Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Вып. 5


МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

А.Н. Канатников, А.П. Крищенко, В.Н. Четвериков



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ







Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

                        Выпуск V

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

А.Н. Канатников, А.П. Крищенко,
В.Н. Четвериков

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Издание третье, исправленное

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений




Москва Издательство МГТУ им. И. Э. Баумана 2007

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161
      К19
Рецензенты: акад. РАН А.Т. Фоменко, проф. В.И. Елкин

      Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н.
К19 Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учеб, для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. -456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. V).
         ISBN 978-5-7038-3014-7 (Вып. V)
         ISBN 978-5-7038-3022-2
          В пятом выпуске подробно рассмотрены основополагающие понятия предела и непрерывности функций многих переменных, свойства дифференцируемых функций, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов функций многих переменных. Отражена связв дифференциалвного исчисления функций многих переменных с дифференциалвной геометрией. Рассмотрены методы решения систем нелинейных уравнений.
          Теоретический материал изложен с применением методов линейной и матричной алгебры и иллюстрирован разбором примеров и задач. В конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самостоятелвного решения.
          Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может бытв полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Ил. 71. Табл. 1. Библиогр. 41 назв.

ISBN 978-5-7038-3014-7 (Вып. V)
ISBN 978-5-7038-3022-2

                 УДК517.5(075.8) ББК 22.161

© А.Н. Канатников, А.П. Крищенко, В.Н. Четвериков, 2000;
   2007, с изменениями
© Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2000;
   2007, с изменениями
© Издателвство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000;
   2007, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Представляем пятый выпуск серии „Математика в техническом университете Книга содержит материал по курсу функций многих переменных, читаемый в МГТУ во втором семестре, а также дополнительный материал по прикладным аспектам функций многих переменных (численные методы решения систем нелинейных уравнений, многомерные сплайны, теория поверхностей). Кроме того, в книгу включена глава, в которой изложены элементы теории многообразий. Этот материал может быть положен в основу спецкурса, ориентированного на студентов старших курсов.
   Книга, как и другие выпуски серии, имеет развитый аппарат поиска информации, позволяющий использовать книгу как справочник. Любое ключевое понятие в месте определения выделено полужирным курсивом. Первое упоминание ключевого понятия в каждом параграфе дано светлым курсивом. Для удобства цитирования определения, теоремы, замечания, формулы и т.п. снабжены двойной нумерацией. Например, теорема 2.1 — это первая теорема в главе 2, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1.
   В тексте книги используются ссылки, которые указывают номер главы или параграфа и могут относиться как к данной книге, так и к другим выпускам серии. Например, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы этой книги, тогда как [1-7.5] — к пятому параграфу седьмой главы в первом выпуске*.


  * Детальные ссылки с указанием параграфа даются только на первый выпуск серии и относятся к изданию: Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб, для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1996. В остальных случаях приводится лишь номер выпуска, а нужное место в книге можно найти при помощи предметного указателя.

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Все ключевые понятия приведены в предметном указателе, помещенном в конце книги. Они следуют в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже. Ссылки предметного указателя разделяются на основные (даны шрифтом прямого начертания) и неосновные (даны курсивным шрифтом). Основная ссылка указывает, где введено понятие, неосновная ссылка указывает место в книге или другом выпуске серии, где имеются дополнительные сведения о ключевом понятии. Ссылки на термины, введенные в других выпусках серии, содержат номера этих выпусков. Например, ссылка 1-215 означает страницу 215 первого выпуска, а ссылка II — второй выпуск (соответствующее место в этом выпуске можно найти по его предметному указателю).
   Большинство используемых обозначений помещены в перечне основных обозначений. Для каждого обозначения наряду с краткой расшифровкой указаны разделы этого или других выпусков серии, в которых оно было введено. В книге приведены написание и русское произношение букв латинского и греческого алфавитов.
   Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить некоторый набор заданий. В тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом выделены ключевые термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце каждого задания указана ссылка на номер выпуска серии, в котором можно найти соответствующие разъяснения.

