Математическое моделирование в механике сплошных сред

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

MATHEMATICAL MODELING IN
CONTINUUM MECHANICS

SECOND EDITION

Roger Temam
Universit ´ e       ParisSud, Orsay and Indiana University    

Alain Miranville
Universit ´ e de Poitiers

Р. Темам, А. Миранвиль

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

4Е  ИЗДАНИЕ,  ЭЛЕКТРОННОЕ

Перевод
2го английского издания
И. О. Арушаняна

под редакцией
Г. М. Кобелькова
 

Москва
Лаборатория знаний
2021

УДК 519.8(075.8)+531(075.8)
ББК 22.25я73
Т32

С е р и я о с н о в а н а в 2009 г.
Темам Р.
Т32
Математическое моделирование в механике сплошных
сред / Р. Темам, А. Миранвиль ; пер. с англ. — 4-е изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2021. — 323 с. —
(Математическое
моделирование). — Систем.
требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-542-4
Курс
лекций
по
механике
сплошных
сред,
прочитанный
авторами для математиков-аспирантов первого года обучения.
Помимо подробного описания фундаментальных разделов механики 
сплошных сред, книга содержит результаты, полученные
в
некоторых
смежных
дисциплинах,
таких
как
магнитная
гидродинамика,
горение,
геофизическая
динамика
жидкостей
и газов, а также теория линейных и нелинейных волн.
Для инженеров, ученых и студентов, специализирующихся
в указанных предметных областях.
УДК 519.8(075.8)+531(075.8)
ББК 22.25я73

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математическое 
моделирование в механике сплошных сред / Р. Темам,
А. Миранвиль ; пер. с англ. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 
2013. — 320 с. : ил. — (Математическое моделирование). —
ISBN 978-5-9963-1542-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-542-4

© Cambridge University Press 2000, 2005
First published 2000
Second edition published 2005

© Лаборатория знаний, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Вниманию читателя предлагается книга Алена Миранвиля и Роджера Темама
«Математическое моделирование в механике сплошных сред». Работы одного
из авторов книги, крупного французского математика Роджера Темама, хорошо 
известны отечественным специалистам по уравнениям в частных производ-
ных, механике, теории экстремальных задач по ряду переведенных на русский
язык книг (Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. —
М.: Мир, 1981; Темам Р. Математические задачи теории пластичности. — М.:
Наука, 1991; Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные пробле-
мы. — М.: Мир, 1979).
Настоящая книга по подбору материала и стилю изложения отличается
от перечисленных монографий. Наряду с широтой охватываемого матери-
ала следует отметить подробность и последовательность изложения каж-
дой темы. Авторы стремятся аккуратно отследить весь путь от началь-
ных определений до конечного результата. При этом от читателя не тре-
буется знаний, выходящих за рамки классического курса математического
анализа.
Книга охватывает ряд важных разделов механики сплошной среды, таких
как фундаментальные законы динамики, физика жидкостей и газов, механика
твердого тела, волновые явления. При этом она ни в коей мере не является
учебником по механике. Скорее она отражает взгляды авторов на матема-
тические подходы к решению ключевых задач из разных разделов механики
сплошной среды.
Отдельно следует отметить главы, относящиеся к построению моделей,
описывающих динамику океана, а также математические модели биологиче-
ских процессов.
Каждая глава снабжена набором задач с указаниями по их решению, что
делает гораздо более эффективным самостоятельное изучение материала для
читателей с различным уровнем подготовки. Кроме того, подобный подход
позволяет использовать отдельные ее разделы в качестве самостоятельных
спецкурсов как для студентов, так и для аспирантов.

Предисловие редактора перевода

Как отмечают сами авторы, книга неоднородна по содержанию и ма-
тематическому языку. Это объясняется широтой охватываемого материала
и сложившимися стандартами в определенных предметных областях.
Книга окажется полезной для студентов старших курсов и аспирантов,
а также специалистов, интересующихся вопросами применения математики
в прикладных науках.

Г. М. Кобельков

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга представляет собой расширенную версию курса лекций
по механике сплошных сред, прочитанных авторами математикам-аспиран-
там первого года обучения. Помимо подробного описания фундаментальных
разделов механики сплошных сред, книга содержит результаты, полученные
в некоторых смежных дисциплинах, таких как магнитная гидродинамика, го-
рение, геофизическая динамика жидкостей и газов, а также теория линейных
и нелинейных волн. Книга рассчитана на широкий круг читателей: матема-
тиков (ученых и студентов), специализирующихся в указанных предметных
областях, инженеров и исследователей.
Материал, рассматриваемый в книге, находится на стыке математики
и некоторых важных прикладных разделов науки. Подчеркнем, что это не
книга математической направленности: ее математический язык прост, а от
читателей требуется знание только основных понятий математического ана-
лиза и линейной алгебры. В то же время эта книга не учебник по механике
сплошных сред: хотя она и содержит подробное, но сжатое описание ряда
разделов механики, в ней не затрагиваются многие результаты, которые носят
фундаментальный характер и которые, однако, не так необходимы в прило-
жениях (например, инвариантность по отношению к системам отсчета, прису-
щая некоторым механическим величинам, или же согласованность некоторых
определений). Читателя, заинтересованного в этих результатах, мы отсылаем
к замечательным книгам по механике, указанным в библиографии к первой
части нашей книги. И наконец, в силу ограниченности объема, книга не
носит энциклопедического характера, а отдельные ее разделы могут служить
темами солидных книг. В целом мы полагаем, что наша книга, являющаяся
итогом наших многолетних исследований и основанная на нашем опыте пре-
подавательской работы, окажется весьма полезной для ученых, желающих
уменьшить разрыв между математикой и прикладными науками, обычно
обусловленный терминологическими барьерами и различиями в методиках
проведения научных исследований.
Ядро книги составляют фундаментальные разделы механики сплошных
сред: описание движения тел, фундаментальный закон динамики, тензоры
напряжений Коши и Пиолы–Кирхгофа, определяющие соотношения, внутрен-
няя энергия и первый принцип термодинамики, ударные волны и соотношения
Рэнкина–Гюгонио, введение в механику невязких и вязких ньютоновских

