Вероятностные задачи теории эффективности действия

Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана

А.Г. Ришняк, А.Ф. Овчинников

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ  ДЕЙСТВИЯ

 Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 170103  «Cредства поражения
и боеприпасы»

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 519.21(075.8)
ББК  22.17
           Р57

Рецензенты: В.А. Попов, А.К. Ефремов

 Ришняк А.Г., Овчинников А.Ф.
Вероятностные задачи теории эффективности действия:
Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –
304  с.: ил.
ISBN 5-7038-2847-3

Приведен краткий обзор основных разделов теории вероятнос-
тей, необходимых для овладения экспресс-методиками эффектив-
ности действия. Изложение материалов дополнено подробными
решениями специально подобранных задач. Продемонстрирована
целесообразность применения математической системы MATLAB,
позволяющего сосредоточить внимание на анализе решений. Пока-
зано, что последовательная алгоритмизация расчетов (в частности,
применение объектно-ориентированных методов, универсальных
средств, основанных на методах статистического моделирования)
может существенно изменить технологию решения вероятностных
задач и позволит отказаться от ряда принципиальных допущений,
вынужденно принимаемых в обычных расчетах.
Учебное пособие соответствует курсу лекций «Эффективность
действия», читаемых на кафедре «Высокоточные летательные ап-
параты». Предназначено для студентов старших курсов.

                                                                                                           УДК 519.21(075.8)
                                                                                                 ББК 22.17

 ISBN 5-7038-2847-3                                                  © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Р57

ВВЕДЕНИЕ

Количественные характеристики работоспособности проекти-
руемых изделий обычно оценивают их номинальными значения-
ми, вычисленными в условиях полной детерминированности про-
цессов их функционирования. Такой подход правомерен, если
влияние неконтролируемых факторов на эксплуатационные харак-
теристики в реальных условиях применения не столь велико, что-
бы поставить под сомнение проектные решения, принятые по но-
минальным оценкам. Так, если на основании баллистических
расчетов обеспечена требуемая по техническому заданию дальность 
полета, то она будет подтверждена и на полигонных испытаниях. 
Хотя реальная дальность и отличается от расчетной из-за
влияния случайных факторов, эта разница отчасти не имеет значения 
с точки зрения досягаемости цели, отчасти может быть учтена
заранее при грамотном проведении проектных расчетов или исправлена 
при доработке конструкции.
Другое дело – влияние рассеивания траектории полета на эффективность 
действия по цели. Случайные отклонения от расчетной 
точки встречи могут привести к несравнимым результатам: от
достоверно успешного действия при благоприятной комбинации
случайных факторов до нулевого. Оценка по искусственно детерминированной 
схеме при определяющем влиянии случайных факторов 
теряет смысл. Тем не менее при многократном повторении
стрельбы в одних и тех же условиях обнаруживаются закономерности 
в уровне действия по цели. Выявив эти закономерности,
оценив их количественно, можно сравнивать альтернативные варианты 
изделия по этим оценкам и выбирать из них объективно
лучший. На этом основан целенаправленный поиск оптимальных
проектных решений.
Изучением закономерностей в случайных явлениях занимается
теория вероятностей. Аппарат теории вероятностей составляет математическую 
основу теории эффективности, которая позволяет
вырабатывать критерии оценки соответствия проектируемых изделий 
и тактики их применения поставленным целям. Показателя-

