Стохастические системы в физике и технике

УДК 519.21 (075.8)
ББК 22.171
Б91

Рецензенты: кафедра бионики и статистической радиофизики
Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского,
зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, проф. А. А. Мальцев;
зав. отделом Института проблем информатики РАН,
д-р техн. наук, проф. И. Н. Синицын

Бункин Н. Ф.
Б91
Стохастические системы в физике и технике : учеб. пособие /
Н. Ф. Бункин, А. Н. Морозов –– М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2011. –– 366, [2] с. : ил. (Физика в техническом университете / науч.
ред. Л. К. Мартинсон, А. Н. Морозов.)

ISBN 978-5-7038-3368-1

Рассмотрены подходы к изучению случайных величин и случайных
процессов, линейные системы, марковские процессы и случайные поля
электромагнитного и оптического излучений. Особое внимание уделено
методам стохастической радиофизики и оптики, применяемым в задачах
дистанционного зондирования объекта исследования, недоступного для
проведения контактных измерений в условиях помех и шумов, а также
априорной неопределенности параметров и динамических уравнений, ха-
рактеризующих развитие процессов во времени и пространстве.
Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, который ав-
торы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов 5-го курса, обучающихся по направлению магистерской
подготовки «Техническая физика»; может быть полезно студентам и аспи-
рантам.

УДК 519.21 (075.8)
ББК 22.171

ISBN 978-5-7038-3368-1

c⃝ Бункин Н. Ф., Морозов А. Н., 2011
c⃝ Оформление. Издательство МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

Стохастические процессы возникают в различных физических
явлениях. Примерами служат диффузия, броуновское движение,
флуктуации в оптических и радиотехнических системах и многие
другие явления. Системы, в которых эти процессы наблюдаются,
называют стохастическими системами. Для них характерно наличие
единых методов описания и, как следствие, использование общего
математического аппарата.
Цель настоящего пособия –– ознакомить читателя с методами
и подходами к описанию стохастических систем, используемыми
при разработке высокотехнологичных систем и приборов для иссле-
дования различных физических процессов. К общим особенностям
таких процессов относятся их случайный характер и априорная
неопределенность измеряемых параметров.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов,
обучающихся по направлению подготовки «Техническая физика»,
аспирантов, а также инженеров-исследователей и математиков-при-
кладников, работающих в области информационных технологий.
Оно написано на основе курса лекций, читаемого авторами сту-
дентам Московского государственного технического университета
имени Н. Э. Баумана.
Предполагается, что читатель достаточно хорошо ориентирует-
ся в методиках прямого и обратного преобразований Фурье и Ла-
пласа, имеет представление о специальных функциях математиче-
ской физики и владеет методами теории функции комплексного
переменного, кроме того, знаком с основами радиотехники и тео-
рии колебаний.
Авторы благодарны профессору Л. К. Мартинсону и доценту
О. С. Еркович за обсуждение рассматриваемых в пособии вопросов,
а также доценту А. В. Скрипкину за помощь в разработке методов
описания немарковских процессов.

5

Особую признательность и благодарность авторы выражают
кафедре бионики и статистической радиофизики Нижегородского
государственного университета имени Н. И. Лобачевского, возглав-
ляемой профессором А. А. Мальцевым, где рукопись была прошла
всестороннее рецензирование. Большая работа по рецензированию
рукописи выполнена профессором И. Н. Синицыным. Авторы бла-
годарны рецензентам за их критические замечания и пожелания,
которые способствовали улучшению учебного пособия.

