Практическое руководство к решению задач по теории электрических цепей: четырехполюсники, частотно-избирательные цепи, цепи с распределенными параметрами, нелинейные цепи

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 

 
 

Кафедра основ радиотехники и электроники 

 
 
 
 
 
 
 
 

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО  

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ  

ПО ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ:  

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ,  

ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ,  

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ,  

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ  

 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Воронеж 

2021 

УДК 621.373(075) 
ББК 32.88 
         П69 
 

Утверждено методическим советом Воронежского института ФСИН России  

20 октября 2020 г., протокол № 2 

 

Р е ц е н з е н т ы :  

доцент кафедры конструирования и производства радиоаппаратуры 

Воронежского государственного технического университета  

кандидат технических наук, доцент А. А. Пирогов; 

начальник кафедры математики и естественно-научных дисциплин  

Воронежского института ФСИН России  

кандидат физико-математических наук, доцент Н. А. Андреева 

 

П69

Практическое руководство к решению задач по теории 

электрических 
цепей: 
четырехполюсники, 
частотно-

избирательные цепи, цепи с распределенными параметрами, 
нелинейные цепи : учебно-методическое пособие для курсантов, 
студентов и слушателей / сост. Р. Н. Андреев, В. А. Мельник, 
М. Ю. Чепелев, Н. Н. Щетинин ; ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России. – Воронеж, 2021. – 172 с.

В 
пособии 
представлен 
краткий 
теоретический 
материал 

по основополагающим разделам курса теории электрических цепей в 
виде основных определений, соотношений, положений и расчетных 
формул. 
В пособии 
рассматривается 
теоретический 
материал 

и представлены способы проведения расчетов по четырехполюсникам, 
в том 
числе 
частотно-зависимым, 
цепям 
с 
распределенными 

параметрами и нелинейным электрическим цепям. В каждой из глав 
представлены необходимые для решения задач теоретические сведения, 
проведен анализ существующих методик решения задач с указанием 
рекомендаций по их наилучшему применению. Рассмотрены типовые 
задачи с подробными решениями и пояснениями. Пособие содержит 
теоретический и практический материал.  

Пособие предназначено для курсантов, студентов и слушателей 

образовательных организаций. 

УДК 621.373(075) 
ББК 32.88 

 

© Составление. Андреев Р. Н., Мельник В. А.,  
Чепелев М. Ю., Щетинин Н. Н., 2021 
© ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России, 2021 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Непрерывное совершенствование телекоммуникационной аппаратуры 

требует как при ее разработке, так и при эксплуатации наличия высокого 

уровня знаний в области радиотехники. Поэтому изучение принципов 

функционирования 
и 
методов 
расчета 
электрических 
цепей 
является 

неотъемлемой частью подготовки специалистов в этой области. Дисциплины 

«Основы теории цепей» и «Теория электрических цепей» являются одними из 

первых 
инженерных 
дисциплин 
радиотехнических 
специальностей 

образовательных организаций, они представляют собой базовые дисциплины, 

закладывающие основы изучения подавляющего большинства специальных 

дисциплин 
специальностей 
«Информационная 
безопасность 

телекоммуникационных систем», «Инфокоммуникационные технологии и 

системы 
специальной 
связи» 
и 
направлению 
подготовки 

«Инфокоммуникационные технологии и системы связи». Для их изучения 

необходимо иметь знания и владеть практическими навыками, полученными 

при изучении таких дисциплинах, как «Математика», «Алгебра и геометрия», 

«Физика». Обучающиеся должны обладать знаниями о физических процессах в 

радиотехнических цепях и устройствах, владеть навыками применения 

соответствующего математического аппарата. Дисциплины «Основы теории 

цепей» и «Теория электрических цепей» являются, по существу, точкой 

соприкосновения различных технических областей знаний. При освоении 

указанных курсов немаловажное значение приобретает формирование у 

курсантов, студентов и слушателей навыков решения практических задач.  

В данном пособии изложен краткий теоретический материал по таким 

разделам дисциплин «Теория электрических цепей» и «Основы теории цепей», 

как «Четырехполюсники», «Электрические частотные фильтры», «Цепи с 

распределенными параметрами» и «Нелинейные цепи». Также рассмотрены 

методы выполнения типовых практических заданий по указанным темам. 

Данные 
курсы 
являются 
базовыми 
для 
целого 
ряда 
технических  

специальностей 
и 
направлений 
подготовки. 
Поэтому 
приведенный 

теоретический материал и рассмотренные методы решения задач являются 

универсальными при подготовке как специалистов, так и бакалавров. 

Целью написания данного пособия служит желание авторов помочь 

обучающимся приобрести опыт практического решения радиотехнических 

задач, привить навыки самостоятельной работы с технической литературой. 

Пособие авторами запланировано как практическое руководство к решению 

задач, призванное помочь обучающимся с различными уровнем знаний. 

