Электромагнетизм. Основные законы

основные
законы

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений

И. Е. Иродов

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Москва
Лаборатория знаний
2 0 2 1

12-е издание, электронное

УДК 004.514
ББК 32.973
И83

Иродов И. Е.
И83
Электромагнетизм.
Основные
законы
/
И. Е. Иродов. —
12-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 322 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул.
экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-520-2
Книга содержит теоретический материал (основные идеи электромагнетизма), 
а также разбор многочисленных примеров и задач. Задачи
тесно связаны с основным текстом и часто являются его развитием
и дополнением. Материал книги, насколько возможно, освобожден от
излишней математизации — основной акцент перенесен на физическую
сторону рассматриваемых явлений.
Для студентов физических специальностей вузов.
УДК 004.514
ББК 32.973

Деривативное издание на основе печатного аналога: Электромагнетизм.
Основные законы / И. Е. Иродов. — 11-е изд. — М. : Лаборатория знаний,
2019. — 319 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-150-7.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-520-2
© Лаборатория знаний, 2015

Содержание

▼

Предисловие к 4-му изданию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Принятые обозначения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Электростатическое поле в вакууме
. . . . . . .
9

§ 1.1. Электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

§ 1.2. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

§ 1.3. Применения теоремы Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

§ 1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме . . . . . . .
22

§ 1.5. Циркуляция вектора Е. Потенциал . . . . . . . . . . . . . .
25

§ 1.6. Связь между потенциалом и вектором Е . . . . . . . . . .
29

§ 1.7. Электрический диполь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

Глава 2. Проводник в электростатическом поле . . . .
45

§ 2.1. Поле в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 2.2. Поле внутри и снаружи проводника . . . . . . . . . . . . . .
46

§ 2.3. Силы, действующие на поверхность проводника . .
49

§ 2.4. Свойства замкнутой проводящей оболочки . . . . . . .
51

§ 2.5. Общая задача электростатики. Метод изображений
53

§ 2.6. Электроемкость. Конденсаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Глава 3. Электрическое поле в диэлектрике
. . . . . . . .
68

§ 3.1. Поляризация диэлектрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

§ 3.2. Поляризованность Р . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

§ 3.3. Свойства поля вектора Р . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

§ 3.4. Вектор D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

§ 3.5. Условия на границе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

§ 3.6. Поле в однородном диэлектрике . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

Глава 4. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . .
96

§ 4.1. Электрическая энергия системы зарядов . . . . . . . . .
96

§ 4.2. Энергия заряженных проводника и конденсатора . 100
§ 4.3. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§ 4.4. Система двух заряженных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 4.5. Силы при наличии диэлектрика . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Глава 5. Постоянный электрический ток . . . . . . . . . . . . 119

§ 5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывности . . . . . . . 119
§ 5.2. Закон Ома для однородного проводника . . . . . . . . . . 122

Содержание

§ 5.3. Обобщенный закон Ома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 5.4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа . . . . . . . . . 129
§ 5.5. Закон Джоуля–Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 5.6. Переходные процессы в цепи с конденсатором . . . . 135
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Глава 6. Магнитное поле в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

§ 6.1. Сила Лоренца. Поле В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 6.2. Закон Био–Савара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
§ 6.3. Основные законы магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 6.4. Применения теоремы о циркуляции вектора В . . . . 154
§ 6.5. Дифференциальная форма основных законов маг-
нитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

§ 6.6. Сила Ампера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 6.7. Момент сил, действующих на контур с током . . . . . 163
§ 6.8. Работа при перемещении контура с током . . . . . . . . 165
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Глава 7. Магнитное поле в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

§ 7.1. Намагничение вещества. Намагниченность J . . . . . 177
§ 7.2. Циркуляция вектора J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 7.3. Вектор Н . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 7.4. Граничные условия для В и Н . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
§ 7.5. Поле в однородном магнетике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 7.6. Ферромагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Глава 8. Относительность электрического и маг-
нитного полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

