Нечеткие модели и методы в менеджменте

Московский государственный технический университет
им. Н.Э. Баумана
Калужский филиал

А.С. Птускин

НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ
В МЕНЕДЖМЕНТЕ

Допущено Учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению
220 700 «Организация и управление наукоемкими производствами»
специальности 220 701 «Менеджмент высоких технологий»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2008

УДК 65.01
ББК 65.23
П87
Рецензенты:

кафедра «Математические методы анализа экономики»
экономического факультета
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
(зав. кафедрой, д-р экон. наук, профессор  М.В. Грачева);
член-корреспондент РАН, д-р экон. наук, профессор,
заместитель директора Центрального экономико-математического
института РАН  Г.Б. Клейнер

П87
Птускин А.С. Нечеткие модели и методы в менеджменте:
Учебное пособие. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2008. — 216 с.

ISBN 978-5-7038-3030-7

В пособии представлена методология экономико-математического
моделирования задач принятия решений на предприятиях в условиях не-
определенности. Рассмотрены инструментальные методы решения задач
менеджмента на базе качественных измерений средствами теории нечет-
ких множеств. Для типовых задач описан инструментарий, использующий
модели нечеткого математического программирования, нечеткие модели
многоатрибутного принятия решений, экспертные системы с нечеткой ло-
гикой. Рассмотрены алгоритмы и методы решения реальных задач плани-
рования и управления на предприятии.
Для студентов специальностей экономики и управления, аспирантов и
преподавателей вузов, руководителей и менеджеров предприятий.

УДК 65.01
ББК
65.23

©
Птускин А.С., 2008
©
Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3030-7
им. Н.Э. Баумана, 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ

Недостаток научно обоснованных методов принятия решений
существенно усложняет задачи менеджмента на предприятиях.
Прежде всего проблемы связаны с неопределенностью, нестабиль-
ностью окружающей среды, отсутствием полной и точной инфор-
мации. Поэтому так важна разработка инструментария, позволяю-
щего предприятиям решать реальные слабоструктурированные
управленческие задачи и адекватно учитывать неопределенность.
Чем выше уровень решаемых задач, тем чаще они принадлежат
к сфере подготовки решений качественного характера, тем более
им присущ обобщенный взгляд, отсутствие деталей, четких линий.
Процесс принятия управленческих решений всегда осуществляется
в условиях неполной информации. Возникающие задачи не могут
быть полностью формализованы, однако выполнение их отдельных
этапов существенно облегчается использованием математических
и инструментальных методов экономики. Однако эффективность
классических методов системного анализа для решения реальных
проблем и возможности традиционного математического аппарата
в отношении сложных и плохо формализованных задач ограничены.
Традиционные методы моделирования управленческих задач ис-
пользуют вероятностную или интервальную неопределенности. Од-
нако в большинстве случаев проблемы связаны с возможностью по-
явления каких-либо неповторяющихся событий и не могут рассмат-
риваться с точки зрения вероятностного подхода. При использова-
нии интервальной неопределенности и сценарных методов анализа
не учитывается возможность появления различных значений неоп-
ределенных величин, все значения считаются равнозначными. Оба
подхода не позволяют оперировать с качественной информацией.
В последнее время были выявлены новые типы неопределенно-
сти, и потребовались новые математические средства для исполь-
зования в случае, когда классические средства количественного
анализа не могут быть применены. Подобные средства предостав-
ляет теория нечетких (или размытых) множеств, часто называе-
мая теорией возможностей или нечеткой (размытой) логикой.
Теория нечетких множеств — важное направление исследования

операций — предоставляет средства для обработки качественных
вербальных утверждений и классификации результатов различных
действий. Далее мы в основном будем использовать термин нечет-
кое множество, хотя в литературе встречаются и другие переводы
английского fuzzy set: размытое множество или, реже, расплыв-
чатое множество.
Основополагающая работа, с которой начинается существова-
ние теории нечетких множеств, была опубликована профессором
Калифорнийского университета Лотфи Заде в 1965 году (Zadeh L.A.
Fuzzy Sets // Information and Control. — 1965. — Vol.8. — Р.338–353).
Мотивацией Заде при создании новой математической теории ста-
ло его убеждение в том, что эффективность классических методов
системного анализа как средства для решения реальных проблем и
возможности традиционного математического аппарата в отноше-
нии сложных и плохо формализованных задач ограничены. Он от-
мечал, что в системном анализе решение реальных задач часто под-
чинено развитию математических теорий, оперирующих с идеали-
зированными, слабо связанными с действительностью проблемами.
Одна из наиболее важных задач организации успешного про-
цесса принятия управленческих решений состоит в предоставле-
нии средств для оперирования с нечеткой, размытой информацией,
учета точек зрения различных участников этого процесса. Воз-
можности включения в формальный анализ задачи субъективных
представлений и ощущений лиц, принимающих решение, субъек-
тивных, неформализованных, нечетких входных данных, мнений и
суждений экспертов в рамках методологии традиционного количе-
ственного анализа недостаточны.
Лотфи Заде в предисловии к книге Е.В. Левнера, А.С. Птускина,
А.А. Фридмана «Размытые множества и их применение», изданной
в ЦЭМИ РАН в 1998 г., указывает, что использование нечеткой
логики объясняется тем, что наши знания часто недостаточны для
того, чтобы использовать стандартные методы количественного
анализа, либо тем, что зачастую не так важно, что информация не-
точна или частично недостоверна, если она может быть использо-
вана для достижения решения с низкой стоимостью и хорошо со-
гласованного с реальностью. Теория нечетких множеств предос-
тавляет возможность оперировать с нечеткими понятиями и орга-
нично включать человеческий интеллект в процесс принятия ре-

