Начертательная геометрия

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено
Научно-методическим советом по начертательной 
геометрии, инженерной и компьютерной графике 
Министерства образования и науки РФ 
в качестве учебного пособия для бакалавров 
направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое 
обеспечение машиностроительных производств»

Ю.А. ЗАЙЦЕВ
И.П. ОДИНОКОВ
М.К. РЕШЕТНИКОВ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

Под редакцией Ю.А. Зайцева

Саратовский государственный технический университет

УДК 514(075.8)
ББК 22.151.3я73
 
З12

Зайцев Ю.А.
Начертательная геометрия : учебное пособие / Ю.А. Зайцев, 
И.П. Одиноков, М.К. Решетников ; под ред. Ю.А. Зайцева. — 
Москва : ИНФРА-М, 2023. — 248 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-018438-8 (print)
ISBN 978-5-16-106375-0 (online)
Содержит основные теоретические положения курса начертательной 
геометрии. Рассмотрение традиционных позиционных и метрических 
задач сопровождается динамикой построений в соответствии 
со ступенями алгоритма, отвечающими определенным условиям. Учебное 
пособие имеет целью дать студентам необходимые практические 
навыки в решении задач, что способствует более глубокому усвоению 
теоретических основ начертательной геометрии. 
Предназначается для студентов высших учебных заведений по 
техническим направлениям.
УДК 514(075.8) 
ББК 22.151.3я73

З12

ISBN 978-5-16-018438-8 (print)
ISBN 978-5-16-106375-0 (online)

Р е ц е н з е н т ы:
В.И. Якунин — д-р техн. наук, профессор Московского авиацион-
ного института (Государственного технического университета), заслу-
женный деятель науки и техники Российской Федерации, заслужен-
ный работник высшей школы Российской Федерации;
Г.С. Иванов — д-р техн. наук, профессор Московского государ-
ственного университета леса, заслуженный деятель науки Российской 
Федерации

© Саратовский государственный 
технический университет, 2013
© Зайцев Ю.А., Одиноков И.П.,
Решетников М.К., 2013

А в т о р с к и й  к о л л е к т и в:
Ю.А. Зайцев — канд. техн. наук, профессор кафедры «Инженерная 
геометрия и промышленный дизайн» Саратовского государственного 
технического университета имени Ю.А. Гагарина, почетный работник 
высшего профессионального образования, заслуженный работник 
высшей школы Российской Федерации;
И.П. Одиноков — канд. техн. наук, доцент кафедры «Инженерная 
геометрия и промышленный дизайн» Саратовского государственного 
технического университета имени Ю.А. Гагарина;
М.К. Решетников — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафе-
дрой «Инженерная геометрия и промышленный дизайн» Саратовского 
государственного технического университета имени Ю.А. Гагарина

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Начертательная геометрия» имеет целью исследо-
вание геометрических структур разнообразных пространственных 
объектов, включая познание геометрических закономерностей, обу-
словливающих взаимное расположение исследуемых объектов в про-
странстве реального мира. В большинстве случаев это касается пред-
метов, созданных трудом человека. Производственная деятельность 
немыслима без четкого уяснения структурно-пространственных за-
висимостей между материальными объектами и орудиями труда, 
участвующими в процессе производства.
В отличие от родственной математической ветви — аналитичес-
кой геометрии, призванной решать аналогичные задачи на языке 
формул, начертательная геометрия использует в качестве рабочего 
средства познания геометрических свойств материальных объектов 
реального мира их плоские графические изображения (проекции). 
Используемые в начертательной геометрии изображения двумерны 
и могут быть названы графическими моделями проецируемых объ-
ектов.
Вторую важную цель курса начертательной геометрии составляют 
изучение и разработка методологических принципов построения 
графических моделей пространственных объектов.
В качестве третьей важнейшей цели курса выступают разработка 
и совершенствование графических способов, приемов и средств, по-
зволяющих решать на графических моделях любые геометрические 
задачи в пространстве, относящиеся к исходному объекту — ори-
гиналу.
Содержание учебного пособия посвящено изучению основных 
положений курса начертательной геометрии, с тем чтобы при само-
стоятельной работе студентов над решением позиционных и метри-
ческих задач они могли овладеть элементными основами курса 
и проанализировать все обстоятельства, порождающие определен-
ные трудности при его изучении.
В связи с реформой высшего профессионального образования 
введены стандарты третьего поколения, что привело к созданию но-
вых учебных планов. В них большое внимание отводится организа-
ции самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины 
«Начертательная геометрия и инженерная графика» на первом курсе. 
Эта дисциплина предусматривает изучение основ начертательной 
геометрии, которая является предтечей инженерной и компьютер-
ной графики. При подготовке бакалавров технических направлений 

