Основы начертательной геометрии. Перпендикулярность геометрических элементов

С. В. Лобанова 
Н. В. Васина 

ОСНОВЫ 
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ 
ГЕОМЕТРИИ 
Перпендикулярность 
геометрических элементов 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 514.18(075) 
ББК 22.151.3я7 
Л68 

Лобанова, С. В. 

Л68  
Основы начертательной геометрии. Перпендикулярность 
геометрических элементов : учебное пособие / С. В. Лобанова, 
Н. В. Васина. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 
69 с. : ил. 

ISBN 978-5-4499-0599-4 

Учебное пособие соответствует образовательным стандартам и рабочим 
программам технических специальностей средних специальных и 
высших учебных заведений.  
В основу учебного пособия положены принцип четкого и краткого 
изложения учебного материала, иллюстрации излагаемого материала пространственными 
и наглядными чертежами, а также подкрепления материала 
задачами различной сложности.  
Пособие предназначено для выполнения графических заданий по 
темам: «Проекция прямой и ее отрезки» и «Комплексная работа на перпендикулярность». 

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 514.18(075) 
ББК 22.151.3я7 

ISBN 978-5-4499-0599-4
© Лобанова С. В., Васина Н. В., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ................................................................................................................. 4 

1. Определение натуральной величины отрезка ................................................ 5 

1.1. Прямые частного положения ................................................................. 5 

1.1.1. Прямые уровня .............................................................................. 5 

1.1.2. Проецирующие прямые. Условие видимости на чертеже ....... 8 

1.2. Прямые общего положения ................................................................. 12 

2. Перпендикулярность геометрических элементов ....................................... 16 

2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости ........................................ 16 

2.1.1. Построение прямой, перпендикулярной плоскости ............... 16 

2.1.2. Построение плоскости, перпендикулярной прямой ............... 20 

2.2. Перпендикулярность плоскостей ........................................................ 22 

2.3. Перпендикулярность двух прямых ..................................................... 25 

3. Позиционные задачи ....................................................................................... 28 

3.1. Пересечение плоскостей ...................................................................... 28 

3.2. Пересечение прямой линии с плоскостью ......................................... 32 

4. Задачи по теме «Перпендикулярность геометрических элементов» ........ 36 

4.1. Задачи на построение к плоскости перпендикуляра 
заданной длины ............................................................................................ 36 

4.2. Задачи на определение расстояния от точки до плоскости ............. 41 

4.3. Задачи на определение расстояния от точки до прямой .................. 44 

4.4. Комплексная задача на перпендикулярность .................................... 51 

4.5. Задачи на множество точек, равноудаленных от заданных ............ 54 

Рекомендации по выполнению работ ............................................................... 59 

Литература ............................................................................................................ 66 

Приложение 1. Проекции прямой и ее отрезков ............................................. 67 

Приложение 2. Комплексная задача на перпендикулярность ....................... 68 

3 

 
ВВЕДЕНИЕ 

Начертательная геометрия является одним из разделов геомет-
рии, в котором пространственные объекты, представляющие собой 
совокупность точек, линий и поверхностей, изучаются по их проек-
ционным отображениям. Решение задач способами начертательной 
геометрии осуществляется  графическим путем.  
Одной из основных задач начертательной геометрии является 
создание метода отображения пространственных фигур на плоскость 
и разработка способов решения позиционных и метрических задач, 
связанных с этими объектами, по их плоскостным отображениям. 
Позиционными называются задачи на определение взаимного 
расположения фигур. Метрическими называются задачи, направлен-
ные на определение метрических характеристик геометрических 
объектов, а также характеристик их взаимного расположения (рас-
стояний и углов между ними). 
Любая метрическая задача на комплексном чертеже может 
быть решена с помощью двух основных (элементарных) метриче-
ских задач: 
1. Первая основная метрическая задача — на определение 
натуральной величины отрезка. Один из способов ее решения — ме-
тод прямоугольного треугольника. 
2. Вторая основная метрическая задача — на перпендику-
лярность прямой и плоскости. 
Большинство позиционных и метрических задач решаются на 
двухплоскостном чертеже (горизонтальная и фронтальная плоскости 
проекций). И решения задач на перпендикулярность геометрических 
элементов рассмотрены на двухплоскостном чертеже. 
В пособии решение позиционных задач и определение метри-
ческих характеристик геометрических объектов сведено в отдельные 
главы. 

