Методы теории катастроф в феноменологии фазовых переходов
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Физика твердого тела. Кристаллография
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Павлов Сергей Васильевич
Год издания: 2023
Кол-во страниц: 176
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
Дополнительное профессиональное образование
ISBN: 978-5-16-014798-7
ISBN-онлайн: 978-5-16-107303-2
Артикул: 700766.03.01
Доступ онлайн
от 212 ₽
В корзину
Монография посвящена изложению методов теории катастроф и построению на основе этих методов феноменологических моделей фазовых переходов в твердых телах. Изложены методы построения структурно устойчивых нормальных форм функций, в том числе функций, на которые наложены условия симметрии. Проведена классификация феноменологических моделей фазовых переходов для двух взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка, двухкомпонентных и трехкомпонентных параметров порядка по числу управляющих параметров, варьируемых в эксперименте. Теоретические зависимости аномалий физических свойств моделей сопоставляются с экспериментальными данными в сегнетоэлектриках, магнетиках, твердых растворах редкоземельных металлов, мультиферроиках и других твердых телах, испытывающих фазовые переходы.
Для специалистов в области физики твердого тела и фазовых переходов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 04.03.02: Химия, физика и механика материалов
- ВО - Магистратура
- 01.04.04: Прикладная математика
- 03.04.02: Физика
- Аспирантура
- 01.06.01: Математика и механика
- 03.06.01: Физика и астрономия
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В ФЕНОМЕНОЛОГИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ С.В. ПАВЛОВ Москва ИНФРА-М 202МОНОГРАФИЯ
УДК 537.9(075.4) ББК 22.317 П12 Павлов С.В. П12 Методы теории катастроф в феноменологии фазовых переходов : монография / С.В. Павлов. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 176 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1004276. ISBN 978-5-16-014798-7 (print) ISBN 978-5-16-107303-2 (online) Монография посвящена изложению методов теории катастроф и по- строению на основе этих методов феноменологических моделей фазовых переходов в твердых телах. Изложены методы построения структурно устойчивых нормальных форм функций, в том числе функций, на кото- рые наложены условия симметрии. Проведена классификация феноме- нологических моделей фазовых переходов для двух взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка, двухкомпонентных и трехкомпо- нентных параметров порядка по числу управляющих параметров, варьиру- емых в эксперименте. Теоретические зависимости аномалий физических свойств моделей сопоставляются с экспериментальными данными в сегне- тоэлектриках, магнетиках, твердых растворах редкоземельных металлов, мультиферроиках и других твердых телах, испытывающих фазовые пере- ходы. Для специалистов в области физики твердого тела и фазовых перехо- дов. УДК 537.9(075.4) ББК 22.317 Р е ц е н з е н т ы: Максимов А.В., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Череповецкого государственного уни- верситета; Широков В.Б., доктор физико-математических наук, профессор Южного федерального университета, ведущий научный сотрудник Южного научного центра Российской академии наук ISBN 978-5-16-014798-7 (print) ISBN 978-5-16-107303-2 (online) © Павлов С.В., 2020 © Павлов С.В., иллюстрация на обложке, 2020
Введение В 1955 году американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории – теории особенностей диф- ференцируемых отображений [1]. Она стала одной из областей математики, связывающей фундаментальные разделы математики (алгебраическую и дифференциальную геометрию, теорию групп, порожденных отражениями, теорию комплексных пространств, ком- мутативную алгебру и так далее) с прикладными (теория устойчи- вости движения динамических систем, теория бифуркаций поло- жений равновесия, геометрическая и волновая оптика и так далее). Сам термин «катастрофа» был введен французским матема- тиком Рене Томом [2] для обозначения качественного скачкообраз- ного изменения объекта при плавном изменении параметров, от ко- торых он зависит. Этот термин, заменивший использовавшиеся до него термины «бифуркация», «перестройка», «метаморфоза», завоевал широкую популярность после того, как Зиман [3] пред- ложил употреблять название «теория катастроф» для объединения теории особенностей дифференцируемых отображений, теории бифуркаций и их приложений. О таком, казалось бы, громком на- звании хорошо сказал академик Д.В. Аносов [4]: «По инициативе Р. Тома вместо бифуркаций говорят о “ката- строфах’’. Это слово тоже не надо понимать буквально. Приведу примеры, действительно серьезно рассматривавшиеся в работах по “теории катастроф’’: если нарушается устойчивость упругой конструкции, то это, скорее всего, катастрофа, но, если солнечные лучи, преломляясь в воде, образуют на дне ручья яркие линии – это едва ли кого-нибудь волнует, кроме разве детей, видящих это впервые. Как возможный (но не доведенный до математической модели) пример “катастрофы’’ упоминают о резком изменении в те- чении болезни, после которого больной почти на глазах начинает поправляться; это если и катастрофа, то только для бактерий. Если катастрофа – синоним бифуркации, то можно спросить, какой термин удачнее. Как ясно из сказанного, ни тот, ни другой не приходится понимать буквально. Но “катастрофа’’ – слово обычного (литературного и разговорного) языка, имеющее опреде- ленный и притом весьма эмоционально окрашенный смысл, а о пер- воначальном значении слова “бифуркация’’ знает намного меньше людей, и даже у них с ним едва ли связаны какие-то эмоции. По- этому для науки более подходит нейтральное слово “бифуркация’’, а для массовых изданий – “катастрофа’’». Тем не менее термин «теория катастроф» прочно укоренился в современной науке.