шений. Именно лицу, принимающему решение, предоставляется
окончательный выбор решения.
Теория нечетких множеств динамично развивается. Созданы
основополагающие принципы нечеткой логики, хорошо обоснован
математический аппарат теории, значительно растет число при-
кладных исследований, основанных на методологии теории нечет-
ких множеств, в самых различных областях: точных науках, произ-
водственных системах, менеджменте, медицине, метеорологии и
т.д. Техника нечетких множеств используется в базах данных и
базах знаний, управляющих системах, системах поддержки приня-
тия решений, в системах искусственного интеллекта, в том числе в
экспертных системах. Известны многочисленные примеры челове-
ко-машинных систем, предназначенных для обработки нечетких
знаний в различных сферах.
Во многих зарубежных университетах студентам, изучающим
экономику и менеджмент, преподаются основы теории размытых
множеств и возможности ее использования. У нас с теорией знако-
мятся в основном студенты технических и математических специ-
альностей, хотя интерес к нечеткой логике растет и некоторые ву-
зы включают ее в учебные программы подготовки экономистов и
менеджеров.
Это и стало причиной появления данной книги, в которой пред-
ставлена методология моделирования задач планирования и управ-
ления на предприятии средствами теории нечетких множеств.
Структура работы построена следующим образом. Вначале рас-
смотрен математический аппарат теории нечетких множеств, его
основные средства, используемые для решения задач планирова-
ния и управления, — концепции нечетких чисел и лингвистиче-
ских переменных, значениями которых являются не числа, а слова
или предложения естественного или формального языка. Далее
представлен анализ типов сопутствующих задачам управления и
планирования неопределенностей; даны описание и идентифика-
ция предлагаемых для решения задач инструментария и моделей с
использованием средств теории нечетких множеств. Следующие
разделы соответствуют составляющим этого инструментария и
раскрывают методологию моделирования задач менеджмента ука-
занными средствами. Эта методология предполагает определение
условий, в которых обосновано применение теории, а также выбор

типа представляющей модель математической конструкции и оп-
ределение принципов построения выбранных конструкций.
Число реальных задач огромно, поэтому рассмотрены типовые
задачи. Первыми рассмотрены нечеткие модели многоатрибутного
принятия решений как наиболее обширного класса задач. Далее
представлены модели и эвристические алгоритмы нелинейного
нечеткого математического программирования для решения одной
из задач планирования работы производственного оборудования.
Затем описаны принципы построения экспертных систем с нечет-
кой логикой. И наконец, рассмотрено линейное нечеткое матема-
тическое программирование в задачах формирования инвестици-
онной стратегии, для решения которых на финальном этапе ис-
пользуются результаты, представленные в предыдущих разделах.
Основой учебного пособия стали, в основном, две моногра-
фии: «Размытые множества и их применение» и «Решение страте-
гических задач в условиях размытой информации». Автор искрен-
не благодарен трем своим учителям: проф. Е.В. Левнеру и проф.
А.А. Фридману, соавторам первой книги, за помощь и разрешение
использовать ее материалы и проф. Г.Б. Клейнеру за консультации
и конструктивную критику.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

A — нечеткое множество или нечеткое число
{ }
X
x
=
— множество X  состоит из элементов x

x
A
∈
— элемент x  принадлежит множеству A

x
X
∀ ∈
— для всех ,x  принадлежащих X

,
j
j
T


τ

 — интервал с нижней границей 
jτ  и верхней

границей 
j
T

( )
A x
µ
— функция принадлежности x  нечеткому
множеству A
( )
( )
(
)
max
,
A
B
x
x
µ
µ
— максимальное значение из 
( )
A x
µ
 и 
( )
B x
µ

