Обольстить математикой. Числовые игры на все случаи жизни

ОБОЛЬСТИТЬ
МАТЕМАТИКОЙ

Der
Mathematikverführer

Zahlenspiele
für alle Lebenslagen

Rowohlt Taschenbuch Verlag

CHRISTOPH DRÖSSER

ОБОЛЬСТИТЬ
МАТЕМАТИКОЙ

КРИСТОФ ДРЁССЕР

Числовые игры
на все случаи жизни
 
6-е издание, электронное

Перевод с немецкого
А. Я. Зарха

Москва
Лаборатория знаний
2021

УДК 501+001
ББК 22+72.3
Д73

Дрёссер К.
Д73
Обольстить математикой. Числовые игры на все случаи жизни / 
К. Дрёссер ; пер. с нем. А. Я. Зарха. — 6-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2021. — 203 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-553-0
С помощью занимательных историй из повседневной жизни автор
рассказывает, как рождаются математические законы и как они действуют
в самых различных жизненных ситуациях. В конце каждой главы читатель
найдет небольшие задачки. Идет ли речь о расследовании преступлений или
о теории музыки, об азартных играх или планировании путешествий — математика, 
утверждает Дрёссер, способна доставить истинное удовольствие!
Эта книга — совсем не учебник, она написана легко, с юмором, а потому
не следует опасаться математических сложностей: тут все понятно и вполне
доступно для всех — и физиков, и лириков.
Для старшеклассников, студентов, их родителей и преподавателей.
УДК 501+001
ББК 22+72.3

Деривативное издание на основе печатного аналога: Обольстить мате-
матикой. Числовые игры на все случаи жизни / К. Дрёссер ; пер. с нем.
А. Я. Зарха. — 5-е изд., стереотип. — М. : Лаборатория знаний, 2018. — 200 с. :
ил. — ISBN 978-5-00101-093-7.

Издание содержит научную/научно-техническую/статистическую информацию.
В соответствии с п. 2 статьи 1 Федерального закона от 29.12.2010 г. № 436-ФЗ
знак информационной продукции не ставится.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-553-0

© 2008 by Rowohlt Verlag GmbH,
Reinbek bei Hamburg

© Перевод на русский язык, оформление.
Лаборатория знаний, 2015

Оглавление

Глава 1
Не бойтесь больших чисел, или Шесть молекул Гёте  9

Сколько безработных можно содержать на протяжении 
целого года, если отказаться от изготовления  
одного-единственного истребителя класса «Еврофайтер»?  
180, 1800 или 18 000? Вычисления не так уж сложны 
и помогают развить чувство порядка величин как в 
политических, так и в финансовых вопросах.

Глава 2
Убийца на автозаправке, или Условно вероятный преступник 15
Убийство на шоссе В91. Практически никаких следов, кроме 
крови под ногтями жертвы. Обнаруживается совпадение 
ДНК у ранее судимого Маттиаса Бернсдорфа —  
«без возможности разумного сомнения». Удача!?  
Насколько надежен генетический тест?  
О статистике в работе полиции.

Глава 3
Три шага к успеху, или И гении могут ошибаться  23

Многие затрудняются вычислить по цене товара долю 
налога на добавленную стоимость. Для этого существует 
так называемое «тройное правило». На нем однажды 
споткнулась даже Мэрилин вос Савант,  
самая интеллектуальная женщина в мире.  
Она заблудилась в трех курицах...

Глава 4
Средний заработок, или Прямо через середину!  31
На фирме Баунера идут переговоры о зарплате. 
Средний заработок на фирме составляет 2850 евро. 
Производственный совет недоволен — ведь средний 
заработок по отрасли 3000 евро. Но что, собственно, 
означает «средний заработок»? Разве «типичный» 
сотрудник у Баунера зарабатывает 2850 евро? Нет, 
большинство зарабатывает значительно меньше.

Оглавление

Глава 5
Брачная проблема, или Нельзя ли найти кого-то получше?  40

У Марины нет отбоя от поклонников, вот и Карстен 
только что сделал ей предложение. Но Марина сомневается, 
и не в первый раз. «Синдром прекрасного принца»? А ведь 
можно рассчитать, какой кандидат из марининого списка 
претендентов наилучший. Математика в помощь любви.