ми эффективности, которые учитываются в критерии качества,
обычно являются неслучайные характеристики случайных величин (
математическое ожидание числа пораженных целей, доля пораженной 
площади и т. п.). Для вычисления показателей эффективности 
необходимо иметь полное описание случайных величин.
Исходную информацию для таких описаний приходится «добывать», 
проводя испытания в реальных условиях, поэтому по мере
усложнения проектируемых изделий резко возрастает стоимость
набора статистики. В связи с этим современному инженеру очень
важно уметь эффективно распоряжаться имеющимися данными,
умело оперировать вероятностными методами.
Учебное пособие посвящено практическим методам решения
типовых задач по основным разделам теории вероятностей и содержит 
в компактном виде необходимые основы теории. Подбор
задач, порядок их расположения  связаны с изложением материала,
некоторые теоретические результаты выводятся в ходе решения
задач, поэтому анализировать решения рекомендуется не выборочно, 
а систематически.
Большинство задач решаются с помощью инженерного калькулятора. 
Не теряют актуальности и традиционные табличные методы, 
так как не везде есть компьютер (например, в лекционной аудитории). 
Но, отдавая должное отработанным десятилетиями
методам вычислений в теории вероятностей и даже максимально
облегчая их применение (в приложении приведены наиболее часто
используемые таблицы), авторы не отказываются от преимуществ
компьютерной технологии. Многие задачи решены с помощью
системы MATLAB, приведены листинги файл-функций и команды, 
позволяющие воспроизводить эти методы в самостоятельной
работе. Конечно, учебное пособие не может служить введением в
MATLAB, в нем нет даже начальных сведений об этой системе. Но
действие специфических языковых конструкций подробно объясняется, 
они прозрачны в контексте решаемых задач, а легкость получения 
результатов может послужить для читателя стимулом к
освоению достаточно удобной вычислительной среды по имеющимся 
в изобилии руководствам.
Следует обратить внимание на то, что эта легкость достигается
после некоторых усилий. Программирование, даже в таких развитых 
математических средах, которые предоставляют MATLAB
или более популярный у студентов MathCAD, – не совсем подходящий 
способ решения нетривиальных задач, чаще всего отвле-

кающий от проблем, породивших эти задачи. Необходима подготовленная 
для определенной области применения технология, основанная 
на программных компонентах, открытых для модификации 
и доработки. Программы, представленные в учебном пособии
в ходе решения задач, иллюстрируют применение теории и образуют 
согласованный пакет, который может составить основу компьютерной 
технологии решения вероятностных задач при оценке и
оптимизации эффективности действия. Полностью пакет программ
содержится в электронном курсе лекций «Эффективность действия» 
и на прилагаемом компакт-диске. Тексты программ в учебном 
пособии приведены в качестве иллюстраций. Эти программы,
как правило, работоспособны, но могут отличаться от рабочих
программ в пакете. Программы, составленные специально для решения 
конкретной задачи, обозначены словом task с добавлением
номеров главы и задачи. Такие программы помещены в отдельную
папку для каждой главы, доступ к папке должен быть установлен
только при решении задач данной главы. Универсальные программы 
помещены в папку Ver, к которой установлен постоянный
доступ.
 Открытость кода в MATLAB, позволяющая вдумчивым пользователям 
разбираться в готовых программах по всей цепочке расчетов 
и в случае необходимости вносить изменения, — не единственное 
достоинство, повлиявшее на выбор этого пакета для
решения задач. Развитая библиотека математических программ,
векторная обработка данных, удобные средства графической визуализации, 
возможность применения объектно-ориентированной
технологии программирования идеально отвечают первоначальному 
замыслу данного учебного пособия: поднять уровень решения 
вероятностных задач за счет применения компьютерной технологии 
без существенного смещения центра внимания в сторону
ее программной реализации. Цель включения в основной текст
большого количества программ не в том, чтобы научить програм-
мированию, а в том, чтобы лучше раскрыть прикладные аспекты
теории вероятностей, свободные от обычно применяемых вынуж-
денных упрощений (предположение о независимости событий или
несовместности гипотез и т. д.). Выразительный, математически
емкий язык MATLAB в данном случае используется для формаль-
ного изложения математических отношений теории вероятностей.
Особую роль играют программные структуры, объединяющие са-
мые существенные свойства (данные) и модели поведения (вычис-

