Курс математического анализа

Курс
математического
анализа

Москва
Лаборатория знаний
2020

8-е издание,  электронное

А. М. Тер-Крикоров
М. И. Шабунин

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению «Прикладная математика и физика» 
или по другим направлениям и специальностям в области
математических и естественных наук, техники и технологии

УДК 517 (075.8)
ББК 22.161
T35

Р е ц е н з е н т:
заведующий кафедрой математики
физического факультета МГУ
доктор физико-математических наук, профессор
В. Ф. Бутузов
Тер-Крикоров А. М.
T35
Курс математического анализа : учебное пособие для ву-
зов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. — 8-е изд., элек-
трон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 675 с. — Систем. тре-
бования: Adobe Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экра-
на. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-702-8
В пособии изложение теоретического материала иллюстриру-
ется типовыми примерами. Большое внимание уделено трудным
разделам курса математического анализа (равномерная сходимость
функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра,
равномерная непрерывность функций и т. д.).
Для студентов физико-математических и инженерно-физических
специальностей вузов с углубленной подготовкой по математике.
Может быть использовано при самостоятельном изучении курса.
УДК 517 (075.8)
ББК 22.161

Деривативное издание на основе печатного аналога: Курс
математического анализа : учебное пособие для вузов / А. М. Тер-
Крикоров, М. И. Шабунин. — 7-е изд. — М. : Лаборатория знаний,
2017. — 672 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-039-5.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от наруши-
теля возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-702-8
c○ Лаборатория знаний, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

При написании настоящей книги авторы опирались на многолетний опыт чтения курса математического анализа и ведения семинарских занятий в Московском физико-техническом институте. Изложение теоретического материала подкрепляется достаточным числом 
примеров, помогающих освоению основных идей курса и выработке 
навыков в решении прикладных задач. Особое внимание уделяется 
таким традиционно трудным для студентов понятиям, как равномерная непрерывность функции, сходимость несобственных интегралов, 
равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра.
Наряду с традиционными разделами курса математического анализа в книге кратко изложены элементы теории обобщенных функций 
и простейшие методы получения асимптотических оценок интегралов. Вопросы приближенных вычислений интегралов и сумм рядов в 
настоящее время обычно входят в курсы вычислительной и прикладной математики и в данной книге не рассматриваются.
Следует отметить, что основы построения и стиль преподавания 
математического анализа в МФТИ разработаны большим коллективом преподавателей кафедры высшей математики. Это обстоятельство оказало несомненное влияние на авторов при написании предлагаемой читателю книги, которая может служить учебным пособием 
для физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов с повышенной программой по математике. Книга может 
оказаться полезной и при самостоятельном изучении курса математического анализа.
Тираж первого издания (1988 г.) быстро разошелся и возникла 
потребность во втором издании (1997 г., издательство МФТИ). Учитывая пожелания читателей, авторы переработали многие разделы 
курса, и в первую очередь материалы глав X (кратные интегралы) 
и XIV (ряды Фурье).
При переработке были упрощены доказательства ряда сложных 
теорем. Большое внимание уделено изложению основных идей доказательств. Авторы стремились избежать чрезмерной детализации, но не 
в ущерб логической строгости. Так, без существенного ограничения 
общности дано более простое изложение теории жордановой меры и

Предисловие

кратных интегралов (глава X). В главе XIV упрощены доказательства 
ряда теорем за счет незначительного сужения классов рассматриваемых функций.
Главы XVI и XVII из первого издания книги, представляющие 
интерес для более узкого круга учащихся, в настоящее издание не 
включены.
Опущены также доказательства ряда теорем (интегрируемость по 
Риману функции, имеющей конечное число точек разрыва первого 
рода, теорема Римана об условно сходящихся рядах, признак Раабе 
сходимости ряда и др.). Исключены некоторые примеры повышенной 
трудности, разобранные в первом издании, добавлены задачи для самостоятельного решения.
Авторы признательны преподавателям и студентам МФТИ, сделавшим ряд ценных замечаний и указавшим авторам на опечатки и 
неточности, допущенные в первом издании книги.
Особую благодарность авторы выражают профессорам кафедры высшей математики МФТИ П.Б. Гусятникову, В.Б. Лидскому, 
Е.С. Половинкину и доценту В.И. Чехлову.
В третье издание внесены необходимые исправления и дополнения.