Изучение материалов пособия должно способствовать формированию у 

обучающихся 
навыков 
самостоятельного 
решения 
задач 
на 
высоком 

профессиональном 
уровне. 
Каждый 
тип 
из 
приведенных 
заданий 

рассматривается авторами с подробными пояснениями и иллюстрациями, а 

задания для самостоятельного решения должны способствовать развитию  у 

обучающихся аналитических способностей.  

Настоящее пособие состоит из четырех глав, каждая из которых содержит 

краткий 
теоретический 
материал по рассматриваемой 
теме, 
примеры 

выполнения практических заданий, а также задания для самостоятельного 

решения. Содержание практических заданий и последовательность их 

расположения построены таким образом, чтобы позволить обучающимся 

приобрести практические навыки решения наиболее часто встречающихся на 

практике технических задач, а также дать возможность самоконтроля уровня 

усвоения материала. 

Первая глава знакомит обучающихся с базовыми понятиями теории 

четырехполюсников. В этой главе рассматриваются основные характеристики 

четырехполюсников, приводятся основные методы их расчета и анализа. 

Отдельно 
рассматривается 
вопрос 
расчета 
и 
анализа 
параметров 

четырехполюсников. Данная глава должна помочь обучающимся овладеть 

методами проведения анализа параметров четырехполюсников, в частности 

входных и выходных характеристик четырехполюсников, коэффициента 

передачи, понять суть согласования четырехполюсника с источником сигнала и 

с нагрузкой. 

Вторая глава посвящена анализу частотных электрических фильтров, 

рассмотрение которых базируется, по существу, на анализе избирательных 

свойств четырехполюсников, их коэффициентов передачи. По результатам 

изучения данной главы обучающиеся должны получить навыки расчета и 

анализа частотных избирательных цепей, построения их амплитудно- и 

фазочастотных характеристик, а также освоить способы синтеза несложных 

частотных фильтров на базе элементарных звеньев из двух-трех элементов.  

Третья глава дает возможность понять суть основных процессов, 

протекающих в цепях с распределенными параметрами. Обучающиеся при 

изучении материала данной главы должны овладеть навыками расчета 

электрических цепей с распределенными параметрами, в частности навыками 

расчета основных параметров длинных линий, понять принцип действия 

согласующих устройств. Также данная глава должна позволить обучающимся 

лучше понять принципы распределения волн в длинной линии при различных 

режимах ее работы, что дает возможность проведения детального анализа 

функционирования подобного рода цепей. Отдельно рассмотрен вопрос 

согласования линии с нагрузкой. 

В четвертой главе рассматриваются основные закономерности и 

соотношения, используемые при анализе нелинейных электрических цепей. 

Изучение методов построения вольт-амперных характеристик различных видов 

соединений элементов должно позволить обучающимся овладеть навыками  

применения графических методов расчета нелинейных электрических цепей, 

содержащих как линейные, так и нелинейные участки цепи. Также данная глава 

должна 
помочь 
научиться 
пользоваться 
расчетными 
формулами 
и 

графическими методами  при решении задачи определения рабочих точек 

элементов, что особенно важно при изучении в дальнейшем дисциплин, 

связанных со схемотехникой радиоэлектронных устройств. 

Каждая глава пособия содержит теоретические сведения, необходимые 

для выполнения практических заданий. Для совершенствования навыков 

расчета материал после каждой главы сопровождается примерами решения 

заданий и задачами для самостоятельного решения. Они должны позволить 

сориентировать обучающихся на самостоятельную проработку изученного 

материала, его тщательное обдумывание и анализ. 

Учебно-методическое пособие «Практическое руководство к решению 

задач 
по 
теории 
электрических 
цепей: 
четырехполюсники, 
частотно-

избирательные цепи, цепи с распределенными параметрами, нелинейные цепи» 

предназначается для курсантов, студентов и слушателей, обучающихся по 

специальностям 
10.05.02 
Информационная 
безопасность 

телекоммуникационных систем, 11.05.04 Инфокоммуникационные технологии 

и 
системы 
специальной 
связи 
и 
направлению 
подготовки 
11.03.02 

Инфокоммуникационные технологии и системы связи, которые изучают 

соответственно дисциплины «Теория электрических цепей» и «Основы теории 

цепей». Однако оно без ограничений также может быть использовано 

обучающимися других специальностей и направлений подготовки, изучающих 

данные дисциплины, а также смежные дисциплины. 

ГЛАВА 1. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ  

 

 

1.1. Основные характеристики четырехполюсников 

 

Полюсом называют вывод (контакт, клемму, зажим) электрической цепи, 

к которому подключаются генератор, нагрузка либо электрическая цепь. 

Электрические цепи классифицируют по числу полюсов на двухполюсники, 

трехполюсники, четырехполюсники, восьмиполюсники и т. д. 

