Элементы высшей математики

С. А. Осипенко 

ЭЛЕМЕНТЫ 
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 51(075) 
ББК 22.1я723 
        О74 

Рецензенты: 

А. С. Кутузов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики,  
экономики и управления Троицкого филиала ФГБОУ ВО «ЧелГУ»; 
Н. Д. Зюляркина, д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Защита информации» ЮУрГУ 

Осипенко, С. А. 
О74         Элементы высшей математики : учебное пособие / Осипенко С. А. — 
Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 201 с. 
ISBN 978-5-4499-0201-6 

Данное пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, 
систему задач для самостоятельной работы студентов и проверки знаний в виде итогового 
тестирования по разделу, а также примерные контрольные работы. Предложенная структура 
пособия помогает выделить главные аспекты изучаемых математических моделей, организовать 
и конкретизировать учебный процесс. 
Учебное пособие «Элементы высшей математики», подготовлено по дисциплине «Элементы 
высшей математики» в соответствии с Федеральным государственным образовательным 
стандартом среднего профессионального образования для студентов, обучающихся по 
специальностям 09.02.02 Компьютерные сети, 09.02.04 Информационные системы, 09.02.05 
Прикладная информатика (по отраслям) и др.  

УДК 51(075) 
ББК 22.1я723 

ISBN 978-5-4499-0201-6
© Осипенко С. А., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», макет, оформление, 2020

Оглавление 
 

Введение ................................................................................................................... 7 

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра .............................................................. 9 

1.1. Матрицы и определители ............................................................................. 9 

Понятие матрицы. Действия над ними .......................................................... 9 

Определители, свойства и вычисления ........................................................ 13 

Методы вычисления определителя матрицы .............................................. 14 

Обратная матрица ........................................................................................... 18 

Ранг, линейная зависимость/независимость строк и столбцов ................. 19 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 20 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 23 

1.2. Системы линейных уравнений .................................................................. 24 

Правило Крамера ............................................................................................ 24 

Метод Гаусса................................................................................................... 25 

Метод обратной матрицы .............................................................................. 29 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 30 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 31 

1.3. Векторная алгебра. Операции над векторами ......................................... 32 

Понятие вектора и линейные операции над векторами ............................. 32 

Понятие линейной зависимости векторов. Базис на плоскости ................ 36 

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов ....................... 38 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 42 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 45 

Итоговое тестирование по разделу 1 «Линейная и векторная алгебра» ...... 46 

Раздел. 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве ............. 50 

2.1. Метод координат. Прямая на плоскости и в пространстве .................... 50 

Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольные, 
полярные координаты. Основные задачи метода координат .................... 50 

Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. 
Взаимное расположение двух прямых.  
Расстояние от точки до прямой .................................................................... 55 

Плоскость в пространстве ............................................................................. 59 

3 

Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 61 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 64 

2.2. Кривые второго порядка ............................................................................ 65 

Эллипс, окружность. Парабола ..................................................................... 65 

Гипербола ........................................................................................................ 72 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 75 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 77 

Итоговое тестирование по разделу 2 «Аналитическая геометрия 
на плоскости и в пространстве» ....................................................................... 78 

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ......... 81 

3.1. Предел и непрерывность функции ............................................................ 81 

Предел функции. Основные теоремы о пределах ....................................... 81 

Замечательные пределы ................................................................................. 83 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................... 84 

Понятие непрерывности, точки разрыва ...................................................... 92 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 95 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 95 

3.2. Производная ................................................................................................ 96 

Понятие производной функции .................................................................... 96 

Правила дифференцирования, производные элементарных функций ..... 97 

Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала 
к приближенным вычислениям ................................................................... 100 

Производные высших порядков, логарифмическая производная,  
производная обратной функции, функции,  
заданной параметрически ............................................................................ 101 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 104 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 105 

3.3. Применение производной к исследованию функции ........................... 105 

Возрастание и убывание функции. Экстремумы ...................................... 105 

Применение производной при вычислении пределов. 
Правило Лопиталя ........................................................................................ 110 

Асимптоты, выпуклость графика функции, точки перегиба. 
Полное исследование функции ................................................................... 112 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 122 

4 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 123 

Итоговое тестирование по разделу 3 
«Дифференциальное исчисление функции одной переменной» ................ 124 

Раздел. 4. Интегральное исчисление функции одной переменной ................ 127 

4.1. Неопределенный интеграл ....................................................................... 127 

Первообразная и неопределенный интеграл ............................................. 127 

Таблица неопределенных интегралов 
основных элементарных функций .............................................................. 128 

Основные методы интегрирования ............................................................ 129 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 147 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 149 

4.2. Определенный интеграл ........................................................................... 150 

Определенный интеграл. 
Методы вычисления определенного интеграла ........................................ 150 

Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 154 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 155 

4.3. Приложение определенного интеграла .................................................. 156 

Вычисление площади криволинейной трапеции 
с помощью определенного интеграла ........................................................ 156 

Вычисление объема тела вращения ............................................................ 159 

Вычисление длины дуги кривой ................................................................. 161 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 162 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 163 

4.4. Дифференциальные уравнения ............................................................... 163 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ......... 165 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ............... 166 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .................... 168 

Уравнения Бернулли .................................................................................... 169 

Уравнения в полных дифференциалах ....................................................... 169 

Дифференциальные уравнения высших порядков ................................... 171 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .................... 173 

Линейные дифференциальные однородные уравнения 
второго порядка  с постоянными коэффициентами ................................. 176 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 178 

5 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 180 

Итоговое тестирование по разделу 4 
«Интегральное исчисление функции одной переменной» .......................... 182 

Список терминов (глоссарий) ............................................................................ 185 

Библиографический список ................................................................................ 193 

Приложение .......................................................................................................... 195 

Итоговые вопросы по дисциплине ................................................................. 195 

Контрольная работа по разделу 1 ................................................................... 197 

Контрольная работа по разделу 2 ................................................................... 198 

Контрольная работа по разделу 3 ................................................................... 199 

Контрольная работа по разделу 4 ................................................................... 200 

Введение 

Математическое образование следует рассматривать как важнейшую 
составляющую фундаментальной подготовки специалиста любого профиля. 
Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством 
решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и эле-
ментом общей культуры будущего специалиста.  
Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего 
образования направлено на достижение следующих целей:  
• формирование представлений о математике как универсальном языке
науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах ма-
тематики;  
• развитие логического мышления, пространственного воображения,
алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом 
для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обуче-
ния в высшей школе;  
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в
повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисци-
плин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требую-
щих углубленной математической подготовки;  
• воспитание средствами математики культуры личности, понимания
значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к 
математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с ис-
торией развития математики, эволюцией математических идей.  
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен 
уметь: 
• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных
уравнений; 
• применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
• решать дифференциальные уравнения.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен 
знать: 
• основы математического анализа;
• основы линейной алгебры и аналитической геометрии;
• основы дифференциального и интегрального исчисления.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих 
компетенций (ОК), включающих в себя способность: 
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей 
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес 
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые 
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эф-
фективность и качество. 
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и 
нести за них ответственность. 

7 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой 
для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального 
и личностного развития. 
ОК 5. Использовать информационно-коммуникативные технологии в 
профессиональной деятельности. 
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, 
руководством, потребителями. 
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), 
за результат выполнения заданий. 
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного 
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать 
повышение квалификации. 
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной 
деятельности. 
В ходе изучения дисциплины ставиться задача формирования профессиональных 
компетенций (ПК), соответствующих виду деятельности: 
ПК 1.1. Выполнять проектирование кабельной структуры компьютерной 
сети. 
ПК 1.2. Осуществлять выбор технологии, инструментальных средств и 
средств вычислительной техники при организации процесса разработки и исследования 
объектов профессиональной деятельности. 
ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях компьютерных 
сетей и сетевого оборудования различного уровня и в оценке каче-
ства и экономической эффективности сетевой топологии. 
ПК 2.3. Обеспечить сбор данных для анализа использования и функци-
онирования программно-технических средств компьютерных сетей. 
ПК 3.5. Организовывать инвентаризацию технических средств сетевой 
инфраструктуры. Осуществлять контроль оборудования после его ремонта. 

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 

1.1. Матрицы и определители 

Понятие матрицы. Действия над ними 

Термин «матрица» ввел английский математик Джеймс Джозеф Силь-
вестр. 
Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность m×n 
чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n 
столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде:  

𝐴 = ����11
����12
… ����1𝑛
����21
����22
… ����2𝑛
…
…
…
����𝑚1
����𝑚2
… ����𝑚𝑛


или сокращенно в виде A = (a i j) 
 
 
(𝑖 = 1, 𝑚
; 𝑗 = 1, 𝑛
) 

Пример: 𝐴 = 0
−3
1
2
7
−4𝑚 = 2
𝑛 = 3      𝐵 = 3
0
−2
0
4
5
−7
1
1
𝑚 = 3
𝑛 = 3 

Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; 
первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца.  
Две матрицы A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются рав-
ными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то 
есть A = B, если a i j = b i j.  
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется со-
ответственно вектор-строкой или вектор-столбцом.  
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.  
Матрица размера mхn, все элементы которой равны нулю, называется ну-
левой матрицей и обозначается через 0.  
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами 
главной диагонали.  
 

 
 
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, 
называется побочной диагональю матрицы 
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матри-
цу называют квадратной порядка n.  