ВВЕДЕНИЕ

Долгое время в исследованиях физических явлений преоблада-
ли детерминистические принципы, опирающиеся на аппарат диф-
ференциальных уравнений с фиксированными начальными и гра-
ничными условиями. Однако, как оказалось, с их помощью нельзя
полностью описать реальные явления. Так, для многих процессов,
при изучении которых применяли традиционные методы матема-
тической физики, для более глубокого изучения потребовалось
использовать вероятностный подход, т. е. отказаться от точного
описания. В связи с этим наряду с классической механикой воз-
никла статистическая механика, а наряду с квантовой механикой ––
квантовая статистика. В радиотехнике для изучения процессов пре-
образования сигналов также широко применяют вероятностные
методы, что обусловлено случайным характером шумов, сопутству-
ющих работе всех устройств, а также статистической структуре
обработки (шифровки и дешифровки, модуляции и демодуляции
и др.) радиосигналов. Таким образом, случайный процесс стал
основной математической моделью сигналов –– переносчиков ин-
формации.
Естественно, что отказ от детерминистических принципов спо-
собствовал развитию соответствующего математического аппарата.
Например, использование теории вероятностей при изучении фи-
зических процессов послужило мощным толчком в развитии раз-
личных областей физики. Методы теории вероятностей применимы
только к таким испытаниям, которые могут быть повторены беско-
нечное число раз, поэтому статистическое определение вероятности
связано с частотой появления события. Следовательно, такие поня-
тия, как частота и вероятность появления события, неразделимы.
Вероятность появления события, характеризуемая каким-либо чис-
лом, соответствует относительной частоте появления данного собы-
тия при большом числе опытов.

7

Статистические методы применяют в том случае, когда, минуя
детальное изучение отдельного явления, можно непосредственно
обратиться к вероятностным закономерностям, наблюдаемым в экс-
перименте и отражающим случайный характер процесса. Эмпирическое 
исследование таких закономерностей связано с установлением 
некоторых исходных вероятностных соотношений, на основе
которых можно вывести более сложные с использованием математических 
правил вычисления. Найденные таким образом априорные 
закономерности сложных явлений могут быть подтверждены
или опровергнуты только статистической обработкой результатов
наблюдения, т. е. следует помнить, что необходима апостериорная
обработка данных.
Анализ вероятностных априорных моделей и статистические
апостериорные выводы при описании физических процессов составляют 
предмет настоящего учебного пособия. В книге приводится 
множество примеров из статистической физики: диффузия,
броуновское движение, тепловые шумы в радиофизических системах 
и т. д.
Методы статистической обработки сигналов различной физической 
природы базируются на теории стохастических систем, а также 
на анализе и синтезе систем передачи данных. При анализе
передачи сигналов по заданным характеристикам системы и процесса, 
действующего на входе, определяют характеристики про-
цесса на выходе системы. Синтез системы по характеристикам
процесса на входе и характеристикам того же процесса на выхо-
де связан с выбором системы, преобразующей процесс с заданной
характеристикой в процесс с желаемой характеристикой.
В статистической радиофизике к объектам исследования отно-
сятся
различные
сигналы
и
помехи,
представляющие
собой
реализации случайных процессов (и лишь в частных случаях ––
детерминированных). Ясно, что задачи анализа фактически заклю-
чаются в определении необходимых вероятностных характеристик
процессов на выходе линейных и нелинейных систем при условии,
что характеристики системы заданы и описаны процессы на входе.
Примером такого анализа может служить вычисление отношения
мощности сигнала к мощности шума на выходе системы, которое
иногда используется в качестве показателя помехозащищенности.
В первой главе учебного пособия приведены сведения из теории
вероятностей, рассмотрены схема Бернулли, биномиальное распре-
деление и его асимптотики: нормальное распределение (теорема

