Введение в функциональный анализ

А. С. Кутузов 

ВВЕДЕНИЕ 
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ 
АНАЛИЗ 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 517.9(075)
ББК 22.162я7
К95

Кутузов, А. С.
К95  
Введение в функциональный анализ : учебное пособие /

А. С. Кутузов. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 481 с.

ISBN 978-5-4499-0433-1

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов 
направления (специальности) «Прикладная математика и информатика». 
Может быть использовано для проведения практических занятий и органи-
зации самостоятельной работы студентов.

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 517.9(075)
ББК 22.162я7

ISBN 978-5-4499-0433-1
  © Кутузов А. С., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее пособие преследует две цели: во-первых, обобщить изучен-
ные ранее в других дисциплинах математические понятия, методы геомет-
рии, алгебры и математического анализа и на этой основе сформировать как 
можно более единый подход к решению задач математики, во-вторых, изу-
чить методы, задачи и теоремы функционального анализа и показать, как аб-
страктная теория может быть приложима к решению конкретных приклад-
ных задач. 
Высокая степень абстракции понятий функционального анализа позво-
ляет, с одной стороны, с единых позиций исследовать на первый взгляд дале-
кие друг от друга вопросы, с другой же стороны, делает изучение данной 
дисциплины достаточно трудоемким процессом. В пособии мы стараемся из-
лагать большинство вопросов на доступном студенту-старшекурснику языке.  
По большей части пособие предназначено для студентов направления 
“Прикладная математика и информатика”. Для понимания материала студен-
там необходимо обладать знаниями, полученными при изучении дисциплин 
“Математический анализ” (это в самой большей степени), “Алгебра”, “Ана-
литическая геометрия”, “Дифференциальные уравнения” и (в меньшей сте-
пени) “Комплексный анализ” (также, известный, как “ТФКП”). На многие 
известные (и не очень) факты из этих дисциплин (например, теорема о двух 
милиционерах, теорема Лиувилля и т.д.) время от времени в тексте будут да-
ваться отсылки, однако помещать их полные формулировки в рамках этой 
книги было бы нецелесообразно, ибо это привело бы к излишнему увеличе-
нию ее объема и служило бы отвлекающим фактором от основной линии по-
вествования. 
Пособие разделено на две большие взаимосвязанные части. Первая часть 
посвящена основным видам пространств функционального анализа – метри-
ческим, линейным нормированным и гильбертовым (мы не затрагиваем то-
пологические пространства – см. ориентацию на прикладников – и не затра-
гиваем пространства Соболева). Вторая часть посвящена операторам, дей-
ствующим в рассматриваемых пространствах. Значительное внимание уделе-
но введению в спектральную теорию ограниченных операторов, поскольку 
это – наиболее практически содержательная часть функционального анализа 
(см. “Уравнения математической физики”, “Квантовая физика”). Каждая 
часть пособия состоит из логических разделов, каждый раздел – из пунктов. 
Структура пунктов проста: даются теоретические сведения, примеры реше-
ния задач, относящихся к данной теории, а также задачи для самостоятельно-
го решения. Редко примеры и задачи могут следовать после двух-трех теоре-
тических пунктов. 
Теоретический материал излагается с достаточной степенью строгости 
(иногда даже чересчур подробно, дабы минимизировать употребление таких 
слов, как “очевидно”), кое-где с отсылками к предшествующим дисципли-
нам. Имеются утверждения, принимаемые без доказательства (чаще всего, 

