Математическое моделирование процессов теплопроводности методом конечных элементов

И.Ю. Савельева, И.В. Станкевич

Математическое моделирование  

процессов теплопроводности  
методом конечных элементов

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

Предисловие 

УДК 519.63+536.2 
ББК 22.317 
С12 
 
Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.press/catalog/93/book1887.html 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор Н.Д. Чайнов; 
 д-р физ.-мат. наук, профессор М.П. Галанин 
 
 
Савельева, И. Ю. 
 
 
Математическое моделирование процессов теплопро-
водности методом конечных элементов : учебное пособие / 
И. Ю. Савельева, И. В. Станкевич. — Москва : Издатель-
ство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 176, [2] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4932-3 

 
Приведены формулировки стационарных и нестационарных задач 
теплопроводности. Рассмотрены основные особенности построения чис-
ленного решения этих задач в рамках конечно-элементной технологии. 
Для студентов 3-го и 4-го курсов факультета «Фундаментальные науки» 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих дисциплины «Уравнения математиче-
ской физики», «Методы вычислений», «Математическое моделирование», 
«Прикладные пакеты инженерного анализа», «Математические модели ме-
ханики сплошной среды» и выполняющих соответствующие курсовые рабо-
ты. Может быть полезно студентам старших курсов других факультетов, 
изучающим численные методы решения краевых и начально-краевых задач. 
 
УДК 519.63+536.2 
ББК 22.317 
 
 
 
 
 

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 
  
  Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4932-3                               МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 

С12 

Предисловие 
3 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В данном пособии рассмотрены формулировки нелинейных 
стационарных и нестационарных задач теплопроводности и ос-
новные особенности построения численных решений этих задач в 
рамках конечно-элементной технологии. Особое внимание уде-
лено вопросам применения квадратичных изопараметрических 
конечных элементов. Элементы этого типа хорошо аппроксими-
руют криволинейные границы геометрически сложных областей 
и имеют высокие интерполяционные характеристики. 
Целью пособия является формирование познавательных дей-
ствий, становление научного сознания, развитие любознательно-
сти и познавательной мотивации в процессе изучения теоретиче-
ских основ конечно-элементной технологии и практического 
применения соответствующих алгоритмических построений для 
создания программного кода прикладных комплексов и пакетов, 
ориентированных на 2D и 3D математическое моделирование 
сложных теплофизических процессов. 
Пособие содержит пять глав и приложение, параграфы в ко-
торых могут состоять из нескольких подразделов. Ссылки в тек-
сте на соответствующий параграф или подраздел набраны по-
лужирным шрифтом, например: см. 2.5.2 (вторая глава, пятый 
параграф, второй подраздел). Формулы, рисунки и таблицы в 
пределах глав имеют двойную нумерацию, например: (3.7) — 
третья глава, седьмая формула; рис. 2.5 — вторая глава, пятый 
рисунок; табл. 4.1 — четвертая глава, первая таблица.  
Структура пособия отражает блочно-модульное построение 
дисциплин «Уравнения математической физики», «Методы вы-
числений», «Математическое моделирование», «Прикладные па-
кеты инженерного анализа» и «Математические модели механики 
сплошной среды», занимающих ключевые места в профессио-
нальном цикле подготовки бакалавров и магистров по направле-
нию подготовки «Прикладная математика». Каждая глава посо-
бия соответствует блоку, параграфы — модулям, т. е. логически 
замкнутой части материала, имеющей самостоятельное значение 
при изучении соответствующих дисциплин. Между собой модули 
и блоки тесно связаны в теоретическом, методическом и терми-
нологическом отношении. 

Предисловие 

Во введении указана актуальность решения температурных 
задач при общем анализе работоспособности исследуемых кон-
струкций. Отмечено особое значение, которое в настоящее время 
придается численному решению нелинейных стационарных и 
нестационарных задач теплопроводности с применением конечно-
элементной технологии. Первая глава посвящена общим форму-
лировкам нелинейных стационарных и нестационарных задач 
теплопроводности. Во второй главе сформулировано понятие  
конечного элемента и рассмотрено построение функций формы 
конечных элементов разной размерности с различным числом 
узлов. В третьей главе дано построение основных матричных со-
отношений метода конечных элементов (МКЭ) и освещены во-
просы реализации численного интегрирования матричных кон-
струкций МКЭ. В четвертой главе приведены численные схемы, 
реализующие решение нестационарных задач теплопроводности.  
В пятой главе рассмотрены алгоритмические особенности методов 
решения больших систем линейных алгебраических уравнений  
с разреженными матрицами. В приложении приведена формули-
ровка начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 
теплопроводности, дано развернутое построение основных мат-
ричных соотношений МКЭ и рассмотрен пример численного ре-
шения этой задачи. 
В конце каждой главы приведен список вопросов и заданий, 
которые могут помочь в усвоении изложенного в главе материала. 
 

