Одномерные непрерывные распределения : в 2 ч. Ч. 2

ОДНОМЕРНЫЕ
НЕПРЕРЫВНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

A Wiley-Interscience Publication
JOHN WILEY & SONS, INC.
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore

NORMAN L. JOHNSON

University of North Carolina 
Chapel Hill, North Carolina

SAMUEL KOTZ

University of Maryland 
College Park, Maryland

N. BALAKRISHNAN

McMaster University 
Hamilton, Ontario, Canada

Continuous Univariate
Distributions

Volume 2

Second Edition

Москва
Лаборатория знаний
2023

Т Е О Р И Я  В Е Р О Я Т Н О С Т Н Ы Х  Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Й

Перевод 2го английского издания
В. А. Кокотушкина

под редакцией
Е. В. Чепурина

5е издание, электронное

ОДНОМЕРНЫЕ
НЕПРЕРЫВНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

в двух частях
Часть 2

Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан

О С Т Н Ы Х

УДК 519.2
ББК 22.17
Д42

С е р и я
о с н о в а н а
в
2010 г.
Джонсон Н. Л.
Д42
Одномерные непрерывные распределения : в 2 ч. Ч. 2 /
Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан ; пер. 2-го англ. изд. —
5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 603 с. —
(Теория вероятностных распределений). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-655-1 (Ч. 2)
ISBN 978-5-93208-653-7
Приводятся необходимые общие сведения из теории непрерывных од-
номерных распределений, описан ряд их важных общих классов. Подробно
излагаются свойства девяти семейств базовых распределений (нормального,
логнормального, Коши, Вейбулла, хи-квадрат, гамма-, обратного гауссов-
ского, Парето). Важно, что издание снабжено обширной библиографией,
таблицами и графиками, необходимыми для активной работы с соответствующими 
семействами распределений.
УДК 519.2
ББК 22.17

Деривативное издание на основе печатного аналога: Одномерные непрерывные 
распределения : в 2 ч. Ч. 2 / Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан ;
пер. 2-го англ. изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. — 600 с. : ил. —
(Теория вероятностных распределений). — ISBN 978-5-94774-470-5 (Ч. 2);
ISBN 978-5-94774-468-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-655-1 (Ч. 2)
ISBN 978-5-93208-653-7

© 1
Copyright
994 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved.
This EBook is published under license
with the original publisher
John Wiley & Sons, Inc.

© Лаборатория знаний, 2021

Предисловие редактора перевода

Книга, которую Вы держите в руках, является завершающим томом трехтомника 
1), посвященного наиболее полному изложению на русском языке
математических свойств более чем 300 параметрических семейств распреде-
лений одномерных дискретных и непрерывных случайных величин.
Этот трехтомник в обязательном порядке должен быть во всех библиотеках
университетов и вузов, в которых теория вероятностей и математическая
статистика являются обязательным элементом образовательной программы,
в библиотеках организаций естественной, гуманитарной и экономической
сфер, где феномен случайности является значимым фактором профессио-
нальной деятельности. Немаловажно отметить, что представленный авторами
материал охватывает временной промежуток «от Ферма и Паскаля» и почти
до начала двухтысячных годов.
Семейства распределений одномерных случайных величин вошли в науч-
ный обиход в качестве мощной математической дисциплины, востребован-
ность которой для описания явлений реальной действительности с течением
времени только возрастает. В трехтомнике более 5000 ссылок на публикации
в весьма авторитетных изданиях; более половины из этих публикаций связаны
тематически с реальными приложениями.
Часто статистическая модель для описания данных выбирается по прин-
ципу прецедента. И в этом случае приходится обращаться к анализу уже
вышедших публикаций. Аналогичный библиографический анализ приходится
проводить и на начальном этапе математических исследований, дабы избежать,
например, повторения уже полученных ранее результатов. История и методы
построения распределений, нашедшие свое отражение в трехтомнике, спо-
собны подтолкнуть читателя и к построению новых семейств распределений:
процесс их возникновения, конечно, не закончен.
Авторский коллектив трехтомника широко известен своей преподаватель-
ской деятельностью, общепризнанными результатами в теории и приложениях
статистических методов, обширным цитированием в научной и справочной
статистической литературе. Выбранная ими структура представления мате-
риала и объем представленных сведений должны заинтересовать достаточно
широкий круг «стохастического» сообщества. Действительно, сам перечень
характеристик, в рамках которого описываются отдельные семейства рас-
пределений, говорит о фундаментальности представленных сведений. Так,
каждая из глав, где сообщаются свойства одного из 24 наиболее популярных
семейств распределений, строится по следующей схеме. Сначала обсуждаются
существующие параметризации для плотности или функции распределения
соответствующей семейству распределений случайной величины (тема 1), за
этой темой следует исторический экскурс в процесс становления семейства

