Организационно-экономическое моделирование. Часть 1. Нечисловая статистика

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

О-66

УДК 519.2:330.4(075.8) 
ББК 60.6я73 
        О-66 
Рецензенты: 
кафедра «Системы управления экономическими объектами»  
Московского государственного авиационного института (ТУ) 
(заведующий кафедрой доктор экономических наук,  
профессор В.Д. Калачанов); 
доктор экономических наук, профессор С.А. Смоляк 
Орлов А.И. 
Организационно-экономическое моделирование : учебник : 
в 3 ч. / А.И. Орлов. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2009.  
ISBN 978-5-7038-3276-9 
Ч. 1 : Нечисловая статистика. – 2009. – 541 с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3277-6 
Впервые в систематизированном виде рассмотрена одна из 
четырех основных областей современной прикладной математической 
статистики — нечисловая статистика.  
Проанализированы основные виды нечисловых данных, 
методология, процедуры и особенности их статистического 
анализа. Представлены статистические методы в пространствах 
произвольной природы, статистика нечисловых данных конкретных 
видов, статистика интервальных данных. Большое внимание 
уделено практическому применению методов и результатов 
нечисловой статистики. 
Материал учебника соответствует курсам лекций, которые 
автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов, преподавателей и специалистов, заинтересованных 
в применении современных статистических методов в 
технике, экономике, управлении, медицине, социологии и иных 
областях, для разработчиков таких методов и соответствующего 
программного обеспечения, а также для исследователей в 
области прикладной и математической статистики, анализа 
данных, методов оптимизации, математического и организационно-
экономического моделирования. 
УДК 519.2:330.4(075.8) 
ББК 60.6я73 

© Орлов А.И., 2009 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 
ISBN 978-5-7038-3277-6 (ч. 1)  
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3276-9 
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 

Оглавление 

ПРЕДИСЛОВИЕ ..........................................................................................5 
ВВЕДЕНИЕ. Нечисловая статистика — основа высоких 
статистических технологий .....................................................................15 
В1. О развитии статистических методов ...............................................15 
В2. Структура нечисловой статистики ..................................................42 
Литература ...............................................................................................57 
Глава 1. Нечисловые статистические данные ...................................61 
1.1. Количественные и категоризованные данные ...............................61 
1.2. Основы теории измерений ..............................................................69 
1.3. Виды нечисловых данных ...............................................................78 
1.4. Вероятностные модели порождения нечисловых данных ............98 
1.5. Нечеткие множества — частный случай нечисловых данных ...121 
1.6. Сведение нечетких множеств к случайным .................................136 
1.7. Данные и расстояния в пространствах  
произвольной природы .........................................................................149 
1.8. Аксиоматическое введение расстояний .......................................156 
Литература .............................................................................................169 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................173 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ .......................174 
Глава 2. Статистические методы в пространствах  
произвольной природы ..........................................................................176 
2.1. Эмпирические и теоретические средние ......................................176 
2.2. Законы больших чисел ..................................................................187 
2.3. Экстремальные статистические задачи ........................................198 
2.4. Одношаговые оценки .....................................................................202 
2.5. Непараметрические оценки плотности ........................................214 
2.6. Статистики интегрального типа ...................................................224 
2.7. Методы восстановления зависимостей ........................................247 
2.8. Методы классификации .................................................................258 
2.9. Методы шкалирования ..................................................................284 
Литература .............................................................................................294 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................299 
Темы докладов, рефератов,  исследовательских работ ......................301 
Глава 3. Статистика нечисловых данных конкретных видов ......302 
3.1. Инвариантные алгоритмы и средние величины ..........................302 
3.2. Теория случайных толерантностей ..............................................311 
3.3. Метод проверки гипотез по совокупности малых выборок .......323 
3.4. Теория люсианов ............................................................................336 

3.5. Метод парных сравнений ..............................................................356 
3.6. Статистика нечетких множеств ....................................................365 
3.7. Статистика нечисловых данных в экспертных оценках .............373 
Литература .............................................................................................396 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................399 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ .......................402 
Глава 4. Статистика интервальных данных ....................................404 
4.1. Основные идеи статистики интервальных данных .....................404 
4.2. Интервальные данные в задачах оценивания ..............................416 
4.3. Интервальные данные в задачах проверки гипотез ....................457 
4.4. Линейный регрессионный анализ интервальных данных ..........461 
4.5. Интервальный дискриминантный анализ ....................................496 
4.6. Интервальный кластер-анализ ......................................................499 
4.7. Интервальные данные в инвестиционном менеджменте ............503 
4.8. Статистика интервальных данных в прикладной статистике ....509 
Литература .............................................................................................513 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................517 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ .......................518 
Приложение 1. Теоретическая база нечисловой статистики ............519 
П1. Законы больших чисел ..............................................................519 
П2. Центральные предельные теоремы ..........................................522 
П3. Теоремы о наследовании сходимости ......................................527 
П4. Метод линеаризации .................................................................533 
П5. Принцип инвариантности .........................................................535 
Литература .............................................................................................538 
Приложение 2. Основные книги профессора А.И. Орлова ..............539 
 

