Моделирование систем

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 

 
 

Кафедра математики и естественно-научных дисциплин 

 

 

 

 

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 

 

 

 

 

Практикум 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воронеж  

2022 

 

 

УДК 519.87 
ББК 22.1 

М74 

 

 

Утверждено методическим советом  

Воронежского института ФСИН России 

20 июля 2021 г., протокол № 11 

 

Р е ц е н з е н т ы: 

 

начальник кафедры технических комплексов охраны и связи  

Воронежского института ФСИН России, 

кандидат технических наук, доцент А. В. Паринов; 

профессор кафедры математики и моделирования систем  

Воронежского института МВД России 

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Меньших 

 
 

Моделирование систем : практикум / сост. Р. В. Кузьменко,  

Н. А. Андреева, Е. В. Корчагина и др. – ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России. – Воронеж, 2022. – 96 с.  

 
 
Практикум 
является 
дополнением 
к 
основной 
литературе  

дисциплины. Создан на базе прочитанного материала. Каждое задание  
в практикуме начинается с необходимого теоретического минимума, 
включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем  
следует блок рассмотрения решения задачи. В конце находятся задачи для  
самостоятельного решения и контрольные вопросы, позволяющие  
обучающимся оценить освоенность представленного материала. 

Предназначен для всех технических специальностей и направлений 

подготовки, 
включающих 
реализацию 
дисциплин 
«Моделирование  

систем» и «Моделирование систем и сетей телекоммуникаций». 

 

УДК 519.87 
ББК 22.1 

 

© ФКОУ ВО Воронежский  
институт ФСИН России , 2022  
© Составление. Кузьменко Р. В.,  
Андреева Н. А., Корчагина Е. В., 
Кочагин В. В., Папонов А. В.,  
Меньших Т. В., 2022 

М74

ВВЕДЕНИЕ 

 

Интенсивное развитие науки в середине XX в. привело к необходимости 

использования междисциплинарного подхода при решении задач из различных 
областей и сфер науки и техники. При этом исследователи все чаще стали 
обнаруживать определенную схожесть как в структуре и характеристиках 
объектов различной природы, так и в механизмах формулировки задач их 
исследования, а также методов решения поставленных задач. Попытки 
обобщения результатов таких исследований привели к понятию системности и 
формированию теоретической и экспериментальной базы новой дисциплины 
«Теория систем», выступающей в качестве научной теории, направленной на 
разработку методов исследований объектов с определенными свойствами и 
характеристиками независимо от их отраслевого характера.  

Используемая в рамках теории систем в качестве метода научного 

познания совокупность принципов, подходов и средств исследования, анализа 
объектов и процессов путем их представления как систем получила название 
«системный анализ». 

Схематично можно сказать, что в основе любой исследовательской про-

цедуры системного анализа лежат три стадии: 1) постановка задачи, 
2) построение формализованной модели системы, 3) проверка модели и реше-
ние в ее рамках поставленной задачи. При этом 2-й и 3-й этапы описывают об-
щим понятием «моделирование систем». В связи с высокой важностью данного 
аппарата теории систем «Моделирование систем» в последнее время выступает 
как самостоятельная дисциплина. 

При решении задач моделирования систем используется значительное 

число формальных и неформальных (эвристических) процедур, взятых из таких 
дисциплин, как «Исследование операций», «Теория вероятностей», «Теория 
массового обслуживания», «Теория оптимального управления», «Теория при-
нятия решений», «Экспертный анализ», «Теория организации эксплуатации си-
стем» и т. д. Другие процедуры моделирования систем, напротив, были развиты 
именно в рамках системного анализа. 

В предлагаемом практикуме рассматриваются классические подходы к 

решению задач моделирования типовых систем, в том числе с применением 
средств вычислительной техники. Приведенные в пособии задачи предназначе-
ны для того, чтобы ознакомить обучающихся с основами системного анализа и 
моделирования систем, научить обучающихся рассматривать объекты, процес-
сы и явления с системных позиций, выработать у обучающихся практические 
навыки решения задач моделирования систем, а при необходимости и воспол-
нить не усвоенный на лекциях материал, который необходим для успешного 
владения предметом. Содержание практикума не выходит за рамки рабочих 
программ и ставит перед собой задачу проиллюстрировать главные темы, от-
талкиваясь от потребности обучающихся в освоении методами моделирования 
систем. 