9 

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной 
диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:  

����11
0
… 0
0
����22
… 0
…
…
…
0
0
… ����𝑛𝑛

. 

Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называ-
ется единичной и обозначается буквой Е:  

𝐸 = 1
0 …
0
0
1 …
0
⋯
⋯
⋯
0
0 …
1

. 

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоя-
щие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.  

      ����11
����12
����13
0
����22
����23
0
0
����33
                   ����11
0
0
����21
����22
0
����31
����32
����33

              верхняя                                   нижняя        
      треугольная  матрица            треугольная  матрица 
Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при ко-
тором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозна-
чается транспонирование значком Т наверху.  
Если в матрице переставить строки со столбцами. Получим матрицу: 

𝐴𝑇 = ����11
����21 …
����𝑚1
����12
����22 …
����𝑚2
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑚𝑛

, 

которая будет транспонированной по отношению к матрице А.  

Пример:  𝐴 = 2
−7
4
0
1
1𝐴𝑇 = 2
0
−7
1
4
0
. 

В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-
строка и наоборот.  
Если AT = A то матрица A называется симметрической. Пример: 

𝐶 = 1
2
−3
2
3
0
−3
0
5
⇒ 𝐶𝑇 = 1
2
−3
2
3
0
−3
0
5
= 𝐶. 

 
Кососимметрическая матрица, если AT = -A. Пример: 

𝐴 = 0
−2
−3
2
0
1
3
−1
0
. 

Произведением матрицы А на число k называется матрица, элементы ко-
торой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на 
число k:  
k∙A = (k∙aij). 

10 

Пример:  

−3 ∙ 1
2
3
−3
0
7= −3
−6
−9
9
0
−21. 

Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij) одного размера называется мат-
рица C = (cij) того же размера, элементы которой определяются по формуле cij = 
aij + bij.  
Пример: 

 2
3
1
1
0
4+ −3
2
0
2
5
1= −1
5
1
3
5
5. 

     2×3                     2×3                   2×3 

Пример: 𝐴 + 𝐵 = 2
3
−1
0+ 4
−5
2
8 = 2 + 4
3 − 5
−1 + 2
0 + 8= 6
−2
1
8 . 

Свойства сложения матриц и умножения на число: 

1. Переместительное свойство:       А + В = В + А. 

2. Сочетательное свойство:             (А + В) + С = А + (В + С). 

3. Распределительное свойство:     k  (A + B) = k A + k B, где  k  — число. 

Произведением двух матриц А = (aij) и B = (bjk), где i = 1,n, j= 1,m , 
k= 1, p , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (cik), 
элементы которой определяются по следующему правилу:   

ci k = ai 1 ∙b1 k + ai 2 ∙b2 k +... + ai m ∙ m k = 

m

i s
s k
c 1
a   b

=
⋅
∑

  

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следую-
щим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произ-
ведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го 
столбца матрицы В.  

Умножение строки на столбец: 𝐴 = (3
−1
4)  𝐵 = 1
0
3
. 

Решение: 𝐴 ∙ 𝐵 = 3 ∙ 1 − 1 ∙ 0 + 4 ∙ 3 = 15. 
 
 
Умножение матрицы на столбец: каждая строка матрицы скалярно 
 умножается на столбец 
Пример: 

3
−1
2
4
2
0
−5
6
1
∙ 8
7
2
= 3 ∙ 8 +
(−1) ∙ 7 +
2 ∙ 2
4 ∙ 8 +
2 ∙ 7 +
0 ∙ 2
−5 ∙ 8 +
6 ∙ 7 +
1 ∙ 2
= 21
46
4
. 

 
Произведение А∙В матрицы А на матрицу В определяется в предположе-
нии, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.  

Если    𝐴 = ����11
����12
����21
����22;   𝐵 = ����11
����12
����13
����21
����22
����23. 

                          2×2                            2×3 

11 

то С = 𝐴 ∙ 𝐵 = ����11����11 + ����12����21
����11����12 + ����12����22
����11����13 + ����12����23
����21����11 + ����22����21
����21����12 + ����22����22
����21����13 + ����22����23. 

 
 
Замечание 1.  
 Если А × В имеет смысл, то В × А может не иметь 
смысла. 
Замечание 2. 
 Если имеет смысл А × В и В × А, то, вообще говоря  
А × В ≠ В × А,  т. е. умножение матриц не обладает   переместительным 
законом. 
Замечание 3.    Если А — квадратная матрица и Е — единичная матрица 
того же  порядка, то А × Е = Е × А = А. 
Отсюда  следует, что единичная матрица при умножении играет роль 
единицы. 
Пример.   Найти, если можно, А × В и В × А. 

