Методические указания к практическим занятиям по курсу «Теоретическая механика» по теме «Принцип возможных перемещений. Принцип возможных скоростей»

А. А. Музалевская

Методические указания

к практическим занятиям  
по курсу «Теоретическая механика»  
по теме «Принцип возможных перемещений. 
Принцип возможных скоростей» 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2019 

УДК 531(075) 
ББК 22.2. я7 
М11 

Рецензент: 
профессор, д.т.н. Щурин К. В. 

Музалевская, А. А. 

М11   Методические указания к практическим занятиям 
по курсу «Теоретическая механика» по теме «Принцип 
возможных перемещений. Принцип возможных скоростей» : 
учебное пособие / А. А. Музалевская. – Москва ; 
Берлин : Директ-Медиа, 2019. – 40 с. 

ISBN  978-5-4499-0169-9 

Содержание методических указаний отражает часть курса «Основы 
аналитической механики» и включает в себя примеры решения 
задач. Для задач разбираемой темы даются краткие исторические 
сведения, теория, классификация задач и приведены примеры 
решения. 

Учебное пособие предназначено для практических занятий 

по дисциплине «Теоретическая механика» для обучающихся по техническим 
направлениям и специальностям всех форм обучения. 

УДК 531(075)
ББК 22.2. я7 

ISBN  978-5-4499-0169-9 
© Музалевская А. А., текст, 2019
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2019

1 
Краткие исторические сведения 

Раздел «Принцип возможных перемещений. Принцип 

возможных скоростей» традиционно в учебной литературе 
относится к разделу «Аналитическая механика», которая, 
в свою очередь, базируется на ряде основных 
принципов и предлагает свои методы решения задач и 
отличается от классической механики тем, что, в отличие 
от операций над векторами и алгебраических уравнений, 
полученных в результате проецирования векторных равенств 
на координатные оси в классической механике, 
дифференциальные уравнения движения при решении 
задач получают аналитическим путем. 

Реконструкция исторического развития принципов 

возможных перемещений (далее – ПВП) и скоростей 
(ПВС) в настоящее время является не полностью ясной и, 
соответственно, неполной. В отечественной учебной и 
научной литературе для идентификации перемещений 
встречаются термины как «возможные», так и «виртуальные» [
4]. В настоящее время принято, что эти термины 
эквивалентны применительно к стационарным, 
удерживающим, идеальным связям. Это разночтение возникло 
при переводе с латинского на русский язык слова 
«virtualis», т. е. «возможный, мнимый, такой, который мо-
жет или должен появиться». 

Список ученых, которые интересовались этими иссле-

дованиями, должен заставить нас задуматься о масштабах 
усилий, которые были приложены для решения этой за-
дачи: Стевин, Лазар Карно, Лагранж, Лаплас, Пуансон, 
Фурье, Ампер, Коши, Гаусс, Пуассон и Остроградский, ко-
торый восходит к Аристотелю с законом: «тяжелые тела, 
расположенные в конце рычага, уравновешиваются, ко-
гда в их возможном движении скорости находятся в об-
ратном отношении к весам». Его четкое определение, 

однако, является только документально подтвержден-
ным Галилеем, который ввел его в обиход, но по мнению 
математиков того времени, демонстрация должна была 
быть основана на существующей модели геометрии 
и должна была состоять из выводов [5]. 

В общепринятой интерпретации принцип Торричелли 

является 
критерием 
статики, 
который 
утверждает, 

что центр тяжести системы тел в равновесии не может 
опускаться ниже от любого виртуального движения тел. 

Отталкиваясь от идей Торричелли, Джон Уоллис 

(John Wallis) переформулировал принцип Торричелли, за-
явив, что сумма произведений сил и времени смещений 
их точек приложения в направлении сил должна быть 
равна нулю. Данный принцип был удачным для простых 
машин (рычаг, наклонная плоскость, клин и др. – см. ри-
сунок 1), в которых направления силы и движения оста-
ются постоянными во время виртуального движения. 
Но не срабатывал в другом случае – при криволинейном 
движении тела. 

 

Рисунок 1 – Примеры простых машин[5] 

Рене Декарт был первым, кто понял, что для действи-

тельности 
любого 
ПВП 
необходимо 
рассматривать 

не фактическое движение тел, а то, что оно будет продви-
гаться по прямым линиям или плоскостям, касательным 
к траектории движения. Идея Декарта о виртуаль-
ном движении была обобщена К. Гюйгенсом, который 
ввел понятие бесконечно малых перемещений в прин-
цип Э. Торричелли. Его ранние работы по этой теме дати-
руются 1667 г. [6]. 

В конце концов, И. Бернулли, как и К. Гюйгенс, скло-

нялся считать виртуальные скорости и виртуальные  
перемещения практически одинаковыми и, наконец, рас-
сматривать термин «виртуальная скорость» как синоним 
«бесконечно малого перемещения». Именно Иоганн Бер-
нулли систематически усовершенствовал формулиров-
ку ПВП. 

Вопрос о возможности обоснования всей статики с по-

мощью этого принципа был сделан Жозефом Луи Ла-
гранжем в его знаменитой «Аналитической механике», 
вышедшей в 1788 г. 

 

Г. Убальди-дель-Монте (в 1577 г.) 

Положил начало принципу 
возможных перемещений 
на рычаге и движущихся 
блоках (полиспастах)

 

С. Стевин (в 1605 г. – на языке оригинала) 

 

 

Г. Галлилей (в 1634 г.) 

Исследование равновесие 
блоков и систем блоков 
(полиспастов) 

 

 

Исследование равно-
весия на наклонной 
плоскости 
 

 

Э. Торричелли (в 1644 г.) 

 

 

Дж. Уоллис (J. Wallis в 1670 г.) 

Расширил принцип 
Торричелли с двух тел 
на n сил

Принцип Торричелли: 
принцип равновесия 
системы тел, находя-
щихся только под дей-
ствием сил тяжести

Х. Гюйгенс (в 1677 г.) 

 

И. Бернулли (в 1717 г.) 

Формулировка прин-
ципа возможных ско-
ростей, возможных 
перемещений

Ввел понятие «бес-
конечно малые пе-
ремещения»

Ж. Лагранж (в 1788 г.) 

Рисунок 2 – Хронология развития принципа 

возможных перемещений 

Обоснование всей стати-
ки с помощью принципа 
возможных скоростей 
(ПВС), возможных пере-
мещений (ПВП)

2  
Принцип возможных перемещений. 
Принцип возможных скоростей 

Формулировка Лагранжа принципа гласит: «Если какая-
либо система, состоящая из любого числа тел или точек 
и подверженная действию каких-либо сил тяги или 
движения, находится в равновесии, и системе этой сообщается 
какое-либо незначительное движение, вследствие 
которого каждая точка пробегает бесконечно-малое пространство (
виртуальная скорость), то сумма произведений 
из сил, приложенных ко всякой данной точке, на 
величину перемещения точек в направлении силы всегда 
равна нулю; при этом предполагается, что перемещения, 
происходящие в направлении силы, имеют положительный 
знак, а в обратном отрицательный» [1]. В современной 
формулировке принципа введены ограничения на 
связи механической системы: они должны быть удерживающими, 
идеальными и стационарными. 

Если система не может освободиться от связи, то такая 

связь называется удерживающей (а). Если же система 
может покинуть связь, то связь является неудерживающей (
см. рисунок 3б). 

а) жесткий стержень 
б) трос 

Рисунок 3 – а) удерживающая, б) неудерживающая связи [3]