Математические основы теории автоматического управления. Том 2

Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè
Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ
ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì
Ìåõàòðîíèêà
Ðîáîòû è ðîáîòîòåõíè÷åñêèå ñèñòåìû
«
»,«
»
«
»
íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè
Ìåõàòðîíèêà è ðîáîòîòåõíèêà

Ïîä ðåäàêöèåé ïðîôåññîðà Á.Ê. ×åìîäàíîâà

 òðåõ òîìàõ
Òîì 3

Ìàòåìàòè÷åñêèå
îñíîâû òåîðèè
àâòîìàòè÷åñêîãî
óïðàâëåíèÿ

Èçäàíèå òðåòüå,ïåðåðàáîòàííîå è äîïîëíåííîå

Ìîñêâà 2009

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 519.711.3(075.8) 
ББК 22.161.6 
         М34 
 
Рецензенты: 
кафедра «Робототехника и мехатроника» Московского государственного 
технологического университета «СТАНКИН» 
(зам. зав. кафедрой д-р техн. наук, доц. Ю.В. Илюхин);  
кафедра «Проблемы управления» Московского государственного 
института радиотехники, электроники и автоматики (ТУ) 
(зам. зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.М. Лохин)  

Математические основы теории автоматического 
управления: Учеб. пособие: В 3 т. / В.А. Иванов, В.С. Медведев, 
Б.К. Чемоданов, А.С. Ющенко; Под ред. Б.К. Чемоданова. – 
3-е изд., перераб. и доп. – Т. 3. – М.: Изд-во МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2009. – 352 с.: ил. 
ISBN 978-5-7038-3230-1 (Т. 3) 
ISBN 978-5-7038-2807-6 
В третьем томе трехтомного учебного пособия приведен  
математический аппарат, используемый в статистической теории 
автоматического управления. Рассматриваются основы теории ве-
роятностей и теории случайных функций. Изложение вопросов 
математики сопровождается решением примеров расчета автома-
тических систем при наличии случайных воздействий. 
Содержание данного учебного пособия соответствует разделу 
лекций по теории автоматического управления, читаемому авто-
рами в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Ав-
томатическое управление в технических системах». Будет полезно 
аспирантам и инженерам, специализирующимся в данной области. 
 

                                    УДК 519.711.3(075.8) 
                                                                                             ББК 22.161.6 
   
 
 
 
 
 
                                            
 
 
 © Чемоданов Б.К., 2009 
 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 
 
 © Оформление. Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3230-1                                        им. Н.Э. Баумана, 2009 

М34 

Ч А С Т Ь  7  

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ  
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Г л а в а  2 2  

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

§ 22.1. Событие, классификация событий,  

вероятность события 

а. Основные понятия 

При изучении физических, химических, биологических, обще-
ственных или каких-либо иных явлений приходится сталкиваться 
с осуществлением наблюдений или экспериментов; например, оп-
ределением числа: распавшихся атомов радиоактивного элемента 
за единицу времени; бракованных деталей в партии; отказов сис-
темы автоматического управления; заявлений, которые будут по-
даны в институт в данном учебном году подсчетом числа вызовов 
на телефонной станции за один час и т. д. 
Результат опыта или наблюдения называется событием. Так, 
например, событиями являются выпадение герба при бросании 
монеты, серия из трех попаданий при пяти выстрелах по мишени, 
отсутствие бракованных деталей в партии, выход из строя прибо-
ра, выигрыш на лотерейный билет при розыгрыше и т. д. Если из-
вестно, что событие при эксперименте не может произойти, то оно 
называется невозможным. Невозможным является событие пяти 
попаданий в мишень при трех выстрелах. Если событие при экспе-
рименте обязательно должно произойти, то оно называется досто-
верным. Достоверным событием будет, например, выбор годной 
детали из партии, в которой все детали доброкачественные. Про-
межуточное положение между достоверным и невозможным со-
бытиями занимает случайное событие. Случайным событием на-
зывается такое событие, которое в результате опыта может про-
изойти, а может и не произойти, например попадание в цель при 
одном выстреле. 
Всякий раз необходимо оговаривать условия, при которых про-
изводится эксперимент. Так, при бросании монеты мы уславлива-

