Моделирование методов погони и параллельного сближения в задачах преследования

А.А. Дубанов 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
МЕТОДОВ  ПОГОНИ 
И  ПАРАЛЛЕЛЬНОГО 
СБЛИЖЕНИЯ 
В  ЗАДАЧАХ 
ПРЕСЛЕДОВАНИЯ  

 
 
МОНОГРАФИЯ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
РИОР 

 

УДК 51-74  
ББК 22.151.3 
         Д79 
 
 
Автор: 
Дубанов А.А. — канд. техн. наук, доцент кафедры геометрии и методики 
преподавания 
математики, 
Бурятский 
государственный 
университет 
им. Д. Банзарова (г. Улан-Удэ). Автор более 50 печатных работ, в том числе в 
Web of Science и Scopus по вычислительной геометрии, компьютерной 
геометрии, инженерной графике, математическому моделированию 
 
Рецензенты: 
Аюшеев Т.В. — д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой инженерной и 
компьютерной графики, Восточно-Сибирский государственный университет 
технологий и управления (г. Улан-Удэ); 
Притыкин Ф.Н. — д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры инженерной 
геометрии и САПР, Омский государственный технический университет 
 
А.А. Дубанов 
Д79   Моделирование методов погони и параллельного сближения в задачах 
преследования : монография / А.А. Дубанов. — Москва : РИОР, 2021. — 216 с. — 
DOI: https://doi.org/10.29039/02071-5 
 
ISBN 978-5-369-02071-5 
 
 
В данной монографии приведено описание методов и алгоритмов задач 
преследования на поверхностях. Произведено моделирование задач в среде 
программирования Mathcad. Развитие цифровых технологий позволяет 
производить 
моделирование 
разнообразных 
задач 
из 
теории 
дифференуциальных игр. В результате компьютерного моделирования было 
получено множество анимационных роликов, которые позволяют увидеть 
предлагаемые автором алгоритмические решения в задачах преследования. 
Монография может быть полезна студентам технических вузов, 
аспирантам и разработчикам робототехнических комплексов с элементами 
искусственного интеллекта. 
 

Издается в авторской редакции. 
 
ISBN 978-5-369-02071-5 
УДК 51-74  
ББК 22.151.3 
 
 
 
© Дубанов А.А. 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................................... 5 

1. 
МОДЕЛЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ ............................................................. 7 

1.1 МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ ....................................... 7 

1.2 КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА 
ПЛОСКОСТИ .............................................................................................................................. 16 

1.3 КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА 
ПОВЕРХНОСТИ ......................................................................................................................... 23 

1.4 КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ОКРУЖНОСТЕЙ 
АПОЛЛОНИЯ В ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ ..................................... 30 

1.5 КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ ПРОГРАММЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДА 
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ С ЗАДАННЫМИ 
ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КРИВИЗНУ ...................................................................................... 39 

1.6 КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДА 
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ..................................................... 54 

2. 
МОДЕЛЬ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ МЕТОДОМ ПОГОНИ .............................................. 69 

2.1 МЕТОД ПОГОНИ НА ПЛОСКОСТИ ................................................................................. 71 

2.2 
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ПОГОНИ НА ПЛОСКОСТИ ................ 73 

2.3 
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ПОГОНИ МЕТОДОМ 
КОРРЕКТИРОВКИ УГЛА НА ПЛОСКОСТИ ......................................................................... 77 

2.3.1 
СОВМЕЩЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С НАПРАВЛЕНИЕМ НА 
ТОЧКУ, ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ ОКРУЖНОСТИ АПОЛЛОНИЯ ........................................... 78 

2.4 
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ПОГОНИ НА ПОВЕРХНОСТИ ............ 80 

2.4.1 
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИИ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ................... 80 

2.4.2 
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИИ ЦЕЛИ НА ПОВЕРХНОСТИ ............................................. 84 

2.4.3 
СОНАПРАВЛЕННОСТЬ СКОРОСТЕЙ, КАК СТРАТЕГИЯ ЦЕЛИ ...................... 86 

2.5 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИИ 
ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯ МЕТОДОМ ПОГОНИ НА ПЛОСКОСТИ ........................................... 89 

2.6 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ МЕТОДА ПОГОНИ НА ПЛОСКОСТИ С 
ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КРИВИЗНУ ...................................................................................... 92 

2.7 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ КОРРЕКТИРОВКИ УГЛА В НАПРАВЛЕНИИ 
ПРЕСЛЕДВАТЕЛЯ ПРИ ИСПОЛЬЗВАНИИ СТРАТЕГИИ  ПОГОНИ .............................. 105 

2.8 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ ОБЪЕКТОВ В 
ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ .................................................................................................. 109 

3. 
МОДЕЛИ ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ....................................................... 119 

3.1 
ПРЕСЛЕДОВАНИЕ ГРУППОЙ ОДИНОЧНОЙ ЦЕЛИ ............................................. 119 

3.1.1 ЦЕЛЬ И СТРАТЕГИЯ ПЕРВОГО ОБЪЕКТА — ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯ .................... 119 

