Строительная механика. Расчет статически неопределимых систем

С. П. Иванов
О. Г. Иванов
А. С. Иванова

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Расчет статически неопределимых систем

Учебное пособие

Йошкар-Ола

ПГТУ
2022

УДК 624.04
ББК  39.7

И 20

Рецензенты:

заведующий кафедрой прочности материалов Российского университета 
дружбы народов, профессор, д-р техн. наук С. Н. Кривошапко;
профессор кафедры механики Казанского государственного архитектурно-
строительного университета, д-р физ.-мат. наук Р. А. Каюмов

Печатается по решению 

редакционно-издательского совета ПГТУ

Иванов, С. П.

И 20
Строительная механика. Расчет статически неопределимых

систем: учебное пособие / С. П. Иванов, О. Г. Иванов, А. С. Иванова. – 
Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический 
университет, 2022. – 134 с.
ISBN 978-5-8158-2285-6

В пособии кроме кратко изложенного теоретического материала по 

статически неопределимым стержневым системам приведено большое
количество характерных типовых примеров с подробными решениями и 
необходимыми комментариями. В каждом разделе представлены задачи, 
которые могут быть использованы для проведения практических занятий, 
контрольных работ и самостоятельной работы студентов.

Для обучающихся строительных специальностей и направлений под-

готовки. Может быть рекомендовано также студентам других техниче-
ских специальностей.

УДК 624.04

ББК  39.7

ISBN 978-5-8158-2285-6
© С. П. Иванов, О. Г. Иванов,
А. С. Иванова, 2022
© Поволжский государственный
технологический университет, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................ 4

1. Расчет стержневых систем методом сил ................................. 5

1.1. Расчет систем на действие внешней нагрузки.................... 5
1.2. Расчет систем на изменение температуры.........................27
1.3. Расчет на смещение опор.....................................................35
1.4. Статически неопределимые фермы. Расчет на силовое 
воздействие ..................................................................................39
1.5. Расчет на температурное воздействие, смещение опор 
и неточности при изготовлении элементов ..............................44

2. Неразрезные балки.....................................................................57

2.1. Уравнения трех моментов ...................................................57
2.2. Матричная форма расчета неразрезной балки...................64

3. Метод перемещений...................................................................69

3.1. Расчет рам на силовое воздействие ....................................69
3.2. Расчет рам на температурное воздействие 
и на смещение опорных связей..................................................91

4. Расчет рам смешанным и комбинированными методами.. 100

4.1. Расчет рам смешанным методом ..................................... 100
4.2. Комбинированный метод расчета симметричных рам.. 106

5. Расчет перемещений в статически неопределимых 
системах......................................................................................... 113

5.1. Перемещения от неподвижной нагрузки ........................ 113
5.2. Перемещения от изменения температуры 
и смещения опор....................................................................... 117

6. Расчет статически неопределимых 
пространственных рам............................................................... 122

6.1. Метод сил........................................................................... 122
6.2. Метод перемещений.......................................................... 125

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................. 133

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем учебном пособии представлен материал второй 

части курса строительной механики – «Статически неопредели-

мые стержневые системы».

Основная цель данного издания – рассмотрение традицион-

ных методов расчета статически неопределимых стержневых си-

стем, а главное – приобретение и закрепление обучающимися 

практических навыков их использования.

В начале каждого раздела приведены краткие сведения из 

теории и основные формулы, необходимые при решении задач. 

По каждой теме курса приводятся подробно рассмотренные ре-

шения наиболее характерных примеров расчета, сопровождаемые

всеми необходимыми пояснениями и комментариями. 

В конце каждого раздела представлено большое количество 

задач различной сложности, что позволяет рассматривать насто-

ящее пособие как своеобразный сборник задач по расчету стати-

чески неопределимых систем.

Предлагаемое учебное пособие может быть использовано 

для самостоятельной и внеаудиторной работы студентов как оч-

ной, так и заочной форм обучения, а также может быть полезным 

преподавателям для проведения аудиторных занятий и контроль-

ных работ.