емся, что она обязательно упадет вверх гербом, или цифрой, а на 
ребро упасть не может, результат падения монеты мы можем на-
блюдать. Мы всегда будем говорить о комплексе условий, при ко-
торых проводится опыт. Для краткости этот комплекс будем обо-
значать буквой S. 
Рассмотрим совокупность всех взаимно исключающих друг 
друга событий, которые могут произойти в результате опыта.  
Каждый исход одного опыта назовем элементарным событием. 
При одном выстреле по цели элементарными событиями будут 
промах и попадание (при этом мы считаем, что комплекс условий 
S исключает появление осечки). Всякое событие можно разложить 
на совокупность элементарных событий и, наоборот, всякое собы-
тие есть совокупность (множество) элементарных событий. На-
пример событие, заключающееся в том, что при двух выстрелах по 
мишени будет одно попадание, подразделяется на два элементар-
ных события: попадание при первом и промах при втором выстре-
ле, промах при первом и попадание при втором выстреле.  
В результате опыта может произойти одно и только одно элемен-
тарное событие. 
Совокупность всех элементарных событий называется про-
странством (множеством) элементарных событий, а сами эле-
ментарные события ωi — точками этого пространства. Различные 
комбинации элементарных событий (множество подмножеств) на-
зываются событиями. В дальнейшем для краткости события будем 
обозначать прописными буквами латинского алфавита A, B, C и т. д.  
Два события A и B при заданном комплексе условий S называ-
ются несовместимыми (несовместными) событиями, если при 
комплексе условий S появление одного из них исключает появле-
ние другого. Если события A1, A2, ..., An таковы, что одно из собы-
тий при опыте обязательно должно произойти, то говорят, что  
события A1, A2, ..., An составляют полную группу событий. Рас-
смотрим ряд примеров, иллюстрирующих понятие пространства 
элементарных событий. 
1. При однократном бросании монеты пространство элемен-
тарных событий состоит из двух точек: ωl — выпадение герба и  
ω2 — выпадение цифры. При трехкратном бросании монеты мно-
жество элементарных событий состоит из восьми точек: ω1(ггг), 
ω2(ггц), ω3(гцг), ω4(цгг), ω5(ццг), ω6(цгц), ω7(гцц), ω8(ццц) (г — 
выпадение герба, ц — выпадение цифры). 
2. Пусть имеется партия из 100 деталей, среди которых воз-
можны бракованные. Элементарными событиями в этом случае 

будут 0, 1, …, 100 бракованных деталей в партии, и пространство 
элементарных событий состоит из 101 точки 
0
1
2
100
,
,
,...,
ω
ω
ω
ω
 
(элементарное событие ωi означает, что в партии имеется i брако-
ванных деталей). 
3. 
При 
бросании 
монеты 
до 
выпадения 
герба 
воз- 
можны следующие элементарные события: ωl(г), ω2(цг), ... 
…,

(
1) раз
(цц
цг), ...
n
n −
ω
Пространство элементарных событий состоит 

из бесконечного числа точек. Здесь каждому элементарному собы-
тию можно поставить в соответствие некоторое натуральное чис-
ло, т. е. в этом случае число элементарных событий счетное. 
4. При производстве конденсаторов вследствие неодинаковых 
условий технологического процесса действительные значения ем-
кости конденсаторов отличаются от номинального значения и 
представляют случайные события. Пространство элементарных 
событий в этом случае состоит из бесконечного несчетного числа 
точек (континуума) некоторого отрезка числовой оси, соответст-
вующих действительным значениям емкости. 
Из приведенных примеров следует, что пространство элемен-
тарных событий может состоять из конечного числа точек (приме-
ры 1, 2) или из бесконечного счетного (пример 3), или бесконечно-
го несчетного числа точек (пример 4). В этих случаях простран-
ство элементарных событий соответственно называется конеч-
ным, счетным или непрерывным (несчетным) пространством. 

б. Алгебра событий 

В п. а было отмечено, что событие A представляет совокуп-
ность (множество подмножеств) элементарных событий. Другими 
словами, событие A представляет собой множество различных 
объединений точек пространства элементарных событий. Если 
считать, что в примере 1 элементарное событие означает выпаде-
ние одного герба при одном бросании монеты, то событие A — 
выпадение различных сочетаний последовательностей герб-цифра 
при трехкратном бросании монеты включает в себя три элемен-
тарных события ωl, ω2, ω3, а множество подмножеств этих событий 
с включением невозможного события ∅  составляют события 
({∅ {ωl}, {ω2}, {ω3}, {ωl, ω2}, {ωl, ω3}, {ω2, ω3}, {ωl, ω2, ω3}). Сим-
волически утверждение, состоящее в том, что элементарное собы-