Предисловие

жидкостей, вводное рассмотрение линейной упругости и вариационных прин-
ципов, а также введение в нелинейную упругость.
Кроме указанных разделов книга содержит достаточно подробные вводные 
сведения о нескольких важных родственных разделах, которые могут
служить темами отдельных книг: магнитная гидродинамика, горение, геофизическая 
динамика жидкостей и газов, теория колебаний, линейная акустика,
а также теория нелинейных волн и солитонов, основанная на уравнениях
Кортевег де Фриза и Шрёдингера. Книга может служить основой для годичного 
курса лекций, ориентированных на старшекурсников или же аспирантов
первого года обучения. Некоторые ее части могут быть использованы для
односеместрового курса лекций по основам механики сплошных сред или
в составе специальных курсов.
Второе издание книги расширено указаниями к выполнению упражнений,
что полезно для проведения классных занятий, и новой главой по нелинейной
упругости, а также несколькими добавлениями и исправлениями, предложенными 
читателями первого издания. В частности, книга значительно улучшилась 
в результате учета замечаний рецензентов, в первую очередь замечаний
Дж. Данвуда и Дж. Дж. Телега. Авторы выражают также признательность
Ф. Сьярле за полезные комментарии. Новая глава по нелинейной упругости
основана на его ставшей классической книге. И наконец, мы сердечно благодарны 
Жаку Ламинье, Эрику Симонне, Дьоке Виросоетизно и Терезе Бунге
за существенную помощь в подготовке книги к изданию.

Роджер Темам
Ален Миранвиль
Июнь 2004 г.

О СИСТЕМЕ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Система обозначений, принятая в настоящей книге, неоднородна. Отчасти
это сделано намеренно, а отчасти — поскольку у нас не было другого выхода.
Действительно, разработчик математической модели обычно должен соблюдать 
или по крайней мере приспосабливаться к обозначениям, общепринятым
в конкретной предметной области, и тем самым должен быть приучен к определенной 
гибкости. Другая причина состоит в том, что в книге рассматриваются 
различные предметные области, а потому невозможно выбрать систему
обозначений, соответствующую «всем стандартам».
Кроме того, при выборе обозначений мы преследовали цель упростить
процесс их написания от руки, избегая по возможности стрелок над символами, 
полужирных шрифтов, подчеркиваний или надчеркиваний. В каждой
главе книги всегда ясно, что обозначает любой используемый символ в данном
контексте.
Хотя принятая в книге система обозначений и не выдержана в строгих
рамках, тем не менее она содержит многократно повторяющиеся символы.
Ниже мы приводим обозначения, использованные в нескольких главах
книги.

Ω или O (возможно, с индексами): область в R2 или R3,

x = (x1, x2) или (x1, x2, x3): точка в R2 или R3; обозначается также
через (x, y) или (x, y, z),

a = (a1, a2) или (a1, a2, a3): начальное положение в лагранжевых переменных,


t: время,

u = (u1, u2) или (u1, u2, u3), или v или w: векторы в R2 или R3;
обозначаются также через (u, v) или (u, v, w),

AB (или −−→
AB для выделения): вектор из A в B,

u или U: скорость,

u: вектор перемещений,

О системе обозначений

γ: ускорение,

m: масса,

f, F: силы; обычно f — объемные силы и F — поверхностные силы,

ρ: плотность,

g: гравитационная постоянная; используется также в уравнении состояния 
для жидкостей,

T или θ: температура,

σ: тензор напряжений Коши (обычно),

n: единичный вектор внешней нормали к границе открытого множества
Ω или O, n = (n1, n2) или n = (n1, n2, n3).

Кроме того, мы используем следующие классические символы и обозначения:


δij: символ Кронекера, равный 1, если i = j, и 0, если i ̸= j,

ϕ,i: частная производная ∂ϕ/∂xi.

Используется правило суммирования по повторяющимся индексам: когда
какой-либо индекс (например, j) повторяется в математическом символе или
в произведении таких символов, мы добавляем эти выражения для j = 1, 2, 3.
Следовательно,

σij,j =

3
j=1

∂σij
∂xj
,
σij · nj =

3
j=1
σijnj.