Òðåòüÿ ÷àñòü êíèãè çíàêîìèò ÷èòàòåëÿ ñ òâîðöàìè òåõ ðàçäåëîâ ìàòåìà-
òèêè, êîòîðûå áûëè äîñòàòî÷íî ðàçâèòû óæå â íà÷àëå ÕÕ â. è ïðîäîëæàþò
ðàçâèâàòüñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ.
×åòâåðòàÿ ÷àñòü ïîâåñòâóåò îá àâòîðàõ èññëåäîâàíèé òåõ ðàçäåëîâ ìà-
òåìàòèêè, êîòîðûå ïîñëå Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû ðàçâèâàëèñü ãîðàçäî èíòåí-
ñèâíåå, ÷åì äî åå íà÷àëà.
 ïÿòîé ÷àñòè ðàññêàçàíî î ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè, êîòîðûå â íà÷àëå
ÕÕ â. íàõîäèëèñü â ñòàäèè ñòàíîâëåíèÿ èëè íå ñóùåñòâîâàëè âîâñå.
Äèàïàçîí èíòåðåñîâ âûäàþùèõñÿ òâîðöîâ ìàòåìàòèêè ÕÕ â. êîëåáàëñÿ
îò óâëå÷åííîñòè â òå÷åíèå âñåé æèçíè îäíèì ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè, äî ïî-
ëó÷åíèÿ âàæíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ âî ìíîãèõ åå ðàçäåëàõ. Óíèâåðñàëüíûìè
ìàòåìàòèêàìè áûëè À. Ïóàíêàðå, Ä. Ãèëüáåðò, Ã. Âåéëü, À.Í. Êîëìîãîðîâ,
Äæ. ôîí Íåéìàí, Ô. Êëåéí, Ñ.Ë. Ñîáîëåâ, Í. Âèíåð. Ýòî âûçûâàëî áîëüøèå
òðóäíîñòè ó àâòîðà äàííîé êíèãè ïðè âûáîðå ãëàâû, â êîòîðîé õîòåëîñü áû
ðàññêàçàòü î êîíêðåòíîì ìàòåìàòèêå. Ìíîãèå ó÷åíûå ïðîâîäèëè èññëåäîâà-
íèÿ â îïðåäåëåííûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè. Íàïðèìåð, Ñ. Áàíàõ çàíèìàëñÿ
òîëüêî ôóíêöèîíàëüíûì àíàëèçîì, Ý. ͸òåð – àëãåáðîé, Ø. Ðàìàíóäæàí –
òåîðèåé ÷èñåë.
Õîòÿ àâòîðó ïðèøëîñü îçíàêîìèòüñÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì êíèã
è æóðíàëîâ, íå îáîøëîñü áåç èíòåðíåò-èñòî÷íèêîâ. Îãðîìíóþ ïîìîùü â ïîä-
áîðå ìàòåðèàëà îêàçàëè ñòóäåíòû ôàêóëüòåòà «Ôóíäàìåíòàëüíûå íàóêè»
ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, îáó÷àþùèåñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè «Ïðèêëàäíàÿ ìà-
òåìàòèêà», êîòîðûì àâòîð î÷åíü ïðèçíàòåëåí. Àâòîð òàêæå áëàãîäàðèò êîë-
ëåêòèâ êàôåäðû «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà» çà ïîìîùü â ïîèñêå èíôîðìàöèè
è êîëëåêòèâ Èçäàòåëüñòâà ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, îñîáåííî Áóðàâë¸âó Â.Ñ.,
çà âûñîêèé ïðîôåññèîíàëèçì è òåðïåíèå.
Àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî ïðî÷èòàâøèé êíèãó áóäåò ëó÷øå ïîíèìàòü èñòîðèþ
ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè è çàõî÷åò áëèæå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ýòîé
çàìå÷àòåëüíîé íàóêîé, ÷òîáû óñïåøíî ïðèìåíÿòü ïîëó÷åííûå çíàíèÿ â ïî-
âñåäíåâíîé æèçíè.

Â.Ô. Ïàíîâ

Часть I

МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ

 ôèçèêå, èíæåíåðíîì äåëå, ýêîíîìèêå, ïñèõîëîãèè, ìåäè-
öèíå, áèîëîãèè, âñþäó, ãäå åñòü íåîáõîäèìîñòü òî÷íî îïè-
ñàòü ïðîèñõîäÿùåå è òî÷íî âûðàçèòü çàêîí, óïðàâëÿþùèé
òåì èëè èíûì ÿâëåíèåì, âñþäó íà ïîìîùü ïðèõîäÿò ïîíÿ-
òèÿ, êîíñòðóêöèè è ìåòîäû ìàòåìàòèêè.

