Интегральное исчисление. Определённый интеграл. В 2-х ч. Ч. 1

В. Н. Веретенников 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

В двух частях 
Часть 1 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 517.3(075)  
ББК 22.161.1я73 

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ 

Рецензент: 
Вагер Б. Г. – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 
В31   Интегральное исчисление. Определённый интеграл: учебное        
пособие. В 2-х ч. Ч. 1 / В. Н. Веретенников. – Москва ;         Берлин : 
Директ-Медиа, 2020. – 60 с. 

ISBN 978-5-4499-1659-4 

Пособие является шестым выпуском учебника по всем разделам 
курса математики для бакалавров гидрометеорологических направле-
ний, соответствует государственному образовательному стандарту и 
действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у 
них способности самостоятельно решать достаточно сложные пробле-
мы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, 
когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания 
(ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и вы-
ставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и 
предназначено для проведения практических занятий и самостоятель-
ных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ. 

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.161.1я73 

ISBN 978-5-4499-1659-4 
© Веретенников Н. Н., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опы-
та чтения лекций и ведения практических занятий по математике в 
РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавате-
лей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному 
усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия 
имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факуль-
тета. В связи с этим материал каждой темы разбит, как правило, на че-
тыре пункта. 
 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмеча-
ются соответственно знаками ▲ и ▼. 
 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми 
должен владеть студент; указана используемая литература. 
 
Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в овладе-
нии методами линейной алгебры, в их самостоятельной работе над 
предметом. Он также выражает надежду, что пособие будет полезным 
для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет 
все критические замечания и пожелания, направленные на 
улучшение его содержания. 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
Речь идет о важнейшем понятии математики; о мощном методе решения 
многих задач естествознания, а также о способе представления 
многих величин, встречающихся в физике, химии, математике и других 
науках. 
1. Задачи, приводящие к понятию 
определенного интеграла 
1.1. Задача о площади криволинейной трапеции 
Пусть функция определена, непрерывна и положительна в 
промежутке ; . 
Рассмотрим плоскую фигуру , ограниченную 
 сверху графиком функции , 
 слева и справа – отрезками и прямых и , 
 снизу – осью Ox (рис. 1.1). 
 Такие фигуры называются криволинейными трапециями. Требуется 
вычислить площадь криволинейной трапеции и вместе с 
тем уточнить смысл самого понятия площади фигуры . 
▲ Отрезок ; точками ⋯ разобьем 
на n элементарных (частичных) отрезков 

; , ; , ⋯ , ;  . 

Длины частичных отрезков обозначим через 

∆1, 2, ⋯ , . 
 
 
 
 
 y  
                                        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
n
A  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
 
 
 
 
 
 
 
           
0
A  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         1c       
2
c              
3c   
 
 
 
 
n
c  
 
 
 
O       
0x
a 
   
1x  
     
2
x           
3x      
4
x  
 
 
 
1

nx
    
b
xn 
         x  
Рис. 1.1 
Проводя из точек 1, 2, ⋯ , перпендикуляры до пересечения 
с кривой, получим значения функции в этих точках: 

)
(x
f
y 

, , , ⋯ , , . 

В результате этого площадь криволинейной трапеции окажется 
разбитой на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций. 
 
В каждом из элементарных отрезков ; выберем произвольную 
точку . И из точек , , ⋯ , проведем перпендикуляры до 
пересечения с кривой . Вычислим в точках значения данной 
функции и получим , , ⋯ , . 
Далее построим ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников, 
имеющих своим основанием отрезки ∆, ∆, ⋯ , ∆, а 
высотой – ординаты , , ⋯ , . 
Произведение ∆выражает площадь прямоугольника с основа-
нием ∆и высотой . Составим сумму всех таких произведений 

∙ ∆∙ ∆⋯ ∙ ∆∑
∙ ∆. 

