Курс физики

Ю. Н. Редкин 
С. Г. Ворончихин 
 
 
 
 
 
 
 
КУРС 
ФИЗИКИ 

 
 
Базовый курс лекций 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Москва 
Берлин 
2020 

 

УДК 530.1(075) 
ББК 22.3я7 
         Р33 

Рецензенты: 
Шатров А. В. — доктор физ.‐мат. наук, доцент, заведующий кафедрой 
«Физики и медицинской информатики» 
Кировского государственного медицинского университета; 
Данюшенков В. С. — доктор пед. наук, член‐корреспондент Российской академии 
образования (РАО), профессор кафедры «Физики и методики обучения физике» 
Вятского государственного университета 
 
 
 

 
Редкин, Ю. Н. 

Р33       Курс физики: базовый курс лекций / Ю. Н. Редкин, 
С. Г. Ворончихин — Москва ; Берлин : Директ‐Медиа, 2020. — 
146 с. 

ISBN 978‐5‐4499‐0814‐8 

Содержание книги представляет собой отредактированный кон‐
спект лекций по курсу общей физики, которые читались авторами на 
протяжении ряда лет в Вятском государственном гуманитарном универ‐
ситете и Вятском государственном университете. В учебном пособии из‐
ложены физические основы классической механики, молекулярной фи‐
зики и термодинамики, а также основы электродинамики, оптики и 
квантовой физики. Учебное пособие предназначено студентов бака‐
лавриата высших учебных заведений, а также может быть полезно для 
обучающихся в колледжах, техникумах и преподавателям в качестве 
опорных конспектов. 
Текст приводится в авторской редакции 
 
 
 
УДК 530.1(075) 
ББК 22.3я7 

 

 

ISBN 978‐5‐4499‐0814‐8 
© Редкин Ю. Н., Ворончихин С. Г., текст, 2020 
© Издательство «Директ‐Медиа», оформление, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .............................................................................................................................. 5 

Курс физики ............................................................................................................................... 6 

§ 1. Введение. Предмет физики ........................................................................... 6 

Глава 1. Механика .................................................................................................................... 7 

§ 2. Введение ......................................................................................................... 7 

§ 3. Основные понятия кинематики ..................................................................... 7 

§ 4. Кинематический закон движения, скорость и ускорение ............................ 8 

§ 5. Движение точки по прямой и по окружности ............................................ 11 

§ 6. Динамика материальной точки. Законы Ньютона ..................................... 14 

§ 7. Системы материальных точек ..................................................................... 17 

§ 8. Работа силы. Энергия. Закон сохранения энергии ..................................... 20 

§ 9. Закон всемирного тяготения ....................................................................... 25 

§ 10. Движение и деформации твердого тела .................................................... 26 

§ 11. Жидкости и газы ........................................................................................ 36 

Глава 2. Термодинамика и молекулярная физика ........................................................ 41 

§ 1. Основные понятия. Первый закон термодинамики ................................... 41 

§ 2. Идеальный газ. Теплоемкость ..................................................................... 43 

§ 3. Работа идеального газа. Работа идеального газа в изопроцессах ............... 44 

§ 4. Круговые процессы (циклы). Тепловые и холодильные машины ............ 46 

§ 5. Кинетическая теория идеальных газов ....................................................... 49 

§ 6. Реальные газы .............................................................................................. 53 

§ 7. Жидкости ...................................................................................................... 55 

§ 8. Твердые тела ................................................................................................ 58 

Глава 3. Электричество ........................................................................................................ 62 

§ 1. Введение. Предмет электричества .............................................................. 62 

§ 2. Законы электростатики ................................................................................ 62 

§ 3. Электрическое поле ..................................................................................... 64 

§ 4.  Проводники и диэлектрики в электрическом поле ................................... 70 

§ 5. Электрическиеконденсаторы ...................................................................... 73 

§ 6. Постоянный электрический ток .................................................................. 75 

3 

§ 7. Магнитное поле электрических токов ........................................................ 80 

