Выполнение лабораторных работ по курсу «Теория тепломассообмена»

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

ВЫПОЛНЕНИЕ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО КУРСУ
«ТЕОРИЯ ТЕПЛОМАССООБМЕНА»

Методические указания

Под редакцией В.И. Хвостова, В.Н. Афанасьева

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 536.24
ББК 31.31
В92

В92

Рецензент С.А. Бурцев

Авторы: А.М. Пылаев (работа ТП-01), К.С. Егоров
(работа ТП-03), В.Н. Афанасьев (работа ТП-04),
А.Ю. Чирков (работа ТП-05), С.В. Рыжков (работа ТП-11),
В.И. Хвостов (работа ТП-14)

Выполнение лабораторных работ по курсу «Теория
тепломассообмена» : метод. указания / Под ред. В.И. Хвосто-
ва, В.Н. Афанасьева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2012. — 67, [5] с. : ил.

Методические указания содержат подробное описание и руковод-
ство по выполнению лабораторных работ.
Для студентов 3-го и 4-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обуча-
ющихся по машиностроительным специальностям.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК Э МГТУ
им. Н.Э. Баумана.

УДК 536.24
ББК 31.31

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

Работа ТП-01
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ

Цель работы — ознакомление с основными понятиями теории
теплопроводности; освоение методики экспериментального опре-
деления коэффициента теплопроводности и методики обработки
полученных результатов.

Содержание работы

1. Экспериментальное определение коэффициента теплопро-
водности исследуемого материала при трех температурных ре-
жимах.
2. Получение аналитической зависимости коэффициента те-
плопроводности от температуры (в пределах возможной точности).
3. Оценка погрешностей измерений.

Основы теории

Теплопроводностью называется перенос теплоты в сплошной
среде вследствие теплового движения структурных частиц веще-
ства, т. е. перенос, не связанный с конвективным движением ма-
кроскопических частиц.
Совокупность значений температуры для всех точек рассматри-
ваемого тела в фиксированный момент времени называется темпе-
ратурным полем тела; оно скалярно и может быть стационарным
или нестационарным.
Геометрическое место точек с одинаковой температурой пред-
ставляет собой изотермическую поверхность. На плоскости, секу-
щей такие поверхности, получаются линии — изотермы.

3

Любому температурному полю соответствуют поля двух век-
торных величин — поле температурного градиента и поле плотности 
теплового потока. Температурным градиентом
(∇t, или
grad t) в какой-либо точке является вектор, направленный по нормали 
к изотермической поверхности в этой точке в сторону роста
температуры и по абсолютной величине равный

|∇t| =
∂t
∂n

= lim
Δn→0

Δt
Δn

,
(1..1)

где ∇t — градиент температуры, K/м; Δn — длина отрезка нормали 
к изотермической поверхности, на концах которого разность
температур равна Δt, K.
Плотность теплового потока q, Вт/м2, в какой-либо точке есть
вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности
(в этой точке) в сторону снижения температур и по абсолютной величине 
равный количеству теплоты, проходящему в единицу времени 
через единицу площади изотермической поверхности.
Закон Био — Фурье устанавливает связь между векторами q и
grad t:

q = −λgrad t.
(1..2)

Знак минус указывает на противоположные направления векторов.
Здесь λ — коэффициент теплопроводности, Вт/(м·K), являющийся 
теплофизической характеристикой материальной структуры и
указывающий на способность вещества проводить теплоту.
В общем случае коэффициент теплопроводности является
функцией структуры, плотности и влажности вещества, а так-
же температуры и давления. В большинстве технических задач λ
рассматривается либо как постоянная величина, либо как функция
только температуры. По своему физическому смыслу коэффици-
ент теплопроводности можно определить как количество теплоты,
проходящее в единицу времени через единицу изотермической
поверхности в рассматриваемой среде при единичном значении
градиента температуры.
Числовое значение коэффициента теплопроводности изменяет-
ся в широких пределах: для газов λ = 0,005 . . . 0,50 Вт/(м·K); для
капельных жидкостей λ = 0,08 . . . 0,80 Вт/(м·K); для строитель-

4

ных и теплоизоляционных материалов λ = 0,02 . . . 3,0 Вт/(м·K);
для металлов λ = 8 . . . 410 Вт/(м·K).
Значения коэффициента теплопроводности определяют экспе-
риментальным путем. Наиболее простыми для определения вели-
чины λ являются стационарные методы, в частности так называе-
мый метод пластины. Для плоской стенки, имеющей толщину δ и
состоящей из однородного вещества, при соблюдении граничных
условий первого рода (при поддержании постоянства температуры
на границах раздела (tс1 и tс2)), распределение температуры линей-
но, изотермические поверхности параллельны границам раздела, а
градиент температуры постоянен и равен grad t = (tс2 − tс1)/δ.
Плотность теплового потока, проходящего через стенку,

q = −λgrad t = −λ(tc2 − tc1)/δ,
(1..3)

поэтому коэффициент теплопроводности следует определять по
формуле

λ =
qδ
tc2 − tc1
или

λ =
Qδ
F(tc2 − tc1),
(1..4)

где Q = qF — общее количество теплоты, проходящее через плос-
кую стенку, Вт; F — площадь поверхности теплообмена, м2.
В рассматриваемой задаче торцовые поверхности стенки счи-
таются теплоизолированными.

