Дифференциальные, дифференциально-комплексные преобразования и анализ динамической устойчивости сложных электротехнических систем

А.В. Степанов


Дифференциальные, дифференциальнокомплексные преобразования и анализ сложных электротехнических систем



Москва 2008

    УДК [621.31:631+631.001.57
    ББК 31.27-01

       С794









Рецензент д-р техн, наук, проф. В.А. Строев




       Степанов А.В.
    С794 Дифференциальные, дифференциально-комплексные преобразования и анализ сложных электротехнических систем. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 168 с.: ил.


              ISBN 978-5-7038-3197-7


             Описано дальнейшее развитие метода дифференциальных преобразований, разработанного Г.Е. Пуховым. Предложен метод дифференциально-комплексных преобразований. Рассмотрены вопросы применения этих методов к моделированию и анализу динамической устойчивости сложных электротехнических систем. Разработаны методики оценки запасов динамической устойчивости с использованием функций Ляпунова.
           Для научных работников, преподавателей вузов, инженерно-технических работников, занимающихся вопросами расчета, моделирования и анализа режимов в электротехнических, электроэнергетических системах.


                                               УДК [621.31:63]+631.001.57
                                               ББК 31.27-01







ISBN 978-5-7038-3197-7

                                   © Степанов А.В., 2008
                                   © Оформление. Издательство МГТУ


им. Н.Э. Баумана, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ


   Введение................................................... 5
   Глава 1. Операторный метод дифференциальных преобразований        ......................................... 10
         1.1. Прямое и обратное дифференциальные преобразования 10
         1.2. Дифференциальные спектры нелинейных функций...  14
         1.3. Припасовывание дифференциальных спектров......  18
         1.4. Моделирование переходных процессов............. 21
         1.5. Моделирование качаний ротора синхронного генератора 30
   Глава 2. Дифференциально-комплексные преобразования......  36
         2.1. Отображение переходных процессов в комплексную область ........................................... 36
         2.2. Конформные отображения переходных процессов на комплексной плоскости.............................. 39
         2.3. Прямое и обратное дифференциально-комплексные преобразования ....................................... 45
         2.4. Спектральные формы дифференциально-комплексных преобразований..................................... 47
         2.5. Припасовывание дифференциально-комплексных спектров .............................................. 52
         2.6. Локальные ошибки методов дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований............ 54
   Глава 3. Дифференциальные преобразования эллиптических функций Якоби....................................... 59
         3.1. Эллиптические функции Якоби.................... 59
         3.2. Дифференциальные изображения эллиптических функций Якоби ......................................... 61
         3.3. Восстановление динамических процессов по дифферен-
              циальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби.................................. 63
         3.4. Вычисление параметров колебаний ротора синхронной _ машины с помощью эллиптических функций............. 67
   Глава 4. Математические и спектральные модели электротехнических систем........................................... 72
         4.1. Модель синхронной машины....................... 72
         4.2. Модель асинхронного двигателя.................. 86

Оглавление

         4.3.  Модель трансформатора............................ 89
         4.4.  Модель линии электропередачи..................... 92
         4.5.  Уравнения баланса мощности ...................... 94
   Глава 5. Анализ динамической устойчивости с использованием прямого метода Ляпунова ................................ 96
          5.1. Задача анализа переходных процессов при больших возмущениях .............................................. 96
          5.2. Модель консервативной многомашинной электроэнергетической системы...................................... 103
          5.3. Функция Ляпунова энергетического типа для многомашинной электроэнергетической системы.................. 107
          5.4. Оценка запаса динамической устойчивости ......... ПО
          5.5. Множество решений для алгебраических моделей электротехнических систем................................. 121
         5.6.  Определение критических значений функции Ляпунова 128
   Глава 6. Компьютерное моделирование электротехнических систем...................................................... 136
          6.1. Структурные модели элементов электротехнических систем.................................................. 136
         6.2.  Трехфазное КЗ на шинах синхронного генератора... 146
          6.3. Анализ динамической устойчивости трехмашинной системы ................................................ 153
          6.4. Оценка запаса динамической устойчивости фрагмента электроэнергетической системы ........................ 156
   Заключение.................................................. 160
   Список литературы........................................... 162