§ 8.1. Электромагнитное поле. Инвариантность заряда . . 204
§ 8.2. Законы преобразования полей Е и В . . . . . . . . . . . . . . 206
§ 8.3. Следствия из законов преобразования полей . . . . . . 212
§ 8.4. Инварианты электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . 214
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Глава 9. Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . 224

§ 9.1. Закон
электромагнитной
индукции.
Правило
Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

§ 9.2. Природа электромагнитной индукции . . . . . . . . . . . 227
§ 9.3. Явление самоиндукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
§ 9.4. Взаимная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
§ 9.5. Энергия магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 9.6. Магнитная энергия двух контуров с токами . . . . . . . 246
§ 9.7. Энергия и силы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Содержание
5

Глава 10. Уравнения Максвелла. Энергия электро-
магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

§ 10.1. Ток смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
§ 10.2. Система уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
§ 10.3. Свойства уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 10.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга . . . . . 274
§ 10.5. Импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . 278
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Глава 11. Электрические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

§ 11.1. Уравнение колебательного контура . . . . . . . . . . . . . 288
§ 11.2. Свободные электрические колебания . . . . . . . . . . . . 291
§ 11.3. Вынужденные электрические колебания . . . . . . . . 296
§ 11.4. Переменный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

1. Единицы величин в СИ и системе Гаусса . . . . . . . . . . . . . 311
2. Основные формулы электромагнетизма в СИ и системе
Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

3. Основные величины и единицы СИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4. Греческий алфавит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5. Некоторые физические константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Основная идея предлагаемой книги — органически совместить в
одном учебном пособии изложение принципов теории и практику ре-
шения задач. С этой целью в каждой главе сначала излагается теория
соответствующего вопроса (с иллюстрацией на конкретных примерах),
а затем дается разбор ряда задач, где показывается, как, по мнению
автора, надо подходить к их решению. Задачи тесно связаны с основ-
ным текстом, часто являются его развитием и дополнением, поэтому
работа над ними должна проводиться параллельно с изучением основ-
ного материала. Кроме того, предлагаемый набор задач должен, по за-
мыслу автора, дать возможность учащемуся дополнительно обдумать
ряд важных вопросов и помочь представить (даже если многие задачи
не решать, а просто прочитать) большой диапазон приложения изучае-
мых идей.
При изложении теоретического материала автор стремился исклю-
чить из текста все второстепенное, с тем чтобы сконцентрировать вни-
мание на основных законах электромагнетизма и, в частности, на во-
просах
наиболее
трудных
для
понимания.
Стремление изложить
основные идеи кратко, доступно и вместе с тем достаточно корректно
побудило автора насколько возможно освободить материал от излиш-
ней математизации и перенести основной акцент на физическую сто-
рону рассматриваемых явлений. С этой же целью широко использова-
ны различные модельные представления, упрощающие факторы, част-
ные случаи, соображения симметрии и др.
Изложение ведется в СИ. Вместе с тем, учитывая достаточно широ-
кое использование системы Гаусса, в Приложении дана сводка основ-
ных единиц и наиболее важных формул как в СИ, так и в системе Га-
усса.
Курсивом выделены важнейшие положения и термины. Петит ис-
пользуется для материала повышенной трудности и относительно гро-
моздких расчетов (этот материал при первом чтении можно безболез-
ненно опустить), а также для примеров и задач.
Книга как учебное пособие рассчитана на студентов вузов с расши-
ренной программой по физике (в рамках общего курса физики). Она
может быть также полезной и преподавателям вузов.
В четвертом издании внесены некоторые дополнения и уточнения,
а также исправлены неточности и опечатки, замеченные читателями.
Этим читателям автор искренне признателен.
И. Иродов