1

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 

МЕТОДОМ СИЛ

1.1. РАСЧЕТ СИСТЕМ НА ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНЕЙ 

НАГРУЗКИ

Системы, усилия в которых не могут быть определены при 

помощи одних только уравнений статики, называются статиче-

ски неопределимыми. Такие системы имеют некоторое число 

«лишних» связей сверх тех, которые необходимы для образования 
геометрически неизменяемой системы. Статически неопределимые 
системы могут быть рассчитаны с помощью различных

методов, одним из которых является метод сил.

Сложность расчета систем методом сил (МС) зависит прежде 

всего от степени статической неопределимости системы, которая 

равна числу «лишних» связей. Рассмотрим два способа определения 
степени статической неопределимости системы.

П е р в ы й  с п о с о б . Путем отбрасывания связей выделим 

статически определимые диски. Если число таких дисков, – Д, 

число связей, отброшенных при выделении дисков – С, то сте-

пень статической неопределимости системы n определяется по 

формуле

Д
С
n
3
−
=
.           
(1.1)

В т о р о й  с п о с о б . Обозначим число замкнутых контуров 

в системе К, а число простых шарниров – Ш (простым шарниром 

называется шарнир, соединяющий два диска; если шарнир соединяет 
m дисков, то он эквивалентен m-1 простым шарнирам). Степень 
статической неопределимости системы определяется выражением


Ш
К
n
−
= 3
.                                            (1.2)

При использовании последней формулы удобно шарнирно-
неподвижные опоры заменять цилиндрическими шарнирами.


Основная система метода сил получается из заданной путем 

отбрасывания «лишних» связей. Полученная при этом система 

должна быть статически определимой, геометрически неизменяемой 
и неподвижной. Если загрузить основную систему заданной 

внешней нагрузкой и усилиями, действующими в «лишних» связях 
заданной системы, то основная система будет эквивалентна 

заданной, то есть усилия и перемещения в этих системах окажутся 
одинаковы. Условие равенства нулю перемещений в направлениях 
отброшенных связей записывается в виде системы канонических 
уравнений:

0

0

0

2
2
1
1

2
2
2
22
1
21

1
1
2
12
1
11

=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

np
n
nn
n
n

p
n
n

p
n
n

X
...
X
X

....
..........
..........
..........
..........
..........

X
...
X
X

X
...
X
X
















,

(1.3)

где 
n
X
 
...,
 ,
X
 ,
X
2
1
– основные неизвестные МС, представляющие 

собой усилия в «лишних» связях заданной системы;

ij

– перемещение в основной системе в направлении i-ой 

отброшенной связи от силы 
1
=
j
X
;

ip

– перемещение в i-ом направлении от действия заданных 

нагрузок.

Перемещения
ij

и 
ip

определяются по формулам Максвелла-
Мора:

 
 
=
=

l

p
i

ip

l

j
i

ij
ds

EJ

M
M

   
,
ds

EJ

M
 
M



.            (1.4)

Для систем, состоящих из прямолинейных стержней с постоянной 
по длине каждого стержня жесткостью, вычисление интегралов 
может быть заменено «перемножением» эпюр по способу 

А. Н. Верещагина. С этой целью должны быть построены для основной 

системы 
эпюры 
моментов 
от 
единичных 
сил 

n
X
 
...,
 ,
X
 ,
X
2
1
и эпюра моментов от нагрузки. Вычисление интегралов «
перемножением» эпюр будем условно обозначать в виде 

произведений 
)
M
)(
M
(
j
i
ij =

, 
)
M
)(
M
(
p
i
ip =

. 

Для проверки правильности найденных коэффициентов 
ij

и 

свободных членов 
ip

используется суммарная единичная эпюра

s
M , построенная от всех единичных обобщенных сил, при этом 


=

=

n

i

i
s
M
M

1

.

Проверки коэффициентов и свободных членов заключаются 

в следующих вычислениях:


=

=

n

j

ij
s
i
)
M
)(
M
(

1

, 
 
=
=

=

n

i

n

j

ij
s
s
)
M
)(
M
(

1
1

, 

=

=

n

i

ip
p
s
)
M
)(
M
(

1

.