§ 8. Электромагнитная индукция ....................................................................... 85 

§ 9. Переменный ток ........................................................................................... 89 

§ 10. Электрические колебания в колебательном контуре. 
Колебательные системы ..................................................................................... 92 

§ 11. Электромагнитные волны.......................................................................... 95 

Глава 4. Оптика ....................................................................................................................... 98 

§ 1. Предмет оптики ............................................................................................ 98 

§ 2. Геометрическая оптика (ГО) ..................................................................... 101 
§ 3. Зеркала и линзы ......................................................................................... 103 

§ 4. Интерференция света ................................................................................. 108 

§ 5. Дифракция  света ....................................................................................... 110 

§ 6. Поляризация света ..................................................................................... 114 

§ 7. Дисперсия  и поглощение света веществом ............................................. 117 

§ 8. Оптические явления в атмосфере ............................................................. 121 

Глава 5. Физика атома и атомного ядра ........................................................................ 127 

§1. Проблема строения атома. Опыты Резерфорда. Теория Бора .................. 127 

§ 2. Квантовая теория атомов ........................................................................... 132 

§ 3. Строение атомных ядер ............................................................................. 134 

§ 4. Ядерная энергия. Атомная бомба ............................................................. 137 

§ 5. Ядерная энергетика. Термоядерный синтез ............................................. 141 

Литература ............................................................................................................................. 145 

4 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Содержание книги представляет собой отредактированный конспект лекций по курсу 
общей физики, которые читались авторами на протяжении ряда лет в Вятском государствен-
ном гуманитарном университете и Вятском государственном университете. Этим объясняет-
ся сжатый, местами напоминающий телеграфный стиль изложения. Из-за экономии места в 
книгу не вошли описания лекционных демонстраций и большинство примеров и задач. 

Данный учебник предназначен студентам, изучающим курс физики в соответствии с 
требованиями, обусловленными спецификой Государственных образовательных стандартов. 
Настоящий курс предназначен для технических вузов с ограниченным числом часов по фи-
зике. В предлагаемом курсе принята традиционная последовательность изложения разделов: 
механика — термодинамика и молекулярная физика — электричество — оптика — физика 
атома, твёрдого тела и атомного ядра. В курсе общей физики, в основе которого лежит физи-
ческий опыт, такая последовательность представляется более оправданной. 

В качестве предпочтительного способа изложения материала использовался истори-
ческий подход. То есть материал излагался, по возможности, в той же последовательности, в 
какой выполнялись основные физические опыты и делались их толкования. Такой способ 
изложения курса обладает внутренней логикой процесса познания природы и позволяет до-
статочно убедительно выстраивать цепочку событий процесса познания. 

Авторы выражают глубокую благодарность кандидату физико-математических наук, 
доценту В.Н Бакулину за беспристрастный анализ рукописи и ценные замечания, а также 
инженеру кафедры С.В. Мальковой за профессиональную помощь и поддержку при издании 
этой книги. 

В список литературы включены лишь те издания, которые обычно рекомендуются сту-
дентам при изучении курса. 

5 

КУРС ФИЗИКИ 

§ 1. Введение. Предмет физики 

1. Физика (от греч. physis — природа) — наука о природе, изучающая наиболее общие 
закономерности явлений природы, строение материи и законы её движения. Физика уста-
навливает количественные соотношения, описывающие с некоторой точностью то или иное 
явление природы. 

2. Физика — фундамент естествознания. Её связь с другими естественными науками 
состоит в том, что предмет их исследования — единый объективный мир. Понятия физики и 
открытые её методами законы природы лежат в основе естественных наук. Физика использу-
ет количественный аппарат математики. На основе физических законов развивается техника. 
Без измерительных приборов, созданных на физических принципах, не могут обойтись не 
только естественные науки, но и повседневная человеческая жизнь. В той части философии, 
которая изучает всеобщие законы развития природы, физика — как часть естествознания — 
является базой для построения философских концепций.  