Предисловие 

В учебнике впервые систематически рассматривается одна 
из четырех основных областей современной прикладной ста-
тистики — нечисловая статистика. Она порождена в 70-х го-
дах ХХ в. потребностями прикладных социально-экономи-
ческих, технических и медико-биологических исследований. 
Основа ее математического аппарата заключается в использо-
вании расстояний между объектами нечисловой природы и 
решений оптимизационных задач, а не операций суммирова-
ния данных, как в других областях статистики. В учебнике 
рассмотрены основные виды нечисловых данных и особенно-
сти их статистического анализа. Большое внимание уделено 
проблемам практического применения рассматриваемых ме-
тодов и результатов. 
Нечисловую статистику называют также статистикой не-
числовых данных или статистикой объектов нечисловой при-
роды. Она — сердцевина высоких статистических технологий, 
т.е. современной прикладной статистики. Ее рассматривают 
также как одну из четырех основных областей статистики. Три 
других — это статистика чисел (случайных величин), стати-
стика векторов (многомерный статистический анализ), стати-
стика функций (временных рядов и случайных процессов). 
Какие данные называют нечисловыми? Описание техниче-
ского, социально-экономического, медицинского объекта изу-
чения часто удается представить в виде вектора, часть коор-
динат которого измерена по количественным шкалам, а 
часть — по качественным, имеющим конечное число града-
ций. Это наиболее распространенный тип нечисловых данных. 
В общем случае под нечисловыми данными понимают 
элементы пространств, не являющихся линейными (вектор-

ными), в которых нет операций сложения элементов и их ум-
ножения на действительное число. Кроме результатов измере-
ний по качественным признакам, примерами являются после-
довательности из 0 и 1, бинарные отношения (ранжировки, 
разбиения, толерантности); множества (в том числе плоские 
изображения и объемные тела); нечеткие (размытые, расплыв-
чатые, fuzzy) числа и множества, их частный случай — интер-
валы; результаты парных сравнений и другие объекты, возни-
кающие в прикладных исследованиях. Все эти виды 
нечисловых данных и вероятностные модели их порождения 
подробно рассмотрены в учебнике. Их обобщением, как и 
обобщением числовых данных (чисел, векторов, функций), 
являются элементы пространств произвольной природы. 
Исторически нечисловые данные стали рассматриваться 
раньше, чем статистические данные в виде действительных 
чисел. Книга «Числа» Ветхого Завета содержит обширные 
сведения о численностях тех или иных совокупностей. Нату-
ральные числа можно отнести к нечисловым данным, хотя их 
можно складывать, но умножение на действительное число 
выводит за пределы натурального ряда. Теория вероятностей 
также начиналась с моделирования нечисловых данных. Это 
результаты бросания игральных костей и вытаскивания ша-
ров из урн. Однако к началу ХХ в. основное внимание стати-
стиков переместилось на рассмотрение числовых случайных 
величин, моделирующих действительно-значные результаты 
наблюдений. 
К 70-м годам ХХ в. развитие прикладных научных иссле-
дований в инженерном деле, социологии, экономике, менедж-
менте, психологии, медицине и других областях привело к не-
обходимости разработки методов статистического анализа 
нечисловых данных. В СССР вокруг Всесоюзного семинара 
«Экспертные оценки и нечисловая статистика» сложился не-
формальный научный коллектив из нескольких десятков ак-
тивных исследователей. 

Сначала изучались методы анализа конкретных видов не-
числовых данных, устанавливались связи между ними. Затем 
пришло понимание статистики нечисловых данных как само-
стоятельной области прикладной статистики со своей внут-
ренней структурой и разнообразными связями между подхо-
дами и результатами, относящимися к тем или иным видам 
нечисловых данных. 
Статистика нечисловых данных выделена нами как само-
стоятельная область прикладной статистики в 1979 г. За про-
шедшие с тех пор годы арсенал ее методов пополнился мно-
гими полезными новшествами. Но основные идеи выдержали 
проверку временем, что и оправдывает их изложение в на-
стоящей книге. 
О развитии нечисловой статистики. В 70-е годы ХХ в. в 
СССР возник неформальный научный коллектив исследовате-
лей, изучающих методы анализа нечисловых данных различ-
ных видов. Центром стал научный семинар «Экспертные 
оценки и нечисловая статистика» и одноименная комиссия в 
составе Научного совета АН СССР по комплексной проблеме 
«Кибернетика». 
Вначале разбирались подходы предшественников: аксио-
матическое введение расстояний между объектами нечисло-
вой природы и нахождение среднего по Кемени, репрезента-
тивная теория измерений, нечеткие множества Заде, парные 
сравнения по Дэвиду и др. Затем были проведены многочис-
ленные самостоятельные исследования, установлены взаимо-
связи между подходами и результатами для различных типов 
нечисловых данных, разработана общая теория статистиче-
ского анализа нечисловых данных произвольной природы. 
В итоге стало возможным говорить о новой области при-
кладной статистики — нечисловой статистике. Время ее окон-
чательного формирования — первая половина 1980-х годов — 
время наибольшей организационной активности. Две Всесо-