Каждое задание в практикуме начинается с необходимого теоретического 

минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем 
следует блок рассмотрения решения задачи. В конце находятся задачи для са-
мостоятельного решения и контрольные вопросы, позволяющие обучающимся 
оценить освоенность представленного материала. Практикум может использо-
ваться как преподавателями для подготовки занятий, так и обучающимися в 
случае самостоятельного освоения материала.  

Авторы надеются, что настоящий практикум поможет обучающимся 

освоить фундаментальные основы дисциплины «Моделирование систем» и 
успешно применять полученные знания на практике. 

Практикум предназначен для курсантов, слушателей и студентов, обуча-

ющихся по специальностям 10.05.02 Информационная безопасность телеком-
муникационных систем, 11.05.02 Специальные радиотехнические системы, 
11.05.04 Инфокоммуникационные технологии и системы специальной связи и 
направлению подготовки 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и систе-
мы связи. 

 

Практическое задание 1 

ТЕМА «Виды моделирования» 

 

Учебные вопросы: 
1. Виды моделирования. 

Цель работы: освоить методы построения аналитической и имитацион-

ной моделей. 

Задачи работы:  
– изучить виды моделирования; 
– сформировать у обучаемых умения и навыки построения аналитической 

и имитационной моделей. 

 

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

 

Моделирование систем основывается на замене исследуемой системы ее 

моделью и проведении исследований на модели с целью получения информа-
ции о системе. В качестве модели системы могут выступать ее физические или 
абстрактные образы, на которых проведение исследований является более 
удобным и простым. При этом, поскольку речь идет о системах, при разработке 
модели используется предполагаемый системным анализом стандартный под-
ход, состоящий из трех этапов: синтеза, анализа и принятия решения об исполь-
зовании результатов моделирования (рис. 1.1). В качестве формализованной 
модели системы может использоваться графическая, формально-логическая, 
информационная, математическая или иная форма формальных моделей.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Рис. 1.1. Типовая схема этапов моделирования 

 

Синтез модели заключается в подборе категории, вида модели и опреде-

лении ее параметров и переменных.  

При анализе модели необходимо обратить внимание на ее следующие ос-

новные показатели: 

1) специализированность модели – пригодность модели для данной кон-

кретной исследовательской задачи; 

2) количество критериев, используемых для оценки состояния системы. 

Разработка модели 

Синтез 
Анализ 

Исполь-
зование 
модели 

Принятие 
решения 

Оригинал 

Постановка 

Чем больше число критериев, тем выше точность описания и тем сложнее соот-
ветствующая модель; 

3) точность модели – определяется отклонением рассчитанного отклика 

модели от экспериментально наблюдаемого;  

4) экономичность модели – определяется ресурсами, необходимыми для 

реализации модели и проведения с ней исследовательского эксперимента; 

5) непротиворечивость – в рамках эксперимента с моделью проверяется, 

не противоречит ли рассчитанный в рамках модели отклик системы отклику 
оригиналу на аналогичные воздействия; 

6) целостность модели – создаваемая модель должна включать в себя до-

статочное число взаимодействующих между собой элементов системы, позволяющих 
описать систему как единое целое; 

7) степень учета неопределенностей в отношении состояния системы или 

воздействий внешней среды; 

8) поведенческая страта, которая позволяет оценить уровень достижения 

системой поставленной цели в случае реализации модели; 

9) адаптивность модели к различным внешним факторам; 
10) управляемость модели – возможность планирования эксперимента с 

моделью или системой; 

11) возможность развития модели за счет ее видоизменения или учета 

альтернатив; 

12) информационное обеспечение – наличие достаточного объема данных 

для проведения эксперимента с моделью. 

На этапе принятия решения полученные в рамках модели результаты анализируются 
принимающим решение лицом (ЛПР). При этом ЛПР делает заключение 
об адекватности модели, т. е. ее пригодности для достижения поставленных 
целей.  

 

ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ 

 
Расчет параметров емкости заданного объема с оптимальными затратами 
ресурсов. 