3. По методам исследования физика делится на экспериментальную и теоретическую. 
Экспериментальная ставит эксперимент (измеряет), теоретическая — осмысливает результа-
ты эксперимента и строит математическую модель явлений. 

В своей основе физика — экспериментальная наука. Она исследует лишь те объекты, 
где возможно измерение и воспроизведение результатов эксперимента независимо от чело-
века. Измерение — это основной метод познания материального мира. Законы физики ос-
нованы на фактах, установленных опытным путём. Эти законы представляют собой количе-
ственные соотношения и формулируются на математическом языке. 

Задача теоретической физики состоит в обобщении опытных законов, в толковании на 
основе этих законов конкретных явлений и в составлении максимально точных научных про-
гнозов. При изучении любого явления природы физический опыт и физическая теория в рав-
ной мере необходимы и взаимосвязаны. 

4. Влияние достижений физики на жизнь людей огромно. Благодаря открытию зако-
нов функционирования паровых машин и двигателей внутреннего сгорания, открытию зако-
нов электричества, строения атома, атомного ядра, твёрдого тела неизмеримо возросла энер-
гетическая и информационная вооружённость человечества. Достижения физики, химии и 
биологии позволяют жить на Земле значительно большему числу людей и существенно по-
вышают потенциал выживания человечества как биологического вида. Вместе с тем физика в 
настоящее время — наиболее капиталоёмкая из естественных наук. Поэтому реальные успе-
хи в физических исследованиях возможны лишь в наиболее развитых промышленных стра-
нах. 

5. Учебная дисциплина «Курс физики» понимается как последовательное изложение 
основных физических законов и принципов, полученных в эксперименте, и основных теоре-
тических моделей, построенных на этих принципах с использованием достаточно простого 
математического аппарата. Курс делится на 5 разделов: а. Механика, б. Термодинамика и 
молекулярная физика, в. Электричество, г. Оптика, д. Физика атома и атомного ядра. По 
причине специфики курса физики на данных специальностях на изучение раздела «Электри-
чество» отводится несколько больше среднего объёма времени. 

В соответствии с учебным планом данный конспект лекций рассчитан на 36 лекцион-
ных часов плюс аудиторные семинарские занятия и самостоятельная работа. Бóльшая часть 
времени на семинарских занятиях расходуется на решение основных типов задач по важ-
нейшим изучаемым на данных специальностях темам. 

6 

ГЛАВА 1. МЕХАНИКА 

§ 2. Введение 

1. Механика — это раздел физики, изучающий изменение с течением времени по-
ложения тел или их частей в пространстве, происходящее в результате взаимодействия 
между ними. Словом «механика» обозначают сейчас обычно так называемую классическую 
механику, в основе которой лежат законы Ньютона. 

2. Физические модели. При построении теории физика заменяет реальные объекты
их идеализированными моделями. Если физический объект имеет бесконечное количество 
свойств, то его модель есть абстрактный образ, наделённый одним или несколькими свой-
ствами, наиболее важными у данного объекта в изучаемом явлении. 

Классическая механика имеет дело с тремя основными моделями: материальной 
точкой, твёрдым телом и сплошной средой. В зависимости от применяемой модели разли-
чают три крупных раздела механики: механика материальной точки, механика твердого тела, 
механика сплошной среды. В любой модели различают кинематику и динамику. 

§ 3. Основные понятия кинематики 

1. Кинематика (от греч. kinema — движение) — раздел механики, изучающий гео-
метрию движения тел без учёта причин движения. Кинематика использует понятия: про-
странство, время, тело отсчёта, система координат, система отсчёта, кинематический 
закон движения, траектория, перемещение, скорость, ускорение. 