Глава 6
Выигрыш по расчету, или Лучше меньше, да лучше  49
В Хоппенштадте сгущаются тучи. Из-за реформы 
избирательных округов Гражданская партия 
может потерять все шансы на выборах. Требуется 
изобретательность. Ведь можно, имея меньше голосов, 
набрать больше мандатов. А бывает и так,  
что из-за лишних голосов мандат теряется.  
Объяснить это поможет математика.

Глава 7
Подлог в курсовой работе,  
или Странный закон Бенфорда  59

Если открыть газету и выписать из нее все числа — курсы 
акций, прогнозы погоды, спортивные результаты, — то 
30 процентов всех чисел будут начинаться с цифры 1, 

18 процентов с цифры 2 и т. д., то есть весьма неравномерно. 
Это явление открыл Франк Бенфорд. С помощью его закона 
можно разоблачить и подделанные курсовые работы, 

и подделанные бухгалтерские книги.

Глава 8
Честная игра, или Совершенная система  68

Франк Бурмайстер знает способ, как практически 
гарантированно выиграть в рулетку. Он ставит на черное 

и удваивает при красном. Но происходит невероятное — 

11 раз выпадает красное. Франк проигрывает 10 000 евро — 

и... получает лекцию о математическом ожидании  
и законе больших чисел.

Глава 9
Убийственный тайный союз, или Золотое сечение  80

Гиппасос принадлежит к пифагорейцам, почитающим 
наследие умершего Пифагора. «Всё есть число», учил 
Пифагор, все отношения в мире выражаются через 

Оглавление

отношения целых чисел. Но Гиппас обнаружил, что это 
неверно, и открыл иррациональные числа, например Φ, так 
называемое «золотое сечение».

Глава 10
Женские вопросы, или Больше не значит лучше  92

Ответственная за дела женщин в вузе города Эрланген 
встревожена: по последним данным, женщин при 

распределении мест дискриминируют. Только 31 процент 

подавших заявки женщин проходит в вуз, а из мужчин 
проходит 41 процент. Но на каждом отдельном 
факультете процент принятых на учебу для женщин выше, 
чем для мужчин. Так называемый парадокс Симпсона.

Глава 11
Мужские фантазии, или Пиво, ноги и другие крайности  101

Весна на Эльбе. Коля и Йенс любуются первыми солнечными 
лучами и женскими ножками. Если бы только банки с пивом 
не переворачивались! Когда центр тяжести банки с пивом 
ниже всего и с какого расстояния лучше разглядывать 
женские ножки, может ответить математический анализ. 
«Экстремальные» задачи.

Глава 12
Время — деньги, или Заманчивое предложение  113

Сотрудница сберкассы, госпожа Вайхман, предлагает 
отличные условия. Но какой из трех предложенных 
ею вариантов — «классический», «прямой» или 
«динамичный» — действительно лучше? Чтобы это 
выяснить, нужно разобраться с линейным, квадратичным 
и экспоненциальным ростом. Выясняется — 
экспоненциальный рост непобедим.  
Об этом узнало и озеро Виктория.

Глава 13
Планирование маршрута, или Министр путешествует  126

Министр иностранных дел постоянно в разъездах. Но как 
найти кратчайший маршрут через девять городов?  
В теории эта задача, называемая «задачей  
о коммивояжере», решается просто, но на практике это не 
так — ведь для девяти городов, например,  

есть 20 160 различных маршрутов!  
Для оптимизации требуется хорошая стратегия.

Оглавление

Глава 14
На улицах Манхэттена, или Пифагор в суде  138

Вблизи от школы задержан продавец наркотиков.  
Но насколько близко? Вопрос важный, поскольку от этого 
зависит наличие отягчающих обстоятельств. Вместо 
измерений на месте судья пользуется планом города  
и теоремой Пифагора — пожалуй, наиболее известной  
из всех теорем.

Глава 15
Математика звуков, или Код Иоганна Себастьяна Баха  147

Когда музыкальный теоретик Андреас Веркмейстер 
разработал новый метод настройки пианино, Иоганн 
Себастьян Бах пришел в восторг и тут же написал целый 
концерт для «темперированного» клавира. Но кроме того, 
как в 2005 году выяснил пианист Бредли Леманн,  
Бах запечатлел математический код этой новой 
настройки на титульном листе концерта.