ВВЕДЕНИЕ

       Создание сложных электротехнических систем для решения ряда глобальных задач в области энергетики, транспорта, связи, экологии является основой развития современной высокоинтегрированной экономики. К сложным электротехническим системам могут быть отнесены автономные электрические системы, системы электроснабжения на транспорте, крупных промышленных предприятиях, крупномасштабные электроэнергетические системы. Сложные электротехнические системы состоят из большого числа различных подсистем, связанных для выполнения поставленных целей в единую многоуровневую иерархическую структуру. Управление сложными электротехническими системами вызывает особые трудности вследствие большого числа возможных состояний, различных возмущающих и управляющих воздействий. Например, в электроэнергетике одной из основных задач деятельности системы оперативнодиспетчерского управления, согласно Закону РФ «Об электроэнергетике», является «обеспечение надежного энергоснабжения и качества электрической энергии, соответствующих требованиям технических регламентов и иным обязательным требованиям, установленным иными нормативными актами, и принятие мер для обеспечения исполнения обязательств субъектов электроэнергетики».
       Сложность управления режимами электротехнических систем связана с тем, что такие системы представляют собой многомерные нелинейные объекты, описываемые математическими моделями в виде систем нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений большой размерности. Многомерность, много связность и нелинейность являются характерными особенностями этих систем.
       Для обеспечения устойчивого функционирования такого типа электротехнических систем в окрестности некоторого положения равновесия, называемого рабочей точкой, необходимо исследовать переходные процессы на большом множестве различных возмущающих и управляющих воздействий. Предполагается, что в окрестности положения равновесия может существовать множество особых точек, определяющих фазовый портрет системы [5, 6, 14], что затрудняет анализ динамической устойчивости таких систем.
       Надежность функционирования и живучесть электротехнических систем при воздействии различных возмущений обеспечивается качеством управления режимами и наличием запаса динамической устойчивости. В электроэнергетике нарушение устойчивой параллельной работы синхронных генераторов может быть вызвано различными причинами: от

Введение

    ключением элемента сети, однофазным или многофазным коротким замыканием (КЗ), отключением генерирующих мощностей или крупного потребителя. Вследствие возмущения в системе возникает аварийный режим, который должен быть ликвидирован средствами противоаварийной защиты и автоматики или действиями оперативного персонала. После отключения возмущения система переходит в послеаварийный режим. Под действием возмущения в послеаварийной системе возникает переходный процесс, который может привести к нарушению динамической устойчивости и асинхронному ходу генераторов.
       Динамическая устойчивость многомашинной энергосистемы зависит от интенсивности возмущающих воздействий и времени их отключения, от параметров нормального (доаварийного) режима, конфигурации системы и параметров послеаварийного режима.
       Традиционно задачу исследования динамической устойчивости электроэнергетической системы решают методами численного интегрирования траекторий движения роторов синхронных генераторов при воздействии на систему возмущения [15, 29, 59], после которого возможно изменение структуры системы, переменных состояния. Несмотря на управляющее воздействие для отключения возмущения, фазовые траектории могут покинуть область притяжения послеаварийного положения равновесия. Произойдет нарушение устойчивой работы системы. Под динамической устойчивостью электроэнергетической системы понимают свойство системы возвращаться к послеаварийному устойчивому положению равновесия после воздействия больших возмущений. Таким образом, чтобы оценить область динамической устойчивости системы, необходимо провести численное интегрирование аварийной, а затем послеаварийной фазовых траекторий, причем это необходимо сделать для достаточно большого набора возмущающих и управляющих воздействий. Таким образом, для качественного анализа динамической устойчивости системы необходимы многовариантные расчеты траекторий движения, требующие больших вычислительных затрат. В то же время методы численного моделирования позволяют использовать достаточно подробные математические модели системы, учитывающие особенности электромагнитных и электромеханических процессов в системе.
       Проблема анализа переходных процессов и динамической устойчивости такого типа систем делает актуальной разработку специальных и эффективных методов математического моделирования, ориентированных на современные информационные технологии.
       Исследованием процессов в сложных электротехнических системах, разработкой моделей и методов их анализа занимались многие ученые как в странах ближнего (СНГ), так и дальнего зарубежья. Это прежде всего такие исследователи, как В.А. Веников, Н.И.Воропай, А.А. Горев, П.С. Жданов, В.И. Идельчик, А.А. Мартынюк, В.М. Матросов, ГЕ. Пухов, В.А. Строев, Л.В. Цукерник, Л.О. Чуа, Lj.T. Grujic, М. Ribbens-Pavella, * D.D. Shiliak и многие другие [1, 5, 8, 9, И, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 29, 32-37, 39, 59, 85, 89, 91]. Ими получен целый ряд важных фундаменталь