лительные процедуры) выделенных классов объектов. Их можно
рассматривать как активные модули знаний, и в определенном
смысле программирование классов сродни обучению: в основе
лежит систематизация знаний, программное исполнение дает опыт
их алгоритмизации, а решение задач с использованием классов в
чистом виде демонстрирует оптимальную методику применения
знаний. Объектно-ориентированная технология представлена все-
го несколькими классами (двухмерные случайные векторы и плос-
кие фигуры), но их применение сильно упростило процедуру ре-
шения разнообразных задач, связанных с вероятностью попадания
в заданную область.
То, что для решения вероятностных задач пришлось активно
воспользоваться компьютерными технологиями, вполне естест-
венно, но совсем не означает, что освоение языка программирова-
ния обязательно для понимания способов решения задач и тем бо-
лее для интерпретации результатов. Программы объясняются не
как языковые конструкции, а как рабочие процедуры решения за-
дач. Авторы надеются, что многообразие смысловых контекстов
(теория, задачи, программы, диалог с компьютером) не вызовет
затруднений у читателя. Всего в тексте встречаются четыре типа
фрагментов, набранных различными шрифтами:
– теоретический материал;
– условия и решения задач;
– тексты программ;
– тексты из рабочего окна MATLAB.
Если в основном тексте в ходе объяснения встречаются имена
программ, идентификаторы или отдельные операторы, то они вы-
делены как тексты программ. Результаты вычислений в основ-
ной текст вставлены копированием соответствующих фрагментов
рабочего окна, поэтому они выглядят как тексты из рабочего окна
MАTLAB.
Как правило, необходимость разработки компьютерных про-
грамм естественным образом вытекает из характера поставленных
задач. Но есть и такие задачи (они помечены «звездочкой»), в кото-
рых ставится цель разработки программ как инструментов решения
определенного класса проблем. В их решении обсуждаются не со-
держательные результаты, а рациональная технология составления
программных средств для решения вероятностных задач. Без ущерба
для понимания предмета эти задачи можно не рассматривать.

Некоторое усложнение от внедрения компьютерной техноло-
гии в классические разделы теории вероятностей оправдано тем,
что ее применение позволило выйти за пределы традиционных за-
дач. В рамках созданной технологии стало возможным решение
оптимизационных задач, которые тесно связаны с оценкой эффек-
тивности действия, выступающей, как правило, в роли критерия
качества в оптимальном проектировании. Но главную перспективу
развития компьютерной методологии решения вероятностных за-
дач при инженерной оценке эффективности действия авторы видят
в творческом продолжении усилий по расширению круга задач,
нашедших адекватную интерпретацию в рамках уже созданных и
доработанных программных средств. Авторы стремились в описа-
нии решений не столько к самим решениям, сколько к построению
целесообразной процедуры получения результата, исходя из того,
что вооруженные необходимыми знаниями и навыками их приме-
нения будущие специалисты успешно решат не только приведен-
ные в пособии типовые задачи, но и разнообразные проблемы, ко-
торые их ожидают в практической деятельности.

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Непосредственный расчет вероятностей

Множество элементарных событий, несовместных, образующих пол-
ную группу и равновозможных, называют случаями, или шансами. Если
событию А благоприятствуют m шансов из n, то вероятность А определя-
ют согласно формуле

( )
.
m
P A
n
=
                                               
(1.1)

Для решения задач по схеме случаев нужно определить множество
элементарных событий так, чтобы они были шансами, а затем правильно
вычислить знаменатель и числитель. Сложным в этой процедуре может
быть только первый этап – построение схемы случаев. Так, при ответе на
вопрос: «С какой вероятностью по пути к метро вы встретите пьяного
инопланетянина?» было бы неправильно рассматривать в качестве случа-
ев два исхода (встречу, не встречу) и на основании того, что означенному
событию благоприятствует один исход из двух, определить его вероят-
ность по формуле (1.1) как 1/2. Ошибка в том, что рассмотренные эле-
ментарные исходы неравновозможны.
1.1. По k целей действуют r поражающих элементов (ПЭ), каж-
дый из которых выбирает себе цель независимо от других. В этой
ситуации все ПЭ могут выбрать одну и ту же цель – это случайное
событие обозначим А. Если 
,
r
k
<
то может произойти и собы-
тие В – все ПЭ действуют по разным целям. Определить вероятно-
сти событий А и В при k = 5, r = 2.
Р е ш е н и е . Выбор целей без согласования происходит по схе-
ме выборки с возвратом: в урне находятся k перенумерованных
шаров, r раз из урны выбирают по одному шару, записывают его
номер и возвращают обратно. Таким образом, элементарный ис-
ход в данном опыте  – последовательность из r чисел, каждое из
которых независимо от других принимает одно из k возможных
значений. Общее число таких исходов n
k k
k
=
⋅ (r сомножите-
лей). Из них только k могут иметь все одинаковые номера, значит,
,
A
m
k
=
следовательно,