Основные обозначения 
5 

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ  

Математические символы 

i i
a b   
— 
суммирование по повторяющемуся латинскому 
индексу: 
1 1
2 2
3 3



i i
a b
a b
a b
a b  1.1 

def

A
B  
— 
величина A по определению равна величине B 1.1 

1( )
C G  
— 
пространство 
непрерывно 
дифференцируемых 
функций, заданных на множестве G, с первым 
порядком гладкости 1.2 

i
j

e
e  
— 
базисная диада 1.3 

1,
i
n

 
— 
натуральное число i, последовательно принимающее 
все значения от 1 до n 1.1 
Im A   
— 
образ линейного оператора (матрицы) A  5.1 
Int S   
— 
внутренность множества S  — совокупность всех 
внутренних точек 2.1 
G  
— 
область (открытое множество) 1.1 
G

  
— 
граница области 1.1 

G
G
G



 
— 
замыкание области — объединение области и ее 
границы 1.2 

2( )
L G  
— 
пространство измеримых функций, вторая степень 
которых интегрируема 1.2 
mesS  
— 
мера множества S, в простейших случаях — длина, 
площадь, объем 1.1 
( )
e
M
 
— 
число узлов конечного элемента (е) 2.1 

in  
— 
компоненты единичного вектора внешней нормали 

i i
n

n
e  1.1 

1 2
3
Ox x x  
— 
прямоугольная декартова система координат 1.1 

3  
— 
трехмерное евклидово пространство 1.1 

( ),i
T x
 
— 
операция дифференцирования функции 
( )
T x  по 

пространственным координатам 
(
1, 3)

ix i
 1.1 

T  
— 
интерполированное значение функции Т 3.2 

( )
( )
i
j
V
V

 
— 
пересечение замкнутых областей с номерами соответственно ( )
i  и ( )j  2.1 
G

x
 
— 
элемент принадлежит области G  1.1 

Основные обозначения 


X
Y  
— 
прямое (декартово) произведение двух множеств — 
множество, элементами которого являются все 
возможные упорядоченные пары элементов исходных 
множеств 1.1 

f  
— 
первая вариация функции f 1.2 
Φ

 
— 
первая вариация функционала Ф 1.2 

2Φ

 
— 
вторая вариация функционала Ф 1.2 

 
T

 
— 
функционал 1.2 

  
— 
логическое «или» (операция дизъюнкции) 2.1 
  
 
  

— 
 
— 

квантор всеобщности ( x  — для любого элемента 
x) 1.1 
квантор существования ( x  — существует элемент 
x) 2.1 
   
— 
знак тензорного произведения 1.3 

Физические величины 

c  
— 
удельная массовая теплоемкость материала тела 1.3 

V
q  
— 
мощность внутренних тепловых источников (стоков) 
1.1 

w
q  
— 
плотность теплового потока в направлении внешней 
нормали к поверхности 1.1 
T  
— 
температура среды 1.1 

f
T  
— 
температура среды у поверхности 1.1 

w
  
— 
коэффициент теплоотдачи на поверхности 1.1 

 

ij
  

 
— 
компоненты тензора теплопроводности 

,
1,3

i j
 1.1 

  
— 
тензор теплопроводности 1.3 
 
— 
плотность материала тела 1.3 

       Введение 
7 

 

ВВЕДЕНИЕ 

На первом этапе при решении задач вычислительной термо-
механики определяют температурные поля в исследуемых областях.
 Функции, характеризующие температурные поля, являются 
решениями задач теплопроводности. В настоящее время особое 
значение придается решению нелинейных стационарных и нестационарных 
задач теплопроводности. 
В областях, имеющих сложную геометрическую форму, и при 
сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, входящих 
в формулировку стационарных и нестационарных задач, 
наиболее перспективны численные методы, среди которых продолжительное 
время лидирующее положение занимает метод 
конечных элементов (МКЭ) [3, 5, 6].  
Широкому и успешному применению МКЭ способствовали 
такие его свойства, как естественность, простота, доступность, 
универсальность и высокая технологичность. Метод конечных 
элементов позволяет проводить численный анализ в областях 
сложной геометрической формы, учитывать особенности граничных 
условий и теплофизических свойств материалов. Этот метод 
отличается прозрачностью основных вычислительных процедур, 
что позволяет эффективно контролировать обработку данных. 
Кроме того, МКЭ алгоритмически и программно весьма удобен 
для объединения с современными методами и средствами компьютерной 
графики. 
При решении стационарных задач теплопроводности с помощью 
МКЭ используется, как правило, интегральная, в частности, 
вариационная формулировка. Существенным достоинством 
вариационных формулировок является то, что они позволяют не 
только найти решение, но и оценить его погрешность. В этом 
смысле весьма эффективным оказывается применение двойственных 
вариационных формулировок. Построение и использование 
двойственных вариационных формулировок для получения 
апостериорных оценок точности температурных полей подробно 
рассмотрено в работах [1, 4]. 
Без ограничения общности не удается дать эквивалентную вариационную 
постановку нестационарным задачам теплопро-