À.Â. Àðõàíãåëüñêèé

Для людей, чья деятельность не связана с математикой и имеющих гуманитарный
склад мышления, математика воспринимается не как наука, а как наиболее формализованная, а, следовательно, и наиболее скучная школьная и вузовская дисциплина.
По их мнению, в математике все давно уже сделано, просто готовые формулы используют в решении прикладных задач, а тот факт, что математика продолжает развиваться и в ней происходят открытия, вызывает искреннее удивление.
В средствах массовой информации о математике пишут намного меньше, чем
о физике, химии и биологии. Это преимущественно объясняется сложностью понятийнокатегориального аппарата, отсутствием приложений и нежеланием профессиональных математиков популярно рассказывать о достижениях в этой науке. В действительности современная математика – это фундаментальные проблемы,
непрекращающиеся теоретические и экспериментальные исследования, в том числе
с помощью компьютеров.
Еще в конце XVII в. Лейбниц считал, что математика должна изучать все, что
в области воображения поддается точному определению. Важной задачей математики
является изучение соотношений между математическими объектами. Коренные изменения в математике, придавшие ей современный вид, начались преимущественно
в XIX в.
В соответствии с предложением А.Н. Колмогорова, в истории математики условно выделяют четыре основных периода:
– зарождения математики (до VI–V вв. до н. э.);
– элементарной математики (математики постоянных величин) (VI–V вв. до н. э. –
XVI в.);
– создания математики переменных величин (XVI в. – сер. XIX в.);
– период современной математики.
Началом современной математики принято считать появление новых математических теорий в XIX в. Если ранее аксиомы считались истинами, не требующими
доказательства в силу своей очевидности, то постепенно пришло понимание, что
аксиомы скорее являются гипотезами и могут существовать различные мнения о том,
насколько построенные с их помощью модели соответствуют материальному миру.

Если в предыдущие периоды евклидова геометрия претендовала на «абсолютную
истинность», то появление непротиворечивой неевклидовой геометрии и дальнейшие
исследования Б. Римана показали, что существует неограниченное разнообразие геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами
вычисления расстояний и т. д.
Ранее алгебра занималась в основном решением уравнений и систем уравнений,
а также правилами преобразований буквенных выражений. В период современной
математики начали исследовать общие свойства алгебраических операций в произвольных множествах и изучать новые алгебраические структуры (группы, кольца,
поля, решетки и т. д.), возникшие из конкретных задач алгебры и геометрии.
Появляются новые разделы математики, расширяются направления исследований, меняются приоритеты. В математике теперь изучаются не только понятия, возникшие при рассмотрении реальных объектов, но и свойства «мыслимых объектов»,
(например, шаров или спиралей в бесконечномерном пространстве), логически возможные чистые формы, системы отношений.
Развитие математики не сводится лишь к росту количественных изменений,
а включает глубокие качественные изменения. Она переживает период бурного развития, диктуемого быстрым расширением сфер ее применения к различным областям
знания и техники. Развитие математики происходит в борьбе переплетающихся в ней
противоположностей: конкретного и абстрактного, частного и общего, формального
и содержательного, аксиоматического и конструктивного, конечного и бесконечного,
дискретного и непрерывного [84].
Математика стала приобретать характер истинно интернациональной науки. Каждые четыре года собираются международные математические конгрессы, ежегодно
проводятся международные симпозиумы и конференции, посвященные различным
разделам математики. Об изменениях, произошедших в ХХ в., свидетельствует перечень секций на международных математических конгрессах. Если на II конгрессе
в 1900 г. работали шесть секций, то на современных конгрессах их насчитывается
почти два десятка. Подробнее об этом рассказано в гл. 2.
Существуют различные международные профессиональные награды, которыми
отмечаются наиболее выдающиеся результаты исследований. Хотя по математике не
присуждают Нобелевскую премию, имеются уже четыре престижные премии, которыми отмечаются выдающиеся исследования математиков только на международных
математических конгрессах (медаль Филдса, премия Неванлинны, премия Гаусса,
медаль Черна). Кроме того, существуют престижные международные награды, в которых одной из номинаций является «математика».

Ãëàâà 1

ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Íå ñëåäóåò çàáûâàòü î òîì, ÷òî ìàòåìàòèêà âñåãäà áûëà
ïîäñïîðüåì äëÿ ôèëîñîôñêîãî îñìûñëåíèÿ ìèðà.

Â.Ì. Òèõîìèðîâ

Ïðèîðèòåòû â ìàòåìàòèêå ÕÕ â.

