Механика. Основные законы

И. Е. Иродов

МЕХАНИКА

основные
законы

15-е издание, электронное

Рекомендовано
учебно-методическим объединением 
в области «Ядерные физика и технологии» 
в качестве учебного пособия 
для студентов физических специальностей 
высших учебных заведений

 

Москва
Лаборатория знаний
2 0 2 1

УДК 531
ББК 22.2
И83

Иродов И. Е.
И83
Механика.
Основные
законы
/
И. Е. Иродов. — 15-е
изд.,
электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 312 с. — Систем.
требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экра-
на. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-519-6
В книге рассмотрены основные законы как нерелятивистской (нью-
тоновской), так и релятивистской механики — законы движения и законы
сохранения импульса, энергии и момента импульса. На большом количестве
примеров и задач показано, как следует применять эти законы при решении
различных конкретных вопросов.
Для студентов физических специальностей вузов.
УДК 531
ББК 22.2

Деривативное издание на основе печатного аналога: Механика. Основ-
ные законы / И. Е. Иродов. — 14-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2018. —
309 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-181-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-519-6
© Лаборатория знаний, 2015

Содержание

▼

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Система обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Основы кинематики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

§ 1.1. Кинематика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

§ 1.2. Кинематика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

§ 1.3. Преобразование скорости и ускорения при пере-
ходе к другой системе отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава 2. Основное уравнение динамики . . . . . . . . . . . . .
36

§ 2.1. Инерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

§ 2.2. Основные законы ньютоновской динамики . . . . . . .
40

§ 2.3. Силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 2.4. Основное уравнение динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

§ 2.5. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции .
51

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

Глава 3. Закон сохранения импульса . . . . . . . . . . . . . . . .
68

§ 3.1. О законах сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

§ 3.2. Импульс системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

§ 3.3. Закон сохранения импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

§ 3.4. Центр масс. Ц-система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

§ 3.5. Движение тела переменной массы . . . . . . . . . . . . . . .
82

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

Глава 4. Закон сохранения энергии . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

§ 4.1. Работа и мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

§ 4.2. Консервативные силы. Потенциальная энергия . . .
98

§ 4.3. Механическая энергия частицы в поле . . . . . . . . . . . 108
§ 4.4. Потенциальная энергия системы . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 4.5. Закон сохранения механической энергии системы . 117
§ 4.6. Столкновение двух частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 4.7. Механика несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . 136
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Глава 5. Закон сохранения момента импульса . . . . . . 157

§ 5.1. Момент импульса частицы. Момент силы . . . . . . . . . 157
§ 5.2. Закон сохранения момента импульса . . . . . . . . . . . . . 163
§ 5.3. Собственный момент импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 5.4. Динамика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Содержание

Глава 6. Колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

§ 6.1. Гармонические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 6.2. Сложение гармонических колебаний . . . . . . . . . . . . . 207
§ 6.3. Затухающие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 6.4. Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Глава 7. Кинематика специальной теории относи-
тельности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

§ 7.1. Трудности дорелятивистской физики . . . . . . . . . . . . 224
§ 7.2. Постулаты Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
§ 7.3. Замедление времени и сокращение длины . . . . . . . . 233
§ 7.4. Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 7.5. Следствия из преобразований Лоренца . . . . . . . . . . . 247
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Глава 8. Релятивистская динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

§ 8.1. Релятивистский импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§ 8.2. Основное уравнение релятивистской динамики . . . 266
§ 8.3. Закон взаимосвязи массы и энергии . . . . . . . . . . . . . . 269
§ 8.4. Связь между энергией и импульсом частицы . . . . . . 273
§ 8.5. Система релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

1. Движение точки в полярных координатах . . . . . . . . . . . 293
2. О задаче Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3. Доказательство теоремы Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4. Греческий алфавит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5. Основные единицы СИ в механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6. Формулы алгебры и тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7. Таблица производных и интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8. Некоторые сведения о векторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9. Единицы механических величин в системах СИ и СГС 301