Введение

7

   ных результатов. Вместе с тем, несмотря на полученные существенные результаты, сложность задачи анализа многомерных нелинейных динамических систем, к которым относится многомашинная электроэнергетическая система, такова, что требует дальнейшего расширения возможностей математического моделирования. Развитие должно идти в двух направлениях:
       —     исследования в области построения и анализа математических моделей (с точки зрения их точности и адекватности);
       —     разработка эффективных методов математического анализа нелинейных систем (с точки зрения упрощения и декомпозиции для увеличения быстродействия при исследовании систем большой размерности).
       При решении электротехнических задач широкое распространение получил операторный метод на основе интегрального преобразования [22, 27, 87], позволяющий перейти от исходной аналоговой модели системы (оригиналов) к изображениям в области комплексных переменных. Исходные дифференциальные уравнения в этом случае заменяются алгебраическими. Однако этот подход применим только к линейным системам, что существенно ограничивает область его использования.
       В работах Г.Е. Пухова [43^6] разработан метод дифференциальных преобразований, который позволяет с помощью операции дифференцирования переходить от оригиналов в область дифференциальных изображений. Этот метод так же, как и метод, основанный на операции интегрирования, позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические. Таким образом, от исходной математической модели системы можно перейти к спектральной модели в области дифференциальных изображений. Используя спектральную модель, вычисляют дифференциальные спектры, по которым затем на основе ряда Тейлора можно восстановить переходный процесс на некотором интервале с заданной точностью. Метод дифференциальных преобразований в отличие от операторного метода применим и к нелинейным системам, что является его основным преимуществом. Наряду с рядом Тейлора для более эффективного восстановления переходных процессов по дифференциальным спектрам используют дробно-рациональные функции (аппроксимация Паде) и различного вида функциональные ряды, базисными функциями которых являются экспоненциальные, тригонометрические, эллиптические функции, полиномы Чебышева, Лежандра [47, 48, 71-76].
       Развивается также аппроксимационный подход, при котором приближенное решение определяется из условий минимизации невязки решаемых уравнений. Этот подход наиболее эффективен при решении уравнений с полиномиальными нелинейностями [47, 66, 69, 70].
       Для моделирования переходных процессов, имеющих колебательный характер, в работах [71-73, 77-80] был предложен метод дифференциальнокомплексных преобразований, основанный на отображении переходного процесса в комплексную область с помощью некоторого дифференциальнокомплексного оператора. В этом случае переходный процесс представляют кривой на комплексной плоскости и описывают с помощью двух действительных функций — амплитуды и фазы (модуля и аргумента

