Математические основы теории оптимального и логического управления

Допущено Учебнометодическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по направлению 220400
«Мехатроника и робототехника»

Москва 2011

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Математические
основы теории
оптимального
и логического
управления

В.А. Иванов, В.С. Медведев

УДК 519.711.3(075.8)
ББК 22.161.6
И20

Издано при финансовой поддержке
Федерального агентства по печати
и массовым коммуникациям
в рамках Федеральной целевой
программы «Культура России»

Рецензенты:
кафедра «Проблемы управления» Московского института радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)
(зам. зав. кафедрой, д-р техн. наук, проф. В. М. Лохин);
д-р техн. наук, проф. В. Л. Афонин

Иванов В. А.
И20
Математические основы теории оптимального и логического
управления : учеб. пособие / В. А. Иванов, В. С. Медведев. –– М. :
Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. –– 599, [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3366-7

В книге, состоящей из двух частей, приведен математический аппарат,
используемый в теории оптимального и логического управления. В первой
части рассмотрены вариационное исчисление, принцип максимума и метод
динамического программирования, а также оптимальная фильтрация в не-
прерывных и дискретных автоматических системах. Во второй части –– ма-
тематический аппарат, используемый в теории автоматического управления
при синтезе автоматических систем (например, систем управления робота-
ми), работающих в условиях неопределенности внешней среды.
Изложение материала сопровождается решением основных задач тео-
рии оптимального и логического управления.
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, которые
авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Системы
автоматического управления». Будет полезно аспирантам и инженерам, спе-
циализирующимся в данной области.

УДК 519.711.3(075.8)
ББК 22.161.6

ISBN 978-5-7038-3366-7

c⃝ Иванов В. А., Медведев В. С., 2011
c⃝ Оформление. Издательство МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основой настоящего учебного пособия служат разделы специ-
альных курсов лекций, которые авторы читают на протяжении ряда
лет студентам МГТУ им. Н. Э. Баумана, специализирующимся в об-
ласти управления техническими объектами. В нем приведен мате-
матический аппарат, владение которым необходимо студентам для
последующего изучения соответствующих разделов курса «Теория
автоматического управления».
Учебное пособие является логическим продолжением трехтом-
ного издания «Математические основы теории автоматического уп-
равления», в состав авторского коллектива которого входили и ав-
торы настоящей книги.
В части I пособия на базе теории классического вариационного
исчисления и на основе принципа максимума и динамического про-
граммирования изложены методы решения задач оптимизации, т. е.
поиска закона управления, обеспечивающего наилучшие показатели
качества технической системы. Они и до настоящего времени явля-
ются основными математическими методами теории оптимального
управления.
В главе 1 приведены определения функционала и функциональ-
ного пространства, дано понятие сильного и слабого экстремума
функционала. Рассмотрены необходимое и достаточные условия
экстремума функционала, приведены уравнения Эйлера –– Лагран-
жа, необходимое условие экстремума функционалов, зависящих
от функций нескольких переменных. Рассмотрены задача Лагранжа
на условный экстремум, изопериметрическая задача, задачи Майера
и Больца. Значительное внимание уделено применению методов ва-
риационного исчисления для синтеза оптимальных автоматических
систем.
В главе 2 изложен принцип максимума и его применение для
синтеза управления в оптимальных автоматических системах. При-
ведена основная теорема принципа максимума, на ее основе по-
строены оптимальные управления по быстродействию, расходу топ-
лива, по квадратичному критерию качества как для непрерывных,
так и дискретных систем, оптимальное управление при ограниче-
ниях фазовых координат.
Глава 3 посвящена методу динамического программирования
для синтеза оптимального управления дискретными и непрерыв-