Одним из создателей теории особенностей является россий- ский математик академик В.И. Арнольд. Работы Арнольда [5–11] по классификации нормальных форм функций вблизи критических точек легли в основу современной теории особенностей и теории катастроф, которая в наиболее систематическом виде изложена в монографиях [12–14]. Теория особенностей (теория катастроф) успешно применяется в оптике [15–19], в теории упругости [15, 16, 20], для построения феноменологических моделей фазовых переходов в различных веществах [21–32]. Более полное применение теории катастроф к феноменологическим исследованиям фазовых переходов можно найти в работах [25, 33–37]. Цель данной книги – изложить основные идеи и методы теории катастроф в конструктивной форме, позволяющей использовать эту теорию в построении феноменологических моделей фазовых переходов, но, самое главное, начало классификации феномено- логических моделей методами эквивариантной теории катастроф с различным числом параметров, зависящих от внешних условий, варьируемых в эксперименте – температуры, давления, химпо- тенциалов примесей и т.д. При этом необходимо решать задачи по нахождению эквивариантных векторных полей и построению на их основе феноменологических моделей с многокомпонентными и взаимодействующими параметрами порядка. До сих пор не проводилась систематическая классификация феноменологических моделей в постановке задачи, изложенной в первой главе, а именно, только исходя из симметрии параметров порядка и числа управляющих параметров, зависящих от внешних условий – температуры, давления, химпотенциалов примесей и др. Монография состоит из трех глав. В первой главе формулируется постановка задачи, а также по- казывается, что традиционное построение феноменологических моделей фазовых переходов, основанное на разложении термоди- намического потенциала в ряд по малому параметру, которым яв- ляется параметр порядка, необоснованно. Зачастую исследование свойств такого термодинамического потенциала приводит к оши- бочным, нефизичным результатам. Для построения феноменоло- гических моделей, адекватно описывающих физические свойства термодинамической системы вблизи точек фазовых переходов, не- обходимо применение методов теории катастроф. При построении таких моделей исходными данными являются число и трансфор- мационные свойства параметров порядка (причем не обязательно малых), которые однозначно определяются из теоретико-группо- вого анализа, а также количество управляющих параметров, зави- сящих от внешних условий, варьируемых в эксперименте (темпе-
ратура, давление и т.п.). Приводится пример теоретико-группового анализа для конкретной пространственной группы и на его основе обсуждается понятие группы симметрии параметров порядка, так называемой L-группы, и целого рационального базиса инвариантов, важных для построения эквивариантных векторных полей и фено- менологических моделей фазовых переходов. В последнем пара- графе главы приведен краткой обзор классической теории Ландау фазовых переходов, а также работ, в которых теория катастроф использовалась для построения феноменологических моделей фа- зовых переходов. Вторая глава посвящена изложению математических методов теории катастроф, необходимых для построения феноменологи- ческих моделей фазовых переходов. Здесь кратко приведены ос- новные леммы и теоремы элементарной теории катастроф и по- казано, что их недостаточно при построении моделей для систем с симметрией. Далее излагаются такие методы и алгоритмы, как техника «разгадывания кроссвордов», приведение функций к нор- мальной форме с помощью метода спектральной последователь- ности комплекса Кошуля как для функций без симметрии, так и в присутствии симметрии. Пользуясь этими алгоритмами, можно, исходя из числа управляющих параметров, варьируемых в экспе- рименте, определить конкретный вид термодинамического потен- циала, адекватно описывающего физические свойства системы для данного числа управляющих параметров. Изменение числа управ- ляющих параметров, а также их приоритета приводит к изменению вида термодинамического потенциала. Описание основных алго- ритмов иллюстрируется примерами как построения нормальных форм функций без симметрии, так и феноменологических моделей фазовых переходов в присутствии симметрии. Кроме того, сформу- лирован алгоритм Бухбергера, позволяющий рассчитывать базисы Грёбнера, которые играют немаловажную роль в построении нор- мальных форм структурно устойчивых функций и феноменологи- ческих моделей. В третьей главе методы теории катастроф применяются для построения феноменологических моделей фазовых переходов для однокомпонентного параметра порядка, для двух взаимодей- ствующих однокомпонентных параметров порядка, а также для двухкомпонентных и трехкомпонентных параметров порядка в раз- личных термодинамических системах: слоистых сегнетоэлектриках висмутсодержащих соединений, твердых растворах на основе ти- таната-цирконата свинца, сегнетоэластиках, магнетиках, сверхпро- водниках, сплавах и мультиферроиках. С помощью этих моделей рассчитаны температурные зависимости аномалий физических свойств, которые сопоставляются с имеющимися в литературе
экспериментальными данными. Центральное место в этой главе занимает классификация феноменологических моделей для двух- и трехкомпонентных параметров порядка, а также двух взаимодей- ствующих однокомпонентных параметров порядка, проведенная по числу управляющих параметров.