×åòêîé ãðàíèöû, ðàçäåëÿþùåé ìàòåìàòèêó XIX è ÕÕ ââ., íå ñóùåñòâó-
åò, íî ïîÿâèëèñü êà÷åñòâåííûå îòëè÷èÿ â ìàòåìàòèêå â öåëîì. Èõ òî÷íî
îõàðàêòåðèçîâàë îäèí èç âåäóùèõ ñîâðåìåííûõ ìàòåìàòèêîâ Ìàéêë Àòüÿ
â ëåêöèè, ïðî÷èòàííîé íà Ìåæäóíàðîäíîì ìàòåìàòè÷åñêîì ñèìïîçèóìå â èþíå
2000 ã. â Òîðîíòî.
Ïåðâîå îòëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðåõîäå îò ëîêàëüíîãî ê ãëîáàëüíîìó.
 XIX â. ó÷åíûå ïðåäïî÷èòàëè ðàáîòàòü ñ ìàëûìè ìàñøòàáàìè, èçó÷àòü
ëîêàëüíîå ïîâåäåíèå îáúåêòîâ.  ÕÕ â. ó÷åíûå èíòåðåñîâàëèñü êðóïíûìè
ìàñøòàáàìè, ãëîáàëüíûì ïîâåäåíèåì îáúåêòîâ. Ïîñêîëüêó ñëîæíîñòü èçó-
÷àåìûõ ÿâëåíèé ðåçêî âîçðîñëà, ïîâûñèëñÿ èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèÿì íà êà-
÷åñòâåííîì óðîâíå, âàæíûìè ñòàëè òîïîëîãè÷åñêèå èäåè âî âñåõ ðàçäåëàõ
ìàòåìàòèêè. Îïðàâäàëèñü ïðåäñêàçàíèÿ Ïóàíêàðå î âîçðàñòàíèè ðîëè òîïî-
ëîãèè. Ýòà îñîáåííîñòü ÿâíî ïðîñìàòðèâàëàñü âî ìíîãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìà-
òèêè: òåîðèè ôóíêöèé, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, òåîðèè ÷èñåë,
òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå.
Âòîðîå îòëè÷èå – ïîâûøåíèå ðàçìåðíîñòè, ò. å. ïåðåõîä îò îäíî- è äâó-
ìåðíûõ îáúåêòîâ ê n-ìåðíûì. Íàïðèìåð, åñëè â ïðîøëîì â äèôôåðåíöèàëü-
íîé ãåîìåòðèè èçó÷àëè êðèâûå è ïîâåðõíîñòè, òî òåïåðü ñòàëè èçó÷àòü
n-ìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Îò êëàññè÷åñêîé òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïå-
ðåìåííîãî, ïîäðîáíî èçó÷àâøåé ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî, ïåðåøëè ê èçó-
÷åíèþ òåîðèè ôóíêöèé n êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ. Îò àíàëèçà êîíå÷íîìåð-
íûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ ïåðåøëè ê áåñêîíå÷íîìåðíûì ãèëüáåðòîâûì
ïðîñòðàíñòâàì è ò. ï.
Ñëåäóþùåå îòëè÷èå – ïåðåõîä îò êîììóòàòèâíîãî àñïåêòà ìàòåìàòèêè
âîîáùå, è àëãåáðû â ÷àñòíîñòè, ê íåêîììóòàòèâíîìó. Ïðåäïîñûëêîé ê ýòîìó
â XIX â. ñòàëè ðàáîòû Ãàëóà, îòêðûòèå êâàòåðíèîíîâ Ãàìèëüòîíîì, ðàáîòû
Ãðàññìàíà ïî âíåøíèì àëãåáðàì, ðàáîòû Êýëè ïî ìàòðèöàì. Âàæíåéøèì
ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè ñòàëà òåîðèÿ ãðóïï.  òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå ïåðåõîä
ê íåêîììóòàòèâíûì àñïåêòàì ñîâïàë ñ ñîçäàíèåì êâàíòîâîé òåîðèè è ïðèâåë
ê ïîÿâëåíèþ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé Ãåéçåíáåðãà, ðàçâèòûõ ôîí Íåé-
ìàíîì â òåîðèþ îïåðàòîðíûõ àëãåáð.