1. 𝐴 = 3
−1
−1
2      𝐵 = 1
1
3
1

Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согла-
сованы в томи другом порядке, поэтому А × В и В × А существуют. 

𝐴 ∙ 𝐵 = 3
−1
−1
2 ∙ 1
1
3
1= 3 ∙ 1 − 1 ∙ 3
3 ∙ 1 − 1 ∙ 1
−1 ∙ 1 + 2 ∙ 3
−1 ∙ 1 + 2 ∙ 1= 0
2
5
1; 

 

𝐵 ∙ 𝐴 = 1
1
3
1∙ 3
−1
−1
2 = 1 ∙ 3 − 1 ∙ 1
−1 ∙ 1 + 1 ∙ 2
3 ∙ 3 − 1 ∙ 1
−3 ∙ 1 + 1 ∙ 2= 2
1
8
−1. 

 

2.  𝐴 = 1
−2
2
3
1
−2       𝐵 = 1
4
2
−6
5
−3
−3
6
−5
. 

Решение:   Матрицы А и  В согласованы 

𝐴 ∙ 𝐵 = 1
−2
2
3
1
−2∙ 1
4
2
−6
5
−3
−3
6
−5
= 7
6
−2
3
5
13. 

Матрицы В и  А не согласованы,  поэтому В × А  не  имеет смысла. 

 

Пример. 
Найти 
произведение 
матриц 
𝐴 = 1
2
1
3
1
0   и   𝐵 =

1
2
3
2
0
1
3
5
4
. 

 
Решение: Имеем: матрица А размера 2×3, матрица В размера 3×3, тогда 
произведение А∙В = С существует и элементы матрицы С равны: 
с 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, 
с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, 
с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7, 
с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, 

12 

с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, 
с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10. 

𝐶 = 8
7
9
5
6
10, а произведение B∙A не существует.  

Свойства умножения матриц: 
1. А · О = О; 
2. А · Е = А; 
3. А · В ≠ В · А; 
4. α (АВ) = (αА) · В = А · (αВ); 
5. АВС = (АВ) · С = А · (ВС); 
6. А (В + С) = АВ + АС; 
7. (А · В)Т =ВТ · АТ. 
Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение 
двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятель-
ство может и не иметь места, т. е. произведение двух ненулевых матриц может 
оказаться равным нуль-матрице. 
Действие «деление» для матриц не вводится. Для квадратных невырож-
денных матриц вводится обратная матрица. 

Определители, свойства и вычисления 

Понятие «определитель» принадлежит Г. Лейбницу (1678).  
Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из ос-
новных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при ре-
шении многих задач. 
Обозначение. Определитель матрицы A обычно обозначается det(A), |A|, 
или ∆(A). 
Свойства определителей: 
1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1 
2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) ра-
вен нулю. 
3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками 
(столбцами) равен нулю. 
4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), ра-
вен нулю. 
5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк 
(столбцов) матрицы линейно зависимы. 
6. При транспонировании значение определителя матрицы не меня-
ется: 
det(A) = det(AТ) 
7. Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1 
8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке 
(столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое 
число. 
9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке 
(столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов). 

13 

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то опре-
делитель матрицы поменяет знак. 

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак 

определителя:

����11
����12 …
����1𝑛
����21
����22 …
����2𝑛
⋯
⋯
⋯
𝑘����𝑖1
𝑘����𝑖2 …
𝑘����𝑖𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑛𝑛

= 𝑘 ∙ ����11
����12 …
����1𝑛
����21
����22 …
����2𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑖1
����𝑖2 …
����𝑖𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑛𝑛


12. 
 Если квадратная матрица n-ого порядка умножается на некото-
рое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произве-
дению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: 
B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A) где A матрица n×n, k — число. 
13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сум-
ме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определи-
телей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соот-
ветственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:  

����11
����12 … .
����1𝑛
����21
����22 …
����2𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑖1 + ����𝑖1
     ����𝑖2 + ����𝑖2 …
����𝑖𝑛 + ����𝑖𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑛𝑛

=

����11
����12 … .
����1𝑛
����21
����22 …
����2𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑖1
     ����𝑖2 …
����𝑖𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑛𝑛

+ ����11
����12 … .
����1𝑛
����21
����22 …
����2𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑖1
����𝑖2 …
����𝑖𝑛
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑛𝑛


 
14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен 
произведению его диагональных элементов. 
15. Определитель произведения матриц равен произведению опреде-
лителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B) 

Методы вычисления определителя матрицы 

Вычисление определителя матрицы 1×1 
Правило: Для матрицы первого порядка значение определителя равно 
значению элемента этой матрицы: 
∆ = |a11| = a11 
Вычисление определителя матрицы 2×2 
Правило: Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произ-
ведений элементов главной и побочной диагоналей: 

����11
����12
����21
����22= а11а22-а12а21.  

14