юзные конференции — в Алма-Ате (1981 г.) и Таллине 
(1984 г.) — собрали по 300–500 участников. 
Со второй половины 80-х годов ХХ в. статистика нечисло-
вых данных (статистика объектов нечисловой природы) раз-
вивается стабильно. Много публикаций содержится в журна-
лах «Заводская лаборатория», «Социология: методология, 
методы, математическое моделирование», в периодических 
сборниках «Статистические методы оценивания и проверки 
гипотез». Разделу нечисловой статистики — статистике ин-
тервальных данных — была посвящена Международная кон-
ференция по интервальным и стохастическим методам в науке 
и технике «Интервал–92» (г. Калининград Московской облас-
ти, сентябрь 1992 г.). 
Неформальный коллектив по нечисловой статистике 
включает в себя десятки российских исследователей, а если 
учитывать авторов одной-двух работ, то и сотни. Почти за 
30 лет выпущено несколько десятков сборников и моногра-
фий, много статей опубликовано в научных журналах. Однако 
из-за отсутствия формальной инфраструктуры (в частности, 
Института нечисловой статистики в составе Российской ака-
демии наук) имеются лишь единичные методики и программ-
ные продукты, предназначенные для практического использо-
вания. В отличие от научных монографий почти отсутствуют 
учебники и учебные пособия, а также книги, содержащие вве-
дение и общий обзор нечисловой статистики. 
Настоящая книга заполняет существенный пробел в лите-
ратуре по нечисловой статистике, вводит в предмет, знакомит 
с нечисловой статистикой на современном научном уровне. 
Изложение материала доводится до переднего края ведущихся 
в настоящее время научных исследований. Постоянно в поле 
зрения находятся вопросы практического применения рас-
сматриваемых подходов, методов, результатов. В частности, 
используется опыт разработки нашим коллективом автомати-

зированного рабочего места МАТЭК (математика в эксперти-
зе) для организатора экспертного опроса. Отражены также ра-
боты по статистике нечисловых данных и ее применениям, за 
которые автору в 1992 г. присуждена ученая степень доктора 
технических наук (по научному докладу об опубликованных 
работах, т.е. без написания диссертации классического вида). 
Чтобы в сравнительно небольшой книге охватить всю ста-
тистику нечисловых данных, приходится идти на жертвы. Мы 
отказываемся от разбора большинства доказательств, отсылая 
читателей к публикациям, содержащим эти доказательства. 
Примеры подобного стиля изложения — обзоры по статистике 
нечисловых данных в разделе «Математические методы ис-
следования» журнала «Заводская лаборатория» (1990, № 3; 
1995, № 3, 5; 1996, № 3). 
Стиль книги. В любой использующей математику облас-
ти есть три уровня исследований — методологический, теоре-
тический и практический. На методологическом уровне изла-
гаются 
общие 
подходы 
и 
формулируются 
основные 
результаты. На теоретическом уровне, грубо говоря, доказы-
вают теоремы. В частности, выявление необходимых и доста-
точных условий регулярности обычно осуществляется в ре-
зультате цепи работ этого уровня. 
Например, на методологическом уровне Центральная пре-
дельная теорема теории вероятностей формулируется так: «При 
некоторых условиях регулярности распределение центрирован-
ной и нормированной суммы независимых случайных величин 
при росте числа слагаемых стремится к стандартному нормаль-
ному распределению». Около двухсот лет — от Муавра и Лап-
ласа до Линдеберга и Феллера — некоторые условия регуляр-
ности уточнялись в работах теоретического уровня. 
Изложение материала в книге идет в основном на методологическом 
уровне. При спуске на теоретический уровень 
приводятся формулировки теорем, в основном без доказа-