8

Муавра –– Лапласа) и распределение Пуассона. Вводится понятие
функции распределения и плотности распределения случайной ве-
личины. Даны определения моментов случайных величин, характе-
ристической функции и кумулянтов (семиинвариантов). Приведена
(без доказательства) теорема Марцинкевича.
Вторая глава посвящена многомерныем распределениям веро-
ятностей. Вводятся понятия совместного распределения, многомер-
ной характеристической функции, корреляционной матрицы и ко-
эффициента корреляции. Рассмотрены статистически независимые
случайные величины (как частный случай), процедура перехода
от одних переменных к другим для плотности распределения веро-
ятностей. Приводятся доказательства теоремы Винера –– Хинчина,
иллюстрирующей связь между корреляционными и спектральными
характеристиками случайных процессов, и теоремы Котельникова.
В третьей главе рассмотрены линейные системы, на входе ко-
торых действуют случайные процессы. Приведен анализ отклика
линейной системы на шумовое воздействие. Изучаются немало-
важный случай узкополосного стационарного шума и шумовые ко-
лебания в линейном осцилляторе как нестационарный случайный
процесс.
В четвертой главе исследуются собственные шумы линейных
систем. Рассмотрены совместное действие сигнала и шума на ли-
нейную систему, задача выделения сигнала из шума и, кроме того,
частный случай узкополосного гауссова процесса и корреляцион-
ные свойства его комплексной амплитуды.
Пятая глава посвящена марковским процессам. Приведены вы-
воды уравнений Смолуховского и Эйнштейна –– Фоккера –– Планка.
Вводится понятие случайной функции с независимыми прираще-
ниями. Рассмотрены импульсные случайные процессы и важный
пример фотоотсчетов в случайном поле электромагнитного излуче-
ния. Изучена статистика фотоотсчетов в поле теплового и лазерного
излучений.
Шестая глава посвящена стохастическим дифференциальным
уравнениям. В качестве иллюстрации метода стохастических диф-
ференциальных уравнений приведено описание броуновского дви-
жения как марковского случайного процесса. Рассмотрена диффу-
зия под действием пуассоновского случайного процесса.
В седьмой главе проанализированы немарковские процессы
в физике и технических системах. Сформулированы общие про-
блемы описания немарковских процессов. Приведено описание

9

немарковских процессов с помощью линейного интегрального пре-
образования. Рассмотрен пример применения уравнения Вольтерра
второго рода для описания немарковских процессов. Описано дви-
жение броуновской частицы в терминах немарковского случайного
процесса.
Восьмая глава посвящена описанию случайных полей. Рассмот-
рены такие понятия, как пространственная и временная когерент-
ность. Для частотного углового спектра сформулирована и до-
казана теорема Винера –– Хинчина. Введено понятие структурной
функции.
Большое влияние на написание этого пособия оказали книги
С. А. Ахманова, Ю. Е. Дьякова, А. С. Чиркина «Введение в статисти-
ческую радиофизику и оптику» и В. С. Пугачева, И. Н. Синицына
«Стохастические дифференциальные системы», являющиеся фун-
даментальными трудами в области разработки методов описания
случайных процессов, анализа и синтеза стохастических систем.
При написании части материала данного пособия использовался
конспект лекций по курсу статистической радиофизики, прочитан-
ному на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова про-
фессором Ю. Е. Дьяковым, что существенно повлияло на изложение
материала глав 1–5 и 8. Главы 6 и 7 написаны А. Н. Морозовым,
причем содержание главы 7 является оригинальным и ранее в учеб-
ной литературе не публиковалось.

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ПРОЦЕССЫ

В главе приведены основные понятия теории стохастических
систем. По сути, она посвящена постановке задач статистической
радиофизики и статистической механики и знакомству читателя
с вычислительным аппаратом, который используется при реше-
нии этих задач. Сформулированы понятия функции распределения
и плотности распределения (вероятностей), моментов высшего по-
рядка и центрального момента, характеристической функции слу-
чайной величины, кумулянты и др.

1.1. Схема Бернулли

Рассмотрим основы теории случайных процессов, являющих-
ся частным случаем случайных функций. Теорией случайных про-
цессов называется раздел математики, изучающий закономерности
случайных явлений в динамике их развития. Ключевыми поняти-
ями этой теории являются корреляционные функции и спектраль-
ные распределения. Теория случайных процессов служит мощным
математическим аппаратом, широко и плодотворно используемым
в естественных науках и технике.
В главе представлен тот минимум знаний по теории случай-
ных процессов, который необходим для полноценного понимания
природы стохастичности. Поэтому существенно задействован аппа-
рат теории вероятностей. Это сделано для того, чтобы подчеркнуть
генетическую связь между имеющими частный характер задачами
стохастической физики и общими подходами к их решению, сфор-
мулированными в математической статистике. В качестве примера
рассмотрим классическую задачу Бернулли о последовательности
независимых испытаний, которые можно свести к математической
схеме.

11