1)Здесь имеются ввиду:
• Джонсон Н. Л., Коц С., Кемп А. Одномерные дискретные распределения. М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2010.
• Джонсон Н. Л., Коц С., Балакришнан Н. Одномерные непрерывные распределения.
Часть 1, М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
• Джонсон Н. Л., Коц С., Балакришнан Н. Одномерные непрерывные распределения.
Часть 2, М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.

5

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

распределения как «субъекта» теории вероятностей (тема 2). Далее идет набор
параметрических формул для моментов и других численных характеристик
семейства распределений (тема 3) и приводится описание специфических
аналитических свойств семейства, включая характеризационные свойства
(тема 4) и всевозможные (асимптотические) аппроксимации (тема 5). Затем 
обсуждаются вычислительные методы и наличие необходимых таблиц
или номограмм для численного расчета характеристик семейства (тема 6),
говорится о родственных семействах и о возможных обобщениях данного
семейства (тема 7), подробно описывается процедура статистических выводов
на основе как полной, так и цензурированной независимой выборки (тема 8).
Как дань наступившей компьютерной эре приводятся алгоритмы порождения
случайных величин из рассматриваемого семейства распределений, а также
сообщаются результаты решения статистических проблем на основе компью-
терного моделирования (тема 9). И, наконец, весьма содержательный раздел
главы под названием «Приложения» связан с реальным опытом использования
соответствующего семейства в реальных задачах (тема 10).
Необходимо отметить, что материал справочника излагается на принципе
самодостаточности. В первой главе первого тома приводятся необходимые
общие сведения из математического анализа, теории вероятностей, мате-
матической статистики и компьютерного моделирования. Глава 2 тома 1
и гл. 12 тома 2, по существу, являются кратким учебным пособием по теории
и систематике распределений случайных величин. К таковым же кратким
учебным пособиям можно отнести содержание гл. 8 и 9 тома 1, в которых
излагаются способы построения новых семейств распределений на основе
метода смешивания распределений и метода суммирования «случайного
числа случайных величин». В гл. 11 тома 1 и гл. 33 тома 3 приводятся
сведения о свойствах ряда распределений, стоящих особняком от принятой
в трехтомнике классификации семейств распределений.
Отметим, что в третьем томе излагаются сведения о семействах распреде-
лений экстремальных значений, логистических, Лапласа, бета, равномерных,
распределений продолжительности жизни. Своеобразным учебным пособием
служат главы, посвященные свойствам семейства распределений для функ-
ций от независимых гауссовых случайных величин. В частности, речь идет
о распределениях коэффициента корреляции, центральных и нецентральных
распределений Стьюдента и Фишера, нецентрального χ-квадрат распределения.
Возвращаясь к проблемам процесса обучения стохастическим дисципли-
нам и их приложениям, отметим, что данное издание для преподавателей
окажется весьма полезным в качестве источника разнообразных и готовых
к непосредственному использованию примеров на лекциях и тем для прак-
тикумов и спецкурсов. Для студентов и аспирантов — это наиболее простой
из класса доступных источников конкретных вероятностно-статистических
знаний, необходимых для выполнения учебных заданий и проведения само-
стоятельных научных исследований.
Несомненно, что фактом издания трехтомника издательство «БИНОМ.
Лаборатория знаний» внесло весомый вклад в материальное обеспечение
развития российской науки и ее приложений.
Чепурин Е. В.
доцент, к. ф.-м. н., зам. декана механико-математического факультета
МГУ имени М. В. Ломоносова по математико-экономической специализации