2. Пространство — это форма существования материи. В классической механике
применяют модель реального физического пространства — ньютоново пространство. Эта 
модель имеет следующие свойства: 

а.  Ньютоново пространство абсолютно. Оно представляет собой вместилище тел и 
не зависит от того, есть в нём тела или нет. Ньютоново пространство может быть пустым, 
оно не зависит ни от массы, ни от протяжённости тел, ни от скорости их движения. 
б.  Ньютоново пространство непрерывно. Это значит, что на любом отрезке линии 
между любыми сколь угодно близко расположенными точками всегда есть бесконечное 
множество других точек. 
в.  Ньютоново пространство подчиняется аксиомам геометрии Евклида. Напри-
мер, сумма углов в треугольнике равна 180°, кратчайшее расстояние между двумя точками 
есть отрезок прямой линии, квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме 
квадратов катетов и т.д.  
3. Время, как и пространство, есть форма существования материи. Вместе они обра-
зуют пространственно-временной континуум, то есть существуют в единстве. Время — это 
фактор координации событий. Мы можем говорить, что событие А произошло раньше собы-
тия В, а событие С произошло позже события В. Время существует, когда есть движение, то 
есть какие-либо изменения материи. Нет движения — нет времени. 

4. Тело отсчёта — это произвольно выбранное тело, относительно которого опреде-
ляется положение в пространстве другого тела, движение которого исследуется. Движение 
тел всегда относительно. 

В повседневной жизни мы постоянно пользуемся телами отсчёта. Например, объясняя 
кому-либо, как пройти, допустим, в университет, мы говорим примерно следующее: выйдя из 
автобуса у филармонии, пройдите вдоль улицы на юг один квартал. Здесь филармония — тело 
отсчёта, улица задаёт направление отрезка от тела отсчёта к университету, квартал — длина 
отрезка. 

7 

В кинематике материальность движущейся точки не имеет значения. Мы будем гово-
рить здесь «материальная точка» лишь с целью подчеркнуть, что это именно тá точка, дви-
жение которой изучается. Это позволит не смешивать её с точками пространства.  

Чем удачнее выбрано тело отсчёта, тем проще решение задачи. Во 2 веке н.э. Птоле-
мей, пытаясь построить кинематическую систему мира, в качестве тела отсчёта не совсем 
удачно выбрал Землю (геоцентрическая система мира). В результате орбиты планет в этой 
системе получались громоздким суммированием множества окружностей разного радиуса. 
Николай Коперник в 16 веке при решении этой же задачи в качестве тела отсчёта выбрал 
Солнце (гелиоцентрическая система мира). Орбиты планет в этом случае оказались просты-
ми окружностями. 

5. Системы координат (СК) — это геометрические образы, позволяющие определить
положение точки в пространстве с помощью отрезков и углов. Из множества вариантов СК в 
физике наиболее часто используют прямоугольную декартову систему координат. 

Декартова СК представляет собой систему трёх бесконечных прямых линий, пересе-
кающихся в одной точке О под прямым углом (рис. 1.3.1). Эти линии называют осями СК. 
Их обозначают OX (ось абсцисс), OY (ось ординат), OZ (ось аппликат). Положительные 
направления осей обозначаются стрелками и задаются
единичными ортами i

, j

, k

. Это векторы, длина кото-
рых равна единице в любой системе единиц, а направле-
ния взаимно перпендикулярны. 

Отрезки, откладываемые по осям от центра СК в 
направлении стрелок, положительны, против — отрица-
тельны. Положение точки M определяется здесь с помо-
щью трёх чисел — координат x, y, z, имеющих размер-
ность длины. 

В физике применяется правовращательная де-
картова СК. Если правый винт вращать по кратчайшему 
расстоянию от оси OX к оси OY, то ось OZ направлена в 
сторону поступательного движения винта. 

6. Система отсчёта — это совокупность тела от-
счёта, связанной с ним системы координат и часов. Если 
СК — геометрический образ, то система отсчёта, как правило, физическая реальность. 

7. Траектория точки — это мысленный след от движущейся материальной точки в
пространстве. Иногда при движении тел в сплошных средах в результате возникающих не-
однородностей в среде траектория может быть физически наблюдаемой. Тропинки и доро-
ги — это осреднённые траектории движения множества людей, кильватерный пенный след 
на воде от быстроходных судов, инверсионный след от самолётов и т. д.  