предлагаемое учебное пособие поможет студентам более осмыс-
ленно войти в мир конструирования.
При составлении учебного пособия использовалась обширная 
литература, откуда был заимствован ряд задач. Многие из них, одна-
ко, были переработаны, а примеры некоторых задач даются в после-
довательном динамическом решении. Список использованной и до-
полнительно рекомендуемой литературы приводится в конце книги.
Авторы приносят искреннюю благодарность профессорам 
В.И. Якунину, Г.С. Иванову, а также сотрудникам кафедры «Начер-
тательная геометрия и компьютерная графика» — доценту А.А. Че-
калину, преподавателю Т.Л. Соловьевой, Н.В. Полянской за заме-
чания и советы, направленные на улучшение содержания учебного 
пособия.

1. 
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

1.1. 
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ И СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. 
ЭПЮР МОНЖА

Как уже отмечено выше, начертательная геометрия исполь-
зует в качестве рабочего инструмента познания геометрических 
свойств объектов реального мира двумерные графические модели 
этих объектов (чертежи).
В качестве носителя геометрических изображений (чертежей) 
в большинстве случаев выступает плоскость, хотя иногда используют 
и более сложные разновидности поверхности (цилиндр, конус, сфе-
ру и т.д.).
Основным методов получения двумерных графических моделей 
(изображений, проекций) в начертательной геометрии выступает 
метод проекций. Он состоит в проведении через отдельные точки 
объекта-оригинала прямолинейных проецирующих прямых, ориен-
тированных в пространстве по наперед оговоренному направлению 
(рис. 1). Специальные разделы начертательной геометрии рассмат-
ривают и более сложные виды проецирования, например криволи-
нейное. Пересекая выбранный носитель изображения (называемый 
плоскостью проекции или картинной плоскостью), эти лучи фикси-
руют на плоскости проекций проекции соответственных точек ори-
гинала. Совокупность проекций всех точек оригинала образует на 
плоскости проекций итоговую проекцию оригинала. Чтобы придать 
процессу проецирования дискретный характер, ограничиваются проецированием 
отдельных характерных точек оригинала, а для получения 
его проекции соединяют на 
плоскости проекций проекции 
характерных точек линиями.
Различают две основные 
разновидности метода проецирования: 
рис. 1 иллюстрирует 
центральное (другие названия — 
полярное, коническое) проецирование 
объекта из наперед заданной 
точки пространства и 
параллельное проецирование. 
На этом рисунке:
S — центр (полюс) проецирования;

П — плоскость проекций;
Рис. 1

А, В, С — точки объекта-оригинала;
A1, B1, С1 — проекции точек объекта;
SAA1 — проецирующая прямая.
Аналоговой моделью этого проецирования служит коническая 
поверхность общего вида, образующие которой выходят из вершины 
конуса как из центра (полюса). Центральное проецирование лежит 
в основе одного из разделов начертательной геометрии, именуемого 
теорией перспективы.
Ближайшим предметом нашего рассмотрения является ортогональное 
проецирование (разъяснение этого термина приведено 
ниже), основанное на параллельном проецировании. Легко уяснить 
происхождение модели параллельного проецирования (рис. 2), если 
допустить, что центр проецирования S в рассмотренном случае центрального 
проецирования удален 
в бесконечность, т.е. становится, 
как принято говорить по 
данному поводу, несобственной 
точкой пространства. Отсутствие 
центра S компенсируется 
на рис. 2 обозначенным направлением 
проецирования q, определяющим 
направленность всех 
параллельных проецирующих 
прямых.
Если в параллельном проецировании 
проецирующие 
прямые составят с плоскостью 
проекций прямой угол (90°), 
проецирование обретает название 
прямоугольного (ортогонального); в противном случае принято 
говорить о косоугольном проецировании. Параллельное проецирование 
положено в основу раздела ортогонального проецирования, 
занимающего большую часть курса начертательной геометрии, а также 
раздела «Аксонометрические проекции».
В настоящем учебном пособии речь пойдет исключительно об 
ортогональном проецировании основных геометрических фигур.
На рис. 1 и 2 процессы проецирования проиллюстрированы для 
простоты примерами, в каждом из которых присутствует одна плоскость 
проекций (однокартинный чертеж). Такое однокартинное проецирование, 
наряду с известными преимуществами, обладает и рядом 
недостатков, самым существенным среди которых является 
пространственная неопределенность в расположении точек, попавших 
на общий проецирующий луч (рис. 3); такие точки носят 
в начертательной геометрии название «конкурирующих»). Несмотря 