Глава 16
Все течет? или Грабители в пробке  155

На заднем сиденье угнанного БМВ лежит 55 000 евро 

в мелких купюрах, а ехать некуда. Манни и Гарри стоят 
в пробке, полиция уже передает в эфир приметы машины. 

Да, поток машин кажется непредсказуемым —  
но рассчитать его все же можно. Системы линейных 
уравнений и задачи на экстремум не просты —  
но результаты часто поразительны.

Глава 17
Кругоквадратурщики, или Истина, предписанная законом  173

5 февраля 1897 года. В этот день в законодательном 
собрании американского штата Индиана проходили 
ожесточенные дебаты о квадратуре круга и о том, чтобы 
законодательно закрепить новое значение числа π. Но 
знали ли депутаты, о чем вообще идет речь? Нет, они 

попались на удочку Эдвина Дж. Гудвина. Подобные ему люди 
встречаются и по сей день.

Арсенал математика, или Основные формулы  183 

Решения  195
Источники 198

Глава 1

Не бойтесь больших чисел,
или
Шесть молекул Гёте

Математика как раздел науки настолько серьезна,  
что не следует упускать возможности 
сделать ее более увлекательной.
Блез Паскаль (1623–1662)

П

редание сохранило для нас последние слова Иоганна Воль-
фганга Гёте.
— Больше света! — воскликнул великий немецкий поэт и 
вздохнул в последний раз.
Последний выдох Гёте — наверняка бесценное сокровище 
для поклонников тайного советника (не столь аппетитное для 
других). Но куда же оно подевалось? Содержится ли в том возду-
хе, которым мы дышим здесь и сейчас, хоть одна молекула, кото-
рую когда-то выдохнул Гёте? Может быть, даже молекула из его 
последнего выдоха? 
Раздумья над этим вопросом располагают к философии — 
или к подсчетам. Последнее мало кому придет в голову, хотя все 
не так сложно, если знать парочку основополагающих численных 
значений. Некоторые из вас, вероятно, припоминают, что в школе 
проходили такую величину — моль. Один моль вещества — это 
6 · 1023 молекул, то есть 600 000 000 000 000 000 000 000 молекул. 
Такие величины потребуются нам для мира этих крошечных 
кирпичиков материи.
Для всех газов верно условие: один моль газа при нормальном 
атмосферном давлении занимает объем примерно 25 литров. 
Один выдох (например, последний выдох Гёте) составляет около 
литра, то есть содержит 1/25 моля, или около 2,4 · 1022 молекул. 
В среднем мы дышим около 20 раз в минуту, что за 83 года 
(столько прожил Гёте) составляет 20 · 60 · 24 · 365 · 83 = 872 469 000 

Глава1

выдохов или 2 · 1031 молекул (здесь, конечно, содержится сильное 
упрощение — наверняка Гёте выдыхал многие молекулы не по 
одному разу, особенно ночью при закрытом окне).
Можно считать, что со дня смерти Гёте воздух в атмосфере 
хорошо перемешался, и поэтому в каждом литре воздуха содер-
жится примерно одинаковое число Гёте-молекул. Сколько всего 
воздуха на земле? Я где-то читал, что масса атмосферы составляет 
5 · 1021 граммов. Один моль воздуха весит примерно 30 граммов. 
Получается, что весь воздух — это 5 · 1021 : 30 = 1,7 · 1020 моль 
или 1044 молекул — невообразимо огромное количество.
Теперь у нас есть все необходимые данные для окончательного 
подсчета: разделим число всех молекул воздуха на число Гёте-
молекул и получим, что примерно одна из 5 · 1012 (5 триллионов) 
молекул когда-то выдыхалась Гёте, а одна из 4 · 1021 участвовала 
даже в его последнем выдохе. Мы, как и Гёте, за один раз выдыхаем 
примерно 2,4 · 1022 молекул, среди них находится около 
5 миллиардов молекул, которыми дышал Гёте, и 6 из его последнего 
выдоха перед смертью. В среднем. Похожим образом, кстати, 
можно подсчитать число молекул в стакане воды, которые когда-
то прошли через тело Гёте.
Шесть молекул из последнего выдоха Гёте в каждом литре 
воздуха, которым мы дышим! Сразу поневоле проникаешься 
уважением к дыханию. Конечно, весь подсчет крайне неточен, 
ведь я делал очень грубые оценки и на каждом шаге округлял 
вверх или вниз. Но это и несущественно — чтобы понять, насколько 
вероятно, что мы дышим Гёте-молекулами, важен только 
порядок величины. И теперь, когда ответ очевиден, не важно, 
сколько точно таких молекул содержится в литре воздуха: 6, 2 
или 20.
Разумеется, изученный вопрос не имеет практического применения, 
но, оперируя такими величинами, можно выработать навыки 
работы с большими числами. А эти навыки нужны всем, 
хотя бы в тех случаях, когда речь идет о деньгах. Ведь потратить 
100 или 10 000 евро — это далеко не одно и то же. А между тем 
один из министров экономики однажды на вопрос журналиста, 
сколько нулей в миллиарде, принялся гадать: «О Боже мой! Семь? 
Восемь?». Девять, господин Бангеманн! 
Конечно, когда на тебя направлена камера или микрофон, легко 
потеряться. В такой ситуации каждый имеет право на разду-

