Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями и указаниями. 5-7 классы

ЛОГИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
с решениями и указаниями 

Москва
Лаборатория знаний
2021

Под редакцией
М. В. Федотова

ЭЛЕКТРОННОЕ ИЗДАНИЕ

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

5–7
классы
 

УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Олимпиадная математика. Логические задачи с ре-
шениями
и
указаниями.
5–7
классы
:
учебно-
методическое
пособие
/
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Фе-
дотов
;
под
редакцией
М. В. Федотова. — Элек-
трон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 241 с. —
(ВМК
МГУ — школе). — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-952-7
Настоящее пособие составлено на основе олимпиадных
задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ
имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал,
подборку
задач,
а
также
указания
и
решения
к большинству задач.
Рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующим-
ся олимпиадными задачами, учителям математики, руково-
дителям кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпи-
адная математика. Логические задачи с решениями и указа-
ниями. 5–7 классы : учебно-методическое пособие / Н. Д. Зо-
лотарёва, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. —
М. : Лаборатория знаний, 2021. — 238 с. : ил. — (ВМК МГУ —
школе). — ISBN 978-5-00101-382-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-952-7
© Лаборатория знаний, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
5

Предисловие .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
6

Используемые обозначения
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
7

Часть I. Теория и задачи
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
9

1. Сюжетные логические задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
9

2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы, хитрецы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 16

3. Переправы и задачи на переливание
.. .. .. .. .. .. 25

4. Задачи на взвешивание .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 32
5. Принцип крайнего
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 41

6. Оценка + пример . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 46
7. Принцип Дирихле .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 52
8. Принцип Дирихле и делимость целых чисел . .. 58
9. Принцип Дирихле и дополнительные соображения .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 
61

10. Принцип Дирихле в геометрии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. 65
11. Принцип Дирихле и окраска плоскости и её
частей. Таблицы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 69

Часть II. Указания и решения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73

1. Сюжетные логические задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73
2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы, хитрецы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91

3. Переправы и задачи на переливание
.. .. .. .. .. ..105

4. Задачи на взвешивание .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..122
5. Принцип крайнего
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..145

6. Оценка + пример . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..158
7. Принцип Дирихле .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..187
8. Принцип Дирихле и делимость целых чисел . ..193

Оглавление

9. Принцип Дирихле и дополнительные соображения .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
198

10. Принцип Дирихле в геометрии . .. .. .. .. .. .. .. .. ..207
11. Принцип Дирихле и окраска плоскости и её
частей. Таблицы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..216

Ответы .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..228

Список литературы
.. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..236

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемые читатели, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в
эту
серию,
являются
результатом
более
чем
пятнадцати-
летнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подго-
товительных курсах факультета вычислительной математики
и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информати-
ке и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ,
олимпиадам
и
вступительным
экзаменам
в
вузы.
Недавно
вышли пособия по математике для подготовки к ГИА для
девятиклассников.
Но мы не хотим останавливаться только на стандартных за-
дачах, необходимых для сдачи ГИА и ЕГЭ и экзаменов в вузы.
Мы хотим, чтобы школьники с младших классов и до окон-
чания школы могли решать задачи повышенной сложности —
олимпиадные задачи, на которые у учителя обычно не остаётся
времени на обычном уроке математики. Большинство книг по
этой тематике выходят без разбивки по классам либо без раз-
бивки по темам. Многие хорошие книги с олимпиадными зада-
чами вышли давно и с тех пор не переиздавались. Мы собрали
много задач из различных старых и не очень старых сборников
олимпиадных задач и предлагаем их вам.
Настоящее пособие рассчитано на 5–7 классы и является тре-
тьим
в
серии
пособий
по
олимпиадным
задачам.
Будет
ещё
несколько книг для 5–7 классов. Параллельно мы уже ведём
работу над сборником задач для 8–9 классов. Завершит серию,
конечно же, пособие для 10–11 классов.
Большинство
олимпиадных
задач,
особенно
для
младшей
и средней школы, не намного сложнее обычных школьных задач
по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все вместе
выглядят страшными, а каждая задача по отдельности вполне
вам по силам. Берите их и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, опи-
сание методов решения задач, примеры применения методов
и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном
расположены по принципу «от простого — к сложному». Ана-
логичная ситуация имеет место и с последовательностью раз-
делов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекоменду-
ется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению
задач надо после изучения соответствующего теоретического
материала и разбора примеров.
После номера задачи приведены номера классов, для кото-
рых эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это
разделение на классы довольно условно. Понятно, что если за-
дачу давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах,
и часто, наоборот, задача, которую давали на олимпиаде для
6–7 классов, вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, при-
держиваясь рекомендаций о принадлежности задачи тому или
иному классу, относитесь к этим рекомендациям творчески.
Кстати, распределение задач по разделам тоже не всегда одно-
значно. Одну и ту же задачу можно было отнести к разным
разделам.
В принципе по этому пособию можно заниматься три го-
да: в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для
5 класса, в 6 классе снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 6 класса и т. д. А можно пройти и за более корот-
кий срок: за два года, если вы начали заниматься в 6 классе,
или за один год, если вы уже в 7 классе.