тие ω входит в событие A, записывают в виде ω ∈ A. Если эле-
ментарное событие ω не принадлежит событию A, то записывают 
ω ∉ A. 
Введем некоторые понятия. Говорят, что событие A влечет за 
собой событие В, если при наличии события A обязательно про-
изойдет событие B. Сокращенно фразу событие A влечет за со-
бой событие B записывают в виде А ⊂ В. 
Если событие A влечет за собой событие В и событие B влечет за 
собой событие A, т. е. если A ⊂ B, а B ⊂ A, события A и B называют-
ся эквивалентными. В этом случае пишут A = B. 
Объединением (или суммой) двух событий A и B называется та-
кое событие C, которое состоит в осуществлении события A или 
события B, или событий A и B вместе. Операцию объединения ус-
ловно записывают в следующем виде: 

C = А ∪ B  или  C = A + B. 

Событие 
C, 
эквивалентное 
объединению 
событий 
A1,  
A2, …, An, будем записывать в виде 

1
1
или
.

n
n

i
i
i
i
С
A
C
A

=
=
=
=∑
∪
 

Пересечением (или произведением) двух событий A и B называ-
ется событие С, которое состоит в осуществлении и события A, и 
события B. Операция пересечения событий условно записывается 
в виде 

C = A ∩ B (или C = AB). 

Событие 
C, 
эквивалентное 
пересечению 
событий 
A1,  
A2, …, An, будем записывать в виде 

1
1
или
.

n
n

i
i
i
i
С
A
C
A

=
=
=
=∏
∩
 

Событие 
,
A  которое заключается в том, что событие A не про-
изойдет, называется событием, противоположным событию A. 
Переход к противоположному событию называется операцией от-
рицания. 
Введенное выше достоверное событие будем обозначать Ω, а 
невозможное событие условимся обозначать ∅, тогда, если собы-

тия A и B несовместные (т. е. реализация события A исключает 
осуществление события B, и наоборот), можно записать A ∩ B = ∅. 
Для противоположных событий A и A справедливы соотноше-
ния 

(или
),
(или 
).
A
A
AA
A
A
A
A
∩
= ∅
= ∅
∪
= Ω
+
= Ω
* 

Введенные операции над событиями подчинены простым прави-
лам, которые напоминают правила сложения и умножения обычной 
алгебры чисел, однако следует отметить, что в ряде случаев эти опе-
рации существенно отличаются друг от друга (см., например, рас-
сматриваемые ниже правила 8 и 1), которые для множества чисел не 
выполняются. Так A + BC ≠ (A + B)(A + C); A + A ≠ A. 
Правила выполнения операций над событиями 
1. A ∪ A = A.   
2. A ∩ A = A.   
3. A ∪ B = B ∪ A.   
4. A ∩ B = B ∩ A.  
5. A ∪ (B ∪ С) = (A ∪ B) ∪ С.  
6. A ∩ (B ∩ С) = (A ∩ В) ∩ С. 
7. A ∩ (B ∪ С) = A ∩ B ∪ A ∩ С.  
8. A ∪ B ∩ С = (A ∪ В) ∩ (A ∪ С). 
9. A ∪ Ω = Ω. 
10. A ∪ ∅ = A. 
11. A ∩ Ω = A. 
12. A ∩ ∅ = ∅. 

13. 
.
A
A
=
 
14. 
.
A
B
A
B
∪
=
∩
 

15. 
.
A
B
A
B
∩
=
∪
 
16. 
,
.
Ω = ∅
∅ = Ω  

17. 
.
A
A
∪
= Ω  
18. 
.
A
A
∩
= ∅  
Две черты в правиле 13 означают операцию двойного отрица-
ния. 

____________________ 
* В литературе встречаются два вида обозначения операций над со-
бытиями, в дальнейшем будем использовать только первый вид. 

Круглые скобки в правилах определяют порядок выполнения 
действий над событиями: сначала выполняются действия над со-
бытиями, заключенными в скобки. Установлен порядок выполне-
ния действий: если в выражении отсутствуют скобки, то сначала 
выполняется операция отрицания, затем пересечения, а затем в 
последнюю очередь — операция объединения. 
Множество подмножеств элементарных событий M называется 
алгеброй множеств, если выполнены следующие требования: 
1) Ω ∈ M ;  
2) из условия А ∈ M следует, что 
;
A
M
∈
 
3) из условия А ∈ M  и  B ∈ M следует А ∪ B ∈ M и А ∩ B ∈ M. 
Если кроме перечисленных условий дополнительно выполнено 
следующее условие: 
4) из того, что Аn ∈ M (n = 1, 2, …) вытекает, что 
n
n
A ∈
∪
 

и
,
n
т

M
A
M
∈
∈
∩
 тогда M называется σ-алгеброй. 