Рис. 2

на то что конкурирующие точки 
А и В, как видно из рис. 3, 
разнесены на достаточное расстояние 
друг от друга, их совпадающие 
проекции А1 ≡ В1 не 
только не позволяют судить 
о величине расстояния между 
самими точками, но даже могут 
вызвать ложное представление 
об их взаимной принадлежности (
совпадении) в пространстве.

Чтобы устранить из проецирования 
названную пространственную 
неопределенность, 
основоположник начертательной геометрии, выдающийся французский 
ученый Гаспар Монж (1746–1818) предложил одновременно 
проецировать изучаемые геометрические фигуры не на одну, а на две 
взаимно перпендикулярные плоскости проекций. При этом используют 
параллельное проецирование двумя связками проецирующих 
прямых, причем каждая из связок перпендикулярна к «своей» плос-
кости проекций.
Изложенный Г. Монжем метод получил название метода ортого-
нального (прямоугольного) проецирования. В ряде случаев при решении 
конкретных задач иногда приходится прибегать к построению не 
двух, а трех проекций изучаемых геометрических фигур.
Сущность ортогонального проецирования легко уяснить из pис. 4, 
на котором изображено ортогональное проецирование на две плос-
кости проекций самой простейшей из основных геометрических 
фигур — точки. Две принятые в проецировании взаимно перпенди-
кулярные плоскости проекций именуют в соответствии с их положе-
нием в пространстве (и обозначают прописными греческими буква-
ми «пи» — П); за горизонтальной плоскостью закреплен символ П1 
(читается «пи-один»), обращенная к наблюдателю вертикальная 
плоскость (именуется фронтальной плоскостью) обозначается П2.
Линия пересечения плоскостей названа осью проекций. За начало 
оси принята правая концевая точка оси, если смотреть со стороны 
наблюдателя. Рассмотренный ортогональный двугранный угол увя-
зывается с прямоугольной декартовой системой пространственных 
координат, при этом ось проекций отождествлена с осью абсцисс 
(ось Ох), а ее положительным направлением считается направление 
справа налево. Вверх от начала оси направлена положительная ветвь 
оси аппликат Оz, в направлении на наблюдателя устремлена поло-
жительная полуось ординат (Оy). Штриховыми линиями на рисунке 

Рис. 3

обозначено расположение возможной третьей плоскости проекции, 
задаваемой осями y и z; плоскость является вертикальной; как 
и фронтальная П2, она названа профильной и ей присвоен сим-
вол П3. При решении задач начертательной геометрии необходи-
мость ее использования приблизительно составляет менее четверти 
от общего количества решаемых задач.
Три плоскости проекций делят все обозримое пространство на 
восемь частей, именуемых октантами. Пространственный двугран-
ный угол левее профильной плоскости П3 содержит четыре четверти 
пространства. Отсеку положительных полуосей присвоено наимено-
вание первой четверти пространства. За плоскостью П2 (выше плос-
кости П1) расположена вторая четверть, под ней третья, а под пер-
вой — четвертая. Следует заметить, что дефицит учебного времени, 
отводимого на изучение начертательной геометрии в техническом 
вузе, как правило, не позволяет изучать специфические особенности 
проецирования геометрических фигур во всех четырех четвертях 
(а тем более, во всех восьми октантах) пространства, что обязывает 
нас ограничиться в основном вопросами ортогонального проеци-
рования лишь в пространстве первой четверти.
Проводя через расположенную в пространстве первой четверти 
точку А проецирующие прямые, перпендикулярные к соответствен-
ным плоскостям проекции, получают на этих плоскостях ортого-
нальные проекции точки, отвечающие названию и индексу плос-
кости:
 
•  горизонтальную проекцию А1;
 
•  фронтальную проекцию А2.