Задания для самопроверки

   1.    Что понимают под критерием некоторого утверждения? [I]
   2.    Из каких этапов состоит доказательство по методу математической индукции? [I]
   3.    Сформулируйте определение взаимно однозначного отображения двух множеств. Чему равна композиция прямого и обратного отображений двух множеств? Что

понимают под областью определения и областью значений отображения? [I]
   4.   Может ли пересечение множеств совпадать с объединением этих множеств? [I]
   5.   Является ли множество натуральных чисел подмножеством множества действительных чисел? [I]
   6.   Что называют окрестностью точки на числовой прямой? Что понимают под проколотой окрестностью точки? [I]
   7.   Сформулируйте теорему о связи функции действительного переменного, ее предела и бесконечно малой. В

каких случаях бесконечно малая функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая бесконечно

малая? Какова связь между бесконечно малыми и бесконечно

большими функциями? [I]

   8.   Какие свойства имеют действительные функции

одного действительного переменного: а) непрерывные

в точке и на отрезке; б) непрерывно дифференцируемые

в интервале? Привести пример монотонных в интервале функций, сумма которых не является монотонной в этом интервале. [I], [II]
   9.    Составьте уравнение касательной и нормали к окружности х² + у² = 25 в точке М(3; 4). [II]
   10.   В чем состоит геометрический смысл производной функции действительного переменного в точке? [II]

   11.  Вычислите первую и вторую производные периодической функции у = sin4s. Дифференцируема ли эта функция в точке х = 0? в интервале (—л, л)? Совпадают ли

ее односторонние первая и вторая производные в точке х = л? Сформулируйте необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции действительного переменного. Приведите пример вычисления производной сложной функции. [II]
   12.   Найдите направляющий вектор касательной к графику функции у = х³ — Зж в точке (—1; 2). [II]

ПРЕДИСЛОВИЕ

   13.   Для действительных функций действительного переменного запишите: а) теорему Лагранжа; б) формулу Тейлора; в) формулу Маклорена. Что называют остаточным членом формулы Тейлора и в каком виде он может быть записан? [II]
   14.   Есть ли у функции у = х² + х локальные экстремумы? В каких точках отрезка [—10, 10] эта функция достигает наибольшего и наименьшего значений? Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции действительного переменного. [II]
   15.   Может ли ранг квадратной невырожденной матрицы быть меньше количества ее базисных строк (столбцов)? [III]
   16.   Что утверждает теорема о базисном миноре? [III]
   17.   Привести пример верхней (нижней) треугольной матрицы, у которой максимальное число линейно независимых строк не равно максимальному числу ее линейно зависимых столбцов. [III]
   18.   Как перейти от матричной записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) к ее векторной и координатной записям и наоборот? Как неизвестные СЛАУ разбивают на зависимые (базисные) и независимые (свободные)? [III]
   19.   Какие свойства имеют решения СЛАУ и решения соответствующей ей однородной СЛАУ? Что утверждает теорема Кронекера — Капелли о совместности и несовместности СЛАУ и связана ли ее формулировка с матрицей СЛАУ? [III]
   20.   Что можно утверждать об определителе матрицы: а) обратной к транспонированной; б) обратной к противоположной; в) являющейся невырожденной? [III]
   21.   Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. [III]
   22.   Какие размеры имеют блоки блочно-диагональной матрицы? [III]

23.   К какому типу матриц относятся: а) матрица-строка; б) матрица-столбец; в) квадратная матрица? [III]
   24.   Найдите ортогональную проекцию вектора 3i — — 2j + k на направление вектора i + j, где i, j, к — орто-нормированный базис в Уз- [Ш]
   25.   Составьте линейную комбинацию векторов г, j, к с коэффициентами 3, —1, 2. [III]
   26.   Перечислите свойства скалярного, векторного, смешанного произведений векторов в пространстве. Как проверить, являются ли два вектора коллинеарными? три вектора компланарными? [III]
   27.   Как вводится декартова (аффинная) система координат на плоскости и в пространстве? Что такое прямоугольная система координат? [III]
   28.   Найдите декартовы (аффинные) координаты точки, являющейся ортогональной проекцией точки М(3; —1; 2) на плоскость, заданную общим уравнением х + у — z + 2=0. Составьте векторное уравнение этой плоскости и укажите ее нормальный вектор. [III]
   29.   Найдите угол между прямой в пространстве, заданной каноническими уравнениями х — 1 = у + 1 = г + 2, и координатной плоскостью хОу прямоугольной системы координат Oxyz. [Ill]
   30.   Найдите координаты вершин и полуоси эллипса х²/4 + у²/9 = 1. [III]
   31.   Является ли поверхность х² + Зу² + Зг² — х = 0 поверхностью вращения? [III]
   32.   Запишите канонические уравнения поверхностей второго порядка: а) сферы; б) эллипсоида; в) эллиптического и гиперболического параболоидов; г) эллиптического конуса; д) кругового, эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров. Что называют направляющей и образующей цилиндрической поверхности? [III]