Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

Н.П. Деменков  

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ  
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО  
УПРАВЛЕНИЯ 

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 7 

УДК 681.5:683.3(075.8) 
ББК 14.2.6 
Д302 

Рецензенты: Е.Д. Панин, В.А. Шахнов 

Деменков Н.П. 
Д302 
Вычислительные аспекты решения задач оптимального  
управления: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, 2007. – 171 с. ил. 

ISBN 978-5-7038-2991-2 

Изложены вычислительные проблемы решения задач опти-
мального управления и показаны пути их решения.  
Для студентов, изучающих курсы «Оптимальное управление 
детерминированными процессами», «Управление в технических 
системах», «Алгоритмическое и программное обеспечение систем 
управления». Настоящее издание будет полезным также для широ-
кого круга научных работников, инженеров, аспирантов и студен-
тов старших курсов технических университетов. 
Ил. 32. Табл. 9. Библиогр. 18 назв. 

УДК 681.5:683.3(075.8) 
 
ББК 14.2.6 

ISBN 978-5-7038-2991-2 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

ВВЕДЕНИЕ 

Оптимизация является основным фактором, определяющим 
развитие теории управления в последние десятилетия. Идеи оп-
тимального управления находят применение во многих областях 
техники и экономики. Знакомство с этими идеями и с практиче-
ским их приложением необходимо современному инженеру. Оп-
тимизация является одной из важнейших проблем как науки, так 
и повседневной человеческой деятельности, ибо человеку орга-
нически присуще стремление к достижению наилучшего (опти-
мального) результата. 
Вопросы эффективности, ресурсосбережения исключительно 
важны для современного общества. Однако решаются они неудов-
летворительно. Это обусловлено следующими объективными об-
стоятельствами и закономерностями. 
Технические, технологические, экономические, социальные, 
духовные и нравственные, наконец, экологические процессы пред-
ставляют собой сложные динамические системы. Их инерцион-
ность последовательно возрастает в порядке перечисления.  
Состояние технических систем непосредственно влияет на техно-
логический уровень, последний – на экономическое развитие об-
щества, отрасли, предприятия, цеха и т. д. Иными словами, в ин-
формационном управляемом обществе перевод технических сис-
тем из одних состояний (режимов) в другие должен выполняться 
гораздо чаще, чем изменения состояний технологических процес-
сов, а технология должна быть намного мобильнее экономической 
системы и т. д. 
Перевод той или иной управляемой системы (технической, 
технологической, экономической и т. д.) из одного состояния в 
другое осуществляется ради получения каких-то выгод и обяза-
тельно сопровождается затратами материальных, энергетических, 
трудовых и других ресурсов. Эффективность системы, понимаемая 
как отношение выгод к затратам, в значительной мере зависит от 
выбранного режима перевода, от использования ресурсов в про-
цессе управления. 

Максимальная эффективность достигается при более рацио-
нальных (оптимальных) режимах функционирования систем, 
принципиально требующих существенно нелинейных и логиче-
ских преобразований информации о состоянии управляемого 
процесса (интенсивный способ повышения эффективности). Ча-
ще же всего эффективность повышают путем интеграции систем, 
расширения их функций и масштабов (экстенсивный способ). 
Однако это неизбежно приводит к усложнению системы – ус-
ложнению процесса и нерациональному управлению. Таким об-
разом, разработка сложных управляемых процессов неизбежно 
сталкивается с объективной, хотя часто и выступающей в не 
столь явном виде дилеммой: ординарное управление и, следова-
тельно, крайне неэффективная или высокоэффективная, но обяза-
тельно оптимальная система. 
Для создания оптимальных систем управления необходимо 
располагать, во-первых, методами решения прикладных задач син-
теза, во-вторых, техническими средствами простой и надежной 
реализации законов оптимального управления. 
Задачи управления процессами, изучаемыми в физике, технике, 
экономике, биологии, требуют как совершенствования аналитиче-
ских методов, так и создания достаточно простых математических 
моделей изучаемых процессов. Оба пути имеют одну цель – полу-
чение содержательных численных результатов современными вы-
числительными средствами. Поэтому большой интерес представля-
ют обсуждения вычислительных аспектов теории управления. 
Цель настоящего учебного пособия – ознакомление с вычисли-
тельными аспектами решения задач оптимального управления на 
основе современных подходов и программных средств. Изложены 
вычислительные проблемы решения задач оптимального управления 
и показаны пути их решения. 
В первой главе обсуждаются проблемы построения оптимальных 
систем: основные особенности прикладных задач оптимального 
управления; модели управляемого процесса и внешних возмущений; 
ограничения на управление и переменные состояния; 
граничные условия; критерии оптимальности; современные подходы 
к решению задач оптимального управления; особые и вырожденные 
задачи теории оптимального управления. 
Решение краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных 
уравнений занимает центральное место в теории оптимального 
управления, поэтому вторая глава посвящена методам 
решения краевых задач, использующим процедуры отыскания 