2
5
1
( )
.
5
5

A
r
m
k
P A
n
k

=
=
=
=

Число 
B
m  исходов, в которых все цели разные, можно полу-
чить по схеме выборки без возврата: после извлечения из урны
номер шара записывают, а шар в урну не возвращают. Так как в
первом извлечении число возможностей k, а после каждого извле-
чения оно уменьшается на 1, то в r повторениях возможных ком-
бинаций всего 
(
1)
(
1)
r
B
k
m
A
k k
k
r
=
=
−
−
+
– число размещений
из k элементов по r. Эти комбинации входят в число выборок с

возвратом, т. е. в общее число исходов в данном опыте 
,
r
n
k
=
следовательно,

2
(
1)
(
1)
5 4
4
( )
.
5
5

B
r
m
k k
k
r
P B
n
k

−
−
+
⋅
=
=
=
=
Очевидно, что только при двух целях события A и B образуют полную
группу, поэтому P(A) + P(B) = 1/5 + 4/5 = 1. Но, например, при r =

= 3 P(A) + P(B) = 5
5 4 3
13
3
3
25
5
5

⋅ ⋅
+
=
 и с вероятностью 12

25
 может произойти

событие, не совпадающее ни с A, ни с B.
Еще в одном классе задач, связанных с непосредственным расчетом
вероятностей, имеют дело с выборками без возврата, не различающими
перестановки элементов в выборке, называемыми в комбинаторике со-
четаниями.  Число таких выборок из k элементов по r

(
1)
(
1)
!
.
!
!
!(
)!

r
A
k k
k
r
k
r
k
Ck
r
r
r k
r
−
−
+
=
=
=
−
…

1.2. Из партии N деталей, в которой содержится k бракованных,
случайным образом отбирают для контроля М штук. Какова вероятность 
того, что в контрольной выборке окажется r бракованных
деталей (случайное событие А)?
Р е ш е н и е . Мысленно перенумеровав все детали числами от 1
до N, можно представить элементарный исход как последовательность 
M чисел, каждое из которых принимает значение из множества 
номеров, но все числа в последовательности разные. Общее
число равновозможных исходов 
.
M
N
n
C
=
 Из них в число благо-

приятных для события А попадают те выборки, в которых r деталей 
взяты из k бракованных, а остальные (M – r) – из (N – k) годных, 
значит, 
r
M r
k
N k
m
C C
−
−
=
. Итак,

( )
.
r
M r
k
N k
M
N

C C
P A
C

−
−
=

1.2. Геометрические вероятности

Во многих случаях несовместные, образующие полную группу элементарные 
исходы составляют континуальное множество, так что пересчитать 
их нельзя, но есть основания полагать, что все они равновозмож-
ны. Тогда в формуле непосредственного расчета вероятностей число
возможных исходов следует заменить на меру множества возможных исходов 
Ω (длину, площадь, объем), а число благоприятных исходов – на
меру соответствующей части этого множества A:

Мера( )
( )
.
Мера( )

A
P A =
Ω
                                          
(1.2)

1.3. Два студента договорились встретиться в интервале времени 
от 13.00 до 14.00 с условием, что каждый приходит в любой
момент данного интервала без предпочтений и ожидает не более
четверти часа, после чего, если встреча не состоялась, уходит. Какова 
вероятность того, что встреча состоится?
Р е ш е н и е . Если моменты прихода студентов на встречу относительно 
начала часового интервала обозначить t1 и t2, то элементарные 
исходы этого опыта – пары (t1, t2), которым соответствуют
все точки квадрата, показаного на рис. 1.1. Благоприятные для
встречи 
исходы 
ограничены 
условием

1
2
1/ 4
t
t
−
<
и соответствуют закрашенной
части квадрата. Поэтому

2
Площадь( )
1
(3/ 4)
7
( )
.
Площадь( )
1
16
A
P A
−
=
=
=
Ω

1.4. В устройство поступают сигналы по
двум каналам, причем поступление каждого
Рис. 1.1