Предисловие к 4-му изданию

Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например, r, E);
та же буква светлым шрифтом (r, E) означает модуль вектора.
Средние величины отмечены скобками , например v, P.
Символы перед величинами означают:
— конечное приращение величины, т. е. разность ее конечного и
начального значений, например E = E2 – E1, = 2 – 1;
d — дифференциал (бесконечно малое приращение), dE, d;
— элементарное значение величины, например A;
T — пропорционально, например T q;
— величина порядка... Например l 102 м.
Орты — единичные векторы:
ex, ey, ez (или i, j, k) — орты декартовых координат;
e, e, ez — орты цилиндрических координат , , z;
n — орт нормали к элементу поверхности;
t — орт касательной к контуру или границе раздела.
Производная по времени от произвольной функции f обозначена
f/t или точкой, стоящей над функцией, f
.
.
Интегралы любой кратности обозначены одним единственным зна-
ком и различаются лишь обозначением элемента интегрирования:
dV, dS, dl — элементы объема, поверхности, контура. Знак K — интег-
рирование по замкнутому контуру или по замкнутой поверхности.
Векторный оператор D (набла). Операции с ним обозначены так:
D— градиент (grad ),
D E — дивергенция E (div E),
D E — ротор E (rot E).

Обозначения и названия единиц

А — ампер
Дж — джоуль
с — секунда
В — вольт
Кл — кулон
См — сименс
Вб — вебер
м — метр
ср — стерадиан
Вт — ватт
мин — минута
Тл — тесла
Гн — генри
Мкс — максвелл
Ф — фарад
Гс — гаусс
Н — ньютон
ч — час
Гц — герц
Ом — ом
Э — эрстед
дин — дина
рад — радиан
эВ — электронвольт

Десятичные приставки к названиям единиц

Г — гига, 109
м — милли, 10–3

М — мега, 106
мк — микро, 10–6

к — кило, 103
н — нано, 10–9

с — санти, 10–2
п — пико, 10–12

Принятые обозначения

§ 1.1. Электрическое поле

Электрический заряд. В настоящее время известно, что в
основе всего разнообразия явлений природы лежат четыре фун-
даментальных взаимодействия между элементарными частица-
ми — сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.
Каждый вид взаимодействия связывается с определенной ха-
рактеристикой частицы. Например, гравитационное взаимо-
действие зависит от масс частиц, электромагнитное — от элект-
рических зарядов.
Электрический заряд частицы является одной из основных,
первичных ее характеристик. Ему присущи следующие фунда-
ментальные свойства:
1) электрический заряд существует в двух видах: как поло-
жительный, так и отрицательный;
2) в любой электрически изолированной системе алгебраиче-
ская сумма зарядов не изменяется, это утверждение выражает
закон сохранения
электрического заряда;
3) электрический заряд является релятивистски инвариант-
ным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не
зависит от того, движется он или покоится.
Эти фундаментальные свойства электрического заряда име-
ют, как мы увидим, далеко идущие последствия.
Электрическое поле. Согласно современным представлениям
взаимодействие между зарядами осуществляется через поле.
Всякий электрический заряд q изменяет определенным обра-
зом свойства окружающего его пространства — создает элект-
рическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный
в какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает
действие силы.

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвиж-
ный точечный пробный заряд q, всегда может быть представ-
лена как

F qE,
(1.1)

где вектор Е называют напряженностью электрического
поля в данной точке. Вектор Е, как видно из (1.1), можно
определить как силу, действующую на единичный положите-
льный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что проб-
ный заряд qдолжен быть достаточно малым, чтобы его вне-
сение не вызвало заметного искажения интересующего нас
поля (вследствие возможного перераспределения создающих
поле зарядов).
Поле точечного заряда. Из опыта (закон Кулона) непосред-
ственно следует, что напряженность поля неподвижного точеч-
ного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

E
e
1
4
0
2
q

r
r ,
(1.2)

где 0 — электрическая постоянная; еr — орт радиуса-вектора r,
проведенного из центра поля, в котором расположен заряд q, до
интересующей нас точки. Формула (1.2) записана в СИ. Здесь
коэффициент

1/40 9 · 109 м/Ф,

заряд q определяют в кулонах (Кл), напряженность поля Е — в
вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q век-
тор Е направлен так же, как и r, или противоположно ему.
По существу формула (1.2) выражает не что иное, как закон
Кулона, но в «полевой» форме. Весьма важно, что напряженность 
Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату 
расстояния r. Вся совокупность экспериментальных фактов 
показывает, что этот закон справедлив для расстояний от
10–13 см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований 
ожидать, что этот закон не выполняется и при больших
расстояниях.

10
Глава 1

Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным 
зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит
от того, покоится пробный заряд или движется. Это относится
и к системе неподвижных зарядов.
Принцип суперпозиции. Другой опытный факт, кроме закона (
1.2), заключается в том, что напряженность поля системы
точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей 
полей, которые создавали бы каждый из зарядов в
отдельности:

E
E
e
i
i

i
ri
q

r

1
4
0
2
,
(1.3)

где ri — расстояние между зарядом qi и интересующей нас точкой 
поля.
Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) 
электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных 
свойств полей и позволяет вычислять напряженность 
поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности 
точечных зарядов, вклад каждого из которых дается
формулой (1.2).
Распределение зарядов. Для упрощения математических
расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот
факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны,
ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом в
пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное
распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным 
распределением. Это позволяет значительно упрощать 
расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.
При переходе к непрерывному распределению вводят понятие 
о плотности зарядов — объемной , поверхностной и линейной . 
По определению,

d
d
d
d
d
d
q
V
q
S
q
l
,
,
,
(1.4)

где dq — заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на
поверхности dS и на длине dl.

Электростатическое поле в вакууме
11

С учетом этих распределений формула (1.3) может быть
представлена в другой форме. Например, если заряд распределен 
по объему, то надо заменить qi на dq = dV и на , тогда

E
e
r
1
4
1
4
0
2
0
3
r V

r

V

r

d
d
,
(1.5)

где интегрирование проводится по всему пространству, в кото-
ром отлично от нуля.
Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем пол-
ностью решить задачу о нахождении напряженности электри-
ческого поля по формуле (1.3), если распределение дискретно,
или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение не-
прерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными
трудностями (правда, не принципиального характера). Дейст-
вительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначала
его проекции Еx, Еy, Еz, а это по существу три интеграла типа
(1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает
той или иной симметрией, задача, как правило, значительно
облегчается. Приведем два примера.

Пример 1. Поле на оси тонкого равномерно заряженного кольца. За-
ряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу ради-
усом а. Найти напряженность Е электрического поля на
оси кольца как функцию расстояния z от его центра.

Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен
быть направлен по оси кольца (рис. 1.1). Выделим на коль-
це около точки А элемент dl. Запишем выражение для со-
ставляющей dEz от этого элемента в точке С:

d
d
E
l

r
z 1
4
0
2
cos
,

где = q/2a. Для всех элементов
кольца r и будут одними и теми
же, поэтому интегрирование этого
выражения сводится просто к заме-
не dl на q. В результате

E
q
z

a
z
4
0
2
2 3
2
(
) /
.

12
Глава 1

Рис. 1.1

Видно, что при z J а поле Е q/40z2, т. е. на больших
расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

Пример 2. Поле равномерно заряженной прямой нити. Тонкая пря-
мая нить длиной 2l заряжена равномерно зарядом q. Найти
напряженность Е поля в точке, отстоящей на расстояние х
от центра нити и располо-
женной симметрично от-
носительно ее концов.

Из соображений симмет-
рии ясно, что вектор Е
должен
иметь
направле-
ние, показанное на рис.
1.2.
Это
подсказывает,
как надо поступить далее:
определим составляющую
dEx от элемента dl нити с
зарядом dq и затем проин-
тегрируем по всем элемен-
там нити. В нашем случае

d
d
d
E
E
l

r
x cos
cos
1
4
0
2
,

где = q/2l — линейная плотность заряда. Приведем это
уравнение
к
виду,
удобному
для
интегрирования.
Из
рис. 1.2 видно, что dl cos = r dи r = x/cos , поэтому

d
d
d
E
r

r
x
x 1
4
4
0
2
0
cos
.

Это выражение легко проинтегрировать:

E
x
x
4
2
4
2
0
0
0
0

0
cos
sin
d
,

где 0 — максимальное значение угла , sin
/
0
2
2
l
l
x ,
поэтому

E
q
l
x
l

l
x

q

x l
x
/2
4
2
1
4
0
2
2
0
2
2
.

И здесь Е q/40x2 при x J l, как поле точечного заряда.

Электростатическое поле в вакууме
13

Рис. 1.2