( )
( )
(
)
min
,
A
B
x
x
µ
µ
— минимальное значение из 
( )
A x
µ
 и 
( )
B x
µ

( )
max
A x
µ
— максимальное значение 
( )
A x
µ
[ ]
x
— целая часть x

( )
Supp
A x
µ
— носитель нечеткого множества A

( )
{
}
0
A
x
x
µ
>
— значения 
,x  для которых выполняется

( )
0
A x
µ
>

α — степень (уровень) принадлежности нечеткому 
множеству
Aα — множество α-уровня нечеткого множества A
A
B
=
— нечеткие множества A и B  равны
A
B
≠
— нечеткие множества A и B  не равны
A′ — дополнение нечеткого множества A
A
B
⊂
— нечеткое множество 
A содержится в
нечетком множестве B

A
B
∩
— пересечение нечетких множеств A и B

A
B
∪
— объединение нечетких множеств A и B

(
)
,
d A B
— обобщенное расстояние Хемминга для
нечетких множеств A и B

1,
,
n
ω
ω
…
— весовые коэффициенты выпуклой комбинации

X — лингвистическая переменная
(
)
T X
— терм-множество лингвистической переменной 
X

U — универсальное множество
G — синтаксическое правило, порождающее
термы множества (
)
T X

M
— семантическое правило, которое каждому
лингвистическому значению X  ставит в
соответствие его смысл 
(
)
M X

A
B
+
— операция сложения нечетких чисел A и B

A
c
+
— операция сложения нечеткого числа A и
обычного числа c
A
B
−
— операция вычитания нечеткого числа B

из нечеткого числа A
A
c
−
— операция вычитания обычного числа c  из
нечеткого числа A
A c
×
— операция умножения нечеткого числа A
на обычное число c
:
A c — операция деления нечеткого числа A на
обычное число c
A
B
α
≥
— нечеткое число A больше или равно на
уровне α  нечеткого числа B

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

1.1. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА

В традиционном смысле множество определяется своими элементами. 
Принадлежность любого элемента x  из универсального
множества X  множеству A может быть представлена двумя состояниями (
значениями): 0 (не принадлежит) или 1 (принадлежит).
Утверждение о том, что элемент x  является или не является элементом 
множества 
,
A  можно выразить с помощью так называемой
функции принадлежности 
( ),
A x
µ
 часто называемой в математической 
литературе характеристической функцией множества 
:
A

( )
1, если
;

0, если
.
A

x
A
x
x
A

∈

µ
= 
∉

Например, пусть мы имеем набор всех положительных целых
чисел 
{
}
1, 2, 3, 4, 5,
X =
…  и множество A четных чисел из 
,
X  меньших 
10. Тогда множество A можно записать как {
}
2, 4, 6, 8 ,  а соответствующие 
значения функции принадлежности:

(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1
0;
2
1;
3
0;
4
1;

5
0;
6
1;
7
0;
8
1;

9
0;
10
0;
0, если
8.

A
A
A
A

A
A
A
A

A
A
A

x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
n
n

µ
=
=
µ
=
=
µ
=
=
µ
=
=

µ
=
=
µ
=
=
µ
=
=
µ
=
=

µ
=
=
µ
=
=
µ
=
=
>

В этом случае определение принадлежности любого элемента
из X  множеству A не вызывает затруднений. Однако в реальной
жизни такая двузначность (принадлежит — не принадлежит) зачастую 
весьма проблематична и не соответствует действительности. 
Учитывая, что резкой границы между элементами, входящими
и не входящими в какое-либо множество (например, множество
молодых людей или множество предприятий с высоким темпом
роста), может и не быть, мы часто не можем дать четкий ответ на
вопрос о значениях функции принадлежности в рамках традиционной 
формальной логики. Выход из этой ситуации, предложен-

ный Заде, состоит в том, чтобы расширить булеву логику и говорить 
о том, что элемент может принадлежать множеству с большей
или меньшей степенью достоверности. Тогда функция принадлежности 
принимает не только два значения 0 или 1, но и любое промежуточное 
значение: 
( )
0
1.
A x
≤ µ
≤
Рассмотрим множество молодых людей. Мы можем предложить
форму функции принадлежности, показанную на рис. 1.1, и сказать, 
что 15-летний человек относится к множеству молодых людей
со степенью принадлежности 1; 28-летний — со степенью принад-
лежности 0,7; 35-летний — со степенью принадлежности 0,2.

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50

Возраст

Степень принадлежности
размытому множеству молодых людей

Рис. 1.1. Функция принадлежности множества молодых людей

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

140
150
160
170
180
190
200

Рост

Степень принадлежности
размытому множеству высоких людей

Рис. 1.2. Функция принадлежности множества высоких людей

Другим классическим примером нечеткого множества является
множество высоких людей. У этого множества также нет раздели-
тельной границы, и оно может быть представлено с помощью
функции принадлежности, показанной на рис. 1.2. Человека ростом
160 см мы относим к множеству высоких людей со степенью при-