3.1.2 
ЦЕЛИ И СТРАТЕГИИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ОБЪЕКТОВ - 
ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ .............................................................................................................. 121 

3.1.3 
ЦЕЛЬ И СТРАТЕГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯ ................................ 122 

3.1.4 
ЦЕЛЬ И СТРАТЕГИЯ ОБЪЕКТА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ......................................... 123 

3.1.5 
РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С 
РАЗЛИЧНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ........................................................................................... 125 

3.2 
ПРЕСЛЕДОВАНИЕ ГРУППОЙ ОДНОЙ ЦЕЛИ С ЖЕСТКИМИ СВЯЗЯМИ ........ 127 

3.3 
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДОСТИЖЕНИЕ ГРУППОЙ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ ГРУППЫ 
ЦЕЛЕЙ ........................................................................................................................................ 130 

3.3.1 
МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ ........................................................... 130 

3.3.2 
ПРЕСЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ ЦЕЛИ ДВУМЯ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯМИ ............. 132 

3.3.3 
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТАВНОЙ КРИВОЙ ....................................................... 133 

3.3.4 
РАСЧЕТ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ............................................................ 135 

3.3.5 
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ....................................................................... 136 

3.4 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С 
РАЗЛИЧНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ........................................................................................... 139 

3.5 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ГРУППОЙ ОДНОЙ ЦЕЛИ 
ЖЕСТКИМИ СВЯЗЯМИ .......................................................................................................... 161 

3.6 
КОММЕНТАРИИ К ПРОГРАММЕ ОДНОВРЕМЕННОГО ДОСТИЖЕНИЯ 
ГРУППОЙ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЕЙ ГРУППЫ ЦЕЛЕЙ .......................................................... 173 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................................... 201 

ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................................... 203 

 

 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Квазидискретные дифференциальные игры преследования отличаются 

своим многообразием. Постановка задач в играх преследования берется из 

реальных 
ситуаций. 
Допустим, 
на 
алгоритмы 
квазидискретных 
и 

непрерывных игр преследования таких, как «катер – торпеда» или «ракета –  

самолет», оказывало влияние техническое состояние вооруженных сил 

различных стран. Но с течением времени техническое состояние, технологии 

не стоят на месте. Соответственно в алгоритмы существующих моделей 

квазидискретных игр преследования требуется внести существенные 

поправки. Если не создавать модель и алгоритм решения заново.  

В настоящее время каждую из задач, относящихся к области 

дифференциальных игр, можно смоделировать на компьютере в режиме 

реального времени. Мы в своих исследованиях старались для каждой из задач, 

представленных в монографии, создать свою  компьютерную динамическую 

модель.  

Мы в своих исследованиях старались произвести квазидискретное 

моделирование классических задач из школ Р. Айзекса, Л.С. Понтрягина, Н.Н. 

Красовского, А.И. Субботина, J.V. Breakwell, W.H. Fleming, M.G. Crandall, P.L. 

Lions и др. 

Развитие современных информационных технологий позволило вывести 

классические 
задачи 
преследования 
на 
уровень 
компьютерного 

моделирования. Такие отрасли индустрии, как производство беспилотных 

летательных аппаратов, конструирование робототехнических комплексов с 

элементами искусственного интеллекта сделали актуальными задачи 

разработки моделей поведения для задач преследования.  

 
Класс задач, связанных с задачей преследования, необычайно широк, и 

входят в отдельный раздел теории управления, как дифференциальные игры. 

 
Но мы в своей исследовательской работе будем больше опираться на 

методы 
вычислительной 
геометрии. 
Поскольку 
разрабатываемые 

математические модели преследования и уклонения создаются для реальных 

поверхностей, заданных точечным базисом.  

С появлением пакетов компьютерной математики стал шире класс задач 

преследования, с помощью которых можно не только выполнить 

математическое 
моделирование, 
но 
и 
произвести 
динамическую 

визуализацию, согласованную с реальным временем.  

 
 

1. МОДЕЛЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ 
Метод параллельного сближения является оптимальным методом 
преследования на плоскости в том, что он обеспечивает минимальное время 
достижения цели преследователем. Это показано в работах Петросяна Л.А. 
Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1997, 
Дифференциальные игры на выживание со многими участниками // Доклады 
АН СССР. 1965. Т. 161. № 2. С. 285–287. 
Метод 
параллельного 
сближения 
используется 
при 
наведении 
летальных аппаратов на цель. В этом случае линия, соединяющая 
преследователя и цель (линия визирования), при перемещении всегда 
сохраняет параллельность своему первоначальному положению. 
Как и на плоскости, так и в пространстве, направления скоростей 
преследователя и цели пересекаются в точке на окружности Аполлония. 
То есть направление скорости преследователя однозначно определяется 
расположением преследователя и цели, направлением и величиной скорости 
цели, а также величиной скорости преследователя.  
В рамках настоящей главы нами предложена модификация метода 
параллельного сближения в случае произвольного направления вектора 
скорости преследователя.  
 