Рассмотрим еще две операции над событиями: разность и сим-
метрическую разность. 
Разностью событий A и B называется такое событие С, кото-
рое состоит в том, что произошло событие A и не произошло со-
бытие B. Операцию определения разности условно записывают в 
следующем виде: 

C = A \ B (или C = A – B). 
Симметрической разностью двух событий A и B называется та-
кое событие C, которое состоит в том, что произошло событие B, но 
не произошло событие A, или произошло событие A, но не произош-
ло событие B. Операцию вычисления симметрической разности ус-
ловно записывают в следующем виде: 

C = A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). 

По порядку операций разность и симметрическая разность рас-
положены на одном уровне с операцией объединения. 
Запишем некоторые правила выполнения операций разности 
событий:  
1. A \ A = ∅.     2. A∆B = A \ A ∩ B. 
3. 
\ A
A
Ω
=
.  4. 
A
A
A
=
\
. 
5.  A \ ∅ = А.     6. А \ Ω = ∅. 
7. A \ B = (A ∪ B) \ B. 

Симметрическая разность характеризует различие между со-
бытиями: если события одинаковы, т. е. совпадают, тогда симмет-
рическая разность равна невозможному событию ∅. Если эти со-
бытия не совпадают, их симметрическая разность равна объедине-
нию этих событий A∆B = A ∪ B. 
Пусть комплекс условий S состоит в том, что из квадрата нау-
дачу выбирается точка (рис. 22.1), не принадлежащая изображен-
ным на этом квадрате окружностям. 

Пусть событие A заключается в том, что точка выбрана из од-
ного круга, а событие B — точка выбрана из другого круга. Тогда 
попадание точки в заштрихованные области соответствует собы-
тиям A, B, A ∪ B (А + B), A ∩ B (АB), 
,
,
A B  Ω, ∅, B ⊂ A, А \ B, A∆B. 
Фигуры на плоскости, показанные на рис. 22.1, иллюстрируют 
различные соотношения между событиями. Данные фигуры назы-
вают кругами Эйлера или диаграммами Венна. 
В справедливости правил выполнения операций разности собы-
тий 1—7 нетрудно убедиться, например, путем построения кругов 

Рис. 22.1 

Эйлера для выражений в их левой и правой частях. Все эти правила 
непосредственно вытекают из определений объединения, пересече-
ния достоверного, невозможного и противоположного событий. В 
качестве примеров покажем справедливость некоторых из приве-
денных правил. 
Пример 22.1. Доказать, что справедливо соотношение  
A ∪ B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (или при обозначении операций 
другими символами A + BC = (A + B)(A + C)). 
Действительно, если элементарное событие ω ∈ (A ∪ B) ∩  C,  
тогда или ω ∈ A), но в этом случае ω ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); или ω ∈  
∈ B ∩ C), а это значит, что ω ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). В силу произволь-
ности выбора ω имеем A ∪ B ∩ C ⊂ (A ∪ B) ∩  (A ∪ C).  
С другой стороны, пусть (A ∪ B) ∩ (А ∪ C), тогда элементарное 
событие ω принадлежит событиям и A ∪ B, и A ∪ C, а отсюда следу-
ет, что ω входит или в событие A, или в события и B, и C, т. е.  
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ B ∩ C. Из определения эквивалентности 
событий имеем A ∪ B ∩  C = A ∪ B) ∩  (A ∪ C). 
Справедливость соотношения A ∪ B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ ∪ C) 
можно показать также с помощью диаграмм, аналогичных диа-
граммам, приведенным на рис. 22.1. 
На рис. 22.2, а множество точек, соответствующих событию A, 
обозначено штриховкой в одном направлении, а множество точек, 
соответствующих 
событию  
B ∩ C, обозначено штриховкой 
в другом направлении. Из оп-
ределения объединения собы-
тий 
следует, 
что 
событию  
A ∪ B ∩ C соответствует мно-
жество точек, обозначенных 
штриховкой или в одном, или в 
другом направлении. Это мно-
жество точек обведено жирной 
линией. 
На рис. 22.2, б множество точек, соответствующих событию  
A ∪ B, обозначено штриховкой в одном направлении, а событию  
A ∪ C — штриховкой в другом направлении. Из определения пе-
ресечения событий следует, что пересечению событий (A ∪ B) ∩  
∩ (A ∪ C) соответствует область, обозначенная штриховкой и в 
одном, и в другом направлении. Это множество обведено жирной 

Рис. 22.2