Теория управления регулярными системами

Г. Н. Яковенко 

Т е о р и я
управления
регулярными
системами

Учебное пособие

Ре к о м е н д о в а н о

высших учебных заведений 
Учебно-методическим объединением

Российской Федерации  по образованию 
в области прикладных математики и физики 
в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений 
по направлению 
«Прикладные математика и физика»

4-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 519.71
ББК 22.1

Я47

Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проектам 05-01-00940,
07-01-00217 и Инновационной образовательной программы
«Наукоемкие технологии и экономика инноваций» Московского
физико-технического института (государственного университета) на
2006–2007 годы
Рецензенты:
кафедра «Авиационно-космические системы обработки информации
и управление» Московского института радиотехники, электроники
и автоматики
член-корреспондент РАН, д. ф.-м. н. Ю. Н. Павловский
Яковенко Г. Н.

Я47
Теория управления регулярными системами : учебное пособие / 
Г. Н. Яковенко. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 267 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-929-9
Книга посвящена применению теории групп к исследованию различных
вопросов теории управления. В частности, изучен вопрос о количестве
первых интегралов у конкретной системы с управлением и способах их
вычисления. Подробно обсуждены группы симметрий управляемых систем
и связанные с симметриями способы декомпозиций. С теоретико-групповых
позиций рассмотрена инвариантность управляемых систем относительно
внешних возмущений.
Для студентов, аспирантов и преподавателей университетов, физико-
технических и инженерно-физических вузов. Книга будет также полезна
научным и инженерно-техническим работникам, желающим углубить свои
знания в теории управления.
УДК 519.71
ББК 22.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Теория
управления регулярными системами : учебное пособие / Г. Н. Яковенко. — 
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 264 с. : ил. —
ISBN 978-5-94774-558-0.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от наруши-
теля возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-929-9
c○ Лаборатория знаний, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

Объектом изучения является гладкая система

˙x = ϕ(t, x, u(t)),
x ∈ Rn,
u ∈ U ⊂ Rr
(СУ)

с управлением u(t). На место управления могут быть подставлены
достаточно произвольные функции u(t) независимой переменной —
времени t. В настоящее время не вызывает сомнений тот факт, что
действенным инструментом исследования обыкновенных дифферен-
циальных уравнений [30, 46, 47]

˙x = ϕ(t, x),
x ∈ Rn
(С)

являются группы.
С теоретико-групповой точки зрения у систем (СУ) и (С) много
общего, но есть и различия [103]. Например, преобразования сдвигов
вдоль решений у системы (С) вмещаются в однопараметрическую
группу, а у (СУ) из-за произвольности функций u(t) выходят за
рамки любой конечнопараметрической группы. С преобразованиями
симметрии наоборот: у (С) множество преобразований симметрии
имеет функциональную мощность, а у (СУ) обычно ограничивается
тождественным.
Еще одно отличие между системами (СУ) и (С) заключается
в следующем. Систему (С) можно заранее считать «добропоря-
дочной», например, предположив, что в правых частях находятся
аналитические функции. Система же (СУ) опровергает мысль клас-
сика [57, с. 109]: «В одну телегу впрячь не можно коня и трепетную
лань». В систему (СУ) можно «впрячь» сколь угодно «трепетную
лань» ˙x = ϕ1(t, x) и сколь угодно «резвого коня» ˙x = ϕ2(t, x):

˙x = uϕ1(t, x) + (1 − u)ϕ2(t, x).

При u = 1 — «лань», при u = 0 — «конь», при u ̸= 1, u ̸= 0 —
«гибридо-мутант», при u(t) — анимация. Если ограничиться только
двумя правыми частями — u = 0 и u = 1, то, определив моменты
переключения с «лани» на «коня» и обратно, получим систему с
разрывной правой частью с вытекающими из этого неприятностями.
Так как моменты переключения можно менять, то «лане-коню»,