Траектория — непрерывная линия. Форма траектории зависит от выбора тела отсчёта. 
Например, траектория капли, падающей в равномерно и прямолинейно движущемся вагоне, 
относительно стенок вагона — прямая вертикальная линия. Относительно же поверхности 
земли траектория капли — парабола.  В зависимости от формы траектории в избранной си-
стеме отсчёта различают прямолинейное движение точки (траектория — прямая линия), 
движение точки по окружности (траектория — окружность), криволинейное движение (тра-
ектория — любая кривая линия) и т.д. 

§ 4. Кинематический закон движения, скорость и ускорение 

1. Кинематический закон движения — это одно или несколько уравнений, опреде-
ляющие положение материальной точки в пространстве в любой момент времени. При 

 z 

           z 
 M(x,y,z) 

 k

jy 

    
 О
y 
 ix 

Рис. 1.3.1 
x 

координатном способе изучения движения — это три уравнения, определяющие значения 
координат x, y, z в зависимости от времени t. 

2.  Перемещение материальной точки — это отрезок прямой линии, соединяющей 
два положения точки в произвольные моменты времени t1 и t2. Индексы у времени t ставятся 
в направлении течения времени. Это значит, что момент времени t2 наступил позже момента 
t1, момент t3 — позже момента t2 и т. д. Интервал времени Δt = t2 – t1 при определении пере-
мещения точки может быть каким угодно. Длина Δl перемещения вычисляется по формуле: 

2
2
2
z
y
x
l
∆
+
∆
+
∆
=
∆
, 
(1.4.1) 

где Δx, Δy, Δz — проекции перемещения на оси СК. 

Пример 4.1. Кинематический закон движения материальной точки M имеет вид: 

2
2 ,
3 ,
8
2
x
t
y
t
z
t
t
=
=
=
−
. 
(1.4.2) 

Найти уравнение траектории, построить график, вычислить перемещения точки M в 
интервалы времени от  t1 = 0,5 с  до t2 = 2 с  и  от t2 = 2 с до t3 = 3 с. 

а.  Траектория. Если задавать значения времени t с некоторым шагом, например, че-
рез 0,5 с, t = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 с и т. д., а затем для этих моментов вычислить координаты 
x, y, z, то по этим точкам можно построить график 
траектории (рис. 1.4.1). 

Чтобы получить координатное уравнение 
траектории в переменных x, y, z, из кинематического 
закона (1.4.2) нужно исключить время t. Например, 
можно сложить 1-е и 2-е уравнения, выразить из 
суммы время t и подставить его в 3-е уравнение. 

5 ,
;
5
x
y
x
y
t
t
+
+
=
⇒
=
(
)
(
)

25
2
5
8
2
y
x
y
x
z
+
−
+
=
 

или 
0
5,
12
20
20
2
2
2
=
+
−
−
+
+
z
y
x
xy
y
x
. 

б.  Перемещение вычислим для двух случаев: 
перемещение Δl1 для интервала времени от t1 до t2 и 
перемещение Δl2  для интервала времени от t2 до t3 
(см. рис. 1.4.1). Для этого нужно вычислить проек-
ции перемещений. Так для интервала времени от t1  до 
t2 Δx1 = x(t2) – x(t1) = 4 –1 = 3 м, Δy1 = y(t2) – y(t1) = 4,5 м, 
Δz1 = z(t2) – z(t1) = (8∙2 – 2∙22) – (8∙0,5 – 2∙0,52)= 8 – 3,5 = 4,5 м. Все проекции положительны. 
Это значит, что материальная точка двигалась в этом интервале времени в направлении воз-
растания координат. Модуль перемещения Δl1 (длина отрезка) вычисляется по формуле 
(1.4.1): 

0,7
5,4
5,4
3
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
=
+
+
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
z
y
x
l
 м. 