ввиду их технической сложности, реже – из-за довольно большого объема 
рассуждений), но, тем не менее, знать эти утверждения обязательно. Сказан-
ное относится, например, к теореме о пополнении (имеется ввиду классиче-
ское конструктивное доказательство), теореме об общем виде функционалов 
на пространствах суммируемых функций, некоторым свойствам рефлексив-
ных пространств, свойствам выпуклости (последним некоторое внимание 
уделяется только в дополнении к основному материалу) и т.д. Во всех таких 
случаях обязательно даются ссылки на источники, в которых можно при же-
лании ознакомиться с полными доказательствами. Некоторые теоремы, для 
сокращения выкладок, формулируются и доказываются в более простых 
предположениях, чем в общем случае (например, теорема Арцела-Асколи 
доказана только для отрезка, теория Фредгольма излагается только для гиль-
бертовых пространств и т.д.). В большинстве таких случаев даются ссылки 
на литературу, содержащую полные доказательства. Список рекомендуемой 
литературы по функциональному анализу (содержащий как старые, прове-
ренные временем и не нуждающиеся в дополнительном представлении, так и 
более современные источники, как, например, [10]) приведен в конце посо-
бия. 
Практическая часть пособия состоит из подробных примеров решения 
задач и задач для самостоятельного решения. Разумеется, невозможно при-
мерами охватить всего многообразия задач, но, как нам кажется, ключевые 
вопросы в примерах по большей части освещены.  
Поскольку пособие ориентировано в первую очередь на студентов-
прикладников, то большинство примеров и задач имеют скорее вычисли-
тельный характер. Количество теоретических задач и задач на доказательство 
сведено к минимуму, но обойтись без них совсем никак нельзя. Ко многим 
задачам для самостоятельного решения (необязательно сложным) даются 
указания. Связано это, в первую очередь, с тем, что некоторые результаты, 
приведенные в качестве задач, используются и при изложении теории. В за-
дачи для самостоятельного решения эти результаты вынесены, поскольку 
они являются достаточно простыми для самостоятельного выполнения сред-
ним студентом-третьекурсником. 
Наконец, практический материал этой книги может быть использован 
для организации самостоятельной работы студентов, подготовки коллоквиу-
мов и студенческих олимпиад. 
 

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 
 

Лемма (неравенство Юнга): пусть 
1
p  , 
1
q  , 1
1
1
p
q

 , 
0
a  , 
0
b 
, то-

гда справедливо неравенство 
1
1
p
q
ab
a
b
p
q


. 

Доказательство: разделим доказываемое неравенство на ab , тогда 

1
1
1
1

1
1

1
1
1
1
1

q
p
q
p

q

a
b
a
b
p b
q a
p b
q a





















. Далее, поскольку 1
1
1
p
q

 , то 
1
1
p
q
q


, 

1
p
p
q
 
. Таким образом, достаточно доказать, что 

1
1
1
1

q
p
q

p
q

a
b
p b
q a













. Обо-

значим 
p
q

b
t

a

 , тогда надо доказать, что 

1
1 1
1
1
qt
p t
q



 
. Рассмотрим функцию 

1
1 1
1
( )
q
t
t
p t
q



 
, тогда достаточно доказать, что ее минимальное значение 

равно 1. Исследуем 
( )t

 на минимум: 
2
2
1
1
1
'( )
(
1)
0
q
t
q
t
p
t
q





 








, откуда 

1
1 (
1) q
q
t
p
q


. Поскольку 
1
1
q
q
p
 
, то 
1
qt  , откуда 
1
t  . Поскольку 

3
3
1
2
1
''( )
(
1)(
2) q
t
q
q
t
p t
q







, то 
2
1
2
2
''(1)
(
1)(
2)
0
q
q
q
q
p
q
p
p
p










, 

значит, 
1
t   – точка минимума функции и значит, минимальное значение равно 

1
1
(1)
1
p
q



 . 

Лемма доказана. 

Лемма (неравенство Гельдера): пусть 
1
p  , 
1
q  , 1
1
1
p
q

 , тогда 
,
i
i
a b

 

(
1,
i
n

) справедливо неравенство 

1
1

1
1
1

n
n
n
p
q
p
q
i i
i
i
i
i
i
a b
a
b






 

 
 


 




. 