Г Л А В А  I 

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Рациональные числа.
Бесконечные десятичные дроби

1. 
Логическая символика. При изложении курса математического анализа для сокращения будем использовать логические символы V, 3, =А 
значения которых разъясняются в приводимой ниже 
таблице.

Символ
Название
Разъяснение

V
Знак общности
Зам еняет слова: для любого, для 
каждого, для всех
3
Знак существования
Зам еняет 
слова: 
сущ ествует, 
найдется
=>
Знак следования (импликации)
Запись А  => В  означает, что А  влечет В  или В  следует из А
Знак равносильности 
(эквивалентности)
Запись Л О- В  означает, что В  следует из Л и Л следует из В. Иначе: 
Л равносильно В ; Л необходимо и 
достаточно для В ; Л тогда и только тогда, когда В

Символы V, 3 называют кванторами (общности и существования).
Кроме указанных в таблице символов, употребляются также следующие знаки:
а) V — знак дизъюнкции, заменяет союз “или”; запись .4 V В означает, что имеет место хотя бы одно из высказываний А, В;
б) А — знак конъюнкции, заменяет союз “и”;
в) ] — знак отрицания-, запись ]4  означает “не 4 ” (отрицание
высказывания 4).
Рассмотрим примеры использования логических символов.
Пр име р  1. Пусть
4 _  /  квадратный трехчлен у = ах2 + Ьх + с принимает 1 
— 1 положительные значения при всех х 
J ’

В = {D < 0}, 
где 
D = Ь2 — 4ас,
С = {D < 0, а > 0} = {D < 0} А {а > 0}.

Докажем, что 4  =4- В, А ФЛ С.
А а) Предположим, что из 4  не следует В. Тогда D = Ъ2 — 4ас 
0.

Гл. I. Вещественные числа

В этом случае квадратный трехчлен у = ах2 + Ъх + с имеет действительные корни х\ и Х2 (xi = Х2 при D — 0) и поэтому обращается 
в нуль при х — х\ и х — Х2, что противоречит А. Итак, предположение о том, что из А не следует В , является неверным. Поэтому из А 
следует Б, т. е. А => В.
б) Докажем, что А => С. Воспользуемся равенством

у = а [(*+£) +
- D
4аЧ
(1)

Так как А => {D < 0}, то выражение в квадратных скобках в формуле (1 ) положительно, и поэтому из условия у > 0 следует, что а > 0.
Итак, А => С.
Обратно: если имеет место С, т. е. 
D < 0 и а > 0, то из равенства (1) 
следует, что у > 0 при всех х.
Таким образом, квадратный трехчлен у = ах2 + Ъх + с принимает положительные значения при всех действительных значениях х (рис. 1 .1 ) 
тогда и только тогда, когда а > 0 и 
D = 1г — 4ас < 0. А
Использование кванторов V, 3 позволяет не только сокращать запись, 
но и легко строить отрицания утверждений (высказываний, определений), содержащих слова “любой”, “существует”, которые часто 
встречаются в определениях и теоремах.
Приме р 2. Пусть заданы числовое множество X  и число М. Записать с помощью кванторов отрицание утверждений: 
ч Л 
Г все элементы х числового множества X
а 
I

б) В =

удовлетворяют условию х < М
существует число М > 0 такое, что все элементы х 
из множества X  удовлетворяют условию |ж| ^ М
Д а) Пусть А не имеет места, т. е. не все элементы х множества X  
удовлетворяют условию х < М . Это означает, что найдется (существует) такой элемент х Е X, для которого неравенство х < М не выполняется, т. е. имеет место противоположное неравенство х ^ М. 
Запишем А и ]А с помощью кванторов:

А = {Vx 
М},
]А = {Эх G X : ж ^ М}.