Описание установки

Для экспериментального определения коэффициента теплопро-
водности в этой работе используют стационарный метод — метод
пластины. Пластинами служат два плоских диска. Схема установки
представлена на рис. 1.1. Два диска 3 (толщина δ = (5,0±0,15) мм,
диаметр d = 140 мм) из исследуемого материала установлены меж-
ду двумя холодильниками 2 и нагревателем 5. Плотность контак-
та дисков с поверхностями нагревателя и холодильника обеспечи-
вается благодаря высокому качеству обработки поверхностей (по
седьмому классу) и скреплению элементов установки болтовым
соединением.

5

Рис. 1.1. Схема экспериментальной установки:
1 — термопары; 2 — холодильники; 3 — диски (исследуемые образцы); 4 — ко-
жух; 5 — нагреватель; 6 — автотрансформатор; 7 — комбинированный прибор
(вольтметр); 8 — милливольтметр; 9 — переключатель термопар

Корпус нагревателя состоит из двух скрепляемых между собой
латунных дисков (диаметр dн = 146 мм, общая высота hн = 12 мм).
В пространстве между дисками установлен нагревательный эле-
мент из нихромовой проволоки, изолированный от дисков асбе-
стом. Питание нагревателя осуществляется переменным током
через автотрансформатор 6, позволяющий изменять подаваемую
мощность. Падение напряжения на нагревательном элементе из-
меряется комбинированным прибором 7 (Щ-4313 первого класса).
Электрическое сопротивление элемента определено в процессе
изготовления лабораторной установки и равно 41,7 Oм (с по-
грешностью менее 1 %). Нагреватель окружен кожухом 4, являю-
щимся теплоизолятором для боковых поверхностей исследуемых
дисков 3.
В установившемся тепловом режиме выделяющаяся в нагре-
вателе теплота почти полностью (за вычетом радиальных утечек)
проходит через образцы и затем отводится с водой, протекающей
через полости двух холодильников. Каждый из них представляет
собой цилиндрическую коробку (наружным диаметром 140 мм) из
стали, состоящую из корпуса и крышки (общая высота 20 мм).
Корпус выполнен в виде диска с выфрезерованными спиральными
канавками для направленной циркуляции воды.
Для измерения температуры поверхностей образцов исполь-
зовано шесть хромель-копелевых термопар. Tермопары № 1 и 2

6

зачеканены по центру прилегающих к образцам поверхностей хо-
лодильников; четыре термопары — на торцовых поверхностях на-
гревателя (№ 3 и 5 — по центру, № 4 и 6 — на периферии). На
боковой поверхности теплоизолирующего кожуха установлена тер-
мопара № 7. Термопары присоединены через переключатель 9 к
милливольтметру 8 (MB 46-41 А первого класса), фиксирующему
их показания. Время выхода установки на стационарный режим —
не более 20 мин.

Порядок выполнения работы

Перед включением установки проверить наличие и исправ-
ность цепи заземления корпуса установки. Убедиться, что ручка
регулятора напряжения (автотрансформатора) выведена против хо-
да часовой стрелки до упора.
1. Включить установку в сеть нажатием кнопки выключателя
на пульте (при этом загорится сигнальная лампа).
2. Записать показания ртутного термометра, фиксирующего
температуру воздуха в помещении (tв).
3. Открыть вентиль подачи охлаждающей воды в холодильни-
ки, убедиться в нормальной работе системы охлаждения.
4. Включить подачу напряжения на нагревательный элемент и
затем, вращая ручку автотрансформатора по ходу часовой стрел-
ки, плавно установить значение напряжения для первого режима
U ≈ 35 В. Для более точного измерения U в первом, а затем и во
втором режиме следует использовать диапазон U ⩽ 50 В прибора
8 (с соответствующим тумблером).
5. После 20 мин работы установки измерить значения темпе-
ратуры t1, . . . , t7 милливольтметром.
6. Повторять измерения всех значений температуры через
3 . . . 5 мин: убедиться, что показания не меняются во времени.
7. Установить второй режим работы установки, увеличивая на-
пряжение до U ≈ 48 В.
Время выхода на стационарный режим выдержать в течение
15 . . . 20 мин.
8. Провести измерения в таком же порядке, что и в первом
режиме (см. п. 6).