Доказательство: поскольку 

1
1

n
n

i i
i
i
i
i
a b
a b






, то достаточно доказать, 

что 

1
1

1
1
1

n
n
n
p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
a b
a
b






 

 
 


 




. Обозначив 

1

1

n
p
p
i
i
a
A











 и 

1

1

n
q
q
i
i
b
B




 





, 

и, поделив обе части доказываемого неравенства на AB, получим, что доста-

точно доказать неравенство 

1
1

n
i
i

i

a
b
A
B




. Применяя неравенство Юнга, полу-

чаем, что 

1
1
1
1

1
1
1
1
1
p
q
p
q
p
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
p
q
p
i
i
i
i

a
b
a
b
a
b
a
A
B
p
A
q
B
p A
q B
p A












































 

1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

q
n
n
n
p
q
p
q
i
i
i
q
p
q
p
q
i
i
i

b
a
b
A
B
q B
p A
q B
p A
q B
p
q




















. 

Лемма доказана. 

Замечание: очевидно, что 

1
1
1
1

1
1
1
1

n
n
p
q
p
q
p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b










 


 



 


 


 


 





, по-

этому 

1
1

1
1
1

n
p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
a b
a
b









 

 
 


 




. Если при этом сходятся оба ряда 

1

p

i
i
a




 и 

1

q

i
i
b




, то из полученного неравенства следует, что все частичные суммы ряда 

1
i
i
i
a b




 ограничены сверху. Поскольку это ряд с неотрицательными слагаемыми, 
то, в силу критерия Вейерштрасса, он сходится. Тем самым, переходя в неравенстве 


1
1

1
1
1

n
p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
a b
a
b









 

 
 


 




 к пределу при n , получаем, что 

1
1

1
1
1

p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
a b
a
b










 

 
 


 




, т.е. неравенство Гельдера справедливо и для 

бесконечных сумм. 
Лемма (неравенство Минковского): пусть 
1
p  , тогда 
,
i
i
a b

 (
1,
i
n

) 

справедливо неравенство 

1
1
1

1
1
1

n
n
n
p
p
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b





























. 

Доказательство: если 
1
p  , то, поскольку модуль суммы не превосходит 
сумму модулей, неравенство очевидно верно. Будем считать, что 
1
p   и 

найдем 
1
q   так, чтобы 1
1
1
p
q

 . Ясно, что достаточно доказать неравенство 




1
1
1

1
1
1

n
n
n
p
p
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b





























. Преобразуем левую часть:  







1
1

1

1
1

n
n
p
p
p
p

i
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b
a
b
























 






1

1
1

1
1

неравенство
Гельдера

n
n
p
p
p

i
i
i
i
i
i
i
i
a
a
b
b
a
b




















 






1
1
1
1
1

(
1)
(
1)

1
1
1
1

p
n
n
n
n
p
q
p
q
p
q
p
q
p
p
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
a
a
b
b
a
b











 


 









 


 




 


 







 






1
1
1
1
1

1
1
1
1

p
n
n
n
n
p
q
p
q
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
a
a
b
b
a
b









 


 









 


 




 


 







 




1
1
1
1

1
1
1

p
n
n
n
q
p
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b















































. 

Разделим полученное неравенство на 



1

1

n
qp
p

i
i
i
a
b











: 




1
1
1
1
1

1
1
1

p
n
n
n
p qp
p
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b







































. 

Возведем полученное неравенство в степень p : 




1
1
1
1

1
1
1

n
n
n
q
p
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b































. 

Окончательно, осталось заметить, что 1
1
1
p
q
 
. 

Теорема доказана. 
Замечание: аналогично предыдущему замечанию, можно показать, что, 

если сходятся ряды 

1

p

i
i
a




 и 

1

p
i
i
b




, то сходится и ряд 


1

p

i
i
i
a
b






, причем 




1
1
1

1
1
1

p
p
p
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b

































. 

