Численный анализ элементов конструкций машин и приборов

Предисловие                                                  1 

С. С. Гаврюшин, О. О. Барышникова, 
О. Ф. Борискин 

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ 
МАШИН И ПРИБОРОВ 
 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Москва 
2014 

Предисловие 

УДК 539.3:534.1 
 ББК 34.41 
         Г12 

 

Рецензент: 
д-р техн. наук, проф. В. В. Кашелкин 
 
 
Гаврюшин С. С. 
Г12 
 
Численный анализ элементов конструкций машин и приборов / 
С. С. Гаврюшин, О. О. Барышникова, О. Ф. Борискин. — 2-е изд., 
испр. — М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 479, 
[1] с. : ил. 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3979-9 
 
Изложены основные этапы расчетов на ЭВМ напряженного и 
деформированного состояний сложных стержневых, оболочечных и 
трехмерных конструктивных элементов в геометрически и физически 
нелинейной постановке. Особое внимание уделено разработке 
новой методики расчета и проектирования, позволяющей за счет использования 
оптимальных смешанных аппроксимаций перемещений 
проводить численное исследование процессов нелинейного деформирования 
гибких трубчатых манометрических элементов, 
анализировать влияние различных параметров на процесс деформирования, 
учитывать особенности нелинейного процесса дефор-
мирования. Приведены и проанализированы результаты расчетов 
тестовых примеров и реальных механических систем. Значитель-
ное внимание уделено практическому применению разработанных 
алгоритмов, программ и методик. 
Для научных сотрудников, инженеров и аспирантов, связанных 
с исследованием, проектированием, изготовлением и эксплуатаци-
ей сложных механических систем. Книга может быть полезна сту-
дентам старших курсов технических вузов. 
 
УДК 539.3:534.1 
 ББК 34.41 
 
© Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., 2012 
© Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., 2014,    
с изменениями 
© Оформление. Издательство 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
ISBN 978-5-7038-3979-9 

Предисловие                                                  3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В монографии изложены основные этапы расчетов на ЭВМ 
напряженного и деформированного состояния сложных кон-
структивных элементов в трехмерной нелинейной постановке на 
базе смешанных аппроксимаций перемещений полиномами выс-
ших порядков. При построении конечно-элементной модели 
сталкиваются две, противоречащие друг другу, тенденции: с од-
ной стороны, необходимо получить надежные и достоверные ре-
зультаты, а с другой — возникает вопрос о трудоемкости расче-
тов, которая может быть настолько велика, что результат 
оказывается практически недостижимым. Для разрешения этих 
противоречий необходим рациональный выбор конечных эле-
ментов, а следовательно, и их аппроксимирующих свойств. 
Авторами проведено сопоставление различных сочетаний поряд-
ков аппроксимаций перемещений в различных направлениях, выра-
ботаны рекомендации по оптимизации способов смешанной аппрок-
симации перемещений. Особое внимание уделено разработке новой 
методики расчета и проектирования, позволяющей проводить чис-
ленное исследование процессов нелинейного деформирования гиб-
ких конструктивных элементов машин и механизмов, анализировать 
влияние различных параметров на процесс деформирования, учиты-
вать особенности нелинейного процесса деформирования. Приведе-
ны и проанализированы результаты расчетов тестовых примеров и 
реальных механических систем. Значительное внимание уделено 
практическому применению разработанных алгоритмов, программ и 
методик. 
Монография посвящена разработке теории, методов расчета 
и оптимизации нового класса конечно-элементных математических 
моделей, используемых при решении нелинейных трехмерных за-
дач динамики и прочности машин, приборов и аппаратуры. Их ха-
рактерное отличие — использование полиномов различных степе-
ней для аппроксимации перемещений в различных направлениях.  
В большинстве известных публикаций и конечно-элементных прог-
раммных комплексах используются линейные симплекс-элементы 
или изопараметрические элементы второго порядка. Такой подход 