×àñòü I. Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ìèðå

Åùå îäíèì îòëè÷èåì ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ëèíåéíûõ àñïåêòîâ ðàçäåëîâ
ìàòåìàòèêè ê áîëåå ñëîæíûì íåëèíåéíûì. Íåëèíåéíûå ÿâëåíèÿ ìàëî èçó÷à-
ëèñü â XIX ñòîëåòèè è òîëüêî â ÕÕ â. íà÷àëàñü ñåðüåçíàÿ ðàáîòà íàä íèìè.
Ïðèìåðàìè ÿâëÿþòñÿ ïåðåõîä îò åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ê ðèìàíîâûì ãåî-
ìåòðèÿì, èçó÷åíèå ñîëèòîíîâ è õàîñà â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
ïåðåõîä îò óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ê óðàâíåíèÿì ßíãà – Ìèëëñà â òåîðåòè÷å-
ñêîé ôèçèêå.
Ðàññìîòðèì ïðèíöèïèàëüíûå èçìåíåíèÿ, ïðîèçîøåäøèå â ÕÕ â. â îñíîâ-
íûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè.
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ó÷åíûì ïðèøëîñü êðèòè÷åñêè ïåðåñìîò-
ðåòü îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, íà÷èíàÿ ñ ïîíÿòèÿ äåé-
ñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX â. ýòî ïîíÿòèå îêàçàëîñü «àðèô-
ìåòèçèðîâàíî», ò. å. ñâåäåíî ê ïîíÿòèþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.  êîíöå XIX â.
ïîñëå ðàáîò Þ. Äåäåêèíäà, Ã. Êàíòîðà è Ê. Âåéåðøòðàññà ó áîëüøèíñòâà
ìàòåìàòèêîâ ÕÕ â. ñëîæèëîñü âïå÷àòëåíèå, ÷òî òåîðèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
ðàçðàáîòàíà ïîëíîñòüþ è ïðîáëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áîëüøå íå ñóùå-
ñòâóåò. Íî èìåííî â ýòîì âîïðîñå áûëè îáíàðóæåíû òðóäíîñòè, ïðèâåäøèå
ê âîçíèêíîâåíèþ íîâûõ íàó÷íûõ íàïðàâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ âîïðîñàìè îáî-
ñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Óâåëè÷åíèå èíòåðåñà ê ôèëîñîôñêèì è ìåòîäîëîãè-
÷åñêèì ïðîáëåìàì, ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê èõ ðåøåíèþ ñâèäåòåëüñòâîâàëè
î ïðèáëèæåíèè î÷åðåäíîãî «êðèçèñà îñíîâ» ìàòåìàòèêè.
 íà÷àëå ÕÕ â. áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿëîñü îáîñíîâàíèþ ôóíäàìåí-
òàëüíûõ ïîíÿòèé, óñòàíîâëåíèþ åäèíñòâà â ìíîãîîáðàçèè ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìåòîäîâ, àíàëèçó ñòðîãîñòè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì è ïðîáëåìå íåïðîòèâîðå-
÷èâîñòè. Ýòî ïðèâåëî ê áîëüøèì ñïîðàì îòíîñèòåëüíî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìà-
òèêè, ñóòü êîòîðûõ ðàññìîòðåíà â ãë. 10.
Èç íîâûõ íàïðàâëåíèé, ðîäèâøèõñÿ â íà÷àëå ÕÕ â., ñëåäóåò íàçâàòü òðè
âåòâè – òåîðèþ ôóíêöèé, òîïîëîãèþ è ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç [73].
Òåîðèÿ ôóíêöèé.  òåîðèè ôóíêöèé (ñåé÷àñ åå ÷àùå íàçûâàþò êîìïëåêñ-
íûì àíàëèçîì) â XIX â. èññëåäîâàëèñü ôóíêöèè îäíîãî êîìïëåêñíîãî ïåðå-
ìåííîãî, ïðè÷åì ôóíêöèè çàäàâàëèñü â ÿâíîì âèäå. Òåïåðü èíòåðåñ ïðåä-
ñòàâëÿþò ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé: ðàñïîëîæåíèå îñîáåííîñòåé, îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòè çíà÷åíèé.
Íà ïåðâûé ïëàí âûäâèíóëàñü òåîðèÿ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåí-
íîãî. Îíà ñôîðìèðîâàëàñü âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX â., ãëàâíûì îáðàçîì, â ñâÿçè
ñ âîïðîñàìè òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ è ðàáîòàìè Ãåîðãà Êàíòîðà
ïî òåîðèè ìíîæåñòâ. Â êîíöå XIX â. òåîðèÿ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðå-
ìåííîãî îáîãàòèëàñü ïîíÿòèÿìè è ìåòîäàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Ýòî ïðèâåëî
ê ñîçäàíèþ òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ, ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ èçìåðèìîé ôóíê-
öèè, ñóùåñòâåííîìó îáîáùåíèþ ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà, êëàññèôèêàöèè ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî.
Ìåðà ìíîæåñòâà ïî Ëåáåãó, èçìåðèìûå ìíîæåñòâà Áîðåëÿ, êëàññû ôóí-
êöèé Áýðà, èíòåãðàë Ëåáåãà – âñå ýòè ïîíÿòèÿ âõîäÿò ñåé÷àñ â óíèâåðñèòåò-
ñêèå êóðñû ìàòåìàòèêè, à ïîÿâèëèñü â íàóêå â ïåðâûå ãîäû ÕÕ â. Âàæíûìè
äëÿ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè îêàçàëèñü ðàáîòû Ïåàíî, èçäàâøåãî â 1895–1908 ãã.
ïÿòü òîìîâ «Ìàòåìàòè÷åñêîãî ôîðìóëÿðà» – êîììåíòèðîâàííîãî èçëîæåíèÿ