10. Десятичные приставки к названиям единиц . . . . . . . . . 302
11. Некоторые внесистемные единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
12. Астрономические величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13. Физические постоянные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Цель этой книги — сосредоточить внимание на основных законах
механики (законах движения и законах сохранения импульса, энергии 
и момента импульса), а также показать, как следует применять
эти законы при решении различных конкретных задач. При этом автор 
стремился помочь студентам, приступившим к изучению физики,
начать вырабатывать в себе необходимую для будущего специалиста
культуру физического мышления, а также определенную смелость в
самостоятельном подходе к решению проблемных задач.
Книга содержит две части: ньютоновская механика (1–6 главы);
релятивистская механика (7–8 главы). В первой части законы механики 
рассматриваются в ньютоновском приближении, т. е. при скоростях 
движения, значительно меньших скорости света, во второй —
при скоростях, сравнимых со скоростью света.
В каждой главе сначала излагается теория соответствующего вопроса, 
а затем на ряде наиболее поучительных и интересных в физическом 
отношении примеров и задач показывается, как следует подходить 
к их решению. Задачи (их около 90) тесно связаны с основным
текстом, часто являются его развитием и дополнением, поэтому работа
над ними не менее важна, чем изучение основного текста.
Курсивом выделены важнейшие положения и термины. Петит ис-
пользуется для примеров и задач, а также для материала повышенной
трудности (этот материал при первом чтении можно безболезненно
опустить).
В настоящем издании сделаны некоторые изменения чисто техни-
ческого характера, внесены небольшие дополнения и уточнения, а
также исправлены замеченные опечатки.
Книга как учебное пособие рассчитана в основном на студентов
первых курсов вузов с расширенной программой по курсу общей фи-
зики. Она может быть полезной и студентам старших курсов, а также
преподавателям вузов.

И. Иродов

Система обозначений

Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например r, F); та
же буква светлым шрифтом (r, F) означает модуль вектора.
Орты — единичные векторы:
i, j, k — орты декартовых координат x, y, z;
e, e, ez — орты цилиндрических координат , , z;
n, t — орты нормали и касательной к траектории.
Средние величины заключены в угловые скобки p q, например pvq,
pNq.
Символы ,d, перед величинами означают:
— приращение величины, т. е. разность между ее конечным и на-
чальным значениями, например r
r
r
2
1, U
U
U
2
1;
– — убыль величины, т. е. разность между ее начальным и конеч-
ным значениями, например r = r
r
1
2, U
U
U
1
2;
d — дифференциал, например dr, dU;
— элементарное значение величины, например A — элементар-
ная работа;
T — знак пропорциональности, например E T a2;
~ — величина порядка ..., например l ~ 10–4 м.
Производная по времени от произвольной функции обозначена
df/dt или точкой над функцией ( f
.
).
Системы отсчета обозначены курсивными буквами K,
K , Ц.
Ц-система — это система отсчета, связанная с центром масс и дви-
жущаяся поступательно по отношению к инерциальным системам
(ее же называют системой центра инерции). Все величины в Ц-систе-
ме отмечены сверху значком ~ (тильда), например ~p, ~E.

Механика — это раздел физики, в котором изучается движение
тел в пространстве и времени. Тот факт, что механические явле-
ния протекают в пространстве и времени, находит свое отражение
в любом механическом законе, содержащем явно или неявно про-
странственно-временные соотношения — расстояния и промежут-
ки времени.
Положение тела в пространстве может быть определено только
по отношению к каким-либо другим телам. Это же относится и к
движению тела, т. е. к изменению его положения с течением времени. 
Тело (или система неподвижных друг относительно друга
тел), которое служит для определения положения интересующего
нас тела, называют телом отсчета.
Практически для описания движения с телом отсчета связывают 
какую-нибудь систему координат, например декартову. Координаты 
тела позволяют установить его положение в пространстве.
Так как движение происходит не только в пространстве, но и во
времени, то для описания движения необходимо отсчитывать также 
и время. Это делается с помощью часов того или иного типа.
Совокупность тела отсчета и связанных с ним координат и синхронизированных 
между собой часов образует систему отсчета.
Понятие системы отсчета является фундаментальным в физике.
Пространственно-временное описание движения при помощи расстояний 
и промежутков времени возможно только тогда, когда выбрана 
определенная система отсчета.
Пространство и время сами являются физическими объектами,
как и любые другие, однако неизмеримо более важными и существенными. 
Чтобы изучить свойства пространства и времени, нужно
наблюдать движение тел, которые в них находятся. Исследуя характер 
движения тел, мы тем самым познаем и свойства пространства 
и времени.
Опыт показывает, что, пока скорости тел малы по сравнению со
скоростью света, линейные масштабы и промежутки времени остаются 
неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, 
т. е. не зависят от выбора системы отсчета. Это нашло свое выражение 
в ньютоновской концепции абсолютности пространства и
времени. Механику, изучающую движения тел именно в этих случаях, 
называют ньютоновской.