Предисловие

несмотря на только две разные правые части, соответствует беско-
нечно много систем дифференциальных уравнений, свойства кото-
рых могут резко отличаться. Известно, например, что умело пере-
ключаясь с одной неустойчивой системы на другую, также неустой-
чивую, можно создать устойчивую систему. По мнению автора,
в первую очередь следует искать, что же объединяет совокупность
объектов, поэтому в работе изучаются свойства, присущие всем
дифференциальным уравнениям, полученным из уравнений управ-
ляемой системы подстановкой различных допустимых управлений
u(t): общие первые интегралы, общие инвариантные функционалы,
общие группы симметрий. Вводится понятие регулярной системы,
для которой указанные свойства присущи конечному числу диффе-
ренциальных уравнений, а остальные уравнения их наследуют.
Тематика книги отражена в оглавлении. В начале каждой гла-
вы приводится ее краткое содержание. В заключении перечислены
основные положения и результаты. Принята сквозная нумерация
параграфов, первая цифра в номере формулы — номер параграфа.
Все определения, утверждения, построения — локальны. Функции,
участвующие в построениях, предполагаются достаточно гладкими.

ГЛАВА 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНЫХ ГРУПП ЛИ

В главе приводится минимальный набор определений, утверждений
и формульных алгоритмов из теории локальных групп Ли. Это
позволит зафиксировать используемые далее обозначения. Теоре-
мы приводятся без доказательств, за исключением случаев, когда
доказательство содержит реализацию утверждения теоремы. Как
правило, приведенные сведения лишены сопутствующих ссылок
в связи с тем, что используется усредненная информация из разных
источников [16, 20–24, 27, 37, 40, 41, 46, 58, 93, 97, 116], или сведения
носят полуфольклорный характер. В главу включены также некото-
рые результаты автора, в приоритетности получения которых автор
сомневается, например, теоремы 4.5, 6.5.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Рассматривается семейство

ˆx = g(x, τ),
x ∈ Rn,
τ ∈ Rq
(1.1)

диффеоморфизмов1) x ↔ ˆx (Rn ↔ Rn) с параметром τ ∈ Rq.
Предполагается, что параметры τ1, . . . , τq входят в (1.1) существен-
но [58], т. е. отсутствует преобразование τ
↔
s, уменьшающее
количество параметров:

g(x, τ1, . . . , τq) = ˜g
x, s1(τ), . . . , sq−1(τ)
.

Конкретное преобразование (Rn ↔ Rn) — в (1.1) фиксированы
параметры τ — обозначается g. В семействе (1.1) вводится умно-
жение — суперпозиция преобразований (сначала преобразование g
с параметрами τ в (1.1), затем преобразование ˜g с параметрами ˜τ):

ˆˆx = g(ˆx, ˆτ) = g(g(x, τ), ˆτ)
(1.2)

(обозначается ˜gg).

1)Диффеоморфизм (диффеоморфное преобразование) x ↔ y: взаимноодно-
значное преобразование, причем оба преобразования x → y и x → y гладкие.

Глава 1. Из теории локальных групп Ли

Определение 1.1. Семейство (1.1) называется q-параметрической
группой преобразований Gq, если выполнены следующие условия
(групповые аксиомы).
1. Семейство (1.1) замкнуто относительно умножения

{g ∈ Gq, ˜g ∈ Gq}
⇒
{˜gg ∈ Gq},

т. е. существует такая функция π(τ, ˜τ) (закон умножения), что
для суперпозиции (1.2) выполняется соотношение

g
g(x, τ), ˜τ
= g
x, π(τ, ˜τ)
.
(1.3)

2. Семейство (1.1) содержит тождественное преобразование e:
при τ0 = 0 выполняются равенства

g(x, 0) = x,
π(0, ˜τ) = ˜τ,
π(τ, 0) = τ
(1.4)

(случай τ0 ̸= 0 сводится к τ0 = 0 сдвигом параметров τ), или
иначе
∀g ∈ Gq,
g e = g,
e g = g.

3. Для каждого преобразования g, заданного в (1.1) параметрами
τ, существует обратное g−1, определенное параметрами τ ∗:

g
g(x, τ), τ ∗= x,
π(τ, τ∗) = 0,
(1.5)

или иначе

∀g ∈ Gq,
∃g−1 ∈ Gq,
gg−1 = e,
g−1g = e .

