Практикум. Обыкновенные дифференциальные уравнения

В. Н. Веретенников, Ю. Б. Ржонсницкая 

Практикум. 
Обыкновенные дифференциальные 
уравнения 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 519.62(075) 
ББК 22.161.6я73 
В31 

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ 

Рецензент: 

Вагер Б. Г. – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 

В31   Практикум. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учебное  
пособие / В. Н. Веретенников, Ю. Б. Ржонсницкая. – Москва ;  Берлин : 
Директ-Медиа, 2020. – 78 с. 

ISBN 978-5-4499-1584-9 

Пособие является седьмым выпуском учебника по всем разделам курса 
математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует 
государственному образовательному стандарту и действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них 
способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть 
достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту 
выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим 
контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено 
для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в 
аудитории и выдачи ИДЗ. 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 519.62(075) 
ББК 22.161.6я73 

ISBN 978-5-4499-1584-9 
© Веретенников Н. Н., Ржонсницкая Ю. Б., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего 
опыта чтения лекций и ведения практических занятий по математике 
в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для препода-
вателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному 
усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении посо-
бия имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного 
факультета. В связи с этим материал каждой темы разбит, как прави-
ло, на четыре пункта. 
 
В разделе – «Основные теоретические сведения» – приводятся 
основные теоретические сведения с достаточной полнотой и доказа-
тельно (заголовок раздела опускается). Иногда после формулировки 
определения или теоремы даются поясняющие примеры или некото-
рые комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых по-
нятий. Там, где это, возможно, дается геометрическая и физическая 
интерпретация математических понятий. 
В разделе – «Опорный конспект» – вводятся и разъясняются все 
базисные понятия и методы. Даются иллюстрирующие примеры, вопросы 
для самопроверки, решаются типовые задачи. Материал располагается 
в той же последовательности, что и на лекциях, но без доказательств. 
Даются только определения, формулировки и пояснения 
теорем, их физическая и геометрическая интерпретация, чертежи, 
выводы, правила. Второстепенные вопросы опущены. 
Опорный конспект целесообразен для первичного, быстрого 
ознакомления с курсом математики, а далее нужно продолжить изучение 
теорию по разделу «Основные теоретически сведения», где все 
изложено с достаточной полнотой и доказательно. Опорный конспект 
полезен и для закрепления изученного материала, для восстановления 
в памяти нужных понятий при изучении последующих разделов курса 
и других дисциплин, опирающихся на математику. 
 
В разделе «Вопросы для самопроверки» – содержатся вопросы по 
теории и простые задачи, решение которых не связано с большими 
вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое 
положение. Назначение этого пункта – помочь студенту в 
самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему 

возможность самому проконтролировать усвоение основных понятий. 
Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. 
Из этого раздела преподаватель может черпать вопросы для проверки 
готовности студентов к практическому занятию по той или 
иной теме. 
 
В разделе «Примеры решения задач» – разобраны типичные примеры, 
демонстрирующие применение на практике результатов теории. 
При этом большое внимание уделяется обсуждению не только 
«технических приемов», но и различным «тонким местам», например, 
условиям применимости той или иной теоремы или формулы. 
 
Назначение раздела «Задачи и упражнения для самостоятельной 
работы» – определено его названием. При подборе упражнений были 
использованы различные источники, в том числе широко известные 
задачники. В конце задачи дается ответ и указание. 
 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются 
соответственно знаками ▲ и ▼. 
 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми 
должен владеть студент; указана используемая литература. 
Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам в овладении 
методами линейной алгебры, в их самостоятельной работе над 
предметом. Они также выражает надежду, что пособие будет полезным 
для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью 
воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на 
улучшение его содержания. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Опорный конспект 
1.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения 
первого порядка 

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее 
независимую переменную, неизвестную функцию, её 
производные (или дифференциалы). 

 

В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное 
уравнение, зависит только от одной независимой переменной, 
дифференциальное уравнение называется обыкновенным. 

 

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший 
порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение. 

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n в самом 
общем случае содержит независимую переменную, неизвестную 
функцию, её производные или дифференциалы до порядка n включительно 
и имеет вид 

(
)
0
;
;
;
;
;
)
(
=
′′
′
n
y
y
y
y
x
F

. 
 
 
(1.1) 

 
В этом уравнении x − независимая переменная, y −  неизвестная 
функция, а 
)
(
,
,
,
n
y
y
y

′′
′
  − производные неизвестной функции. 
 
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка 
имеет вид 

0
)
;
;
(
=
′y
y
x
F
, 
 
 
 
 
(1.2) 

а если его удастся решить относительно производной, то оно запишется 
в нормальной форме: 

)
;
(
y
x
f
y =
′
.  
 
 
 
 
(1.3) 

 
В некоторых случаях уравнение (1.3) удобно записывать в виде 

)
;
(
y
x
f
dx
dy =
 или в виде
0
)
;
(
=
− dy
dx
y
x
f
, 

которое является частным случаем более общего уравнения в дифференциальной 
форме 

0
)
;
(
)
;
(
=
+
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
, 
 
 
(1.4) 
где
)
;
(
и
)
;
(
y
x
Q
y
x
P
 − известные функции. 