Пособие рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересу-
ющимся олимпиадными задачами, учителям математики, ру-
ководителям кружков и факультативов.

Желаем удачи!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности;
⊂
— знак включения подмножества;
∀
— для любого;
A\B — разность множеств A и B;
=⇒
— следовательно;
⇐⇒ — тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
ОДЗ — область допустимых значений;
· · ·
· · ·
— знак системы, означающий, что должны выполняться
все условия, объединённые этим знаком;
· · ·
· · ·
— знак совокупности, означающий, что должно выполняться
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно
с математически более корректной терминологией типа «дли-
на
отрезка
AB
равна
5»
и
записью
|AB| = 5
используется
школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись
AB = 5.

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

Логические задачи встречаются на олимпиадах всех уровней.
Они требуют умения логически мыслить, перебирать все возможные 
варианты и быть очень внимательным.

1. Сюжетные логические задачи

Теоретический материал

В этом разделе собраны сюжетные логические задачи. Чтобы
решать такие задачи, необходимо уметь рассуждать, выделять
из текста причину и следствие. Многие задачи этого раздела
могут быть решены перебором вариантов. Однако использование 
рисунков и таблиц значительно упрощает решение.

Примеры решения задач

Пример 1. До царя дошла весть, что кто-то из трёх богатырей
убил Змея Горыныча. Приказал царь им явиться ко двору.
Молвили богатыри:
Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович».
Алёша Попович: «Я убил Змея».
Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое
других слукавили. Кто убил Змея?

Р е ш е н и е. Поскольку Добрыня Никитич и Алёша Попович
утверждают одно и то же, а правду сказал только один богатырь, 
они оба лукавят. Значит, правду сказал Илья Муромец
и Змея убил Добрыня Никитич.
О т в е т. Змея Горыныча убил Добрыня Никитич.

Пример 2. Гриша, Люда, Зина и Петя родились 12 февраля,
6 апреля, 12 июня, 26 июня. Интересно, что Петя и Люда
родились в одном месяце, а Зина и Петя родились в один
и тот же день разных месяцев. Когда родился Гриша?

Часть I. Теория и задачи

Р е ш е н и е. Решаем
задачу
с
помощью
таблицы.
По
верти-
кали пишем имена, а по горизонтали — даты. Будем ставить
минусы в те клетки таблицы, которые точно не подходят,
т. е. будем отбрасывать заведомо неподходящие варианты. Из
условия следует, что Петя и Люда родились в одном месяце,
т. е. в июне. Поэтому в таблице напротив их имён ставим
минусы в первых двух колонках.
Так
как
Зина
и
Петя
родились
в
один
и
тот
же
день
разных месяцев, т. е. 12 числа, то Пете ставим минус в по-
следнюю колонку. Получается, что Петя мог родиться только
12
июня
(ставим
ему
плюс
в
третью
колонку
таблицы).
Поэтому Зина родилась 12 февраля (ставим ей плюс в первую
колонку таблицы).

12 февраля
6 апреля
12 июня
26 июня

Гриша
+

Люда
−
−
+

Зина
+

Петя
−
−
+
−

Тогда
Люда
могла
родиться
только
26
июня
(ставим
ей
плюс
в
четвёртую
колонку
таблицы).
Поэтому
Гриша
мог
родиться только 6 апреля.
О т в е т. 6 апреля.

Пример 3.
В
одном
из
городов
Казахстана
часть
жителей
умеет говорить только по-казахски, часть — только по-русски.
По-казахски
говорят
90%
всех
жителей,
по-русски — 80%.
Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

Р е ш е н и е. Приведём два способа решения.
ПЕРВЫЙ СПОСОБ . Из условия следует, что 20% всех жителей
не говорят по-русски. Очевидно, что все они среди тех жите-
лей, которые говорят по-казахски. Значит, 90 − 20 = 70% всех
жителей говорят на обоих языках.
ВТОРОЙ СПОСОБ . Из условия следует, что 10% всех жителей не
говорят по-казахски, а 20%— по-русски. Значит, 10+20 = 30%
всех жителей говорят только на одном языке, а остальные
70% говорят на обоих языках.
О т в е т. 70%.