Введение

   комплекснозначной функции). Вычислив по спектральной модели системы дифференциальные спектры этих двух действительных функций, на основе обратного преобразования переходят к оригиналу. Кривую на комплексной плоскости можно преобразовать в другую кривую с помощью некоторого конформного отображения аналитической функцией. Более эффективно переходный процесс может быть восстановлен по дифференциальным спектрам, если выбор конформного отображения проводить с учетом характера переходного процесса.
       На основе дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований и представления математической модели системы спектральной моделью в области дифференциальных изображений были разработаны явные и неявные методы моделирования динамических систем [47-49, 51, 66, 67, 69-80], преимуществами которых является простота получения спектральной модели системы и возможность аналитического описания фазовой траектории.
       Важным моментом при моделировании аварийных и послеаварийных процессов является адекватность численных и аналоговых моделей системы. Возникает проблема качественного соответствия (с точки зрения устойчивости) аналоговых и численных моделей систем [4, 58].
       Другое направление анализа устойчивости нелинейных систем, развиваемое многочисленными авторами, основано на качественных методах [14, 30, 32-35]. При таком подходе об устойчивости послеаварийных траекторий системы судят с помощью некоторых интегральных критериев. По сути, в основе этих работ лежит теория устойчивости динамических систем, разработанная А.М. Ляпуновым, и второй (или прямой) метод Ляпунова.
       Близким к прямому методу Ляпунова является графический метод площадей, позволяющий по размерам «площадок» ускорения и торможения судить об устойчивости кривых качания роторов синхронных машин. Одним из первых этот метод описал А. А. Горев [11] применительно к устойчивости параллельной работы электрических станций. В зарубежной литературе ссылаются на работы [95, 96].
       Применение функций Ляпунова для анализа динамической устойчивости впервые было описано в работах Магнуссона [97] и Эйлетта [98]. Позднее были разработаны функции Ляпунова энергетического типа для консервативной модели системы [6]. Анализ динамической устойчивости проводили следующим образом: для послеаварийной модели системы определяли критическое значение функции Ляпунова, вычисляли функцию Ляпунова для значений переменных состояния системы после отключения возмущения. Если полученное значение было больше критического, то делали вывод о нарушении устойчивости. Функцию Ляпунова вычисляли для всех точек неустойчивого равновесия послеаварийной системы. Наименьшее из вычисленных значений принимали за критическое значение. Определение всех седловых точек в окрестности положения равновесия является очень сложной задачей, для систем большой размерности практически не решаемой.

Введение

9

       Обобщение метода площадей привело к разработке метода, называемого расширенным критерием равных площадей, который применим к многомашинной системе. Многомашинная система преобразуется к двухмашинной системе, для которой методом площадей исследуется динамическая устойчивость. Дальнейшее развитие этого подхода позволило разработать метод одномашинного эквивалента [39], причем параметры одномашинного эквивалента корректируются в процессе анализа после-аварийной фазовой траектории. Остается открытым вопрос об обосновании этого метода и правомочности сведения многомашинной системы к одномашинному эквиваленту.
       В настоящее время развиваются подходы, основанные на новых идеях в области теории устойчивости динамических систем — на методах векторных [34, 35, 89] и матричных [14] функций Ляпунова. В этом случае исходную систему сначала разделяют на подсистемы. Затем строят вектор-функцию, каждый элемент которой является функцией Ляпунова для подсистемы. Далее эту вектор-функцию совместно с уравнениями связи используют для оценки области устойчивости. Однако, несмотря на многочисленные исследования, оценки в области устойчивости, получаемые с помощью этого подхода, очень занижены и не имеют практической ценности.
       Наиболее интересные результаты получены применением функции Ляпунова энергетического типа [6], сохраняющей структуру сети и позволяющей получать достаточно близкие к реальным области и запасы динамической устойчивости.
       Работы целого ряда исследователей [2, 6, 7, 14, 25, 26, 39, 90-94] сосредоточились в основном на двух направлениях:
       —     построение функций Ляпунова, лучших с точки зрения адекватности описания процессов в многомашинной системе;
       —     разработка методов анализа этих функций для поиска критических значений при заданных возмущениях.
       В данной книге развивается разработанный Г.Е. Пуховым операторный метод дифференциальных преобразований, основным преимуществом которого является возможность применения не только к линейным, но и нелинейным системам. Предложен метод дифференциально-комплексных преобразований, основанный на представлении колебательных процессов кривыми на комплексной плоскости. Построена методика анализа переходных процессов и оценки запаса динамической устойчивости в электроэнергетических системах с использованием функций Ляпунова.

Гл а в а 1

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ





1.1. Прямое и обратное дифференциальные преобразования


      Развитие идеи метода степенных рядов [10, 83] и операционных методов привело к созданию метода дифференциальных преобразований [43-48], основой которого является прямое и обратное преобразования. При прямом преобразовании происходит переход от оригиналов (функций во временной области) к изображениям (функциям целочисленного аргумента). С помощью обратного преобразования осуществляется переход от изображений к оригиналам. Прямое преобразование основано на операции дифференцирования оригиналов. Обратный переход — от изображений к оригиналам — проводится с помощью ряда Тейлора, поэтому эти преобразования иногда называют тейлоровскими. Преимуществом этого метода является то, что дифференциальные преобразования позволяют легко перейти от дифференциальных уравнений математической модели системы к алгебраическим уравнениям как для линейных, так и нелинейных систем.
      Приведем некоторые основные положения метода дифференциальных преобразований [45, 46]. Пусть во временной области на интервале t 6 [0, Т] задана функция х(£) действительного аргумента t. Дифференциальным изображением функции х(Г) называется дискретная функция целочисленного аргумента к, определяемая выражением