4 

 
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ 
ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА 

Всякую линию можно рассматривать как геометрическое ме-
сто точки, движущейся по некоторому направлению.  
Прямую в пространстве можно задать двумя способами: 
1) точкой и направлением; 
2) двумя точками. 
Проекция прямой на плоскость (в общем случае) есть прямая.  
Прямые в пространстве могут занимать частное и общее по-
ложение. 
Положение прямой в пространстве вполне определяется двумя 
ее проекциями на две взаимно перпендикулярные плоскости. Это 
правило имеет исключение, когда две проекции искомой прямой ле-
жат на одном перпендикуляре к оси X (см. задачу 1.3). В этом случае 
для определения положения такой прямой в пространстве необхо-
димы три ее проекции. 
При решении позиционных и метрических задач вводятся сле-
дующие обозначения углов: 
α — угол наклона прямой к горизонтальной плоскости про-
екций (Н); 
β — угол наклона прямой к фронтальной плоскости проек-
ций (V); 
γ — угол наклона прямой к профильной плоскости проек-
ций (W). 
Чтобы показать на чертеже натуральную величину, будем ис-
пользовать следующее изображение 
. 

1.1. Прямые частного положения 

Прямыми частного положения называются прямые, параллельные 
или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. 

1.1.1. Прямые уровня 

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называются 
прямыми уровня. На эту плоскость прямые проецируются в 
натуральную величину. 
Горизонталь — прямая, параллельная горизонтальной плоскости 
проекций. 

5 

 
Фронталь — прямая, параллельная фронтальной плоскости 
проекций. 
Профильная прямая — прямая, параллельная профильной 
плоскости проекций. 

ЗАДАЧА 1.1. Определить натуральную величину отрезка AB, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку C, принадлежащую 
заданному отрезку при условии, что длина отрезка AC 
равна 30 мм (рис. 1).  

Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект.  
Так как проекция A''B''||OX, делаем вывод, что отрезок AB является 
прямой уровня, а именно — горизонталью. Следовательно, 
положение проекции отрезка A'B' даст нам возможность без дополнительных 
построений определить натуральную длину объекта и его 
углы β и γ, а угол α в данном случае равен нулю. 
Далее на проекции A'B', так как это натуральная величина отрезка, 
от точки A' откладываем расстояние 30 мм и определяем гори-
зонтальную проекцию точки C,затем по линиям связи — фронталь-
ную и профильную проекции точки. 

 
Рис. 1 

ЗАДАЧА 1.2. Определить натуральную величину отрезка EF, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку D, принад-
лежащую заданному отрезку при условии, что длина отрезка ED 
равна 25 мм (рис. 2). 

6 

 
Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект.  

 
Рис. 2 

Так как проекция E'F'||OX, делаем вывод, что отрезок EF явля-
ется прямой уровня, а именно — фронталью. Следовательно, поло-
жение проекции отрезка E''F'' даст нам возможность без дополни-
тельных построений определить натуральную длину объекта и его 
углы α и γ, а угол β в данном случае будет равен нулю. 
Далее на проекции E''F'', так как это натуральная величина, от 
точки E'' откладываем расстояние 25 мм и определяем фронтальную 
проекцию точки D, а затем по линии связи определяем горизонталь-
ную и профильную проекции точки, принадлежащей отрезку EF. 

ЗАДАЧА 1.3: Определить натуральную величину отрезка LM, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку N, принад-
лежащую заданному отрезку при условии, что длина отрезка MN 
равна 25 мм (рис. 3). 
Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект.  
Так как проекция L'M'||OY, а L''M''||OZ (т.е. координата x по-
стоянна), делаем вывод, что отрезок LM является профильной пря-
мой уровня. Следовательно, положение проекции отрезка L'''M''' 
даст нам возможность определить натуральную длину объекта и его 
углы наклона к плоскостям α и β, а угол γ равен нулю. 

7 

 
Далее на проекции L'''M''', так как это натуральная величина, 
от точки M''' откладываем расстояние 25мм и определяем профиль-
ную проекцию точки N, а затем по линиям связи находим горизон-
тальную и фронтальную проекцию точки. 