Еще одна групповая аксиома — ассоциативность — выполняется
для любого семейства (1.1) преобразований.

Группа (1.1) изучается и используется далее локально: перемен-
ные x принадлежат некоторой области пространства Rn, параметры
τ — окрестности значения τ0 = 0 ∈ Rq, соответствующего тожде-
ственному преобразованию.

Определение 1.2. Инвариантом группы (1.1) называется функ-
ция w(x), которая не меняет своего значения, если ее аргумент x
подвергнуть произвольному преобразованию группы (1.1):

w(x) = w(g(x, 0)) = w(g(x, τ)) = w(ˆx).
(1.6)

Определение 1.3. Функции wl(x), l
=
1, r, называются инте-
гральным базисом инвариантов группы (1.1), если выполнены

§ 1. Основные понятия теории групп преобразований
7

соотношения

rank
∂wl(x)

∂xi

= r,
(1.7)
w(x) — инвариант группы (1.1)
⇔

⇔
w = F
w1(x), . . . , wr(x)
,
(1.8)

где F — некоторая функция.

Определение 1.4. Система уравнений

f k(x) = 0,
k = 1, p,
rank
∂f k

∂xi

= p
(1.9)

задает в пространстве Rn инвариантное многообразие M груп-
пы (1.1), если выполняется равносильность

{x ∈ M}
⇔
∀τ, ˆx = g(x, τ) ∈ M
.

Определение 1.5. Орбитой точки x называется множество точек
ˆx = g(x, τ), в которые можно попасть из x преобразованиями
группы (1.1).

Определение 1.6. Группа (1.1) называется транзитивной в точ-
ке x, если орбита этой точки — область в Rn. Группа (1.1) называется
просто транзитивной в точке x, если она транзитивна, и в каждую
точку ˆx = g(x, τ) орбиты точки x можно попасть единственным
преобразованием группы. Если же в каждую точку орбиты можно
попасть несколькими преобразованиями группы, группа называет-
ся кратно транзитивной. Группа, не являющаяся транзитивной,
называется интранзитивной.

Транзитивные свойства группы тесно связаны с свойствами матрицы 
Якоби ∂gi(x, τ)/∂τ k. В частности:
rank
∂gi(x, τ)

∂τk

= n
⇒
транзитивность;
rank
∂gi(x, τ)

∂τk

< n
⇒
интранзитивность;
n = q, det
∂gi(x, τ)

∂τk

̸= 0
⇒
просто транзитивность.

Глава 1. Из теории локальных групп Ли

Далее отдельно рассматривается случай, когда параметр τ
в уравнениях группы (1.1) один (q = 1, § 2), и случай q > 1 (§ 4).

§ 2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Теорема 2.1. Преобразованием параметра τ можно добиться того,
что равенства
ˆxi = gi(x1, . . . , xn, τ),
(2.1)

задающие однопараметрическую (τ
∈
R1) группу преобразований 
G1, являются решением некоторой стационарной (автономной)
системы обыкновенных дифференциальных уравнений

dˆxi

dτ = ηi(ˆx),
(2.2)

ˆx(0) = x.
(2.3)

Обратно: решение (2.1) произвольной стационарной (автономной)
системы (2.2) с начальными данными (2.3) определяют однопара-
метрическую группу с законом умножения

π(τ, ˜τ) = τ + ˜τ,

т. е. выполняется равенство

g
g(x, τ), ˜τ
= g(x, τ + ˜τ).
(2.4)

□ Введем обозначения

ηi(x) = ∂gi(x, τ)

∂τ

τ=0
,
˜η(τ) = ∂π(τ, ˜τ)

∂τ

˜τ=0
,
(2.5)

продифференцируем (1.3) по τ; положив затем τ = 0, получим
равенство

ηi(x) = dˆxi

dτ ˜η(τ).