 
Будем теперь делить отрезок ; на все более мелкие части так, 
чтобы число частичных отрезков увеличивалось, а их длины уменьша-
лись. Тогда ступенчатая фигура будет все меньше и меньше отклонять-
ся от криволинейной трапеции . 
Пусть max∆является длиной наибольшего из частич-
ных отрезков ; , 1, 2, ⋯ , . 
Число частичных отрезков будет неограниченно увеличиваться 
при → 0, а длины ∆всех этих отрезков будут стремиться к нулю, 
так как 0 для всех 1, 2, ⋯ , . 
Если существует конечный предел S площади ступенчатой фигуры при 

max∆→ 0, 

то он принимается за площадь криволинейной трапеции , т.е. 

lim
→lim
→∆

Этот предел, если он существует, не должен зависеть от способа 
разбиения отрезка ; на частичные отрезки ; и от выбора 
точек на них. 
Таким образом, задача о площади криволинейной трапеции привела нас к вычислению предела вида 

lim∆→∑
∆.▼  
 

(1.1) 

1.2. Задача Архимеда 
Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под пара-
болой над отрезком 0; 1(рис. 1.2). Как и Архимед, будем дей-
ствовать методом исчерпания фигуры посредством простейших фи-
гур – прямоугольников, площади которых мы вычислять умеем. 
Отрезок 0; 1разобьем на n равных частей длиной ∆ми ∙
. Возьмем , тогда 

y

  1  

 O
1

kx
 
kx
  1
x

 Рис. 1.2 

∙
и ∑
∙
∑
. 
Поскольку 
∑
1+2⋯ 121, 
то 
1 2 , lim→. 

Это и есть результат Архимеда, полученный прямым вычислением 
предела. 
2. Понятие определенного интеграла
Определение 1. Разбиением P отрезка ; , , называется ко-
нечная система точек , , ⋯ , этого отрезка такая, что 

⋯ . 

Отрезки ; , 1, 2, ⋯ , называются отрезками разбиения P. 
Максимум из длин отрезков разбиения называется парамет-
ром разбиения P. 
Определение 2. Говорят, что имеется разбиение , с отмеченны-
ми точками отрезка ; , если имеется разбиение P отрезка ; и в 
каждом из отрезков ; разбиения P выбрано по точке ∈
; , 1, 2, ⋯ , . 
Набор , , ⋯ , обозначается одним символом c. 

2
x
y 

Пусть функция определена на отрезке ; , где . Разо-
бьем этот отрезок на n частей произвольными точками 

⋯ , 

и пусть ∆∆0– длины полученных частичных от-
резков ; . В каждом частичном отрезке ; возьмем про-
извольную точку , вычислим значения функции в этих 
точках и составим сумму 

∆∆⋯ ∆∑
∆. 

Эта сумма называется интегральной суммой функции на от-
резке ; . 
Величина интегральной суммы зависит как от способа разбие-
ния отрезка ; на частичные отрезки ; , так и от выбора 
точек на них. 
Обозначим через λ длину наибольшего из отрезков ; , т.е. 

max∆. 
Определение. 
Число 
J 
называется 
пределом 
интегральных 
сумм ∑
∆функции на отрезке ; , если для любого 
числа 0 найдется число 0 такое, что для любого разбиения от-
резка ; на части с длинами ∆для всех 1, 2, ⋯ , (то 
есть ), неравенство |∑
∆| будет выполняться 
при любом выборе точек . 

Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись 

lim→∑
∆. 

Число δ зависит от выбора числа ε, и поэтому иногда пишут . 

Определение. Если при любых разбиениях отрезка ; , на ча-
стичные отрезки ; и при любом выборе точек в них, инте-
гральные суммы ∑
∆при → 0 имеют один и тот же ко-
нечный предел J, то этот предел называют определенным интегралом 
в смысле Римана  от функции по отрезку ; . 

Обозначение . 

Для обозначения суммы вида ∑ (вернее сказать предельного 
значения этой суммы) Лейбниц и ввел символ , где напоминает типичное слагаемое суммы, и ∫ есть стилизованная буква 
S – начальная буква латинского слова Summa. 

Итак, по определению 

lim
→∆

 Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-
делами интеграла;
 x называется переменной интегрирования,
 – подынтегральной функцией,
 – подынтегральным выражением.
Так как определенный интеграл определен нами при условии, что 
справедливо , то дополним его определение следующими согла-
шениями: будем считать, что 
если , то 0; если , то ‒ 

Риман, начало 1850 го-
дов 
Риман, 1863 

Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826– 20.7.1866), немецкий математик. В 1846 поступил в 
Гёттингенский университет: слушал лекции К. Гаусса, многие идеи которого были им развиты 
позже. В 1847 – 49 слушал лекции К. Якоба по механике и П. Дирихле по теории чисел в Бер-
линском университете; в 1849 вернулся в Гёттинген, где сблизился с сотрудником Гаусса физиком 
В. Вебером, который пробудил в нём глубокий интерес к вопросам математического естествознания. 
         