В результате решения системы канонических уравнений (1.3) 

определяются усилия в «лишних» связях.

Окончательную эпюру моментов можно получить, используя 

принцип независимости действия сил, как сумму эпюр моментов 

от действия усилий в «лишних» связях и эпюры от нагрузки:

p
n
n
M
X
M
...
X
M
X
M
M
+
+
+
+
=
2
2
1
1
.        
(1.5)

Эпюра поперечных сил Q может быть построена по эпюре 

моментов M, а эпюра продольных сил N – по эпюре Q. Для эпюр 

M, Q, N должны удовлетворяться статические проверки: сумма 

моментов в любом узле и сумма проекций на оси всех действу-

ющих сил для любой отсеченной части рамы должна равняться 

нулю.

Кроме того, эпюра моментов должна удовлетворять дефор-

мационной (кинематической) проверке: «произведение» эпюры M

на любую единичную 
i
M
или на суммарную единичную
s
M

должно быть равно нулю, то есть

 
 
=
=
=

l

s

ip

l

i
ds

EJ

M
M
     
,
ds

EJ

M
 
M
0
0

.
(1.6)

Использование симметрии. Для симметричных систем в 

том случае, если эпюры моментов единичных сил симметричны 

или кососимметричны (отличаются только знаками), система ка-

нонических уравнений метода сил разбивается на две системы 

уравнений. При этом одна из систем уравнений содержит сим-

метричные неизвестные, вторая – кососимметричные.

Эпюры моментов от единичных сил будут симметричны 

только в том случае, если все «лишние» неизвестные расположе-

ны на оси симметрии. Если это условие не выполняется, то для 

получения симметричных и кососимметричных эпюр использу-

ется прием, который называется группировкой неизвестных.

ПРИМЕР 1.1. Определить степень статической неопредели-

мости системы (рис. 1.1).

Рис. 1.1                                       Рис. 1.2

2
2

2 2

2
2
3
1

А

РЕШЕНИЕ

П е р в ы й  с п о с о б . На рисунке 1.2 показаны четыре стати-

чески определимых диска, выделенных путем отбрасывания свя-

зей. Количество отброшенных связей в каждом разрезе указано 

на рисунке цифрами. Общее число отброшенных связей С = 16. 

По формуле (1.1)
4
4
3
16
3
=

−
=
−
=
Д
С
n
.

В т о р о й  с п о с о б . На рисунке 1.3 шарнирно-неподвижные 

опоры изображены как цилиндрические шарниры. Римскими 

цифрами пронумерованы замкнутые 

контуры. При определении числа 

простых 
шарниров 
необходимо 

учесть, что шарнир А (см. рис. 1.1) 

кратен двум простым, так как соеди-

няет три диска. Номера простых 

шарниров показаны на рисунке араб-

скими цифрами (Ш = 8). Степень ста-

тической неопределимости системы
4
8
4
3
3
=
−

=
−
=
Ш
К
n
.

ПРИМЕР 1.2. Для рамы, схема которой показана на рисун-

ке 1.4 а, построить эпюры M, Q, N.

РЕШЕНИЕ. Определяем степень статической неопределимо-

сти системы. Рама имеет шесть связей с землей, отбрасывая кото-

рые, получим один статически определимый диск. Следователь-

но, 
степень 
статической 
неопределимости 
системы 

3
1
3
6
3
=

−
=
−
=
Д
С
n
.

III

2
3

1

8

7
6

4
5

IV

I

II

Рис. 1.3

а)                                            б)                                     в)

г)                                            д)                                     е)

ж)                                   з)                                    и)

Рис. 1.4

316

1
X

1
M
(кНм)

2
X

57

2
M
(кНм)

1
3 =
X

6

1
2 =
X

S
M

6

1
1 =
X

6
10
16

22

450
1
3 =
X

3
M

6

1
2 =
X

2
M

6

6

6

180

P
M
(кНм)

X1

X2

X3
10

1
1 =
X

1
M

EJ

G

D

B
K
E

EJ
EJ

4EJ

A

60кН

5кН/м

3м

4м

3м

6м