При переходе же к скоростям, сравнимым со скоростью света,
обнаруживается, что характер движения тел радикально меняется. 
При этом линейные масштабы и промежутки времени уже зависят 
от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета будут 
разными. Механику, основанную на этих представлениях, называют

релятивистской.
Естественно,
что
релятивистская
механика является более общей и в частном случае малых скоростей 
переходит в ньютоновскую.
Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, необходимо 
отвлечься от несущественных для рассматриваемого движения 
деталей (в противном случае задача так усложнилась бы,
что решить ее практически было бы невозможно). С этой целью используют 
понятия (абстракции, идеализации), применимость которых 
зависит от конкретного характера интересующей нас задачи, 
а также от той степени точности, с которой мы хотим получить
результат. Среди этих понятий большую роль играют понятия материальной 
точки и абсолютно твердого тела.
Материальная точка — это тело, размерами которого в условиях 
данной задачи можно пренебречь. Ясно, что одно и то же тело
в одних случаях можно рассматривать как материальную точку, в
других же — как протяженное тело.
Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело, — это система 
материальных точек, расстояния между которыми не меняются 
в процессе движения. Реальное тело можно считать абсолютно 
твердым, если в условиях рассматриваемой задачи его деформации 
пренебрежимо малы.
Механика ставит перед собой две основные задачи:
1. Изучение различных движений и обобщение полученных результатов 
в виде законов движения — законов, с помощью которых 
может быть предсказан характер движения в каждом конкретном 
случае.
2. Отыскание общих механических свойств, т. е. общих теорем
или принципов, присущих любой системе, независимо от конкрет-
ного рода взаимодействий между телами системы.
Решение первой задачи привело к установлению Ньютоном и
Эйнштейном так называемых динамических законов, решение же
второй задачи — к обнаружению законов сохранения таких фунда-
ментальных величин, как энергия, импульс и момент импульса.
Динамические законы и законы сохранения энергии, импульса
и момента импульса представляют собой основные законы механи-
ки. Изучение их и составляет содержание этой книги.

8
Введение

Кинематика — это раздел механики, где изучаются способы
описания движений независимо от причин, обусловливающих
эти движения. В этой главе рассмотрены три вопроса: кинемати-
ка точки, кинематика твердого тела, преобразование скорости и
ускорения при переходе от одной системы отсчета к другой.

§ 1.1. Кинематика точки

Существует три способа описания движения точки: вектор-
ный, координатный и естественный. Рассмотрим их последова-
тельно.

Векторный способ

В этом способе положение интересующей нас точки А задают
радиусом-вектором r, проведенным из некоторой неподвижной
точки О выбранной системы отсчета в точку А. При движении
точки А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по мо-
дулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор r зависит от
времени t. Геометрическое место концов радиуса-вектора r на-
зывают траекторией точки А.
Введем
понятие
скорости
точки.
Пусть за промежуток времени t точка
А переместилась из точки 1 в точку 2
(рис. 1.1). Из рисунка видно, что век-
тор перемещения r точки А представ-
ляет собой приращение радиуса-векто-
ра r за время t: r = r
r
2
1
. Отноше-
ние r/ t называют средним вектором скорости pvq за время
t. Вектор pvq совпадает по направлению с r.
Определим вектор скорости v точки в данный момент време-
ни как предел отношения r/ t при t 0, т. е.

v
r
r
lim
t
t
t
0
d
d
.
(1.1)

Рис. 1.1

Это значит, что вектор скорости v точки в данный момент вре-
мени равен производной от радиуса-вектора r по времени и на-
правлен по касательной к траектории в данной точке в сторону
движения точки А (как и вектор dr). Модуль вектора v равен*

v
t
|
|
|
|
v
r
d /d
.

Движение точки характеризуется также ускорением. Вектор
ускорения а определяет скорость изменения вектора скорости
точки со временем:

а = dv/dt,
(1.2)

т. е. равен производной от вектора скорости по времени. На-
правление вектора а совпадает с направлением вектора dv —
приращением вектора v за время dt. Модуль вектора а опреде-
ляется аналогично модулю вектора v.