 

Уравнение в симметричной форме (1.4) удобно тем, что переменные x 

и y в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как 
функцию другой. 

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая 
функция
)
(x
y
y =
, которая при подстановке в уравнение 
вместо неизвестной функции обращает его в верное равенство.  

Справедлива 
Теорема 1 (Коши). Если функция
)
;
(
y
x
f
 непрерывна в точке
)
;
(

0
0
0
y
x
M
 и в её окрестности, то существует решение
)
(x
y
y =
 
уравнения (1.3), такое, что
0
0)
(
y
x
y
=
. 
Если непрерывна также частная производная
y
f ∂
∂
 данной функции, 
то это решение единственно. 

Общим решением уравнения первого порядка называется функция
)
;
(

C
x
y
y =
, которая при любом значении произвольной постоянной 
C является решением данного уравнения. 

 

Общее решение, полученное в неявном виде: 

0
)
;
;
(
=
Φ
C
y
x
, 

называется общим интегралом дифференциального уравнения. 

 
Построенный на плоскости Oxy график всякого решения  

)
(x
y
y =
 данного дифференциального уравнения называется интегральной 
кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению
)
;
(

C
x
y
y =
 на плоскости Oxy соответствует семейство интегральных 
кривых, зависящее от одного параметра – произвольной 
постоянной C. 

 
Часто среди всех решений дифференциального уравнения, определяемых 
его общим решением, требуется найти такое, которое удовлетворяет 
условиям
0
0 при
x
x
y
y
=
=
, где
0x  и
0y  − заданные числа. 
Геометрически это значит, что требуется найти интегральную кривую, 
проходящую через заданную точку плоскости
)
;
(
0
0 y
x
M
. 

 
Задание таких условий
)
при
(
0
0
x
x
y
y
=
=
, называется заданием 
начальных условий и записывается коротко так: 

0
0
0
0
или
)
(
y
y
y
x
y
x
x
=
=
=
. 

Решения, которые получаются из общего решения
)
;
(
C
x
y
y =
 

при определенном значении произвольной постоянной C, называются 
частными. 

 

 
Задача 
нахождения 
частного 
решения, 
удовлетворяющего 

начальным условиям
0
0)
(
y
x
y
=
, называется задачей Коши. 

 

Замечание. У дифференциального уравнения может существовать 
решение (интеграл), которое невозможно получить из общего решения 
ни при каких значениях произвольных постоянных C. 

Такие решения (интегралы) называются особыми. 

 
Например, проверкой можно убедиться, что уравнение
2
1
y
y
−
=
′
 

имеет общее решение
)
sin(
C
x
y
+
=
, в то же время функция
1
=
y
 

также является решением этого уравнения, но это решение не может 
быть получено из общего решения ни при каких значениях C, т.е. 
является особым. 

Графиком особого решения является интегральная кривая. Интегральная 
кривая в каждой своей точке имеет общую касательную с 
одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. 
(Такая кривая называется огибающей семейства интегральных кривых.) 
 

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения 
называется интегрированием дифференциального уравнения. 
Геометрический смысл основных понятий 
Исходя из геометрического смысла производной y′, заметим, что 
уравнение первого порядка
)
;
(
y
x
f
y =
′
 задает в каждой точке
)
;
(
y
x
 
плоскости Oxy значение
)
;
(
y
x
f
 тангенса угла наклона (к оси Ox) касательной 
к графику решения, проходящего через эту точку. 
 Величину
)
;
(
tg
y
x
f
k
=
=
α
 далее будем называть угловым коэффициентом. 
Если теперь в каждой точке
)
;
(
y
x
 задать с помощью 
некоторого вектора направление касательной, определяемое значением
)
;
(

y
x
f
, то получится так называемое поле направлений. Таким 
образом, геометрически задача интегрирования дифференциальных 
уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в 
каждой своей точке имеют заданное направление касательной.  

Общее решение – однопараметрическое семейство интегральных 
кривых
)
;
(
C
x
y
y =
, где C − параметр. 
 
Частное решение уравнения
)
;
(
y
x
f
y =
′
 − интегральная кривая
)
;
(

0
C
x
y
y =
, угловые коэффициенты касательных к которой определяются 
данным дифференциальным уравнением. 
В области G, в которой выполняются все условия теоремы 1 (Коши), 
для уравнения (1.3) можно выделить однопараметрическое семейство 
линий
const
)
;
(
=
= k
y
x
f
, каждая из которых называется изоклиной. 
Как следует из определения, вдоль каждой изоклины поле направлений 
постоянно, то есть
const
=
=
′
k
y
. 
 