Вычислим проекции перемещения Δl2 в промежуток времени от t2 до t3. 
Δx2 = x(t3) – x(t2) = 2∙3 – 2∙2 = 2,   Δy2 = 3,   Δz2 = (8∙3 – 2∙32) — (8∙2 – 2∙22) = 6 – 8 = –2. Проекция 
перемещения на ось OZ отрицательна, Δz2 = –2. Это значит, что материальная точка M на 
этом участке переместилась в сторону уменьшения координаты z. Модуль перемещения Δl2 
точки M: 
1,4
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
z
y
x
l
 м. 

3.  Скорость движения точки. Понятие скорости движения тел известно с древности. 
Различают среднюю и мгновенную скорость.  

z, м

 
                                     
                   ∆z1           2 
                                        t2=2 c 
                             ∆l1      
                   1                ∆l2    3 
                     t1=0,5 c             t3=3 c 
 
                            ∆y1 
                                                      y, м 
            ∆x1  
 5      
  x, м                   

5 

Рис. 1.4.1

9 

а.  Средняя скорость v  движения точки есть отношение перемещения Δl точки к 
интервалу времени Δt, за который это перемещение произошло.  

2
2
2
2
2
2
1






∆
∆
+






∆
∆
+






∆
∆
=
∆
+
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
=
t
z
t
y
t
x
z
y
x
t
t
l
v
. 
(1.4.3) 

Отношения ΔxΔt = 
x
v ,  ΔyΔt = 
y
v ,  ΔzΔt = 
z
v  называются проекциями средней 

скорости на оси координат. Отсюда                
(
)
(
)
(
)

2
2
2
z
y
x
v
v
v
v
+
+
=
. 
(1.4.4) 

Пример 4.2. Вычислить среднюю скорость 
1v  и 
2
v  на перемещениях Δl1 и Δl2 по 
условиям примера 4.1.  

Так как 
1 
2
1 
t
 t
t
 2 – 0,5 1 ,5 с,
∆
=
−
=
=
 то проекции средней скорости на оси координат 
на первом перемещении Δl1 есть: 
1x
1
1
x /
t
3/1,
м/с
2
,
5
= ∆
∆
=
=
v
 
1y
1
1
y /
м/ ,
t
3
с
= ∆
∆
=
v
 

1z
1
1
z /
t
4,5 /1,5
3  м/с.
= ∆
∆
=
=
v
 Средняя 
скорость 
на 
первом 
участке 

7,4
3
3
2
2
2
2
1
=
+
+
=
v
м/с. 

Таким же способом находим среднюю скорость 
2
v  на втором перемещении Δl2. Так 
как Δt2 = 3 — 2 = 1 с, то 
2
1
/
2
/
2
2
2
=
=
∆
∆
=
t
x
x
v
 м/с,   
3
2 =
y
v
 м/с,   
2
2
−
=
z
v
 м/с. 

Отсюда 
1,4
2
3
2
2
2
2
2
=
+
+
=
v
м/с. 

б.  Мгновенная скорость. В примере 4.2 получается, что на соседних перемещениях 
средняя скорость точки разная. На перемещении Δl1  
7,4
1 =
v
 м/с, на перемещении Δl2 

1,4
2 =
v
 м/с. Допустить, что в момент времени t2 скорость тела меняется скачком с 4,7 до 
4,1 м/с, нельзя из-за инерции тел. Скорость движения реальных тел может изменяться лишь 
постепенно. В общем случае это означает, что скорость материальной точки в разных точках 
траектории разная. Средняя скорость v  на перемещении характеризует движение материальной 
точки приближённо. 