Посвящается:
Реджине Эландт—Джонсон, Розали Коц,
Колин Катлер и Саре Балакришнан

Предисловие

Замечания из предисловия к новому изданию справочника Непрерывные
одномерные распределения, ч. 1 в полной мере относятся также и к настоящему
тому. Данное второе издание отличается от первого в следующих отношениях
• Глава «Распределения экстремальных значений», которая была завер-
шающей в оригинальном издании «Непрерывные одномерные распре-
деление, ч. 1», теперь появляется как первая в данном томе
• Глава «Квадратические формы» отложена для проектируемого тома,
посвященного Непрерывным многомерным распределениям.
• Завершающие разделы главы «Разнообразные распределения» были
радикально переработаны и сокращены. Ряд тем были изложены
подробнее, а на других темах был сделан значительно меньший акцент
• Объем каждой из глав существенно увеличен (в среднем, вдвое). Число
ссылок увеличено почти втрое.
• Для того чтобы отобразить последние разработки по тематике тома,
авторы вынуждены были, иногда без особой охоты, включать описания
многочисленных результатов, связанных с аппроксимациями. Несмотря
на то, что часто эти аппроксимации с вычислительной точки зрения
весьма изобретательны, их практическая ценность в век высокопро-
изводительных компьютеров существенно снижается.
• С другой стороны, мы были рады включить в том многочисленные
примеры реального использования семейств распределений (таких как,
логистическое, Лапласа, бета, F, и нецентральные хи-квадрат, F и t)
в новых разнообразных областях приложений науки, бизнеса и тех-
нологии. Мы приветствуем этот тренд, связанный с проникновением
более тонких стохастических моделей во все области человеческой
деятельности.
С момента публикации нового издания справочника Непрерывные одно-
мерные распределения, ч. 1 вышли в свет шестое издание кенделловского
Современного курса статистики, первого тома Теорий распределений Стью-
арта А. и Орда Дж. К., которые содержат ряд деталей по теории одномерных
и многомерных распределений. Хотя это было уже после выхода первого
тома, мы попытались скоординировать материал, представленный в данном
томе (в подходящих местах) с результатами, представленными Стьюартом

7

ПРЕДИСЛОВИЕ

и Ордом. Приносим наши искренние признания профессору Кейт Орд за
представленные нам копии страниц доказательств, для того чтобы облегчить
процесс достижения объявленной выше цели. Мы с благодарностью отмечаем
огромное число замечаний, полученных от наших коллег из статистического
и
инженерного сообщества
и
связанных с
опечатками и
упущениями,
допущенными в первом издании данного тома. Это было очень ценно для
нас при подготовке нового издания.
Мы выражаем свою благодарность за неоценимую помощь Миссис Лизе
Брукс (университет Северной Каролины) и Миссис Дебби Искоэ (Гамильтон,
Канада) за их искусную перепечатку рукописи. Мы благодарим также биб-
лиотекарей университетов Северной Калифорнии, Мэриленда и университета
Мак Мастера за их помощь при библиотечных розысках.
Особую благодарность мы выражаем миссис Кейт Роач и миссис Ширли
Томас из издательства John Wiley & Sons за их искренние усилия по
обеспечению высокого качества данного издания. Мы признательны также
мисс Дане Эндрюс за редактирование столь объемной рукописи.
В данном томе с любезного разрешения Institute of Mathematical Statistics,
the American Statistical Association, the Biometrika Trustees, the Institute of
Electrical and Electronics Engineering, Marcel Dekker, Inc., the Royal Statistical
Society, the Australian Statistical Society, the Statistical Society of Canada,
the Biometric Society, North Holland, Gordon and Breach Science Publishers, а
также редакторов журналов Naval Research Logistics Quarterly, Water Resources
Research, Soochow Journal of Mathematics, Journal of the Operational Research
Society, Sankhy¯a, Decision Sciences, Mathematical and Computer Modelling,
International Statistical Review, and Oxford Bulletin of Economics and Statistics
воспроизведены ранее опубликованные таблицы и рисунки.