Работы Р. оказали большое влияние на развитие математики 2-й половины 19 и 20 века. В 
докторской диссертации Р. положил начало геометрическому направлению теории аналитических 
функций. 
Разработанные Р. методы получили широкое применение в его дальнейших трудах по 
теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных 
уравнений (в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции), по аналитической 
теории чисел 
         В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Р. дал 
общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функциональные 
и топологические пространства. 
Более подробно Р. рассмотрел так называемые римановы пространства, обобщающие пространства 
геометрий Евклида, Лобачевского и Римана, характеризующиеся специальным видом 
линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к физическому 
пространству, Р. поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы 
предваряя то, что было сделано в общей теории относительности. 

Пример 2.1. Вычислить . 

▲ По определению определенного интеграла получаем 















n

k
k
k

n

k
k

b

a
x
x
x
dx

1
1
0
1
0
)
(
lim
lim


 



a
b
a
b
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n





















)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
1
2
1
1
2
0
1
0




.▼ 

 
Поскольку мы не будем рассматривать другого интеграла, кроме 
интеграла Римана, условимся для краткости вместо терминов «интеграл 
Римана» и «функция, интегрируемая по Риману», говорить соответственно «
интеграл» и «интегрируемая функция». 
3. Условия интегрируемости функций 
Определение. Функция , определенная на отрезке ; называется 
интегрируемой по Риману на этом отрезке, если для нее существует 
определенный интеграл . 

Теорема 3.1 (необходимое условие интегрируемости функции). Если 
функция интегрируема на отрезке ; , то она ограничена на 
этом отрезке. 
▲ Предположим обратное, т.е. допустим, что функция не ограничена 

на 
отрезке ; . 
Разобьем 
отрезок ; на 
частичные 
ки ; , 1, 2, ⋯ , . 
Так как не ограничена на ; , то найдется частичный отрезок, 
на котором она не ограничена. Пусть, например, таким отрезком 
будет отрезок ; . Выберем точку и составим интегральную 
сумму 
∑
∆∑
∆. 
Зафиксируем точки , , ⋯ , , и будем менять только точку ∈
ку ∈ ; . Тогда сумма∑
∆будет иметь определенной 
значение, а первое слагаемое ∆будет изменяться, и надлежащим 
выбором точки его можно сделать как угодно большим по абсолютной 
величине и, значит, || может быть сделана как угодно большой. 
Это означает, что интегральная сумма приmax→ 0 не 
имеет конечного предела, т.е. не интегрируема на ; . Отсюда 
следует, что если функция интегрируема на ; , то она ограничена 
на ; . ▼ 

Замечание. Ограниченность функции на отрезке ; не является 

достаточным 
условием 
для 
ее 
интегрируемости, 
т.е. 
ция может быть ограниченной на ; и в то же время неинтегрируемой 
на ; . В качестве примера, доказывающего это утвер-
ждение, приведем функцию Дирихле: 

∆1, если рационально,
    0, если иррационально, 

которую рассмотрим, например, на отрезке 0; 1. 
Эта функция ограничена || 1 ∀∈ 0; 1, но она не инте-
грируема на нем. 

▲ В самом деле, составив для нее интегральную сумму, 

∑
, 
будем иметь: 

1 ∙ ∆

⋯ 
1 0 1 для рациональных точек , 

∑
0 ∙ ∆0
для иррациональных точек . 

Итак, 
при 
любом 
малом max∆интегральная 
ма может принимать как значение равное 1, так и значение, равное 
нулю. 
Следовательно,  при → 0 предела не имеет, т.е. функция 
Дирихле не интегрируема на отрезке 0; 1. ▼ 

Таким образом, для существования определенного интеграла от не-
которой функции последняя, помимо ограниченности должна об-
ладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегриру-
емость. 
 
Приведем без доказательства теорему, дающую достаточное усло-
вие интегрируемости функции. 
Теорема 3.2 (достаточное условие интегрируемости функции). 
Функция , непрерывная на отрезке ; , интегрируема на этом 
отрезке. 
 
Приведем формулировки еще двух теорем, дающих достаточные 
признаки интегрируемости функции.