Начертательная геометрия: сборник задач

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 

ГЕОМЕТРИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ

С.А. ФРОЛОВ

3-е издание, исправленное

Рекомендовано 

Учебно-методическим советом СПО 

в качестве учебного пособия для студентов 

учебных заведений, реализующих программу 

среднего профессионального образования 

по техническим специальностям

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 514(075.32)
ББК 22.151.3я723
 
Ф91

Фролов С.А.

Ф91  
Начертательная геометрия: сборник задач : учебное пособие / С.А. Фролов. — 
3-е изд., испр. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 172 с. — (Среднее 
профессиональное образование).

ISBN 978-5-16-014147-3 (print)
ISBN 978-5-16-108946-0 (online)
Учебное пособие соответствует примерной программе по начертательной 
гео метрии для вузов технических направлений. Подчеркнута роль 
инвариантных свойств ортогонального проецирования в создании теоретической 
базы курса. Особое внимание уделено способам образования поверхностей, 
их заданию на эпюре Монжа.

Для студентов учреждений среднего профессионального образования 

по техническим специальностям.

УДК 514(075.32)

ББК 22.151.3я723

Р е ц е н з е н т ы:

Верховский А.В. — доктор технических наук, профессор, заведу-

ющий кафедрой Московского государственного института электро-
ники и математики (Технического университета);

В.И. Лобачов — кандидат технических наук, доцент, заведующий 

кафедрой Московского государственного технического университета 
имени Н.Э. Баумана

ISBN 978-5-16-014147-3 (print)
ISBN 978-5-16-108946-0 (online)
© Фролов С.А., 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ

у

В настоящем сборнике все задачи распределены по разделам, 
соответствующим тематике глав учебника и расположенным в 
той же последовательности, в какой изложены теоретические 
вопросы в учебнике.
Отличительной особенностью настоящего задачника является 
также то, что обширный круг задач, который обычно составляет 
содержание нескольких разделов, в данном задачнике помещен 
всего лишь в двух главах: гл. III – позиционные задачи и гл. IV – 
метрические задачи. Такое объединение позволяет получить 
обобщенные алгоритмы и на их основе дать рекомендации, при-
годные для решения широкого круга однотипных задач.
В начале каждой главы даны основные сведения теоретичес-
кого характера. Особое внимание обращено на инвариантные 
свойства параллельного проецирования. На конкретных приме-
рах показано их применение для решения типовых задач.
При решении задач необходимо графические условия исход-
ных данных увеличивать в 2 раза.
Все замечания и предложения по совершенствованию задач-
ника просим направлять по адресу издательства.

Задачник предназначен для студентов технических специ-
альностей, изучающих начертательную геометрию по учебнику 
С.А. Фролова «Начертательная геометрия» (М.: ИНФРА-М).
Для записи отношений между геометрическими фигурами 
и различных логических высказываний применена система сим-
волов, используемых при изложении курса высшей математики.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ

В задачнике, как и в учебнике, для которого он написан, ис-
пользуются обозначения и символы, принятые в курсе матема-
тики и геометрии в средней школе.

ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИХ ПРОЕКЦИЙ
ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИХ ПРОЕКЦИЙ

1. Геометрическая фигура обозначается буквой Ф.
2. Точки обозначаются прописными буквами латинского ал-
фавита или арабскими цифрами:

A, B, C, D, …, L, M, N, …

1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14 …

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям 
проекций, обозначаются строчными буквами латинского 
алфавита:
a, b, c, d, …, k, m, n, …
Линии уровня обозначаются: h – горизонталь; f – фронталь; 
w – профильная прямая.
Для прямых используются также следующие обозначения: 
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В; [АВ) – луч с началом 
в точке А; [АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками A и В.
4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого 
алфавита:
, , , , …, , , .
5. Углы обозначаются:
ABC – угол с вершиной в точке В или

°, °, °, …, °.

Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком , 
который ставится над буквенным обозначением угла

АВС
– величина угла ABC;

ϕ°
– величина угла °.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

6. Расстояние между фигурами пространства обозначается 
двумя вертикальными отрезками – ||. Например:
|АВ| – расстояние от точки А до точки В (длина от резка АВ);
|Аα| – расстояние от точки A до поверхности α;
|ab| – расстояние между линиями a и b;
|αβ| – расстояние между поверхностями α и β.
7. Плоскости проекций обозначаются π1, π2, π3, где π1 – гори-
зонтальная плоскость проекций; π2 – фронтальная плоскость 
проекций; π3 – профильная плоскость проекций.
При замене плоскостей проекций новую плоскость обо значают 
той же буквой, что и плоскость, которую она за менила, с добавле-
нием подстрочного индекса π4, π5, π6 и т.д.
8. Оси проекций обозначаются буквами х, у, z.
9. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометричес-
кой фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и 
оригинал, с добавлением верхнего индекса, например:

A′, A″, A′′′;  l′, l″, l′′′;  β′, β″, β′′′;  Ф′, Ф″, Ф′′′.

Верхний индекс соответствует плоскости проекции, на кото-
рой они получены. Индексом ′ обозначаются горизонтальные, 
индексом ″ – фронтальные и индексом ′′′ – про фильные проек-
ции.
10. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми 
же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавле нием 
подстрочного индекса 0α, подчеркивающего, что эти линии ле-
жат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверх-
ности) α.
Так: h0α – горизонтальный след плоскости (поверхности) α; 
f0α – фронтальный след плоскости (поверхности) α.
11. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, 
с которых начинаются слова, определяющие название (в латинс-
кой транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает ли-
ния, с добавлением подстрочного индекса, указывающего прина-
длежность к линии, например: На – горизонтальный след прямой 
(линии) а; Fa – фронтальный след прямой (линии) а.

12. Последовательность точек, линий, поверхностей лю бой 
фигуры отмечается подстрочным индексом:

A1,  A2,  A3, …,  An;

l1,  l2,  l3, …,  ln;

β1,  β2,  β3, …,  βn
Ф1,  Ф2,  Ф3, …,  Фn  и т.д.

Вспомогательные проекции точек, линий, поверхностей лю-
бой фигуры, полученные в результате преобразования для опре-
деления действительной величины геометрической фигуры, обоз-
начаются той же буквой (цифрой) с подстроч ным индексом  0:

A0,  l0,  β0,  Ф0  и т.д.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ОТНОШЕНИЯ 
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ОТНОШЕНИЯ 

МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ
МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ

1. = – совпадают, равны, результат действия.
2. ≅ – конгруэнтны.
3. ∞ – подобны.
4. || – параллельны.
5. ⊥ – перпендикулярны.
6. —⋅ – скрещиваются.
7. → – параллельное проецирование.
8. 
 – отрицание.
9. ∈ – принадлежит, A ∈ l – точка A принадлежит линии l.
10. ⊂ – включает (является подмножеством),  а  a ⊂ γ – по-
верхность γ включает в себя линию а (или множество точек линии 
а является подмножеством точек поверхности γ).
11. ∪ – объединение множеств, ABCD = [АВ] ∪ [ВС] ∪ [CD] – 
ломаная линия ABCD есть объединение отрезков AB, ВС и CD.
12. ∩ – пересечение множеств, l = α ∩ β – линия l есть ре-
зультат пересечения поверхностей α и β.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

13. ∧ – конъюнкция предложений, соответствует союзу «и».
14. ⇒ – импликация – логическое следствие, означает: 
«если, … то»; (а||с ∧ b||с) ⇒ а||b – если две прямые параллельны 
третьей, то они параллельны между собой.

15. ⇔ – эквивалентность.
16. ∀ – квантор общности, читается: «для всякого (для лю-
бого)»; ∀ (ΔABC) (А+ B+ C= 180°) – для вся кого (для любого) 
треугольника ABC сумма величин углов при вершинах A, B, и C 
равна 180°.

ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

§ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
§ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Начертательная геометрия как учебная дисциплина зна комит 
студентов:
а) с методом отображения пространственных фигур на плос-
кость (построение проекций);
б) с возможностью получить с помощью проекций обратимый 
чертеж;
в) со способами решения на этом чертеже различных задач, 
позволяющих определять метрические характеристики геометри-
ческих фигур и позиционные отношения между фигурами.
Любую геометрическую фигуру следует рассматривать как 
множество всех принадлежащих ей точек, соответственно, проек-
цией геометрической фигуры является множество проекций этих 
точек, поэтому, чтобы упростить понимание сущности проециро-
вания, которое составит основу метода построения проекций, по-
кажем на примере получение про екций только одной точки.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Пусть заданы (рис. 1) плоскость α и точка S1 (S1 ∉ α). 
Принимаем α за плоскость проекций, a S1 за центр, тогда, при за-
данном аппарате проецирования, точке пространства A (A ∉ β Â S1 

α

A
B

B2
α

S2
S1

A2
α
B1
α
A1
α

           Рис. 1

и β||α) на плоскости α будет однознач но соответствовать точка 
Aα
1 (Aα
1 = [S1 A) ∩ α) – цен тральная проекция точки А.
К сожалению, обратное утверждение не имеет смысла, поэ-
тому одна центральная проекция Aα
1 точки А не дает возможности 
судить о положении точки в пространстве.
Чтобы получить обратимый чертеж, позволяющий по проекции 
судить о положении точки в пространстве, необходимо указать дополнительную 
проекцию Aα
2, полученную из другого центра S2. 
Зная, как определяются центральные проекции одной точки, не 
составляет труда построить проекции любого числа точек.
На рис. 1 показаны также проекции Bα
1 и Bα
2 точки B.
Две центральные проекции Aα
1, Aα
2 (или Bα
1, Bα
2) одно значно определяют 
положение точки А (или В).

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

В качестве центров проекций S1 и S2 можно взять несобственные (
бесконечно удаленные) точки S1∞ и S2∞. Полученные из 
этих центров проекции точек принято называть параллельными 
проекциями.
На рис. 2 показаны центральные проекции Aα
1, Aα
2 (Bα
1, Bα
2), которые 
однозначно определяют точку пространства A (В).

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

В инженерной практике для отображения геометрических фигур 
на плоскости широко применяется метод пря моугольного 
(ортогонального) проецирования.
Ортогональная модель евклидова пространства строится следующим 
путем: в пространстве выделяются две вза имно перпендикулярные 
плоскости π1 и π2.
Принимаем их за плоскости проекций (рис. 3). Точки пространства 
прямоугольно проецируем на плоскость π1, множество 
проекций точек {K′…} образует поле горизон тальных проекций 
точек {K…}. При прямоугольном про ецировании точек K на плоскость 
π2 получим множество точек {K″…}, образующих поле 
фронтальных проекций.
На рис. 3 показаны точки пространства A и В и их ортогональные 
проекции A′, A″ и В′, В″. Здесь, как и в ранее рассмотренных 
случаях (см. рис. 1 и 2), одной точке пространства 
соответствуют две точки – ее проекции.

α

A
B

B2
α

S2
S1

A2
α
B1
α
A1
α

           Рис. 2

Если положение плоскостей π1 и π2 фиксировано, то каждой 
точке пространства будет соответствовать упорядоченная пара 
точек на полях проекций.
Справедливым оказывается и обратное утверждение – упорядоченной 
паре точек полей проекций соответствует единственная 
точка пространства.
Отмеченное свойство является фундаментальным, составляющим 
основу построения проекционного чертежа.

ЭПЮР МОНЖА
ЭПЮР МОНЖА

Для получения плоской ортогональной модели евклидова пространства – 
эпюра Монжа горизонтальную плоскость (см. рис. 3) 
совмещают с фронтальной плоскостью путем ее поворота на 90° 
вокруг оси х в направлении, указанном стрелкой.

A

x

A′
B′

A″
B″
B

Bx
Ax
π2

π1

           Рис. 3

После завершения поворота полуплоскость π1 займет положе-
ние, указанное на рис. 4. Вместе с полуплоскостью π1 перемес-
тятся и принадлежащие ей горизонтальные проекции A′ и B′ то-
чек А и В.