Необходимо спроектировать прямую цилиндрическую емкость заданного 

объема V0 с размерами: r – радиус основания, h – высота, h0 –высота кромки по 
верхнему периметру. В задаче могут быть использованы различные критерии 
оптимума, например общая площадь поверхности емкости (затраты материала) 
S = Sбок + 2Sосн или длина сварного шва (расход электроэнергии)  L = 2Lосн + (h + 
h0). Кроме того, очевидно, что существуют некоторые предельные значения ра-
диуса днища r: R1  r  R2. 

Рассмотрим различные подходы к решению данной задачи: 
1) построение аналитической модели. Обозначим через Q выбранный 

нами критерий оптимальности (общая площадь поверхности емкости S и / или 
длина сварного шва L). Можно выбрать двухпараметрическую и однопарамет-
рическую модели:   

а) двухпараметрическая модель 

Q(r, h) min  
 
 
 
              (1) 

при ограничениях 

V(r, h) = V0 
 
 
 
 
 
    (2) 

R1  r  R2. 
 
 
 
 
 
    (3) 

В данном случае потребуется найти локальный минимум функции двух 

переменных; 

б) однопараметрическая модель 

h = h(r, V0).  
 
 
 
 
 
    (4) 

Подставив (4) в (1), получим функцию одной переменной, для которой потре-
буется найти минимум на отрезке 

Q(r, h(r, V0)) min.  
 
 
 
    (5) 

Сравним модели между собой. Если существует аналитическое решение 

уравнения (2) в виде (4), то с точки зрения простоты описания вторая модель 
будет более предпочтительной. В противном случае надо будет использовать 
первую модель. 

В рассматриваемой задаче решение (4) существует. Благодаря этому 

можно реализовать однопараметрическую модель;  

2) различные модели для принятия решения. При этом будем исходить 

из того, что условием минимума для выбранного нами критерия оптимальности 
Q является  

0
)
(





r
r
Q
                                                            (6) 

в некоторой стационарной точке. При этом возможны следующие варианты: 

1) стационарная точка принадлежит интервалу [R1, R2], и аналитическое 

решение уравнения (6) существует. В этом случае необходимо применять ана-
литическую модель принятия решения; 

2) стационарная точка принадлежит интервалу [R1, R2], и аналитического 

решения уравнения (6) не существует. В этом случае необходимо применять 
численную модель решения; 

3) стационарная точка не принадлежит интервалу [R1, R2]. Это означает, 

что как аналитическая, так и численная модели, основанные на уравнении (6), 
не адекватны объекту моделирования и необходима имитационная модель. 

Таким образом, для выбора модели решения необходимо проверить вы-

полнение условия (3). Это можно сделать с помощью леммы Больцмана – Ко-
ши: если 

                  
0
&
0

2
1










R
r
R
r
r
Q

r
Q
,                                  (7) 

то на отрезке (3) есть хотя бы одна стационарная точка. Для проверки отноше-

ния (7) надо найти производную 

r
r
Q



)
(
, вычислить ее значение при r = R1 и r = 

R2 и определить знаки полученных значений. Если (7) выполняется, то исполь-
зуется аналитическая или численная модель в зависимости от существования 
аналитического решения уравнения (6). Если же хотя бы одно из условий не 
верно, то нужна имитационная модель. 

Аналитическая модель представляет собой формулу вида  

)
,
(
0
0 h
V
r
ropt 
,                                                         (8) 

которая получается, если из уравнения (6) выразить r. 

В качестве численной модели решения уравнения (6) предлагается метод 

Ньютона, применяемый для решения уравнения f(x) = 0. выбрав некоторое 
начальное значение х, равное х(0), по формуле Ньютона  

(x(k))
f
f(x(k))/
x(k)
)
x(k



1
                              (9) 

последовательно получают все более точные решения х(1), х(2), …, х(n). 

Имитационная модель решения представляет собой реализацию метода 

проб. Для ее применения необходимо в формулу (5) подставлять различные 
значения r из интервала (3) и из полученных значений критерия q надо выбрать 
минимальное. Для решения данной задачи приемлемая точность будет достиг-
нута, если взять 50 равноотстоящих точек из интервала [R1, R2]; 

3) составление алгоритмической модели. Алгоритмы аналитической и 

имитационной моделей достаточно просты, поэтому приведем только алгоритм 
численной модели (рис. 1.2); 

4) программная модель аналитического решения представляет собой 

запрограммированную формулу (8) для вычисления решения уравнения (6). 
В случае численного решения необходимо составить программу по приведен-
ной ниже схеме алгоритма (рис. 1.2) или воспользоваться уже готовыми про-
граммными продуктами, например MathCAD. 