корней функций невязок, переноса граничных условий, решения 
задач со свободным концом. 
В третьей главе рассматриваются вычислительные процедуры 
динамического программирования для дискретных и непрерывных 
систем.  
Четвертая глава посвящена специфическим задачам теории оп-
тимального управления, возникающим при использовании лишь 
необходимых условий оптимальности: особым и вырожденным 
задачам оптимального управления, а также методам теории поля. 
В пятой главе приведены постановки для решения задач оптимального 
управления: управление скоростью дисковых ножниц, 
вывод космического аппарата на орбиту, движение летательного 
аппарата в атмосфере Земли и Марса, набор высоты, распределение 
ресурсов и др. В качестве инструмента исследования предлагается 
использовать либо Matlab, либо разработанный на кафедре 
«Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
программный комплекс «Методы оптимизации». 
В пособии представлено большое количество примеров, что 
делает его приемлемым как для учебной аудитории, так и для самостоятельного 
изучения.  
Приведенный список тем рефератов по оптимальному управлению 
динамическими процессами будет стимулировать читателей 
к применению изложенных методов не только в рассмотренных, 
но и в других областях, а также к созданию новых методов для более 
глубокого проникновения в проблему путем сочетания современных 
вычислительных средств и современной теории управле-
ния. 

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ 

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ  

В настоящее время теория оптимального управления и оптими-
зационная идеология используются во всех исследованиях кон-
кретного характера и конструкторских разработках, а язык теории 
оптимальных процессов стал общим языком теории управления 
[1]. В технике появился термин «оптимальные системы». Когда 
инженеры говорят о конструировании оптимальных систем, это 
означает, что на разных этапах конструирования системы выбор ее 
элементов определяется оптимизационными соображениями. 
Одна из особенностей задачи проектирования оптимальных 
систем управления состоит в том, что систему нельзя охарактери-
зовать одним числом – одним критерием. Поэтому процесс конст-
руирования оптимальной системы – это целая цепочка оптимиза-
ционных задач. 
Проблемы теории синтеза оптимальных систем связаны с тем, 
что вычислительные методы получения оптимального управления 
разработаны не в достаточной мере. Большую роль в этой теории 
играют разнообразные эвристические соображения, впитавшие в 
себя огромный опыт, интуицию и глубокое понимание содержания 
предмета, которые есть сегодня у инженера. Математик с его тради-
ционной манерой мышления часто оказывается бессильным там, где 
инженер получает практические результаты. 

1.1. Основные особенности прикладных задач 

оптимального управления 

Задачу оптимального управления можно представить в виде 
составного объекта, включающего (рис. 1.1): цель управления, 
управляемый объект, измерительную систему и вычислительное 
устройство, осуществляющее расчет оптимального управления.  
Задача вычислительного устройства – найти связи между век-
тором состояния в конечный момент времени 
кx , вектором управ-
ления u  и измеренным вектором состояния 
изм.
x
 

Рис. 1.1. Структура задачи оптимального управления 

При решении задач оптимизации необходимо вначале выбрать 
и сформулировать цель (выбрать критерий оптимальности), затем 
согласовать ее с имеющимися возможностями (учесть ограниче-
ния) и, наконец, реализовать способ достижения цели при учете 
ограничений. 
Критерий оптимальности может представлять собой техниче-
ский или технико-экономический критерий, математическое выражение 
которого является функцией или функционалом координат 
процесса и управляющих воздействий. Требования к системе, 
как правило, противоречивы. В управлении техническими системами 
наиболее распространенными являются различные интегральные 
критерии. Определяющим является показатель точности, 
который выражается через характеристики, описывающие стохастический 
характер реальных условий взаимодействия объекта и 
среды и зависящие от управления.  
Не менее сложной является и задача построения математических 
моделей управляемых процессов (проблема идентификации), 
а именно модели собственно управляемого объекта, описываемого, 
как правило, нелинейным векторным дифференциальным 
уравнением x  = f ( ,
,
,
x u
w t ), и модели внешних возмущений 