 
Рис. 3 

1.1.2. Проецирующие прямые. 
Условие видимости на чертеже 

Проецирующие прямые — это прямые, перпендикулярные од-
ной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в точку 
(собирательное свойство). На две другие плоскости проекций такие 
прямые проецируются в натуральную величину. 
Горизонтально-проецирующая прямая — прямая, перпенди-
кулярная горизонтальной плоскости проекций. 
Фронтально-проецирующая прямая — прямая, перпендику-
лярная фронтальной плоскости проекций. 
Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная 
профильной плоскости проекций. 
Конкурирующие точки — точки, лежащие на одной проецирующей 
прямой или одной линии связи. По этим точкам определяется 
видимость объектов.  
Вопрос о видимости решают путем сравнения координат Х, Y 
или Z точек, лежащих на одном проецирующем луче: из двух конкурирующих 
точек на горизонтальной плоскости проекций видна та 

8 

 
точка, координата Z которой больше, на фронтальной плоскости 
проекций видна точка, координата Y которой больше, на профильной 
плоскости проекций видна точка, координата Х которой больше. 
Для большей наглядности невидимые части предмета вычерчивают 
штриховыми линиями (либо совсем не вычерчивают), невидимые 
точки заключают в скобки. 

ЗАДАЧА 1.4. Определить натуральную величину отрезка АВ, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку С, принадлежащую 
заданному отрезку и расположенную на расстоянии 25 мм 
от нижнего конца отрезка (рис. 4, а и б). 

Решение: 

      
 

а 
б 

Рис. 4 

Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект. 
Так как на горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется 
в точку, значит, отрезок перпендикулярен этой плоскости. 
Поэтому делаем вывод, что отрезок AB является проецирующей 
прямой, а именно — горизонтально-проецирующей. И точки А и В 
являются конкурирующими. По чертежу определяем, что координата 
Z точки А больше чем координата Z точки В (точка В расположена 
ниже точки А). Следовательно, на горизонтальной плоскости проекция 
точки А будет видимой, а проекция точки В — невидимой (заключена 
в скобки). 

9 

 
Положение проекций A''B'' и A'''B''' даст нам возможность без 
дополнительных построений определить натуральную длину объекта. 
Угол α=900, а углы β и γ в данном случае равны нулю. 
Далее на проекции A''B'' (или A'''B'''), так как это натуральная 
величина отрезка, от проекции нижнего конца отрезка — точки В'' 
откладываем расстояние 25 мм и находим фронтальную (или профильную) 
проекцию точки C, затем по линиям связи — две другие 
проекции. Для горизонтальной проекции С' определяем видимость. 

ЗАДАЧА 1.5. Определить натуральную величину отрезка DE, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку F, принадлежащую 
заданному отрезку и расположенную на расстоянии 25 мм 
от ближнего конца отрезка (рис. 5, а, б). 

  

  
Рис. 5 

а

б

10 

 
Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект. 
Так как на фронтальную плоскость проекций отрезок проецируется 
в точку, значит, отрезок перпендикулярен этой плоскости. 
Поэтому делаем вывод, что отрезок DE является проецирующей 
прямой, а именно — фронтально-проецирующей. Точки D и E 
являются конкурирующими. По чертежу определяем, что координата 
Y точки D больше чем координата Y точки E (точка D расположена 
к нам ближе). Следовательно, на фронтальной плоскости 
проекция точки D будет видимой, а точки E — невидимой (заключена 
в скобки). 
Положение проекций D'E' и D'''E''' даст нам возможность без 
дополнительных построений определить натуральную длину объекта. 
Угол β=900, а углы α и γ в данном случае равны нулю. 
Далее на проекции D'E' (или D'''E'''), так как это натуральная 
величина отрезка, от проекции ближнего конца отрезка — точки D''' 
откладываем расстояние 25 мм и находим горизонтальную (или 
профильную) проекцию точки F, затем по линиям связи — две другие 
проекции. Для фронтальной проекции F'' определяем видимость. 

ЗАДАЧА 1.6. Определить натуральную величину отрезка LM, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку N, принад-
лежащую заданному отрезку и расположенную на расстоянии 25 мм 
от наиболее удаленного от плоскости W конца отрезка (рис. 6, а, б). 

Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект. 
Так как на профильную плоскость проекций отрезок проеци-
руется в точку, значит, отрезок перпендикулярен этой плоскости. 
Поэтому делаем вывод, что отрезок LM является проецирующей 
прямой, а именно — профильно-проецирующей. Точки L и M явля-
ются конкурирующими. По чертежу определяем, что координата Х 
точки M больше чем координата Х точки L (точка M расположена 
дальше от плоскости W). Следовательно, на профильной плоскости 
проекция точки M будет видимой, а точки L — невидимой (заключе-
на в скобки). 
Положение проекций L'M' и L''M'' даст нам возможность без 
дополнительных построений определить натуральную длину объек-
та. Угол γ=900, а углы α и β в данном случае равны нулю. 

11