ГЛАВА 22
Распределение экстремальных
значений

1.
Историческая справка

Изучение свойств распределений экстремальных значений в течение дол-
гого времени находилось несколько в стороне от основных направлений
статистической теории распределений. Дело в том, что на ранней стадии
создания статистической теории основное внимание уделялось проблемам
подгонки кривых распределения, и лишь значительно позже — развитию теории
статистического вывода. В настоящее время теория распределения экстре-
мальных значений является составной частью многих естественнонаучных
дисциплин. Упомянем в связи с этим изучение таких явлений как ливни,
ураганы, наводнения, загрязнение атмосферы и коррозия, а также тонкие
математические результаты,
касающиеся точечных случайных процессов
и регулярно меняющихся функций. Распределениями экстремальных значений
первоначально интересовались абстрактные вероятностники, да специалисты
в прикладных областях — инженеры и гидрологи. Только с недавних пор
эти распределения вошли в сферу существенных интересов специалистов
по статистике. Хронологически первые сведения о существовании семейства
распределенных экстремальных значений связаны с работой 1709 г. Николая
Бернулли, где обсуждается распределение координаты точки, наиболее уда-
ленной от начала отсчета, из n точек, случайно расположенных на отрезке
длины t. См. об этом также в книге Gumbel (1958).
Теория распределений экстремальных значений по запросам астрономии
восходит, по-видимому, к решению задачи об отбраковке и использовании
резко уклоняющихся наблюденных значений. Ранние статьи Fuller (1914)
и Griffith (1920), посвященные этой теме, весьма специальны как по поста-
новке прикладных задач, так и по примененным математическим методам.
Начало систематического изучения теории можно, вероятно, отнести к статье
Bortkiewicz (1922), где изучается размах выборки из нормальной популяции.
Об этом уже говорилось в гл. 13 и, как там было отмечено, дальнейшие
результаты последовали достаточно быстро. С современной точки зрения
следует указать на важность статьи Bortkiewicz (1922), поскольку в ней
впервые ясно сформулирована проблема нахождения распределения наиболь-
шего значения в последовательности случайных величин. Буквально через год
von Mises (1923) вычислил значение математического ожидания, а Dodd (1923)
вычислил медиану распределения и обсудил проблемы, возникающие для

9

ГЛАВА 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

негауссовских порождающих
распределений. Очень
близко
к
вопросам,
рассматриваемым в настоящей главе, примыкает результат Fr´echet (1927),
нашедшего асимптотическое распределение наибольших значений. В следую-
щем году появилась работа Fisher and Tippet (1928), независимо получивших
близкие результаты для одой и той же проблемы. Еще Fr´echet (1927)
выделил один из классов предельных распределений наибольшей из по-
рядковых статистик. Fisher and Tippet (1928) показали, что распределение
экстремальных значений принадлежит одному из трех возможных типов. Еще
раньше Tippett (1925) изучил поведение функции распределения и моментов
наибольшего выборочного значения при возрастании объема выборки из
нормального распределения. Von Mises (1936) нашел простые достаточные
условия слабой сходимости функции распределения наибольшего из значений
независимых нормальных случайных величин к каждому из трех типов
распределений, ранее указанных в статье Fisher and Tippet (1928). Через семь
лет Гнеденко (1943) опубликовал фундаментальное исследование по теории
распределений экстремальных значений и установил необходимые и достаточные 
условия слабой сходимости функции распределения экстремальных
значений к соответствующим предельным функциям. Усовершенствованное
изложение результатов Б. В. Гнеденко содержится в статье de Haan (1970).
Классическая статья Гнеденко (1943) приведена полностью в первом томе
книги Основные достижения статистики (Breakthroughs in Statistics) и снабжена 
предисловием R. L. Smith с анализом влияния результатов Б. В. Гнеденко
на дальнейшее развитие теории распределений экстремальных значений.
За
теоретическими
исследованиями
20-х — середины
30-х гг.
в
30-х
и в 40-х гг. XX в. последовал целый ряд работ, связанных с приложениями 
распределений экстремальных значений. Сюда относятся исследования
продолжительности человеческой жизни, интенсивности радиоактивного излучения [
Gumbel (1937a, b)], прочности материалов [Weibull (1939)], наводнений
[Gumbel (1941, 1944, 1945, 1949a] и [Rantz and Riggs (1949)]. Сейсмические
явления исследуются в статье Nordquist (1945), ливневые осадки — в работе
Potter (1949).
Существенный вклад в прикладные исследования, связанные с распределениями 
экстремальных значений, принадлежат Гумбелю. Большинство полученных 
им прикладных результатов приводится в монографии Gumbel (1958),
которая является расширенным вариантом брошюры Gumbel (1954). Многочисленные 
приложения распределений экстремальных значений приводятся
также в п. 14 настоящей главы.
Библиография в конце главы насчитывает около 350 названий. Столь
значительное число работ, однако, составляет лишь небольшую часть от
общего числа публикаций, связанных с заявленной темой. Даже библиография
в монографии Gumbel (1958), не включающая публикаций последних 35 лет,
содержит гораздо больше ссылок. Столь большое число работ свидетельствует
не только об актуальности и практической важности тематики, но также
об отсутствии координации усилий исследователей, что зачастую приводит
к повторному (и даже многократному) переоткрытию известных результатов,
появляющихся в разных изданиях.