Рис. 4

На профильной плоскости П3 можно получить профильную 
проекцию А3 проецируемой точки (построение третьей проекции 
будет рассмотрено ниже).
Комментируя рис. 4, нужно признать, что этот рисунок еще не 
вправе считаться графической моделью, т.е. тем рабочим инструмен-
том начертательной геометрии, о котором упомянуто выше. Чтобы 
получить графическую модель точки (в дальнейшем мы будем на-
зывать графические модели обобщающим словом «эпюр»), изобра-
жение на рис. 4 необходимо определенным образом преобразовать. 
И в этом преобразовании, кстати, содержится основная доля при-
чин, породивших среди части студентов представление о начерта-
тельной геометрии как о науке непередаваемой степени сложности, 
недоступной для большинства «простых смертных». Чтобы успешно 
преодолеть этот барьер на пути освоения начертательной геометрии, 
со вниманием отнеситесь к содержательной стороне названного пре-
образования и, самое главное, четко уясните его смысловую сторону.
Дело в том, что до конца ХVIII в. используемый человечеством ар-
сенал технических средств, орудий труда, инвентаря отличался из-
вестным примитивизмом, что позволяло людям обходиться в обще-
нии, производстве и технике достаточно простыми наглядными 
изображениями обсуждаемых объектов. Дальнейшее лавинообраз-
ное развитие окружающей человека материальной среды, усложне-
ние ее структуры потребовали для своей реализации разработки 
новых изобразительных приемов, эффективных и экономичных. Но-
вые методы были призваны обеспечить высокую точность и удобо-
измеримость получаемых изображений, гарантировать возможность 
качественного изготовления материальных копий изображенных 
объектов по их чертежам. Эпюр Монжа сумел удовлетворительно 
ответить в этом отношении на самые взыскательные запросы потре-
бителей; правда, при этом он сильно потерял в наглядности, и в этом 
тоже одна из трудностей изучения начертательной геометрии. Пере-
ход от изображения ортогонального пространственного координат-
ного двугранника к эпюру Монжа осуществляют чрезвычайно про-
сто: для этого переднюю полу (половину) горизонтальной плоскости 
проекций П1 приводят во вращение вокруг оси х, поворачивая ее до 
совмещения с фронтальной плоскостью проекций П2. В совмещен-
ном положении обеих плоскостей проекций их изображение вместе 
с имеющимся на них графическим содержанием снова переносят на 
плоскость (на страницу тетради или книги, на классную доску и т.д.). 
Если проделать названное преобразование с изображением, приве-
денным на рис. 4, получим ситуацию, запечатленную на рис. 5. Прав-
да, это пока тоже не эпюр. Однако, прежде чем говорить об оконча-
тельном виде эпюра, ответим на вопрос: что оказалось утраченным 
в проведенном преобразовании? Потеряно немало — из полученного 

чертежа выпал сам изображаемый пространственный 
объект. Поэтому всю 
дальнейшую работу с эпюром исполнителю 
приходится вести, не видя перед 
собой образ изображенного объекта, 
а руководствуясь только его проекциями. 
Именно это обстоятельство является 
столь непривычным и осложняет усилия 
новичка. Что ж, к эпюру нужно отнестись 
как к новой знаковой системе и начать 
прилежно ее изучать, как в свое время 
каждый из нас изучал азбуку. Kaк организовать 
изучение и чтение эпюра, 
рассказано чуть ниже, а сейчас вернемся 
к завершению вопроса об эпюре. Предельно 
упростим изображение, приведенное 
на рис. 5, убрав из него все лишнее 
(контуры границ плоскостей проекций, 
копья стрелок осей проекций), а также 
то, что можно без труда сохранить в памяти (
буквенные символы полей прoeк-
ции, направления осей аппликат и ординат 
и их обозначения), в результате получаем 
эпюр точки А (рис. 6). На эпюре 
всегда имеют место: ось проекций Ох 
(изображается сплошной тонкой линией) 
и проекции изображенных элементов, 
отдельные точки которых (точнее, проекции 
отдельных точек) соединены линиям 
проекционной связи (изображаются 
сплошными тонкими линиями; в обиходе 
их можно называть просто линиями 
связи). Линии проекционной связи в силу 
ортогональности проецирования всегда 
перпендикулярны к оси проекций Ох.

1.2. 
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Прежде чем продолжить изучение свойств эпюра, перечислим 
основные геометрические свойства параллельного проецирования, 
способные облегчить дальнейшее изучение предлагаемого 
материала.

Рис. 6

Рис. 5