Глава 1 МЕСТО И РОЛЬ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Выпадение любых элементов симметрии не оз на- ча ет исчезновения симметрии вообще, а указывает лишь на необходимость выявления ее новых форм, и следует придать особое значение исчезнувшим эле- ментам симметрии объекта, так как для творения но- вого явления необходимо, чтобы некоторые элементы симметрии отсутствовали. П. Кюри. О симметрии в физических явлениях 1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Общая постановка задачи в феноменологической теории фазовых переходов в кристаллах следующая: дана высокосимметричная про- странственная группа кристалла G0 и экспериментальное подтверж- дение того, что в кристалле с данной симметрией происходят или могут происходить фазовые переходы. (Феноменологическая теория не может предсказывать наличие фазовых переходов, а лишь описы- вает уже существующие.) На основе математических методов нужно установить, в какие подгруппы этой группы могут происходить фа- зовые переходы, то есть группы низкосимметричных фаз, а также возможную физическую реализацию параметра или параметров порядка, и какие физические свойства появляются в результате фа- зовых переходов. Эти задачи решаются математически точно с при- менением методов теории групп и теории инвариантов. Но для построения фазовых диаграмм и нахождения в об- ласти точек фазовых переходов зависимостей физических свойств от внешних воздействий – температуры, давления и т.п. необходимо знать конкретный вид термодинамического потенциала, то есть пе- реходить к построению и исследованию феноменологических мо- делей. Как известно, любая физическая модель есть упрощенная версия физической системы, сохраняющая ее основные и главные черты. А каковы основные черты термодинамической системы, ис- пытывающей фазовые переходы? Это глобальная минимальность и структурная устойчивость. Для обеспечения термодинамической устойчивости системы в целом описывающий ее термодинамический потенциал не должен
допускать бесконечно больших флуктуаций параметров порядка, приводящих к бесконечному выигрышу в энергии. Для этого тре- буется его глобальная минимальность, т.е. термодинамический по- тенциал должен всегда иметь глобальный минимум при конечных значениях параметров порядка. Понятие структурной устойчивости для феноменологии фа- зовых переходов является одним из важнейших. Дело в том, что в разряд физических явлений можно отнести лишь те, которые обладают достаточной повторяемостью в эксперименте, т.е. когда эксперимент в условиях, которые почти не отличаются друг от друга, дает с некоторой точностью один и тот же исход. Другими словами, небольшое изменение внешних управляющих параметров не должно сильно изменять свойства термодинамической системы. Значит, феноменологическая модель, описывающая свойства такой системы, должна быть структурно устойчива, то есть термодинами- ческий потенциал должен быть структурно устойчивой функцией. Явный вид термодинамического потенциала согласно теории Ландау задается в виде конечного отрезка разложения в степенной ряд по инвариантным комбинациям параметров порядка. Гло- бальная минимальность обеспечивается тем, что члены высших степеней в разложении имеют четные степени и положительные коэффициенты. Более строгое понятие глобальной минимальности в терминах теории катастроф будет дано в параграфе 2.6 после раз- вития соответствующей техники. А вот условие структурной устойчивости при простом разло- жении в ряд по степеням параметра порядка до 2n-ной степени всегда выполняется лишь для одного однокомпонентного пара- метра порядка. В случае нескольких взаимодействующих или мно- гокомпонентных параметров порядка структурную устойчивость обеспечить удается далеко не всегда. Только применение методов теории катастроф делает возможным построение структурно устой- чивой феноменологической модели. Этому вопросу и посвящена настоящая монография. 1.2. ПРИМЕР ТЕОРЕТИКОГРУППОВОГО АНАЛИЗА Рассмотрим на простом примере, как, зная группу высокосимме- тричной фазы кристалла, определить группы симметрии низкотем- пературных фаз, возможные физические реализации параметров порядка и инвариантные комбинации параметров порядка, от ко- торых зависит равновесный термодинамический потенциал. Пусть G0=P4/mmm (D4h 1) – группа, принадлежащая тетрагональной син- гонии. Эта группа содержит только элементы точечной группы 4/ mmm (D4h) и чистые трансляции.