=й-

'dkx{t] dtk

к = 0,1,2,3,...,

(1-1)

где Н — константа (обычно выбирается равной шагу расчета: Н = Ai).
   Выражение (1.1) описывает прямое преобразование. Последовательность значений Х(0), Х(1), Х(2), Х(3), Х(4), ...называют дифференциальным спектром функции x(i), а значение Х(к) — к-й дискретой.

1.1. Прямое и обратное дифференциальные преобразования И

   Обратное преобразование — от дифференциальных изображений к оригиналам — осуществляется на основе ряда Тейлора
ОО
                  ®(<) =
fe=0

   Выражение (1.2а) описывает обратное преобразование и представляет собой степенной ряд по степеням At = t — ti вида
ОО
*(t) = afₑ(At)fc                  (1.26)
к = О
с коэффициентами
«о = х (&), ai = ^ж' (ti), а₂ = ^ж" (ti),..., ап =    (Ц),...
   Если функция x(t) в промежутке значений аргумента t G [ti —Я, ti + Н] (Н > 0) имеет производные всех порядков и все они в указанном интервале по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом М > 0, т. е.
x^(t)^M, А; = 1,2,...,
тогда во всем промежутке t Е [ti — Н, ti + Я] функция ж(А) представляется рядом (1.26).
   Если функция x(t) является аналитической в некотором интервале t е [0, Т], то для каждой точки ti Е (0, Т) существует окрестность [ti — Я, ti + Я], в которой функция представляется степенным рядом (1.26). Для аналитической в интервале (0, Т) функции ж(Ц в каждой точке tj Е (0,Т) существует число г (0 < г < оо), называемое радиусом сходимости, для которого при At < г ряд (1.26) сходится абсолютно. Радиус сходимости г можно определить по формуле Коши —Адамара:
1
г = ...     .......
Нт у/\Х(к)/Нк\ к-^оо
   Целые функции — это функции, аналитические на всей действительной оси. Такие функции разлагаются в степенной ряд вида (1.26), сходящийся в любой точке действительной оси. Примерами целых функций являются ехрг, sin z, cos г.

Глава 1. Операторный метод дифференциальных преобразований

    В граничных точках ti + H я^- Н функция x(t) по дифференциальному спектру вычисляется по следующим формулам:

х(& + 1Г) = ^Х(А:);                        (1.3)
fc=0
оо
х&-Н) = 22 (-l)feX(fc).                    (1.4)
fc = 0


    Для сходимости числового ряда вида (1.3) или (1.4) должно выполняться условие
                            lim |X(fc)| = 0.                      (1.5)
                            fc-Я)

   Условие (1.5) для сходимости ряда является необходимым, но не достаточным. Сформулируем достаточное условие сходимости ряда.
   Пусть Ап - частная сумма ряда (1.3) (или (1.4)), т. е.

Ап = Х(0) + Х(1) + ... + Х(п)


   (или Ап = Х(0) - Х(1) + Х(2) - Х(3) + ... + (~1)пХ(п)), тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы каждому положительному числу £ отвечал такой номер N, для которого при п > N неравенство |Aₙ₊ₘ — Ап| < е выполняется при любом т = 1,2,3,... Если ряд, составленный из абсолютных значений членов ряда (1.3),

|Х(0)| + |Х(1)| + |АГ(2)| + IАС(3)I + ... + |X(n)I + ...


сходится, то ряд (1.3) называется абсолютно сходящимся. Для ряда, члены которого положительны, существуют признаки сходимости. Признак Коши устанавливает, что если существует такое число N > 0, при котором величина ап = X(n) | для всех п > N меньше единицы (aₙ < 1), то ряд (1.3) (или (1.4)) сходится.
   На основе преобразования (1.1) нетрудно получить дифференциальные изображения наиболее часто встречающихся функций (табл. 1.1).