Предисловие

ными системами. Рассмотрен принцип оптимальности Беллмана,
синтез оптимального управления линейными системами по квад-
ратичному критерию качества, синтез систем стабилизации.
В главе 4 описана теория оптимальной фильтрации в системах
управления при наличии случайных воздействий. Приведены необ-
ходимые и достаточные условия экстремума качества фильтрации
(дисперсии ошибки фильтрации) для непрерывных и дискретных
систем, рассмотрены уравнения Винера –– Хопфа для непрерывных
и дискретных систем, методы решения этих уравнений, дается вывод
уравнений фильтра Калмана для непрерывных и дискретных систем.
В части II настоящего пособия изложены методы современной
алгебры, необходимые при изучении теории логического управления. 
В главе 5 даны понятия абстрактного множества, функции,
бинарного отношения и графа, а также основные термины абстрактной 
алгебры: кольцо, тело, поле, изоморфизм алгебр.
В главе 6 вводятся основные понятия и законы алгебры логики, 
рассматривается полнота системы булевых функций и основные
операции в ней. Приведены примеры реализации логических схем
и методы их упрощения. В главе 7 изложены методы исчислений
высказываний и предикатов. Даны основные определения, правила
вывода, а также вопросы применения исчисления предикатов в математике 
и технических приложениях. Глава 8 содержит основные
положения теории графов. Приведены основные определения этой
теории, рассматриваются виды графов, методы раскраски графов.
Глава 9 посвящена конечным автоматам. Даны определения ко-
нечных автоматов и их классификация, введено понятие алгоритма,
рассмотрены способы задания автоматов, а также модели функцио-
нирования конечных автоматов в виде сетей Петри.
В главе 10 приведены методы дискретной алгебры и их приме-
нение для решения задач управления.
Для усвоения материала книги достаточно знать традиционные
курсы математического анализа и линейной алгебры, читаемые сту-
дентам инженерных специальностей.
Часть I книги написана В. А. Ивановым, часть II –– В. С. Медве-
девым.
Выражаем глубокую благодарность рецензентам профессору
В. Л. Афонину и коллективу кафедры «Проблемы управления» Мос-
ковского
института
радиотехники,
электроники
и
автоматики
за многочисленные советы, которые были учтены авторами.
Все замечания читателей по содержанию книги будут приняты
с благодарностью.

Часть I

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Гл ава 1
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1.1. Функционалы. Непрерывность
и дифференцируемость функционалов

1.1.1. Функциональные пространства

При синтезе оптимальных систем автоматического регулирова-
ния и управления в качестве критериев оптимизации используются
различные функционалы, которые определены ниже.
Вначале введем понятие функции: если задан закон, по кото-
рому каждому числу из некоторого числового множества ставится
в соответствие другое число, это соответствие называется функ-
цией.
Говорят, что на некотором множестве функций задан функ-
ционал, если указан закон, по которому каждой функции из это-
го множества ставится в соответствие число. В математике
рассматриваются три типа соответствий: функции, функционалы
и операторы.
Если каждой функции из некоторого множества функций ста-
вится в соответствие некоторая другая функция из иного множества
функций, это соответствие называется оператором.
Примеры функционалов:
1) на плоскости всевозможные непрерывные кривые соединяют
две точки A и B. Пусть тело может двигаться вдоль этих кривых,
имея в каждой точке кривой скорость v(x, y). Тогда время движения
тела вдоль кривой будет функционалом (рис. 1.1);

Рис. 1.1

Часть I. Вариационные методы и их применение

2) длина дуги кривой, проходящей через две заданные точ-
ки, представляет собой функционал, заданный на множестве всех
спрямляемых кривых
∗, проходящих через эти точки;
3) интеграл

J(y) =

ba
F(x, y, y′) dx,
(1.1)

где y(x) –– непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция,
определенная на отрезке [a, b]; F(x, y, y′) –– непрерывная функция
трех аргументов, также является функционалом;
4) в теории автоматического управления применяют интеграль-
ный критерий оценки качества автоматических систем

J(x) =

∞0

n
i=0

ai[x(i)(t)]2 dt,
(1.2)

который также представляет собой функционал, определенный
на множестве процессов изменения регулируемой величины x(t).
Здесь
a0,
a1, ...,
an –– некоторые весовые коэффициенты;
5) в теории оптимальных систем автоматического управления
при синтезе оптимальных регуляторов, как правило, в качестве кри-
терия оптимизации применяют различные функционалы. Наиболь-
шее распространение из них получили:
а) квадратичный функционал

J(x, u) =

t1t0
[xтQ(t)x + uтR(t)u] dt,
(1.3)

где x –– вектор состояния системы; u –– вектор управления; Q(t)
и R(t) –– симметрические матрицы весовых коэффициентов;
б) функционал
J(x, u) = t1 − t0,
(1.4)

характеризующий время перехода системы из начального состоя-
ния x(t0) = x0 в конечное состояние x(t1) = x1. Функционалы (1.3)
и (1.4) представляют собой частный случай функционала

J(x, u) =

t1t0
f0(x, u, t) dt.
(1.5)

∗О спрямляемой кривой см., например: Г. М. Фихтенгольц. Основы математи-
ческого анализа. В 2 т. Т. 1. М.: Физматлит, 2002. С. 370.