тельств, но со ссылками на публикации, где они содержатся. 
Обоснованием для выбора такого варианта построения книги, 
кроме желания ограничить ее объем разумными рамками, 
послужило следующее представление о предпочтениях будущих 
читателей: большинство из них не извлечет пользы из 
того, что в некоторой формулировке можно заменить требование 
дифференцируемости определенной функции на требование 
ее непрерывности. Сказанное не означает, что автор 
отрицает целесообразность проведения научных работ, посвященных 
подобным ослаблениям условий регулярности. 
Просто им не место в книге для первого знакомства с нечисловой 
статистикой. 
На практическом уровне исследований большое внимание 
уделяют конкретному объекту приложений — технической, 
социально-экономической или медицинской системе. Для достаточно 
информативного описания каждого такого исследования 
нужна отдельная монография, которая обычно и готовится 
в качестве отчета по работе. Поэтому мы ограничились краткими 
замечаниями о практическом применении различных 
методов нечисловой статистики. Суммарно эти замечания составляют 
существенную часть как авторского замысла, так и 
объема книги. 
Содержание книги. Во введении обсуждены история и 
современное состояние статистических методов, прикладной 
статистики, место в ней статистики нечисловых данных. Проанализирована 
сложившаяся структура нечисловой статистики — 
сердцевины высоких статистических технологий.  
Книга делится на главы, а главы — на разделы.  
В главе 1 изучены конкретные виды нечисловых статистических 
данных, соответствующие вероятностные модели. Сопоставлены 
количественные и категоризованные данные. Разобраны 
основы теории измерений. Большое внимание 
уделено нечетким множествам как частному виду нечисловых 
данных. Продемонстрирована возможность сведения теории 

нечетких множеств к теории случайных множеств. Обсуждены 
статистические данные и необходимые для их анализа расстояния 
в пространствах произвольной природы; аксиоматический 
подход к введению расстояний и показателей различия 
в различных пространствах объектов нечисловой природы. 
В главе 2 получили развитие статистические методы ана-
лиза данных произвольного вида, лежащих в метрическом 
пространстве или в пространстве с мерой различия. Эмпири-
ческие и теоретические средние приходится определять как 
решения экстремальных статистических задач, и законы 
больших чисел оказываются частными случаями утвержде-
ний об асимптотическом поведении решений таких задач. 
Другие классы частных случаев подобных утверждений свя-
заны с теорией одношаговых оценок параметров распределе-
ния вероятностей (они имеют преимущества по сравнению с 
оценками максимального правдоподобия) и с оптимизацион-
ными постановками основных задач прикладной статистики, 
в том числе задач восстановления зависимостей, классифи-
кации, шкалирования и снижения размерности. Для описания 
распределений нечисловых данных разработаны непарамет-
рические оценки плотности, используемые в регрессионном, 
дискриминантном и кластерном анализах. В предельной тео-
рии статистик интегрального типа найден ряд необходимых 
и достаточных условий.  
Глава 3 посвящена статистическому анализу конкретных 
видов нечисловых данных. В рамках репрезентативной теории 
измерений получены характеризации средних величин свой-
ством устойчивости результата сравнения средних относи-
тельно той или иной группы допустимых преобразований 
шкалы. Изучены случайные толерантности. Метод проверки 
гипотез по совокупности малых выборок применен в теории 
люсианов — конечных последовательностей испытаний Бер-
нулли с различными вероятностями успеха. Люсианы находят 
применение в теории парных сравнений. Рассмотрены основ-

ные вопросы статистики нечетких множеств. Обсуждено ис-
пользование нечисловой статистики в теории и практике экс-
пертных оценок — области исследований, во многом стиму-
лировавшей развитие основных идей статистического анализа 
нечисловых данных. 
Глава 4 посвящена основным подходам и результатам ста-
тистики интервальных данных, быстро развивающейся в по-
следние годы. Для интервальных данных решен ряд задач 
оценивания и проверки гипотез. Построены интервальные 
аналоги регрессионного, дискриминантного и кластерного 
анализов. Интервальные данные применены в инвестицион-
ном менеджменте. Рассмотрена роль статистики интерваль-
ных данных в прикладной статистике.  
В приложение 1 включены некоторые вопросы, относя-
щиеся к теоретической базе нечисловой статистики. Рассмот-
рены классические законы больших чисел, центральные  
предельные теоремы, метод линеаризации и принцип инвари-
антности. Теоремы о наследовании сходимости сравнительно 
малоизвестны и могут представлять особый интерес. В при-
ложении 2 содержится информация об авторе, позволяющая 
читателям лучше понять происхождение идей, изложению ко-
торых посвящена настоящая книга. 
Нумерация формул, определений, теорем, таблиц, рисун-
ков — своя в каждом разделе. Литература приводится по гла-
вам в порядке первого упоминания. Списки литературы вклю-
чают основные публикации по нечисловой статистике, а также 
работы, на которые даются ссылки в тексте. Они не претен-
дуют на полноту хотя бы потому, что перечень известных ав-
тору публикаций по рассматриваемой тематике по объему 
превысил бы настоящую книгу в несколько раз. 
Для кого эта книга? Она предназначена для широкого кру-
га читателей — студентов и преподавателей, специалистов, занимающихся 
прикладной наукой, и математиков. Для ее чтения 
достаточно знаний в объеме вводного курса математической