7

9. Установить третий режим (U ≈ 60 В), переключив предел
измерений прибора 8 на 500 В, и провести измерения в той же
последовательности, что и в первом режиме.
10. По окончании эксперимента отвести ручку автотрансфор-
матора против хода часовой стрелки до упора, выключить подачу
напряжения на нагреватель, отключить питание установки, после
чего закрыть вентиль подачи воды в холодильники.

Обработка результатов экспериментов

Для расчетов следует использовать результаты, относящиеся к
полностью установившемуся стационарному режиму.
Количество теплоты, Вт, выделяемое нагревателем в единицу
времени, определяется согласно выражению

Q = U2

R ,
(1..5)

где U — измеренное падение напряжения на рабочем участке, В;
R — активное сопротивление нагревательного элемента, Ом.
Расчетный тепловой поток, проходящий через исследуемые
образцы,

Qp = Q − Qпот,
(1..6)
где Qпот — количество теплоты, теряемое вследствие утечек че-
рез теплоизолирующий кожух. С целью предварительной оценки
этой величины было рассмотрено трехмерное (фактическое) стаци-
онарное поле в элементах установки. Для расчета потерь получены
формулы

Qпот = Fкαк(tк − tв) + 0,33(tб − tх);
(1..7)

αк = 3,31 + 2,4 · 10−3(tр + tг);
(1..8)

tр = tв + 0,30(tг − tв) − 0,06(tв − tх).
(1..9)

Здесь Fк = 0,039 м2 и tк — соответственно расчетная площадь
и средняя температура, ◦C, наружной поверхности теплоизолирующего 
кожуха; αк — коэффициент теплоотдачи от поверхности
кожуха, Вт/(м2·K); tр — расчетная температура, ◦C, теоретически
равная температуре, измеренной термопарой № 7; tв и tб — температуры 
окружающего воздуха и крепежного болта, ◦C; tх и tг —

8

средние температуры торцов двух образцов со стороны холодильников 
и нагревателя соответственно, ◦C, при этом

tх = (t1 + t2)/2; tг = (t3 + t4 + t5 + t6)/4.
(1..10)

По предварительным расчетам

tб = 0,13tг + 0,09tв + 0,73tх; tк = 1,08tр − 0,08(2tв − tх). (1..11)

Коэффициент теплопроводности определяют по выражению

λ =
Qрδ
2F(tг − tх),
(1..12)

где F = πd2/4 — площадь торцовой поверхности образца, м2; δ —
толщина образца, м.
Полученное по формуле (1.12) значение коэффициента теплопроводности 
следует считать относящимся к средней температуре
образца

tcp = (tг + tx)/2.
(1..13)

По результатам для трех указанных выше режимов, считая зависимость 
коэффициента теплопроводности от средней температуры 
образца линейной функцией вида

λ = a + btcp,
(1..14)

cледует построить график этой зависимости и определить значения
а и b.

Оценка погрешностей измерений

Среднее квадратичное значение относительной погрешности
косвенного измерения коэффициента теплопроводности рассчиты-
вают в соответствии с выражением (1.12) по формуле

Δλ
λ · 100 % =

=

Δδ
δ

2
+ 2
Δd
d

2
+ 2
Δt
tг − tх

2
+ W · 100 %,
(1..15)

9

где W = ΔQ2 + ΔQ2
пот
(Q − Qпот)2 ; Δ — символ абсолютной погрешности.

Справедливо, что |ΔQпот| ≪ |ΔQ| и ΔQ/Q = 2ΔU/U + ΔR/R.
Можно принять |ΔU/U| ≫ |ΔR/R|; поэтому ΔQ/Q ≈ 2ΔU/U;
ΔU/U = ±0,01(U↑ − U↓)/U, где U↑ и U↓ — верхний и нижний
пределы используемого диапазона значений напряжения; U — из-
меряемое значение напряжения. Значение Δt допустимо принять
равным 1 K. Считая погрешности в определении геометрических
размеров образца пренебрежимо малыми (Δδ = Δd = 0), получаем

Δλ
λ · 100 % = ±2

(U↑ − U↓)2U2

10−4(1 − Qпот/Q)2 +
1
(tг − tх)2 · 100 %.

Отчет о работе должен содержать: краткое описание работы;
принципиальную схему экспериментальной установки; оформлен-
ный протокол испытаний, содержащий оценку погрешноcти изме-
рения.

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнение Био — Фурье. Поясните физический
смысл входящих в него величин.
2. Дайте определение коэффициента теплопроводности.
3. При каких граничных условиях получена расчетная формула,
используемая при экспериментальном определении коэффициента
теплопроводности λ?
4. Дайте пояснения к схеме экспериментальной установки.
5. При каком режиме работы установки осуществляются изме-
рения?
6. Какие величины измеряются при проведении эксперимента?
7. Назовите основные причины возможных погрешностей дан-
ного эксперимента.