Задачу о переходе от средней скорости v  на перемещении к мгновенной скорости v в 
точке траектории решил Исаак Ньютон в конце 17 в. Он показал, что этот переход можно 
сделать, постепенно уменьшая интервал времени Δt, в результате перемещение Δl также 
уменьшается. В механическом движении тел предел отношения перемещения Δl к интервалу 
времени Δt при Δt→0 всегда существует. Этот предел и даёт численное значение мгновенной 

скорости v движения материальной точки по траектории.           
t
l

t
t
∆
∆
=
=
→
∆
→
∆
0
0
lim
lim v
v
. 
(1.4.5) 

Чтобы кинематический закон движения материальной точки имел реальный смысл, 
координаты точки x(t),  y(t),  z(t) должны быть непрерывными функциями времени t. Процедура 
вычисления пределов от аналитических функций при стремлении приращения аргумента 
к нулю называется в современной терминологии вычислением производной от функции по 
аргументу или дифференцированием. Операция, обратная дифференцированию, называется 

интегрированием. Отсюда:             
x
dt
dx

x

≡
=
v
,     
y
dt
dy

y

≡
=
v
,       
z
dt
dz

z

≡
=
v
. 
(1.4.6) 

Запись производных в виде  dxdt,  dydt,  dzdt  предложил Лейбниц, а в виде точек 
над обозначениями функции x , y , z  — Ньютон. В современной физике точкой обозначается 
только производная по времени t.  

Пример 4.3. Вычислить проекции мгновенной скорости на координатные оси, модуль 
её в общем виде и в моменты времени t = 0,5, 2,0, 3 c по условию примера 4.1. 

10 

Кинематический закон движения: 
t
x
2
=
, 
t
y
3
=
, 
2
2
8
t
t
z
−
=
. 
(1.4.7) 

Проекции скорости на оси: 
2
=
= x
x

v
, 
3
=
= y
y

v
, 
t
z
z
4
8 −
=
= 
v
. 
(1.4.8) 

Модуль мгновенной скорости в общем виде: 

(
)
77
64
16
4
8
3
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
−
+
+
=
+
+
=
t
t
t
z
y
x
v
v
v
v
. 
(1.4.9) 

Подставив в эту формулу t1 = 0,5, t2 = 2,0, t3 = 3 с, получим v1=7,0,  v2=3,6,  v3=5,4 (м/с). 

Заметим, что формула мгновенной скорости в общем виде содержит время t. Это значит, 
что скорость движения материальной точки в данном примере непрерывно меняется. 

4.  Ускорение точки. Это понятие ввёл в физику Галилео Галилей в конце 16 в. Различают 
среднее и мгновенное ускорение точки. 

а.  Среднее ускорение материальной точки a  — это отношение приращения скорости 
точки Δv, которое произошло в течение некоторого интервала времени Δt, к величине 

этого интервала. 
( )
( )

t
t
t
t
t
a
∆
∆
=
−
−
=
v
v
v

1
2

1
2
. 
(1.4.10) 

Соотношение между модулем среднего ускорения точки a  и его проекциями на координатные 
оси аналогично соотношению для средней скорости. 

(
)
(
)
(
)

2
2
2
2
2
2

z
y
x
z
y
x
a
a
a
t
t
t
a
+
+
=








∆
∆
+









∆

∆
+








∆
∆
=
v
v
v
. 
(1.4.11) 

Здесь 
t
x ∆
∆
/
v
 = 
x
a ,   
y
y
a
t =
∆
∆
/
v
,   
z
z
a
t =
∆
∆
/
v
 — 
(1.4.12) 

проекции среднего ускорения на оси. 

б.  Мгновенное ускорение точки a — это предел, к которому стремится среднее ускорение 
a  при Δt→0. Формула (1.4.11) в пределе принимает вид: 

(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2

0
lim
z
y
x
t
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
=
=
→
∆
z
y
x
v
v
v



. 
(1.4.13) 

Здесь 
x
a
x
x


=
= v
,  
y
a
y
y


=
= v
,  
z
a
z
z

 =
= v
 — 
(1.4.14) 

проекции мгновенного ускорения на координатные оси. 

Пример 4.4. По условию примера 4.3 вычислить проекции и модуль полного ускорения 
точки в общем виде. 

Проекции мгновенной скорости на оси:  
2
=
= x
x

v
, 
3
=
= y
y

v
, 
t
z
z
4
8 −
=
= 
v
. 