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 
 
Определение: система множеств K  называется кольцом, если 
,
A B
K


: 

A
B
K

, A
B
K

, 
\
A B
K

. 
Определение: пусть X  – множество, K  – кольцо его подмножеств. Функция 
:

m K 
 называется счетно-аддитивной мерой, если: 
1. c
K
 
: 
( )
0
m c 
; 

2. 
1
2
,
,...
c c
K


 (непересекающихся): 

1
1
(
)
k
k
k
k
m
c
m c








 



 
. 

При этом множества, которые принадлежат K , называются измеримыми. 
Определение: пусть X  – множество, K  – кольцо его подмножеств. Мера 

:
m K 
 называется счетно-полуаддитивной, если 
1
2
, ,
,...
c c c
K


 из условия 

1
k
k
c
c





 следует, что 

1
( )
(
)
k
k
m c
m c





. 

Замечание: свойства счетной аддитивности и счетной полуаддитивности 
меры эквивалентны. 
Определение: пусть X  – множество, K  – кольцо его подмножеств, m – 
счетно-аддитивная мера на K , E
X

 – произвольное множество. Внешней 

(верхней) мерой Лебега множества E называется величина 
*

1
( )
inf
(
)
k
k
E
m E






, 

где точная нижняя грань берется по всем системам 

k
E
K

, которые покрывают 
множество E. 
Замечание: верхняя мера неотрицательна, монотонна (т.е. из условия 

1
2
E
E

 вытекает, что 
*
*
1
2
(
)
(
)
E
E



) и счетно-полуаддитивна. 
Определение: пусть X  – множество, K  – кольцо его подмножеств, 

E
X

 – произвольное множество. Множество E называется измеримым по 
Лебегу множеством конечной меры (суммируемым), если 
0

 
 существует 
множество F
K

, такое, что 
*(
)
E F




, где 
(
\
)
(
\
)
E F
E F
F E


 – симметрическая 
разность.  
Замечание: функция 
*
 , рассматриваемая только на системе суммируемых 
множеств, называется мерой Лебега и обозначается  . На системе суммируемых 
множеств мера Лебега счетно-аддитивна. В пространстве 
n  часто в 
качестве кольца K  выступает система элементарных множеств, т.е. множеств, 
являющихся конечным объединением параллелепипедов. 
Определение: пусть X  – множество, A – система его подмножеств. Эта 
система называется  -алгеброй, если она является кольцом и 
1
2
,
,...
c c
A


: 

1
k
k
c
A





, 

1
k
k
c
A





 и X
A

. 

Определение: множество E называется измеримым по Лебегу, если его 
пересечение с любым суммируемым множеством является суммируемым. 

Замечание: совокупность измеримых множеств образует  -алгебру. Мерой 
Лебега измеримого множества называется его верхняя мера 
*
 . 
Определение: пусть X  – множество, на котором задана  -алгебра измеримых 
подмножеств с мерой Лебега  . Функция 
:
f
X 
 называется измеримой, 
если 
c
 
 множество 

: ( )
x
X
f x
c


 – измеримо (т.е. принадлежит  -
алгебре, которая задана на X ). 
Теорема (об эквивалентных определениях измеримости): следующие 
четыре условия эквивалентны: 
1. f  измерима; 
2. 

:
( )
x f x
c

 измеримо; 

3. 

:
( )
x f x
c

 измеримо; 

4. 

:
( )
x f x
c

 измеримо. 
Теорема (об операциях с измеримыми функциями): если f  и g  измеримы, 
то f
g

, f g
 , f
g  (
0
g 
), f , 

p
f  также измеримы. Кроме того, любая непрерывная 
функция измерима. Измеримы также функции 
1
max( , )
h
f g

, 

2
min( , )
h
f g

, 
,
0
0,
0
f
f
f
f




 



 и 
0,
0
,
0
f
f
f
f




 



. 

Определение: функции f  и g , определенные на измеримом множестве 

X , называются равными почти всюду (эквивалентными), если множество тех 
значений аргумента, при которых они не равны, имеет нулевую меру, т.е. 