Пример. Радиус-вектор точки зависит от времени t по закону

r
A
B
t
t2 2
/
,

где A и B — постоянные векторы. Найдем скорость v и уско-
рение а точки:

v
r
A
B
d
d
/ t
t,
a
v
B
d
d
const
/ t
.

Модуль вектора скорости

v
t
t
v
A
AB
B
2
2
2 2
2
.

Таким образом, зная зависимость r(t), можно найти ско-
рость v и ускорение а точки в каждый момент времени.
Возникает и обратная задача: можно ли найти v(t) и r(t),
зная зависимость от времени ускорения а(t)?
Оказывается, для получения однозначного решения этой за-
дачи одной зависимости а(t) недостаточно, необходимо еще
знать начальные условия, а именно скорость v 0 и радиус-век-
тор r0 точки в некоторый начальный момент t = 0. Чтобы в

10
Глава 1

* Заметим, что в общем случае d
d
r r, где r — модуль радиуса-вектора r и
v
r
t
d
d
/
. Например, если r меняется только по направлению (точка движет-
ся по окружности), то r = const, dr = 0, нo dr 0.

этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в про-
цессе движения ускорение точки а = const.
Сначала определим скорость точки v(t). Согласно (1.2), за
промежуток времени dt элементарное приращение скорости
d
d
v
a
t. Проинтегрировав это выражение по времени от t = 0
до t, найдем приращение вектора скорости за это время:

v
a
a
dt
t

t

0
.

Но величина v — это еще не искомая скорость v. Чтобы
найти v, необходимо знать скорость v 0 в начальный момент
времени. Тогда v
v
v
0
, или

v
v
a
0
t.

Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе r (t) точки.
Согласно (1.1), за промежуток времени dt элементарное прира-
щение радиуса-вектора dr = vdt. Интегрируя это выражение с
учетом найденной зависимости v(t), определим приращение ра-
диуса-вектора за время от t = 0 до t:

r
v
v
a
( )
/
t
t
t
t

t
d
0
2

0
2 .

Для нахождения самого радиуса-вектора r (t) необходимо
знать еще положение точки r0 в начальный момент времени.
Тогда r
r
r
0
, или

r
r
v
a
0
0
2 2
t
t /
.

Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под
некоторым углом к горизонту с нача-
льной скоростью v0 . Если считать, что
камень движется с постоянным уско-
рением а = g, то его положение отно-
сительно точки бросания (r0
0
) опре-
деляется радиусом-вектором

r
v
g
0
2 2
t
t /
,

т. е. в данном случае r представляет собой сумму двух векто-
ров, что показано на рис. 1.2.

Основы кинематики
11

Рис. 1.2

Итак, для полного решения задачи о движении точки —
определения ее скорости v и положения r в зависимости от вре-
мени — недостаточно знать зависимость а(t), но еще необходи-
мо знать и начальные условия, т. е. скорость v 0 и положение
r0 точки в начальный момент времени.
В заключение напомним, что в СИ единицами длины, скоро-
сти и ускорения являются соответственно метр (м), метр на
секунду (м/с) и метр на секунду в квадрате (м/с2).

Координатный способ

В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связыва-
ют определенную систему координат (декартову, косоугольную
или криволинейную). Выбор той или иной системы координат
определяется рядом соображений: характером или симметрией
задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить
само решение. Ограничимся здесь* декартовой системой коор-
динат x, y, z.
Запишем проекции на оси X, Y, Z радиуса-вектора r (t), ха-
рактеризующего положение интересующей нас точки относите-
льно начала координат О в момент t:

x
x t
y
y t
z
z t
( );
( );
( ).

Зная зависимость этих координат от времени — закон дви-
жения точки, можно найти положение точки в каждый момент
времени, ее скорость и ускорение. Действительно, спроециро-
вав (1.1) и (1.2), например, на ось Х, получим формулы, опре-
деляющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

v
x
t
x d
d
/
,
(1.3)

где dx — проекция вектора перемещения dr на ось Х;

a
v

t
x

t
x
x
d

d
d

d2

2 ,
(1.4)

где dv x — проекция вектора приращения скорости dv на ось Х.
Аналогичные соотношения получаются для y- и z-проекций со-

12
Глава 1

* В приложении 1 рассмотрено движение точки в полярных координатах.