Здесь знак —>• заменяет слова “выполняется”, “имеет место”, а двоеточие заменяет слова “такой, что”.
б) 
Пусть В не имеет места, т. е. не существует числа М  > 0 такого, чтобы для любого х G X  имело место неравенство |ж| ^ М. Это

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби
7

означает, что для любого М  > О неравенство |ж| ^  М  не может выполняться для каждого х £ X. Иначе говоря, существует такой элемент 
х = Хм £ X  (зависящий, вообще говоря, от М), для которого неравенство |ж| ^  М  не выполняется, т. е. справедливо неравенство \хм\ < М. 
С помощью кванторов утверждения В и ] В можно записать так:

В = {ЗА/ > 0 : Va: G X  -> |ж| > А/}, 
]В = {VM > 0 Зхм £ X: \хм \ < М}. 
▲

Эти примеры показывают, что отрицание утверждения, содержащего кванторы V, 3 и свойство Р (в данных примерах это неравенства 
ж < А/ и |ж| 
М  соответственно), получается заменой V на 3, 3 на V 
и свойства Р — на его отрицание.
2. 
Рациональные числа и их свойства. Понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел известны из курса 
математики для средней школы. Рациональное число можно записать 
в виде p/q, где р — целое, q — натуральное число. В частности, любое 
целое число р является рациональным, так как его можно записать в 
виде р = р/1. Например, 0 = 0/1, 1 = 1/1.
Пусть а = p/q, b = pi fq\ — два рациональных числа. Тогда правило 
упорядочения этих чисел определяется так:
а) если pqi = 
qpi, то а = Ь;
б) если pqi > 
qpi, то а > Ь;
в) если pqi < 
qpi, то а < Ь;
а сумма и произведение чисел а и Ь определяются соответственно равенствами
а + ь = т ± Ш ,  
аЪ = р-а .
qqi 
qqi
Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают 
свойствами:
а) коммутативности:
а + b = b + а, 
ab = Ьа;
б) ассоциативности:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), 
(аЬ)с = а(Ьс);
в) дистрибутивности:
а(Ь + с) = ab + ас;
г) для любого рационального числа а справедливы равенства

а + 0 = а, 
а ■ 1 = а.
Операции вычитания и деления вводятся как обратные соответственно к операциям сложения и умножения:
а) 
для любых рациональных чисел а, Ь существует (и притом 
единственное) число ж такое, что

Ъ + х = а;

Гл. I. Вещественные числа

это число называют разностью чисел а и Ь и обозначают а — Ъ; в частности, разность 0 — Ь обозначают —Ъ;
б) если Ьф 0, то существует единственное число г такое, что

bz = а;

это число называют частным чисел а и Ь и обозначают а/Ь.
Отметим еще основные свойства неравенств для рациональных 
чисел:
а) если а > Ь и 
Ь > с, то а > с (транзитивность);
б) если а > Ь, то а + с > b + с при любом с;
в) если а > Ъ и с > d, то а + с > b + d;
г) если а > Ъ и 
с > 0, то ас > Ьс;
д) если а > Ъ и с < 0, то ас < Ьс.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел,
Q — множество рациональных чисел.
В множестве Q можно выполнять не только четыре арифметических действия, но и решать уравнения и системы уравнений первой 
степени. Однако даже простейшие квадратные уравнения вида х2 = а, 
где а £ А/, не всегда разрешимы в множестве Q. В частности, уравнение х 2 = 2 не имеет решений в множестве Q.
Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типа 
х2 = а, х3 = а, где а £ N, приводит к необходимости расширения 
множества рациональных чисел путем добавления к этому множеству 
новых элементов, называемых иррациональными числами. Ниже (без 
изложения всех подробностей) показывается, как такое расширение 
строится.