Четырехполюсником (ЧП) называют электрическую цепь с четырьмя 

выводами, разделенными на пару входных и пару выходных полюсов, как 

представлено на рисунке 1.1. 

 

Четырех-
полюсник
u2

i1
i2

u1

 

Рис. 1.1. Обобщенный четырехполюсник 

 

Входная пара полюсов, как правило, представляется слева и имеет 

индекс 1, а выходная – справа с индексом 2. На базе четырехполюсников 

зачастую реализуются четырехполюсные устройства, в состав которых входят 

базовые 
элементы 
в 
виде 
сопротивлений, 
катушек 
индуктивностей, 

конденсаторов. Входные и выходные величины токов чаще всего обозначают 

втекающими в четырехполюсное устройство. 

Принято классифицировать следующие комбинации четырехполюсных 

устройств: 

– последовательные по входу и выходу; 

– параллельные по входу и выходу; 

– последовательные по входу и параллельные по выходу; 

– параллельные по входу и последовательные по выходу; 

– каскадные. 

На 
рисунке 
1.2 
изображены 
разновидности 
соединений 

четырехполюсников на примере пары ЧП. 

 

Четырех-
полюсник

u2

i1
i2

u1

Четырех-
полюсник

а

Четырех-
полюсник

u2

i1
i2

u1

Четырех-
полюсник

б

Четырех-
полюсник

u2

i1
i2

u1

Четырех-
полюсник

в

Четырех-
полюсник

u2

i1
i2

u1

Четырех-
полюсник

г

Четырех-
полюсник

i1
i2

u1

Четырех-
полюсник
u2

д

Рис. 1.2. Виды соединений четырехполюсных устройств: а – последовательное 

по входу и выходу; б – параллельное по входу и выходу; в – последовательное 

по входу и параллельное по выходу; г – параллельное по входу  

и последовательное по выходу; д – каскадное 

В линейном четырехполюсном устройстве при подаче сигнала от 

генератора 
на 
вход 
устройства 
все 
токи 
и 
напряжения 
являются 

гармоническими с той же частотой, их амплитуды и начальные фазы зависят от 

частоты воздействия.  

Свойства ЧП описывают частотными характеристиками – зависимостями 

от частоты входного сигнала различных характеристик (сопротивлений, 

проводимостей, коэффициентов передачи и т. д.). 

В общем случае внутреннее сопротивление подключаемого к ЧП 

источника и сопротивление нагрузки имеют комплексный характер и содержат 

как активную, так и реактивную составляющие (
вн
вх
вн
jX
R
Z



,
н
н
н
jX
R
Z



). 

Классическая схема их подключения к четырехполюсному устройству 

представлена на рисунке 1.3. 

 

Четырехполюсник
  2

 2
 вн

 н
  1

 1

 вн

 

Рис.1.3. Четырехполюсник с подключенными к нему реальным источником 

напряжения и нагрузкой 

 

При известной величине сопротивления нагрузки четырехполюсника 
н
Z , 

подключенной к его выходным зажимам, входной импеданс ЧП 

1

1
вх
I
U
Z




.
(1.1)

Выходной 
импеданс 
определяется 
при 
известном 
внутреннем 

сопротивлении источника входного сигнала 
вн
Z
 

2

2
вых
I

U

Z






.
(1.2)

В общем случае входное и выходное сопротивления также содержат как 

активную, так и реактивную составляющие, определяющие общий характер 

сопротивления (
вх
вх
вх
jX
R
Z



,
вых
вых
вых
jX
R
Z



). 

При известном входном импедансе четырехполюсного устройства, 

возможна его эквивалентная замена на 
вх
Z
 (рис. 1.4). 

 вн

 вх
u1

i1

 вн

 

Рис. 1.4. Эквивалентная схема входной цепи четырехполюсного устройства 

 

В случае если источник напряжения имеет внутреннее сопротивление, 

равное нулю (идеальный источник напряжения), то 
0
вн
вн

 X
R
 и входное 

напряжение равно ЭДС источника. Если данное условие не выполняется, то для 

обеспечения максимальной амплитуды входного напряжения 
1
m
U
 должно 

реализовываться следующие условие: 

вн
вх
X
X


,
(1.3)

при этом 

вн
вх

2
вх

2
вх

вн
1
R
R

X
R
E
Um



.
(1.4)

Для 
обеспечения 
максимума 
мощности 
P, 
поглощаемой 

четырехполюсным устройством от источника сигнала (например, генератора), 

должно выполняться условие согласования источника с четырехполюсным 

устройством 










.
,

вх

вх
X
X

R
R

С

С
(1.5)

Соответственно, и для выходной цепи четырехполюсника условие 

передачи 
максимальной 
мощности 
от 
генератора 
сигнала 
через