Нахождение изоклин и направлений вдоль них позволяет упорядочить 
поле направлений и приближенно построить интегральные 
линии данного дифференциального уравнения, т.е. графически проинтегрировать 
это уравнение. 
Пример 1.1. Для дифференциального уравнения
y
x
y
−
=
′
 с 
начальным 
условием
3
при
4
0
0
=
=
x
y
 
общее 
решение 
имеет 
вид
2
2
2
C
x
y
=
+
. Оно представляет собой семейство окружностей. 
Если теперь в общее решение подставить начальные данные, то 
получим
2
2
2
3
4
C
=
+
, то есть
5
=
C
. Следовательно, частное решение, 
удовлетворяющее указанному начальному условию, есть
25
2
2
=
+ x
y
. 
Геометрически это означает, что из всего множества окружностей, 
представляющих общее решение, выбирается одна окружность, проходящая 
через точку
)
4
;3
(
0
M
. 
Полагая
const)
( =
=
−
k
k
y
x
, находим изоклины
y
x
y
−
=
 данного 
уравнения. Они представляют собой проходящие через начало координат 
прямые линии, вдоль которых поле направлений определяется 
равенством
α
tg
=
=
′
k
y
. Придавая k различные значения, находим 
соответствующие изоклины, вдоль которых направление поля характеризуется 
углом α наклона к оси Ox касательной к интегральной линии. 
Необходимые вычисления приведены в виде таблицы. 
Таблица 1.1 

k 
0 
3
1
±
 
1
±
3
±
∞
±

α
0
6
π
±
6
π
±
3
π
±
2
π
±

k
x
y
−
=
∞
±
x
y
3

=
 
x
y

=
3
x
y

=
 
0
=
y

Что есть что? 

 

 

1. Дифференциальное ур-е  

y
x
y
−
=
′
. 

2. Общее решение

2
2
2
C
x
y
=
+
. 

3. Частное решение
25
2
2
=
+ x
y
. 
 
 
 
 
 
 
 
    
  у 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     М (3; 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  х 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
   

       
1.2. Методы интегрирования 
 дифференциальных уравнений первого порядка 
Рассмотрим методы нахождения решений дифференциальных 
уравнений первого порядка. Отметим, что общего метода нахождения 
решений не существует. Обычно рассматривают типы уравнений, и 
для каждого из них находят свой способ нахождения решения. 
1.2.1. Дифференциальные уравнения 
с разделяющимися переменными. 
Уравнением с разделяющимися переменными (тип I) называются 
уравнения вида 

)
(
)
(
2
1
y
f
x
f
y
⋅
=
′
,   
)
(
)
(
2
1
y
g
x
g
x
⋅
=
′
, 

   
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
=
⋅
+
⋅
dy
y
q
x
q
dx
y
p
x
p
 . 

Чтобы решить уравнение типа I надо разделить переменные, привести 
уравнение к виду с разделенными переменными 

0
)
(
)
(
=
+
dy
y
Q
dx
x
P
 
и проинтегрировать почленно. 

Как разделять переменные? 
 
Для отыскания решения уравнения 

)
(
)
(
2
1
y
f
x
f
y
⋅
=
′
 или 
)
(
)
(
2
1
y
g
x
g
x
⋅
=
′
 
нужно разделить в нем переменные. Для этого 

1. заменим








=
′
′
dy
dx
x
dx
dy
y на
, 

2. умножим обе части уравнения на
)
(dy
dx
dy
dx и
(
 должны 
быть только в числителях), 
3. разделим обе части уравнения на такое выражение, чтобы в 
одну часть уравнения входило только x, в другую – только y, т.е. 
на
(
))
(
)
(
1
2
x
g
y
f
, 
4. проинтегрируем обе части. 
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее 
неизвестные x и y, могут быть потеряны решения (особые), обращающие 
это выражение в нуль.  
 
Пусть дифференциальное уравнение задано в дифференциальной 
форме (1.4). В частном случае, когда каждая из функций
)
;
(
y
x
P
 
и
)
;
(
y
x
Q
 является произведением двух функций, одна из которых – 
функция только x, а вторая – только y, т.е. когда 

)
(
)
(
)
;
(
а
),
(
)
(
)
;
(
2
1
2
1
y
q
x
q
y
x
Q
y
p
x
p
y
x
P
⋅
=
⋅
=
, 
уравнение примет вид
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
=
⋅
+
⋅
dy
y
q
x
q
dx
y
p
x
p
. 
Разделение переменных производится делением обеих частей по-
лученного уравнения на произведение
)
(
)
(
1
2
x
q
y
p
⋅
, в котором
)
(
2 y
p
 − 
функция только от y, являющаяся множителем при dx, а  
)
(
1 x
q
 − 
функция только от x, являющаяся множителем при dx. 
После деления на это произведение уравнение примет вид 

0
)
(
)
(
)
(
)
(

2

2

1

1
=
+
dy
y
p
y
q
dx
x
q
x
p
. 

Это уравнение называется уравнением с разделенными перемен-
ными: при dx находится функция, зависящая только от x, при dy  − 
только от y. 

1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения (тип II ) 
Функция
)
;
(
y
x
F
 называется однородной функцией измерения k 
относительно аргументов x и y, если равенство
)
;
(
)
;
(
y
x
F
y
x
F
kλ
λ
λ
=