3. Бесконечные десятичные дроби и их приближения.
а) 
Периодичные десятичные дроби. Из школьного курса алгебры 
известно, что любое рациональное число можно представить либо в 
виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной 
дроби, используя алгоритм деления “уголком”. Например, рациональному числу 3/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,375, т. е. 
3/8 = 0,375. Аналогично, рациональному числу —27/11 соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь —2.15 15... = —2,(45), 
т. е. -27/11 = -2,(45).
Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь, 
можно найти рациональное число, представлением которого эта дробь 
является. Для этого используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии а + aq + aq2 + ... = —^—, |g| < 1 .
1 
Q

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби
9

Например,
45
2 (45) = 2 + ^  Н 
— 
h 
= 2 Н 
122 
= 2 + — = —
’ 
+  
100 1002 
" 
99 
11'
100
Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, 
будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичной 
дробью с нулем в периоде. Заметим, что рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 = 
= 2,5(0) = 2,4(9).
Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и 
множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей 
устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде.
Условимся употреблять такие бесконечные периодические десятичные дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникает 
в процессе рассуждений, то будем такую дробь заменять бесконечной 
десятичной дробью с нулем в периоде.

У п р а ж н е н и е  1. Доказать, что если -  
(р € Л/, q € N) —  рациональ-
<1
ное число, соответствую щ ее бесконечной периодической десятичной дроби
а , то рациональное число I0k -  
(k € N) соответствует бесконечной пери-
<1
одической десятичной дроби, получаемой из а сдвигом запятой вправо на 
к разрядов. Используя это правило, показать, что если бесконечная периодическая десятичная дробь имеет вид а. =  ао, ai...a„(bi...bm), то
a\a2...anb\b2...bm 
0,10,2 ...an
а = ао Н-----------------------------------.
9 9...900...0

б) 
Множество вещественных чисел. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида
±ao,aia,2...an... 
(2)

Эта дробь определяется заданием знака + или —, целого неотрицательного числа ао и последовательности десятичных знаков 
ai, «2,..., ап, ... (множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всякую дробь вида (2) будем называть 
вещественным числом. Если перед дробью (2) стоит знак +, его обычно опускают и пишут
a0,a ia2...a„... 
(3)

Число вида (3) будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел ao,ai,a2, ...,ап, ... отлично

Гл. I. Вещественные числа

от нуля, — положительным вещественным числом. Число вида
-ао,а 1а2-.ап..., 
(4)
где хотя бы одно из чисел ао, oti, 0,2, ••• отлично от нуля, будем называть отрицательным вещественным числом.
Если а = ao,aia,2...an..., Ъ = —ao,aia2—an..., то число Ь называют 
противоположным числу а, а число а — противоположным числу Ь.
Если дробь (2) является периодической, то ее называют рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее 
называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дробей вида (2) называют множеством вещественных чисел и обозначают R, а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных 
дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают J. 
Приведем примеры иррациональных чисел.

1) 
а = 0,1234567891011... 
(5)
Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные подряд, 
начиная с единицы.

2) 
Ь = 27,1010010001000010... 
(6)

Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000, 
Ю4 = 10000 и т. д.

У п р а ж н е н и е  2. П оказать, что числа а и Ь, заданные равенствами (5) 
и (6), являю тся иррациональными.

в) 
Десятичные приближения вещественных чисел. Поставим в соответствие неотрицательному вещественному числу (3) конечные десятичные дроби

а п = а0,оц...ап + 
а п = а0,а 1 ...ап

и будем называть их п-ми десятичными приближениями числа а = 
= ao,aia,2...an... соответственно с избытком и недостатком. Если а 
— отрицательное вещественное число вида (4), то для него п-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами
_  
1 
а п = - а 0,аi-.an, 
а п = - а 0,аi...a„ -  — .

Десятичные приближения найдут применение при определении арифметических операций на множестве R (§ 3).

У п р а ж н е н и е  3. Показать, что для любого вещественного числа его 
десятичные приближения обладают следующими свойствами:
а) а к - а к =  ^
,  
к  €  /V;
б) 
^  а, ^  ... ^  ап ^  ...;

в) a i ^ a . 2 ^  ... ^  а п ]>: ...;
г) а п <  а т для любых п и т , .