Введение 

водности. В данной ситуации технически простым является использование 
метода прямых (метод Роте). В этом случае аппроксимация 
строится по временной переменной, что позволяет  
перейти от задачи с параболическим оператором к последовательности 
задач эллиптического типа на фиксированных временных 
шагах, каждая из которых часто допускает вариационную 
постановку. При этом полученное на предыдущем шаге решение 
рассматривается как начальное на текущем. Однако более широ-
кие возможности для решения нестационарных задач дает при-
менение метода взвешенных невязок в форме Галёркина [2, 6]. 
Численное решение нестационарных задач с использованием 
МКЭ, как правило, осуществляется в соответствии с методом  
Галёркина. Решение реализуется в два этапа. На первом этапе с 
помощью процедур МКЭ выполняется дискретизация по про-
странству, на втором этапе применяется какая-либо конечно-
разностная схема на временном отрезке, приводящая к пошаго-
вой процедуре интегрирования по времени. 
Если рассматривается нелинейная нестационарная задача и не 
используются линеаризующие процедуры, то на каждом времен-
ном шаге придется решать систему нелинейных алгебраических 
уравнений (СЛАУ) с помощью итерационных методов. Для того 
чтобы этого избежать, применяют схемы типа «предиктор — 
корректор». Эти схемы на каждом временном шаге требуют ре-
шения двух СЛАУ. Существенными недостатками использования 
схем «предиктор — корректор» являются общее усложнение ал-
горитма решения и дополнительные затраты оперативной памяти. 
Эти трудности можно обойти, если нестационарную задачу  
в каждый момент времени решать методом простых итераций  
с явным заданием скорректированных значений коэффициентов 
уравнения теплопроводности и граничных условий, применяя 
метод Галёркина для построения матричных соотношений МКЭ. 
Таким образом, в каждой точке временного отрезка решение 
нелинейной нестационарной задачи заменяется последователь-
ностью решений подобных линейных стационарных задач, раз-
личающихся численными значениями коэффициентов уравне-
ния теплопроводности и граничных условий. При этом перед 
проведением очередной итерации определяют численные значе-
ния коэффициентов по решению, полученному на предыдущей 
итерации. 

       Введение 
9 

Применение итераций при решении нелинейных уравнений 
эллиптического и параболического типов является известным и 
довольно широко используемым методом. Наиболее полные ре-
зультаты здесь получены для эллиптических уравнений. Особую 
проблему при итерационном решении составляет сходимость.  
В силу ограниченности объема этот вопрос здесь не рассматрива-
ется, заинтересованные читатели могут ознакомиться с результа-
тами работы [2]. 
 
 
 

 

1. Математические формулировки задач теплопроводности 

 

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  ФОРМУЛИРОВКИ  
ЗАДАЧ  ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

1.1. Постановка нелинейной стационарной  
задачи теплопроводности 

Дано трехмерное евклидово пространство 
3
  с произвольно 
выбранной прямоугольной декартовой системой координат 

1 2
3,
O x x x
 в которой положение точки фиксировано радиус-

вектором 
i i
x

x
e , где 
,
ix  
=1,3,
i
 — координаты вектора 
;
x  

,
=1,3,
i i
e
 — единичные орты координатных осей. (Здесь и да-
лее по повторяющимся латинским индексам проводится сумми-
рование от 1 до 3, а по греческим индексам не проводится.) 
В ограниченной области 
3
G    с кусочно-гладкой границей 
G

 рассматривается нелинейное уравнение теплопроводности 
 





( , ) ,
,
,
0,
ij
j
i
V
T T
q
T



x
x
 
G

x
,  
(1.1) 

с  граничными  условиями 
 
 

1
( )
( ),
w
S
T
T

x
x
 
1S
G

 
x
; 
(1.2) 

2
( , ) ,
( , )
i
ij
j
w
S
n
T T
q
T
 

x
x
, 
2
S
G

 
x
; 
(1.3) 




3
( , ) ,
( , )
( )
( )
i
ij
j
w
f
S
n
T T
T
T
T
 
 

x
x
x
x
,
3
S
G

 
x
, 
(1.4) 

 
где 
1
2
3
;
S
S
S
G
 


 






1
2
1
3
2
3
mes
mes
mes
0.
S
S
S
S
S
S






  

В (1.1) – (1.4) использованы следующие обозначения: 
( , )
ij
T
x
 — 

компоненты тензора теплопроводности (где 
( )
T
T x

 — температу-