После замены переменной

τ →

τ
0

dτ
˜η(τ)

приходим к системе (2.2). Соотношение (2.4) — известный факт
из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Из (2.4)
следует выполнение групповых аксиом (1.3)–(1.5).
■

§ 2. Однопараметрические группы
9

Каждой однопараметрической группе (2.1) соответствует инфи-
нитезимальный оператор (генератор)

X =

n
i=1
ηi(x) ∂

∂xi ,
(2.6)

который в силу системы (2.2) является оператором дифференци-
рования по параметру τ. Если группа задана конечными уравне-
ниями (2.1), то коэффициенты ηi(x) оператора (2.6) вычисляются
по формуле (2.5). Для того, чтобы получить связь между коэффи-
циентами одного и того же оператора (2.6) относительно разных
переменных, сделаем диффеоморфное преобразование переменных
ˆyi = ˆyi(ˆx) в системе (2.2):

dˆyi

dτ =
n
k=1

∂ˆyi(ˆx)

∂ˆxk ηk(ˆx)
ˆx→ˆy
=
X ˆyi(ˆx)
ˆx→ˆy.

Таким образом, при переходе к другим переменным yi = yi(x)
оператор (2.6) принимает следующий вид:

X =

n
i=1

X ˆyi(ˆx)
x→y
∂
∂yi .
(2.7)

Вопрос об инвариантах (см. определение 1.2) однопараметриче-
ских групп решает следующая

Теорема 2.2. Функция w(x) является инвариантом группы (2.1)
(см. определение 1.2) в том и только в том случае, если для нее
выполняется равенство
X w = 0,

где X — инфинитезимальный оператор (2.6) группы (2.1).

□ Продифференцировав соотношение (1.6) по τ, с учетом (2.2)
получим эквивалентное соотношение

dw(ˆx)

dτ
=

n
i=1

∂w(ˆx)

∂ˆxi
dˆxi

dτ =

n
i=1
ηi(ˆx)∂w(ˆx)

∂ˆxi
= 0,

которое совпадает с условием X w = 0.
■

Для того чтобы найти инварианты конкретной группы (2.1),
нужно, используя оператор (2.6), составить дифференциальное урав-
нение

X w =

n
i=1
ηi(x)∂w(x)

∂xi
= 0
(2.8)

Глава 1. Из теории локальных групп Ли

и найти его решения. В тривиальном случае

X = 0
(ηi(x) ≡ 0)

группа (2.1) содержит единственное преобразование ˆx = x, при этом
любая функция w(x) является инвариантом. В предположении

n
i=1
{ηi(x)}2 ̸= 0
(2.9)

уравнение
(2.8)
имеет
функционально
независимые
решения
w1(x), . . . , wn−1(x) — первые интегралы системы (2.2), а любое
другое решение w(x) есть функция от них:

w(x) = F
w1(x), . . . , wn−1(x)
.

Теорема 2.3 (о «выпрямлении» оператора). Пусть для опера-
тора (2.6) выполнено условие (2.9). Тогда диффеомормизмом x ↔ z
оператору можно придать вид ∂/∂z1.

□ На первом шаге с использованием функционально независимых
инвариантов w1(x), . . . , wn−1(x) сделаем диффеоморфную замену
переменных:

y1 = y1(x),
yk = wk−1(x),
k = 2, n.

Вследствие равенств (2.7) и X wk = 0 оператор (2.6) примет вид

X = h(y) ∂

∂y1 ,
где
h(y) = X y1(x)|x→y.

Так
как
при
диффеоморфизмах
свойство
(2.9)
сохраняется
(см. (2.7)), для h(y) выполняется условие h(y) ̸= 0.
Теперь достаточно сделать замену переменных

z1 =
dy1

h(y1, y2, . . . , yn),
zk = yk,
k = 2, n,

чтобы завершить доказательство теоремы:

X = (X z1) ∂

∂z1 =
∂z1

∂y1

∂

∂z1 =
∂
∂z1 .
■

В доказательстве теоремы содержится алгоритм «выпрямления»
конкретного оператора.

Теорема 2.4. Система уравнений (1.9) задает в пространстве Rn

инвариантное многообразие M группы (2.1) в том и только в том
случае, если выполняются равенства

X f k|x∈M =

n
i=1
ηi(x)∂f k(x)

∂xi

x∈M
= 0,
k = 1, m.
(2.10)