Глава 1. Вариационное исчисление
9

Действительно, для функционала (1.3)

f0(x, u, t) = xтQ(t)x + uтR(t)u,

а для функционала (1.4) –– f0(x, u, t) ≡ 1.
Задачей вариационного исчисления является определение наи-
меньших и наибольших значений функционалов, а также кривых,
на которых достигается экстремум функционалов.
Примеры задач определения экстремумов функционалов:
1) среди всех кривых y = y(x), соединяющих на плоскости точ-
ки A и B, найти кривую, имеющую наименьшую длину;
2) найти кривую, по которой тяжелая материальная точка перей-
дет из положения A(x0, y0) в положение B(x1, y1) за минимальное
время (задача о брахистохроне);
3) определить характеристическое уравнение системы автома-
тического управления, для которой квадратичный функционал

J(x) =

∞0

n
i=0

ai[x(i)(t)]2 dt

имеет минимальное значение. Здесь x(t) –– процесс изменения уп-
равляемой величины.
Каждую функцию будем рассматривать как элемент некото-
рого пространства. Пространства, элементами которых являются
функции, называются функциональными пространствами. Функци-
ональные пространства различны в зависимости от вида рассматри-
ваемых функций. Для оценки близости элементов функционального
пространства используют понятие нормы.
Напомним, что линейное пространство R называется нормиро-
ванным, если каждому элементу x ∈ R поставлено в соответствие
неотрицательное число ∥x∥, называемое нормой элемента x. При
этом должны выполняться следующие аксиомы:
• ∥x∥ = 0 только при x = 0;
• ∥ax∥ = |a|∥x∥, где
a –– некоторое число;
• ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥ (неравенство треугольника).
Расстояние
r(x1, x2) между элементами x1 и x2 ∈ R определя-
ется нормой ∥x1 − x2∥ =
r(x1, x2).
Далее рассматриваются следующие функциональные простран-
ства:
1) пространство C[a, b], состоящее из непрерывных функций
y(x), определенных на отрезке [a, b]. Для этого пространства норма

Часть I. Вариационные методы и их применение

вводится следующим образом:

∥y(x)∥ = max
x∈[a,b] |y(x)|;
(1.6)

2) пространство C1[a, b], состоящее из непрерывных функций
y(x), определенных на отрезке [a, b] и имеющих на нем непрерыв-
ную первую производную. В этом пространстве норма

∥y(x)∥1 = max
x∈[a,b] |y(x)| + max
x∈[a,b] |y′(x)|;
(1.7)

3) пространство Cn[a, b], состоящее из функций y(x), непрерывных 
на отрезке [a, b] и имеющих на нем непрерывные производные
до порядка n включительно.
В этом пространстве норма задается формулой

∥y(x)∥n =

n
k=0
max
x∈[a,b] |y(k)(x)|.
(1.8)

Нетрудно проверить, что определенные нормы (1.6) –– (1.8) элементов 
в различных функциональных пространствах удовлетворяют 
всем приведенным выше аксиомам.

1.1.2. Непрерывность функционалов.
Линейные и квадратичные функционалы
Введем понятие непрерывности функционала.
Функционал J(y) называется непрерывным в точке y0 ∈R, если
для любого числа
e > 0 можно указать такое число
d(y0,
e) > 0, что
если ∥y − y0∥ <
d, то |J(y) − J(y0)| <
e.
Функционал J(y) называется непрерывным в области G, если
он непрерывен в каждой точке этой области.
Пусть R –– линейное нормированное пространство, на котором
задан функционал J(y). Этот функционал называется линейным, если 
выполняются следующие условия:
1) для любых y1, y2 ∈ R справедливо равенство

J(y1 + y2) = J(y1) + J(y2);

2) для любого числа
a справедливо равенство

J(ay) =
aJ(y).

Далее рассматриваются в основном непрерывные линейные
функционалы.
Примеры непрерывных и линейных функционалов: