Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОФИЗИКЕ

4е  издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2021

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.24
ББК 26.2
Я30

С е р и я о с н о в а н а в 2009 г.
Ягола А. Г.
Я30
Обратные задачи и методы их решения. Приложения
к геофизике / А. Г. Ягола, Ван Янфей, И. Э. Степанова,
В. Н. Титаренко. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2021. — 219 с. — (Математическое моделирование). —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-555-4
Книга написана на основе курса лекций, читавшихся студентам
физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. В качестве
основных приложений рассматривались обратные задачи геофизики.
Математический аппарат, описанный в первой главе, с успехом
применялся для решения обратных задач астрофизики, обработки
изображений, колебательной спектроскопии, электронной микроскопии, 
акустики и многих других.
Книга будет полезна студентам, аспирантам, научным сотрудникам, 
интересующимся современными методами решения обратных,
в том числе некорректно поставленных, задач.
УДК 519.24
ББК 26.2

Деривативное издание на основе печатного аналога: Обратные 
задачи и методы их решения. Приложения к геофизике / 
А. Г. Ягола, Ван Янфей, И. Э. Степанова, В. Н. Титаренко. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 216 с. : ил. — (Математическое 
моделирование). — ISBN 978-5-9963-0813-2.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя 
возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-555-4
© Лаборатория знаний, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Некорректно поставленные задачи . . . . . . . . . . . . . .
7

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

§ 2. Корректность постановки математической задачи . . . . .
8

§ 3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства
9

§ 4. Элементы теории линейных операторов . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 5. Примеры некорректно поставленных задач . . . . . . . . . . .
27

§ 6. Понятие регуляризирующего алгоритма . . . . . . . . . . . . . .
33

§ 7. Некорректные задачи на компактах . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

Глава 2. Задачи минимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 8. Постановка экстремальных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 9. Разрешимость задачи оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

§ 10. Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

§ 11. Выпуклые функционалы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

§ 12. Разрешимость задачи выпуклого программирования . . .
57

§ 13. Критерии выпуклости и сильной выпуклости . . . . . . . . .
62

§ 14. Сведения о матрицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

§ 15. Метод наименьших квадратов. Метод псевдообращения
70

§ 16. Минимизирующие последовательности . . . . . . . . . . . . . . .
74

§ 17. Некоторые методы решения одномерных экстремальных
задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

§ 18. Метод скорейшего спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

§ 19. Метод сопряженных градиентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

§ 20. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

§ 21. Методы нулевого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 22. Метод условного градиента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

§ 23. Метод проекции сопряженных градиентов . . . . . . . . . . . . 108
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Глава 3. Численные методы решения некорректных задач 113

§ 24. Компактные множества функций специального вида . . . 113
§ 25. Истокопредставимость решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§ 26. Регуляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова . . . . . . . . 119

Оглавление

§ 27. Обобщенный принцип невязки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 28. Несовместные некорректные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 29. Интегральные уравнения Фредгольма I рода . . . . . . . . . . 128
§ 30. Ряд, интеграл и преобразование Фурье
. . . . . . . . . . . . . . 130

§ 31. Вейвлеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 32. Уравнение типа свертки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Глава 4. Задачи гравиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

§ 33. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
§ 34. Прямые задачи гравиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 35. Обратные задачи гравиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 36. Численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 37. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Глава 5. Задачи магниторазведки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

§ 38. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 39. Теория магнитного потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
§ 40. Прямые задачи магниторазведки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

§ 41. Обратные задачи магниторазведки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 42. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Глава 6. Задачи сейсморазведки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

§ 43. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 44. Отражение и преломление волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 45. Сейсмокаротаж
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 7. Спектральное распределение аэрозоля . . . . . . . . . . 201

§ 46. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§ 47. Функции спектрального распределения . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 48. Рэлеевское рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ 49. Рассеяние Ми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
§ 50. Оптическая толщина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Именной указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга посвящена методам решения так называемых об-
ратных задач. Многочисленные обратные задачи можно найти
в различных областях естествознания — физике, химии, био-
логии. Если экспериментатор не имеет возможности непосред-
ственного измерения характеристик исследуемого объекта, ему
приходится проводить обработку и интерпретацию всех до-
ступных экспериментальных данных, решая при этом обрат-
ные задачи. Так, астрофизик не может активно воздействовать
на процессы, происходящие на далеких звездах и галактиках,
ему приходится делать заключения о физических характери-
стиках весьма удаленных объектов по их косвенным проявле-
ниям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на
космических станциях). Прекрасные примеры обратных задач
можно найти в медицине, прежде всего нужно отметить вы-
числительную (или компьютерную) томографию. Хорошо из-
вестны приложения обратных задач в геофизике (на самом де-
ле, легче и дешевле судить о том, что делается под поверхно-
стью Земли, решая обратные задачи, чем заниматься бурением
глубоких скважин), радиоастрономии, спектроскопии, ядерной
физике и т. д., и т. п. В последнее время интенсивно развива-
ются методы исследования обратных задач в экономике.
Многие обратные задачи относятся к числу так называе-
мых некорректно поставленных — при обработке приближен-
ных данных, полученных, например, из эксперимента, малым
изменениям входных данных могут соответствовать как угод-
но большие изменения решения. Современная теория реше-
ния некорректно поставленных задач, основанная на рабо-
тах российских математиков — А. Н. Тихонова, В. К. Иванова,
М. М. Лаврентьева и их научных школ, позволяет преодолеть
возникающие трудности. Цель настоящей книги — познакомить
читателей с основами этой теории.
Книга написана на основе курса лекций, читавшихся для
студентов физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо-

Предисловие

ва. В качестве основных приложений рассматривались обрат-
ные задачи геофизики. Математический аппарат, описанный
в первой главе, с успехом применялся для решения обрат-
ных задач астрофизики, обработки изображений, колебатель-
ной спектроскопии, электронной микроскопии, акустики и мно-
гих других. Поэтому книга может быть полезна для студентов,
аспирантов, научных сотрудников, интересующихся современ-
ными методами решения обратных, в том числе некорректно
поставленных, задач.

Авторы благодарят Российский фонд фундаментальных ис-
следований и Государственный фонд наук Китая за частич-
ную поддержку их совместных научных исследований, резуль-
таты которых отражены в данной книге (грант 12-01-91153-
ГФЕН_а).

Глава 1

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

В этой книге мы познакомимся с основными понятиями тео-
рии так называемых некорректных (или некорректно постав-
ленных) задач и численными методами их решения. Основате-
лем этой теории является выдающийся российский математик
Андрей Николаевич Тихонов, столетие со дня рождения ко-
торого мы отметили в 2006 г. Андрей Николаевич в течение
многих лет заведовал кафедрой математики физического фа-
культета МГУ, а в 1970 г. стал создателем и первым деканом
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Важно знать, что значительная часть жизни Андрея Никола-
евича была связана с геофизикой.
В 1937 г. по инициативе Отто Юльевича Шмидта был орга-
низован Институт теоретической геофизики (ИТГ) АН СССР,
директором которого он был до 1949 г. Институт создавал-
ся с целью объединения усилий физиков, математиков, гео-
физиков, механиков для исследования Земли современными
физико-математическими методами. Сложность и практиче-
ская важность изучаемых геофизикой процессов всегда при-
влекали ученых разных специальностей. О. Ю. Шмидту уда-
лось собрать в этом институте целый ряд крупных ученых:
академиков А. Н. Крылова, А. Н. Колмогорова, П. П. Лазаре-
ва, Л. С. Лейбензона и в дальнейшем ставших академиками
А. Н. Тихонова, Г. А. Гамбурцева, В. В. Шулейкина и др. По
приглашению Отто Юльевича Андрей Николаевич с 1937 г.,
оставаясь в МГУ, начал работать в новом институте научным
сотрудником, а затем заведующим отделом математической
геофизики. После реорганизации ИТГ в 1946 г. Андрей Нико-
лаевич стал сотрудником Геофизического института АН СССР.
В 1939 г. в возрасте 33 лет Андрей Николаевич был избран чле-
ном-корреспондентом Академии наук СССР по отделению ма-
тематических и естественных наук по специальности «геолого-

Глава 1. Некорректно поставленные задачи

географические науки». (В послевоенные годы в справочниках
указывалась специальность «геофизика».)
После начала Великой Отечественной войны Институт тео-
ретической геофизики, вместе с другими учреждениями Ака-
демии наук, был эвакуирован в Казань, а затем частично
в Уфу. Часть эксплуатируемых нефтяных месторождений ока-
залась на территории, занятой немцами или под угрозой их
захвата. Поэтому был развернут поиск нефти между Волгой
и Уралом. Андрей Николаевич был привлечен к работам по сей-
сморазведке и электроразведке. Он работал в составе группы,
занимавшейся расшифровкой результатов электрозондирова-
ния земной коры в районе г. Ишимбай в Башкирии. Иногда ему
удавалось быть в Казани с семьей, но большую часть времени
он проводил в разъездах. Именно в это время (1943 г.) им была
опубликована в Докладах АН СССР знаменитая работа «Об
устойчивости обратных задач», положившая начало современ-
ной теории некорректных задач. Андрей Николаевич всегда
считал, что эта теория и возникла из-за необходимости ре-
шать важные прикладные (в том числе геофизические) задачи,
и развитие теории теснейшим образом связано с приложениями.

§ 2. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

В качестве основного объекта наших исследований в этой кни-
ге мы будем рассматривать операторное уравнение вида:

Az = u,
(2.1)
где A — линейный оператор, действующий из нормированного
пространства Z в нормированное пространство U.
Французским
математиком
Адамаром
были сформулированы следующие условия
корректности постановки математических
задач, которые мы рассмотрим на примере

Жак Адамар (Jacques
Hadamard), 1865—1963

записанного операторного уравнения. Задача решения опера-
торного уравнения называется корректно поставленной (по
Адамару), если выполнены следующие три условия:
1) решение существует ∀u ∈ U;
2) решение единственно;
3) если un → u, Azn = un, Az = u, то zn → z.

§ 3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства
9

Условие 2) обеспечивается тогда и только тогда, когда опе-
ратор A является взаимно однозначным. Условия 1) и 2) озна-
чают, что существует обратный оператор A−1, причем его об-
ласть определения D(A−1) (или область значений операто-
ра R(A)) совпадает с U. В этом случае говорят, что оператор A
есть биекция Z на U. Условие 3) означает, что обратный опе-
ратор является непрерывным, т. е. «малым» изменениям пра-
вой части u соответствуют «малые» изменения решения z. Бо-
лее того, Адамар считал, что только корректные задачи долж-
ны рассматриваться при решении прикладных задач. Однако
хорошо известны примеры некорректно поставленных задач,
к рассмотрению и численному решению которых приходится
прибегать при рассмотрении многочисленных прикладных за-
дач. Хочется сразу отметить, что в дальнейшем мы будем рас-
сматривать случай, когда не выполняется условие 3). Ниже мы
увидим, что в некоторых случаях удается добиться выполне-
ния условий 1) и 2) с помощью уточнения понятия решения
и введения различных обобщенных решений. Нужно отметить,
что устойчивость и неустойчивость решения связаны с тем, как
определяется пространство решений Z. Выбор пространства
решений (в том числе и нормы в нем) обычно определяется
требованиями прикладной задачи.
Поэтому сначала мы должны определить пространства,
с которыми мы будем встречаться в дальнейшем. Напомним
также некоторые основные определения.

§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ
И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Множество L называется (вещественным) линейным про-
странством, если для любых двух его элементов x, y определен
элемент x+y ∈ L (называемый суммой элементов x и y), и для
любого элемента x ∈ L и любого (вещественного) числа α опре-
делен элемент αx ∈ L (называемый произведением элемента
x на число α), причем выполнены следующие условия:
1) для любых элементов
x, y
∈
L:
x + y
=
y + x
(коммутативность сложения);
2) для любых элементов x, y, z ∈ L: (x + y) + z = x + (y + z)
(ассоциативность сложения);

Глава 1. Некорректно поставленные задачи

3) существует элемент 0 ∈ L (называемый нулевым эле-
ментом, или нулем пространства L), такой, что для лю-
бого элемента x ∈ L: x + 0 = x (существование нулевого
элемента);
4) для любого элемента x ∈ L существует элемент −x ∈ L
(называемый обратным к x), такой, что x + (−x) = 0
(существование обратного элемента);
5) для любых элементов x, y ∈ L и любого (вещественного)
числа α: α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность умно-
жения суммы элементов на число);
6) для любых (вещественных) чисел α и β и любого эле-
мента x ∈ L: (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность
умножения суммы чисел на элемент);
7) для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента 
x ∈ L: (α·β)x = α(βx) (ассоциативность умножения
на число);
8) для любого элемента x ∈ L: 1·x = x (свойство единицы).
Элементы линейного пространства называются векторами,
поэтому линейное пространство иногда называется векторным.

Пусть даны элементы x1, . . . , xn ∈ L. Всякая сумма вида
α1x1 + . . .+ αnxn, где α1, . . . , αn — числа, называется линейной
комбинацией элементов x1, . . . , xn. Элементы x1, . . . , xn называются 
линейно зависимыми, если существует их линейная
комбинация, равная нулевому элементу, где не все числа αk
равны нулю. Если же равенство α1x1+. . .+αnxn = 0 возможно
только при α1 = . . . = αn = 0, то элементы x1, . . . , xn называются 
линейно независимыми. Линейное пространство называется 
n-мерным, если в нем существует n линейно независимых
векторов, а всякий n + 1 вектор линейно зависим. Набор любых 
n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве
называется базисом.

Пример 3.1 (линейные пространства).
1) Конечномерное векторное пространство Rn, изучаемое в курсе 
линейной алгебры.
2) Пространство (вещественных) функций, определенных на отрезке [
a, b]. Это пространство можно рассматривать как ли-
нейное, если определить сумму элементов и умножение на
вещественное число обычным образом. Нулевым элементом

§ 3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства
11

этого пространства является функция, тождественно равная
нулю. Заметим, что это пространство бесконечномерное.

Множество M называется метрическим пространством,
если для любых двух его элементов x, y ∈ M определено веще-
ственное число ρ(x, y) (называемое метрикой, или расстояни-
ем), причем выполнены следующие условия:
1) для любых элементов x, y ∈ M: ρ(x, y) ⩾ 0, причем
ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда элементы x и y
совпадают (x = y) (неотрицательность метрики);
2) для любых элементов
x, y
∈
M: ρ(x, y)
=
ρ(y, x)
(симметричность метрики);
3) для любых элементов x, y, z ∈ M: ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z)+ ρ(y, z)
(неравенство треугольника).
Можно дать определение открытого и замкнутого множе-
ства. Для этого введем понятие открытого (замкнутого) шара.
Открытым шаром с центром в точке x0 ∈ M и радиусом
r > 0 называется множество Sr(x0) = {x ∈ M : ρ(x, x0) < r}.
Замкнутым шаром с центром в точке x0 ∈ M и радиусом
r > 0 называется множество Sr(x0) = {x ∈ M : ρ(x, x0) ⩽ r}.
Множество A ⊂ M называется ограниченным, если оно
содержится целиком в некотором шаре. Множество A ⊂ M на-
зывается открытым, если для любой точки x0 ∈ M существует
радиус r > 0, такой, что Sr(x0) ⊂ A.
Точка x0 ∈ M называется точкой прикосновения множе-
ства A ⊂ M, если любой шар Sr(x0) содержит хотя бы одну
точку x ∈ A. Совокупность всех точек прикосновения множе-
ства A называется замыканием этого множества и обознача-
ется как A. Множество A ⊂ M называется замкнутым, если
A = A.
Заметим, что метрическое пространство не обязательно яв-
ляется линейным. Дадим определение нормированного про-
странства.

Определение 3.1. Линейное пространство N называется нор-
мированным, если для любого элемента x ∈ N определено
вещественное число ∥x∥ (называемое нормой), причем выпол-
нены следующие условия:
1) для любого элемента x ∈ N: ∥x∥ ⩾ 0, а ∥x∥ = 0 тогда
и только тогда, когда x = 0;

Глава 1. Некорректно поставленные задачи

2) для любого элемента x ∈ N любого (вещественного) чис-
ла α: ∥αx∥ = |α|∥x∥ (неотрицательная однородность нор-
мы);
3) для любых элементов x, y ∈ N: ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥
(неравенство треугольника).
Нормированное пространство является метрическим, если
определить расстояние как ρ(x, y) = ∥x − y∥.
Пусть имеется некоторое нормированное пространство N,
в котором двумя способами введены нормы ∥x∥1 и ∥x∥2. Нор-
ма ∥x∥1 подчинена норме ∥x∥2, если существует постоянная
β > 0, такая, что для любого элемента x ∈ N:

∥x∥1 ⩽ β∥x∥2.
(3.1)

Нормы ∥x∥1 и ∥x∥2 называются эквивалентными, если су-
ществуют числа α > 0, β > 0, такие, что для любых x ∈ N:

α∥x∥1 ⩽ ∥x∥2 ⩽ β∥x∥1.
(3.2)

Эквивалентность норм является отношением эквивалентно-
сти, т. е. обладает следующими свойствами:
1) рефлексивность: ∥x∥ ∼ ∥x∥,
2) симметричность: если ∥x∥1 ∼ ∥x∥2, то ∥x∥2 ∼ ∥x∥1,
3) транзитивность: если ∥x∥1 ∼ ∥x∥2 и ∥x∥2 ∼ ∥x∥3, то
∥x∥1 ∼ ∥x∥3.
Знак «∼» означает эквивалентность норм.
Теорема 3.1. Во всяком конечномерном линейном пространстве
все нормы эквивалентны.
В нормированном пространстве легко определить понятие
сходимости последовательностей.
Определение 3.2.
Последовательность элементов xn ∈ N,
n = 1, 2, . . ., сходится по норме пространства N к элемен-
ту x ∈ N (обозначается xn → x при n → ∞, x называется
пределом последовательности {xn}), если ∥xn − x∥ → 0 при
n → ∞.
Докажем теперь, что из сходимости по норме следует схо-
димость норм элементов последовательности к норме предель-
ного элемента. Обратное, очевидно, неверно.
Лемма 3.1. Если xn → x при n → ∞, то ∥xn∥ → ∥x∥.