1.1 МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ 

В данном разделе представлена квазидискретная геометрическая модель 

задачи  преследования с простым движением  на плоскости методом 

параллельного сближения. Строится окружность Аполлония и связанные с ней 

характеристические линии для каждого момента времени. В данной 

геометрической модели для предопределенной траектории цели находится 

оптимальная траектория преследователя. Моделирование производилось в 

системе компьютерной математики MathCAD. По результатам моделирования 

был изготовлен анимационный ролик, где можно просмотреть перемещение и 

преобразование 
окружности 
Аполлония 
и 
связанных 
с 
ней 

характеристических точек и линий. 

Окружности Аполлония применяются при решении задач простого 

преследования на плоскости, используя стратегии параллельного сближения. 

Простым движением в задачах преследования точки называется такое 

движение, при котором пройденное расстояние является линейной функцией 

времени: ∙ , где – модуль скорости точки.  

Окружность Аполлония – это геометрическое место точек плоскости, когда 

|| || ⁄
 (Рисунок 1.1). 

Применительно к задачам преследования окружность Аполлония 

содержит следующую идею. Если преследователь и цель в определенный 

момент времени имеют положения на плоскости и , и значения скоростей, 

равные по модулю и , соответственно.  

Тогда геометрическое множество точек , как место возможных встреч 

преследователя с целью , является окружностью радиуса  || с центром в 

точке [1], [2].  

Направления 
скоростей 
преследователя 
и 
цели 
являются 

взаимосвязанными. То есть направление скорости цели диктует направление 

скорости преследователя или наоборот, направление преследователя 

определяет направление цели, чтобы обеспечить встречу в точках, 

принадлежащих окружности Аполлония.  

 

Рисунок 1.1. Окружность Аполлония 

Целью данной статьи является формализация и алгоритмизация метода 

параллельного сближения преследователя и цели. 

То, что данное множество точек является окружностью, было известно 

еще древним математикам, но мы приведем выкладки расчета окружности и 

ее центра.  

Введем ортонормированную систему координат , с центром в 

точке (Рисунок 1), вектор сонаправлен вектору . Пусть , а 0 , 
где 
||. 
Тогда 
|| , 
а 
|| || . Из условия того, что преследователь и цель приходят в точку 

одновременно, имеем следующее: 
||

||

. Откуда следует, что ∙

∙ . После возведения в квадрат и раскрытия 

скобок получаем следующее уравнение: 

∙ ∙ ∙ . 

Полученное уравнение в системе , с центром в точке описывает 

окружность  радиуса и с центром в точке : 

∙ 0
, ∙ ∙ , ||. 

Отметим одну характеристическую точку, называемой точкой Аполлония: 

∙ ∙ ∙ 0
. 

Факт того, что стратегия преследователя в задаче преследования при 

помощи метода параллельного сближения, является оптимальной в плане 

минимизации времени поимки цели доказан в работах Петросяна Л.О. [1-8]. 

Будем считать, что для нашего итерационного процесса известны 

начальные данные и . Скорости преследователя и цели постоянны и 

равны по модулю и , соответственно. 

Траектория цели в нашей модели является предопределенной, поэтому 

мы сможем рассчитать массив точек , где дистанция между точками и 

равна:  

|| ∙ ∆,
∆период дискретизации по времени. 

Итерационная схема расчета координат преследователя, координат 

центров окружностей Аполлония, радиусов окружностей Аполлония, 

характеристических точек представлена на рисунке 1.2. 

Координаты преследователя на - ом шаге итераций будут выглядеть 

следующим образом: 

∙ ∆∙ ||. 

Рисунок 1.2. Итерационная схема 

Радиус окружности Аполлония: 

∙ ∙ ||. 

Центр окружности Аполлония рассчитывается таким образом: 

 

∙ . 

Координаты точки есть продукт решения системы уравнений 

относительно непрерывного параметра : 

∙ || ∙ . 

Разрешенная относительно параметра , вышеуказанная система 

представляет собой корни квадратного уравнения, вывод которых в данной 

статье мы приводить не будем из-за громоздких выражений. 

 В тестовой программе, написанной по материалам статьи, решение 

квадратного уравнения написано в виде отдельной процедуры – функции. С 

текстом тестовой программы можно ознакомиться здесь [18].  

То, что отрезок , останется параллельным отрезку , , не 

вызывает сомнений. Рассмотрим первый отрезок , .   

 Координаты точек и равны (Рисунок 1.3): 

∙ || ∙ ∆∙ || ∙ ∆

Исходя из того, что преследователь и цель должны придти в точку на 

окружности Аполлония одновременно, мы вправе сделать вывод, что: 

|| ∙ ∆|| ∙ ∆. 

Далее: 

∙ ∙ 1 ∙ . 

Другими 
словами, 
вектор 
сонаправлен 
вектору 
и 

перпендикулярен вектору нормали (Рисунок 1.3). 

 

Рисунок 1.3. Параллельное сближение преследователя и цели 

Нами была разработана тестовая программа, скриншот результатов 

работы которой, показан на рисунке 1.4. На рисунке 1.4 видно, что отрезки 

, образуют однопараметрическую последовательность параллельных 

, линий.