:
( )
( )
0
x
X
f x
g x




. 
Определение: последовательность 
nf  называется сходящейся почти всюду 
на измеримом множестве X  к функции f  при n , если множество точек 


:
( )
( )
n
x
X
f
x
f x


 имеет нулевую меру. 
Теорема (об измеримости предельной функции): если 
( )
nf
x  измеримы и 

. .
( )
( )

п в

n
n
f
x
f x


, то 
( )
f x  также измерима. 

Теорема Егорова: пусть E – суммируемое множество (
( )
E

  ), 

,
:
nf
f
E 
, причем все 
nf  измеримы, тогда, если 

. .
( )
( )

п в

n
n
f
x
f x


, то 
0



 

E
E



 – измеримое множество (множество Егорова) такое, что 
(
)
E



 и 

\
( )
( )

E E

n
n
f
x
f x




. 

Определение: пусть X  – измеримое множество и 
( )
nf
x  – последовательность 
определенных на нем измеримых функций, 
( )
f x  – измеримая функция, 
тогда последовательность 
( )
nf x  называется сходящейся по мере к функции 
( )
f x  

если 
0



 


lim
:
( )
( )
0
n
n
x
X
f
x
f x







. Обозначение: 
( )
( )
n
n
f x
f x





. 

Теорема (о связи сходимостей по мере и почти всюду): 1. Если 

( )
E

 , то из 

. .
( )
( )

п в

n
n
f
x
f x


 следует, что 
( )
( )
n
n
f
x
f x





 (теорема Лебега); 

2. Если 
( )
E

  и 
( )
( )
n
n
f
x
f x





, то 

. .
( )
( )
k

п в

n
k
f
x
f x



 (теорема Рисса). 

Определение: пусть 

1

n

k
k
E
E



, причем 
k
l
E
E   при k
l
 . Функция 

:
h E 
 называется ступенчатой, если 
k
x
E
 
 ( )
k
h x
c


 при 
1,
k
n

. 
Замечание: ступенчатая функция измерима тогда и только тогда, когда 
каждое множество 
k
E  измеримо. 
Теорема (об аппроксимации): всякую неотрицательную измеримую на 
измеримом множестве X  функцию можно представить, как предел неубывающей 
последовательности неотрицательных измеримых ступенчатых функций. 
Определение: пусть E – измеримое множество конечной меры с заданной 
на нем счетно-аддитивной мерой  . 
1. Интегралом Лебега от ступенчатой функции 
:
h E 
 по множеству E 

и мере   называется величина 

1
( )
(
)

n

k
k
k
E
h x d
c
E






. 

2. Интегралом Лебега от неотрицательной измеримой функции 
:
f
E 
 

по множеству E и мере   называется величина 
( )
lim
( )
n
n
E
E
f x d
h x d






, где 

( )
nh x  – неубывающая последовательность неотрицательных измеримых ступенчатых 
функций такая, что 
x
E
 
 
( )
( )
n
n
h x
f x


. 

3. Интегралом Лебега от измеримой функции 
:
f
E 
 по множеству E и 

мере   называется величина 
( )
( )
( )

E
E
E
f x d
f
x d
f
x d










. 

Определение: функция, интеграл Лебега которой существует и конечен, 
называется суммируемой. 
Теорема (об интегрируемости модуля): функция f  суммируема на множестве 
E тогда и только тогда, когда на E суммируем 
f . При этом 

( )
( )

E
E
f x d
f x d





. 

Замечание: интеграл Лебега обладает всеми свойствами интеграла Рима-
на: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств (при этом достаточно, 
чтобы было f
g

 почти всюду). Измеримая почти всюду ограниченная 
функция интегрируема по Лебегу. Если функция интегрируема по Риману, то 
она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. При 
определенных условиях интеграл Лебега обладает свойством счетной аддитивности. 
Интеграл Лебега по множеству нулевой меры равен нулю.