Небойтесьбольшихчисел

мья. Но многие политики, видимо, действительно этого не знают. 
А ведь они каждый день решают судьбы сумм с семью, восемью 
или девятъю нулями. В новостях нас постоянно бомбардируют 
сообщениями, в которых фигурируют миллиарды, но лишь немногие 
люди по-настоящему чувствуют, как это много — один 
миллиард. Психологи исследовали отношение человека к деньгам 
и установили, что до 500 000 (тогда еще марок) люди действи-
тельно представляют себе размер суммы (на вопрос, что на эти 
деньги можно купить, они отвечают «собственный дом»), но при 
больших суммах представление исчезает. Так что когда министр 
борется за бюджет в 21 миллиард евро в новом году, потому что 
в прошлом году у него был бюджет в 20 миллиардов, вполне до-
пустимо сомневатъся, что он представляет себе, сколько это де-
нег. Но хотя представить себе такие большие числа и невозможно, 
тренироваться в обращении с ними очень полезно, и не только 
министрам, — для того, чтобы иметь возможность хотя бы грубо 
оценить их величину, сравнивая с другими большими числами. 
Подсчеты с ними на самом деле так же просты, как и с неболь-
шими числами, в чем мы убедились на примере с Гёте. При этом 
очень помогают степени (см. с. 189).

Вот пример из области финансов. Предположим, глава совета 
директоров банка Deutshe Bank Иосиф Акерманн работает за ком-
пьютером и вдруг замечает, что перед дверью его комнаты кто-то 
обронил банкноту в 5 евро. Стоит ли господину Акерманну встать 
и поднять купюру, если он не получает деньги за то время, что 
не сидит за компьютером (это, конечно же, чепуха)? Собственно, 
вопрос стоит так: сколько времени Акерманн работает за 5 евро? 
Попробуйте это прикинуть, прежде чем вычислять!
В 2006 г. Акерманн заработал примерно 12 миллионов евро. 
Если считать (в его пользу!), что он работал 60 часов в неделю, 
и притом без отпуска, то при 52 неделях работы получается зар-
плата примерно в 3846 евро за час. Округляя, получим 3600 евро 
в час, то есть Акерманн зарабатывает один евро каждую секунду. 
Чтобы поход за пятиевровой банкнотой оправдался, он должен за-
нять не более 5 секунд. Поторопитесь, господин директор!
Еще одно сравнение, показывающее, как много зарабатывают 
наши менеджеры высшего звена: проработав 345 секунд (около 
шести минут), господин Акерманн зарабатывает столько, сколь-
ко имеет в месяц получатель пособия по безработице в Германии 

Глава1

Харц IV, а именно 345 евро. Кстати о пособии Харц IV: попро-
буйте оценить, скольким людям можно было бы год платить посо-
бие по безработице из денег, которые стоит один боевой самолет 
Еврофайтер: 180, 1800 или 18 000? 
Каждый Еврофайтер обходится налогоплательщикам в 