Проекции 
мгновенного 
ускорения 
на 
оси: 
 
0
=
=
x
x
a
v
, 
0
=
=
y
y
a
v
, 

4
−
=
=
z
z
a
v
(м/c2). Модуль полного ускорения  
4
4
0
0
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
z
y
x
a
a
a
a
(м/c2). 

В данном примере проекции и полное мгновенное ускорение не зависят от времени. 
В этом случае среднее ускорение не зависит от величины интервала времени Δt и равно 
мгновенному ускорению. 

§ 5. Движение точки по прямой и по окружности 

1. Прямолинейное движение точки. Траектория точки в этом случае — прямая линия. 
Это одномерное движение. Для его описания достаточно одной оси декартовых координат, 

11 

например OX, которую располагают вдоль по траектории. В практике наиболее важны два 
случая — равномерного и ускоренного движения.  

а.  Равномерное движение. Дана скорость v  точки, которая постоянна по величине и 
по направлению, 
const

v
. Найти кинематический закон движения точки (рис. 1.5.1). Здесь 
стрелка над символом скорости v  показывает, что скорость — векторная величина, она имеет 
направление. 

Проектируем скорость v  на ось 
OX, получаем 
x
v . За время  dt  точка  M 
переместится на расстояние 

dt
dx
x
v

. 
(1.5.1) 

Чтобы найти перемещение точки за конечный интервал времени, надо это выражение 
проинтегрировать. Левую часть — по x, правую — по t. Получаем кинематический закон 
равномерного движения точки 
t
x
x
x
v


0
. 
(1.5.2) 

Здесь x0 — начальная координата, положение точки M в момент времени t = 0. Величины 
x0  и 
x
v  могут быть как положительными, так и отрицательными числами. 

б.  Равноускоренное движение. Скорость изменяется со временем. Дано ускорение 
точки a , в проекции на ось 
x
a . Найти скорость точки в любой момент времени и кинематический 
закон движения точки. 

Приращение скорости за время dt есть 
dt
a
d
x
x 
v
. Проинтегрировав, получаем ско-

рость точки. 



dt
ax
x
x
0
v
v
. 
(1.5.3) 

Здесь 
x
0
v
 — постоянная интегрирования, начальная скорость точки в момент времени 
t = 0.  

Во многих механических процессах ускорение материальной точки постоянно, 
const
ax 
. В этом случае  Скорость в равноускоренном движении. 
t
ax
x
x


0
v
v
. (1.5.4) 

За время dt точка M переместится на расстояние 
dt
t
a
dt
dt
dx
x
x
x




0
v
v
. Интегри-
руем при 
const
ax 
. Получаем:  

2

2

0
0
t
a
t
x
x
x
x 


v
. Кинематический закон равноускоренного движения  
(1.5.5) 

Величины 
0x , 
x
0
v
, 
x
a  могут быть и положительными, и отрицательными  числами. 

2. Движение точки по окружности. Скорость и ускорение. Это один из наиболее 
простых и важных видов движения. В природе по близким к окружностям траекториям дви-
жутся многие планеты вокруг Солнца. В технике по 
окружностям движутся точки вращающихся деталей ме-
ханизмов. Приблизительно по дугам окружностей дви-
жутся на поворотах транспортные средства. 

Поместим круговую траекторию точки M в плос-
кость XOY декартовой прямоугольной СК так, чтобы 
центры окружности и СК совпали (рис. 1.5.2). 

а.  Скорость. Положение точки М на траектории 
удобно определять с помощью радиус — вектора r , 
направленного в движущуюся точку М из центра 
окружности. В этом случае для характеристики движе-
ния могут использоваться два вида скорости. Во-первых, это уже знакомая нам линейная 

           z 
 
                    
 

 
     O                    y 

 
          r          
r



v
 

          x 
Рис. 1.5.2 

                                M        v  

       O        x0
x

Рис. 1.5.1