Пример 4.
В
клетках
прямоугольника
11 Ч 15
расставлены
крестики и нолики. Известно, что в каждой строке прямо-
угольника
крестиков
больше,
чем
ноликов.
Докажите,
что
обязательно найдётся столбец, в котором крестиков тоже боль-
ше, чем ноликов.

1. Сюжетные логические задачи
11

Р е ш е н и е. Доказательство проведём методом от противного.
Предположим обратное, т. е. пусть в каждом столбце кре-
стиков не больше, чем ноликов. Тогда во всей таблице кре-
стиков также не больше, чем ноликов. Но это противоречит
условию, поскольку из условия следует, что если в каждой
строке
прямоугольника
крестиков
больше,
чем
ноликов,
то
и во всей таблице крестиков больше, чем ноликов.
Значит, наше предположение неверно и найдётся столбец,
в котором крестиков больше, чем ноликов. Что и требовалось
доказать.

Задачи

1.

5
Три поросёнка построили три домика: из соломы, из
прутьев
и
из
камней.
Каждый
из
них
получил
один
домик: Ниф-Ниф — не из камней и не из прутьев, Нуф-
Нуф — не из камней. Какой домик достался Наф-Нафу?
2.

5-7 Рядом сидят мальчик и девочка. «Я мальчик», — говорит 
черноволосый ребёнок. «Я девочка», — говорит рыжий
ребёнок. Если хотя бы один из них врёт, то кто здесь
мальчик, а кто девочка?
3.

6-7 а) Петя сказал: «Если кот шипит, то рядом собака,
и наоборот, если собаки рядом нет, то кот не шипит». Не
сказал ли он что-то лишнее?
5-7 б) За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня 
кот чихнул. «Завтра будет дождь», — подумал Петя.
Прав ли он?
4.

5-7 — У Вовы больше тысячи книг, — сказал Ваня.
— Нет, книг у него меньше тысячи, — возразила Аня.
— Одна-то книга у него наверняка есть, — сказала Маня.
Если истинно только одно из этих утверждений, то сколько 
книг у Вовы?
5.

6
Баба-яга
в
своей
избушке
на
курьих
ножках
завела

сказочных
животных
трёх
видов.
Все
они,
кроме 
двух, — Говорящие Коты. Все, кроме двух, — Мудрые
Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей
в избушке у Бабы-яги?
6.

5-6 а) Приехало
100
туристов.
Из
них
10
человек
не
знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали
немецкий язык и 83 знали французский язык. Сколько
туристов знали и французский, и немецкий языки?
6-7 б) В одном из городов Грузии часть жителей умеет
говорить
только
по-грузински,
часть — только
по-русски.
По-грузински
говорят
85%
всех
жителей,
по-русски —

Часть I. Теория и задачи

75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих
языках?
6-7 в) В классе 35 учеников. Из них 20 школьников занимаются 
в математическом кружке, 11 — в экологическом,
10
ребят
не
посещают
эти
кружки.
Сколько
экологов
увлекаются математикой?
7.

5-6 а) Четыре
брата
Юра,
Петя,
Вова
и
Коля
учатся
в 1, 2, 3, 4 классах. Петя — отличник, младшие братья
стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе.
Юра помогает решать задачи брату. Кто из них в каком
классе учится?
б) Олег,
Игорь
и
Аня
учатся
в
6
классе.
Среди
них
есть
лучший
математик,
лучший
шахматист
и
лучший
художник. Известно, что:
1) лучший художник не нарисовал своего портрета, но
нарисовал портрет Игоря;
2) Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.
Кто в классе лучший математик, лучший шахматист
и лучший художник?
8.

6-7 Львов,
Михайлов
и
Николаев
работают
бухгалте-
ром,
кассиром
и
секретарём.
Если
Николаев — кассир,
то
Михайлов — секретарь,
если
Николаев — секретарь,
то
Михайлов — бухгалтер.
Если
Михайлов — не
кассир,
то
и Львов — не кассир, если Львов — бухгалтер, то Никола-
ев — секретарь. Кто кем работает?
9.

5-6 а) В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся мо-
локо, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко
не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином
и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан
стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд
налита каждая из жидкостей?
б) В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей
зовут
Аня,
Боря,
Вера
и
Галя.
Сколько
лет
каждому
ребёнку,
если
одна
девочка
ходит
в
детский
сад,
Аня
старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?
в) На
улице,
став
в
кружок,
беседуют
четыре
девочки:
Аня,
Валя,
Галя,
Надя.
Девочка
в
зелёном
платье
(не
Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье
и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой
в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из
девочек?
10.

6
В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша,
Володя
и
Петя.
Известно,
что
каждый
из
них
имеет
одну из следующих фамилий: Иванов, Семёнов, Герасимов.
Миша — не
Герасимов.
Отец
Володи — инженер.
Володя