При использовании имитационной модели программируется формула (5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Рис 1.2. Схема алгоритма численной модели проектирования  

емкости заданного объема оптимальных параметров 

Нет 

Да 

Вывод r 

Начало 

Вычисление ƒ(r)¸ƒ´(r) 

Ввод r, e 

σ= ƒ(r)/ƒ´(r), 

r=r-σ 

|σ|>e 

Конец 

Во все варианты выбранной модели нужно включить в качестве парамет-

ров значения переменных V0, h0, R1, R2, варьируемую переменную h и вывод 
найденного значения. 

S = Sбок + 2Sосн = 2πr(h+h0)+2πr2min, 
L = 2Lосн + h +h0 = 4πr+h+h0min, 
V0 = πr2(h+h0),  
R1  r  R2,  

2
0
r
V
h


  h0.  

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 

 
Задание 1. Построить аналитическую модель описания для указанного 

критерия в соответствии со своим вариантом (табл. 1.1). 

Таблица 1.1 

№ п/п 
min 
V0 
R1 
R2 
h0 

1 
S 
5 
0.5 
1.5 
0.05 

2 
L 
7 
0.5 
1.5 
0.1 

3 
S 
8 
1.2 
2 
0.1 

4 
L 
9 
1.2 
2 
0.15 

5 
S 
10 
0.5 
1.5 
0.15 

6 
L 
11 
0.5 
1.5 
0.05 

7 
S 
12 
1.4 
2 
0.1 

8 
L 
13 
1.4 
2 
0.15 

9 
S 
14 
1 
1.8 
0.25 

10 
L 
15 
1.1 
1.9 
0.21 

 
Порядок выполнения задания 1 
Например, требуется спроектировать емкость объема V0 = 6 м3 в виде 

прямого цилиндра  с кромкой по верхнему основанию высоты h0 = 0,07 м с оптимальными 
размерами радиуса основания ropt и высоты hopt. Критерием оптимальности 
будут выступать  

S = Sбок + 2Sосн = 2πr(h+h0)+2πr2 min,  

где S – площадь поверхности емкости. 

Известно, что объем цилиндра равен V0 = πr2(h+h0) (0,6  r  1,4), тогда 

высота цилиндра будет равна 
2
0
r
V
h


  h0.  

Критерий оптимальности примет вид  

S = Sбок + 2Sосн = r

V0
2
+2πr2min, 

т. е. необходимо найти минимум функции S(r) на отрезке 0,6  r  1,4. 
 

Задание 2. Реализовать имитационную модель решения в соответствии со 

своим вариантом (табл. 1.1).  

 
Порядок выполнения задания 2 
В случае имитационного моделирования для нахождения оптимальных 

значений 
opt
r
 и 
opt
h
 воспользуемся табличным процессором Microsoft Office Ex-

cel (рис. 1.3). 

Для этого в ячейки C2:E2, G2 введите заданные значения V0, R1, R2, h0. 

В ячейку F2 введите шаг изменения параметра r, рассчитанный по формуле 
=(E2-D2)/50, а в ячейку B2 введите формулу для расчета значения оптимизируемого 
параметра S(r): = (2*$C$2/A2)+2*3,1415*A2*A2. В ячейку A3 введите 
формулу для расчета ri: = A2 + $F$2. Скопируйте формулы в ячейках B2 и A3 и 
вставьте их в нижние ячейки, чтобы получить 50 значений S(ri). 

Среди полученных значений S(ri) найдем минимальное и соответствующее 
ему значение ropt. В данном примере это значения ropt  = 0,984 м, S(ropt) = 
18,27867. Рассчитаем значение hopt, для этого в ячейку F22 введем формулу = 
C2/(3,1415*E22*E22)-G2. Получим: hopt  = 1,903 м. 

 

 

Рис. 1.3. Результаты имитационного моделирования в MS Excel 

 
Задание 3. Используя имитационное моделирование, решите задачу построения 
оптимальной системы. 

УФСИН какой-то области получило денежные ресурсы в размере m млн 

рублей. Эти ресурсы должны быть потрачены на закупку новых приборов