( ),
w t
 статистические характеристики которых неизвестны, а известны 
лишь границы максимального и минимального уровня 
возмущений. 
Современное состояние теории синтеза управления, оптимального 
по статистическому критерию, для нелинейных объектов 
не дает возможности получить решение задачи в общей постановке. 
Задача формулируется как детерминированная, и 
управление синтезируется с «запасом», т. е. с ориентацией на 
наихудшие условия.  
Увеличение точности удовлетворяется в двух направлениях. Во-
первых, входная информация, носящая статистический характер, 
подвергается обработке для получения оптимальных оценок изме-
ряемых координат, а при синтезе управления предполагается, что 
все помехи отфильтрованы. Справедливость такой декомпозиции 
доказана только для линейных систем, но естественность подхода 
делает его весьма привлекательным для инженерной практики. Во-
вторых, точность управления зависит от строгости удовлетворения 
концевым (граничным) условиям. Поэтому при получении конце-
вых условий необходимо возможно полнее учитывать все факторы, 
сказывающиеся на движении объекта. 

В дальнейшем предполагается, что неконтролируемые возму-
щения на объекте отсутствуют, т. е. 
0
w =
 и x= 
( ,
, ),
f x u t
 как 
показано на рис. 1.2. 

Граничные условия должны задаваться таким образом, чтобы 
при соблюдении ограничений существовал не единственный пере-
ход объекта из начального состояния в конечное (рис. 1.3). 
Каждый путь (траектория) перехода должен иметь количест-
венную оценку: первый путь – J1; второй – J2; третий – J3; четвер-
тый – J4 (см. рис. 1.3). 
Среди всевозможных траекторий перехода из начального со-
стояния в конечное должна существовать единственная траекто-
рия, имеющая максимальное или минимальное значение количест-
венной оценки J: 

J3 = min (J1, J2, J3, J4). 

Незначительные изменения (вариации) условий задачи должны 
приводить к незначительным изменениям минимального значения 
показателя качества. 
Должны существовать методы, 
позволяющие находить оптималь-
ные траектории и оптимальное 
управление. Метод – это последо-
вательность операций. 
Необходимо, чтобы существо-
вали технические возможности 

Рис. 1.2. Оптимальное управление детерминиро-

ванными процессами 

Рис. 1.3. Траектории перехода 

(средства) для реализации оптимальных управлений, полученных 
в результате решения задачи. 

1.2. Критерии оптимальности 

Процесс синтеза системы управления можно проиллюстриро-
вать следующим образом (рис. 1.4). 
Определяя реакцию системы на совокупность начальных условий 
и внешних возмущений, находим значение выбранного критерия J. По 
известному значению J в соответствии с методом оптимизации осуще-
ствляется направленное воздействие на систему (ее динамические ха-
рактеристики, структуру, параметры), которое должно привести к дос-
тижению экстремума критерия. Критерий зависит и от заданных ха-
рактеристик системы 
,
α  и от вектора управления 
,
u  и от начального 
состояния 
0
( ),
x t
 и от входной информации в общем случае 

J = J ( ,
).
u α  

При технической реализации систем управления обычно ис-
пользуют простые критерии, включающие лишь основные требо-
вания к системе. Это связано с элементом субъективизма, который 
выражается в попытке с единых позиций, т. е. с помощью обоб-
щенного критерия, оценить систему, что проявляется либо при на-
значении весовых коэффициентов, либо при задании требуемых 
граничных значений отдельных показателей. 
Для задачи Лагранжа можно использовать следующие критерии: 

0

2
1 2
( )

kt

t

J
e
t dt
=
∫
 

– интегральный квадратичный критерий по ошибке системы; 

0

2
1 2
( )

kt

t

J
u
t dt
=
∫
 

– интегральный квадратичный критерий по управлению, или 

0

2
2
1 1
1 2
( )
...
( )

kt

m m
t

J
ru
t
r u
t
dt
⎡
⎤
=
+
+
⎣
⎦
∫