Для решения поставленной задачи необходимо построить непри- водимые представления этой группы. Процедура нахождения не- приводимых представлений подробно описана во многих моногра- фиях и учебных пособиях, например в [38–41], поэтому мы на ней останавливаться не будем. Отметим лишь, что при построении не- приводимых представлений нужно учитывать изменения объема элементарной ячейки кристалла при фазовом переходе. Дело в том, что при удвоении, утроении и т.д., то есть при мультипликации эле- ментарной ячейки в результате фазового перехода неприводимые представления могут быть различными. Также обратим внимание на то, что для теоретико-группового анализа нам нужны не таблицы характеров неприводимых представлений, а таблицы матриц непри- водимых представлений. Рассмотрим наиболее простой случай, когда фазовый переход происходит без мультипликации элементарной ячейки кристалла. Тогда для теоретико-группового анализа можно использовать та- блицу неприводимых представлений точечной группы, то есть в данном случае это 4/mmm (D4h) (табл. 1.1). Точечная группа симметрии 4/mmm (D4h) содержит инверси- онную ось четвертого порядка, четыре перпендикулярных ей осей второго порядка, четыре плоскости зеркального отражения, прохо- дящие через ось четвертого порядка, плоскость, перпендикулярную оси 4 и центр инверсии. Каждое неприводимое представление со- держит полную информацию о симметрии низкотемпературной фазы, трансформационных свойствах параметра порядка, то есть Таблица 1.1 Неприводимые представления группы P4/mmm (D4h 1) 1 42 4 4–1 2y 2x 2xy 2xy 1 + Γ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − Γ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + Γ 1 1 –1 –1 1 1 –1 –1 2 − Γ 1 1 –1 –1 1 1 –1 –1 3 + Γ 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1 3 − Γ 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1 4 + Γ 1 1 –1 –1 –1 –1 1 1 4 − Γ 1 1 –1 –1 –1 –1 1 1 5 + Γ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 5 − Γ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠
его симметрии и возможной физической реализации. Рассмотрим, как извлечь эту информацию. Из табл. 1.1 видно, что группа 4/mmm (D4h) имеет восемь одномерных неприводимых представлений и два двумерных. Одномерные представления состоят из +1 и –1, двумерные – квадратные матрицы размером 2 × 2. Размерность представления определяет число компонент параметра порядка. По одномерным представлениям происходит фазовый переход с однокомпонентными параметрами порядка, по двумерным – с двухкомпонентным. Группы низкосимметричных фаз опреде- Продолжение табл. 1.1 1 m⊥ 4 1 4− my mx mxy xy m 1 + Γ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − Γ –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 2 + Γ 1 1 –1 –1 1 1 –1 –1 2 − Γ –1 –1 1 1 –1 –1 1 1 3 + Γ 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1 3 − Γ –1 –1 –1 –1 1 1 1 1 4 + Γ 1 1 –1 –1 –1 –1 1 1 4 − Γ –1 –1 1 1 1 1 –1 –1 5 + Γ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 5 − Γ 1 0 0 1 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 1 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 0 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ Окончание табл. 1.1 Ядро гомоморфизма Базисные функции L-группа 1 + Γ P4/mmm (D4h 1) x2+y2, z2 1 (C1) 1 − Γ P422 (D4 1) 2 (Cs) 2 + Γ Pmmm (D2h 1) x2–y2 2 (Cs) 2 − Γ P42m (D4d 1) xy 2 (Cs) 3 + Γ P4/m (C4h 1) Jz 2 (Cs) 3 − Γ P4mm (C4v 1) z 2 (Cs) 4 + Γ Cmmm (D2h 19) 2 (Cs) 4 − Γ P4m2 (D4d 5) 2 (Cs) 5 + Γ P1 (Ci 1) (Jx, Jy) (xz, yz) 4mm (C4v) 5 − Γ Pm (Cs 1) (x, y) 4mm (C4v)
Доступ онлайн
от 212 ₽
В корзину