75 миллионов евро. Поделив на размер пособия и на 12 (месяцев), 
получаем примерно 18 000. Примерно столько человек получают 
пособие по безработице в небольшом городе вроде Бохума. Ну хо-
рошо, это нельзя сравнивать, такой самолет тоже нужен. Но Гер-
мания заказала не один такой самолет, а 180.
Конечно, можно политически аргументировать, что данный 
расчет — сплошная демагогия и мы сравниваем яблоки с груша-
ми. Что эти самолеты необходимы для обороны и их цена оправ-
данна. Это может быть и верно — но расчет верен тоже. И тот, 
кто настаивает на таких расходах, должен обосновать их не толь-
ко качественно («нам это необходимо, потому что...»), но и коли-
чественно, чтобы убедить нас: мы можем себе эти расходы позво-
лить. И яблоки с грушами ему все же придется сравнивать, ведь 
каждый евро может быть израсходован только один раз.

Не бойтесь неточности

Возьмем другой пример. Представьте себе такую игру: столб 
высотой 2 метра и шириной 2 сантиметра установлен где-то на 
обочине автострады Гамбург–Берлин. У вас нет ни малейшего 
представления, где именно. Ночью вы едете по автостраде, и у 
вас есть пистолет. В какой-то момент, когда хотите, вы опускаете 
боковое стекло и стреляете в сторону обочины. Если попадете в 
столб, вы выиграли.
Заплатите ли вы за право участия в этой игре хотя бы евро, 
даже если в случае выигрыша вам обещают миллион? Нет? Меж-
ду тем миллионы людей делают это каждую неделю, играя в лото. 
Шанс угадать шесть номеров правильно такой же, как и шанс но-
чью попасть в столб на обочине дороги: около 1 к 14 миллионам. 
Желаю удачи!
Наша интуиция мало помогает нам в обращении с вероят-
ностями. В зависимости от постановки задачи легко переоценить 
или, наоборот, недооценить шансы. В конце концов, помогает 
лишь одно: расчеты, хотя бы и приблизительные.

Небойтесьбольшихчисел

В школе от нас требовали считать точно. На вопрос «Сколько 
будет 7 умножить на 14?» недостаточно было ответить «Примерно 
100!», учительница хотела услышать точный ответ, а именно 98.

Однако для большинства практических случаев 7 умножить 
на 14 — это 100, число π равно 3 (вместо 3,14...), а ускорение сво-
бодного падения — 10 м/с2 (вместо 9,81...). Точные значения нуж-
ны лишь тогда, когда важны мелкие детали. Например, в спорте 
мало знать, что кто-то пробежал 100 метров «примерно за 10 секунд» — 
там между 9,8 и 10,4 секундами лежит пропасть. Но при 
оценке по порядку величины точность обычно бывает обманчивой. 
Статистик Вальтер Крамер приводит пример таблиц1 из одной 
британской публикации, сравнивающей гражданские жертвы 
Второй мировой войны:

Гражданские жертвы: союзники
Великобритания
Бельгия
Китай
Дания
Франция
Нидерланды
Норвегия
СССР

60 595
90 000
очень много
неизвестно
152 000
242 000
3638
6 000 000
———————————
6 548 233

Гражданские жертвы: противник
Германия
Австрия
Италия
Япония
Польша
Югославия

500 000
125 000
180 000
600 000
5 300 000
много
———————————
6 705 000

1 Данная таблица приводится в авторской редакции, в исторической науке 

принята иной подход к делению стран на союзников и противников и к 
определению числа жертв. — Прим. ред.

Глава1

Первая таблица, например, полностью бессмысленна, так как 
в ней точные цифры (для Норвегии) смешаны с приблизительными (
для Бельгии) и даже полностью отсутствующими (для Дании). 
При сложении таких чисел результат может показаться разумным, 
но он наверняка неверен.
Поэтому не бойтесь неточности, если порядок величины то-
чен. Тогда вы ценой нескольких упражнений сумеете справиться 
с большими числами.

Теперь ваша очередь. На Земле живет 6,5 миллиардов
человек.Еслибыонивсестоялирядом,прижавшисьдруг
кдругутакжеплотно,какнарок-концерте,тохватилобы
имместанаБоденскомозере?Сначалаоценитеитолько
потомподсчитайте!ПлощадьБоденскогоозерасоставля-
ет536квадратныхкилометров.

Решение на сайте www.rowolt.de/mathematikverfuehrer!