Предисловие 

приводит к необходимости использовать достаточно большое коли-
чество конечных элементов и, как следствие, к возникновению и 
накоплению ошибок округления. Одна из первых попыток исполь-
зовать смешанную аппроксимацию перемещений в трехмерных за-
дачах была предпринята в монографии О.Ф. Борискина «Автомати-
зированные системы расчета колебаний методом конечных элемен-
тов». Результаты более подробных исследований опубликованы в 
журналах «Вестник МГТУ. Машиностроение» (1994, 2000), «Изве-
стия вузов. Машиностроение» (1999, 2000), «Проблемы прочности» 
(1994, 1995), «Тяжелое машиностроение» (1997), «Проблемы маши-
ностроения» (1991) и «VDI-Berichte» (1980, № 361). 
В этих публикациях были обнаружены большие преимущества 
семейства смешанных трехмерных конечных элементов с аппрок-
симацией перемещений полиномами высоких и высших порядков. 
На конкретных примерах показано, что использование такого под-
хода к решению задач динамики и прочности приводит к снижению 
числа необходимых конечных элементов на 30…50 %. Особо следу-
ет отметить целесообразность применения смешанных аппроксима-
ций при решении нелинейных задач для многослойных аэрокосми-
ческих оболочечных конструкций. 
В монографии не просто собрано то, что сейчас рассредоточе-
но во многих публикациях, выполненных при поддержке Российско-
го фонда фундаментальных исследований (гранты 00-01-00771, 
01-01-96014, 01-01-06034, 01-01-06035), Европейского космиче-
ского агентства (контракт 12804/98D/IM, 1999–2000), Немецкой 
службы академических обменов (гранты 1977–1978, 1984, 1997, 
2001) и Международной Соросовской программы образования в 
области точных наук ISSEP (1997, 2000), но предпринята попытка 
изложить этот материал систематически, с максимальной ясно-
стью, глубиной и полнотой. 
Тема монографии «Оптимальные смешанные аппроксимации 
перемещений в нелинейной трехмерной динамике и прочности машин» 
находится на пересечении различных областей знаний: механика 
твердого деформируемого тела, математическое моделирование, 
численные методы, теория аппроксимаций функций, теоретическая 
механика и др. Это новое научное направление в чис-ленных 
методах моделирования механических систем и в методе конечных 
элементов возникло около 16 лет назад. Все основные публикации 
по трехмерным смешанным аппроксимациям перемещений поли-

Предисловие                                                  5 

номами высших порядков принадлежат исполнителям проекта — 
О.Ф. Борискину, С.С. Гаврюшину, О.О. Барышниковой — сотрудникам 
Московского государственного технического университета 
им. Н.Э. Баумана. В трех публикациях соавтором является В.В. Ка-
шелкин — рецензент монографии, заведующий отделом прочности 
ФГУП «Красная звезда» Министерства Российской Федерации по 
атомной энергии (Минатом России). 
В этих публикациях были обнаружены большие преимущества 
семейства смешанных трехмерных конечных элементов с аппрок-
симацией перемещений полиномами высоких и высших порядков. 
На конкретных примерах показано, что использование такого под-
хода к решению задач динамики и прочности приводит к снижению 
числа необходимых конечных элементов на 30…50 %. Предложен-
ные математические модели обладают высокой достоверностью в 
широком диапазоне изменения как параметров моделей, так и физи-
ко-механических и геометрических характеристик объектов иссле-
дования. Особо следует отметить целесообразность применения 
смешанных аппроксимаций при решении нелинейных задач для 
многослойных аэрокосмических оболочечных конструкций. 
В большинстве известных публикаций и в конечно-элементных 
программных комплексах используются линейные и квадратичные 
конечные элементы. Для получения необходимой точности моде-
лирования требуется очень большое количество узлов и элемен-
тов. В целом ряде практических применений необходимо доста-
точно большое количество слоев элементов по толщине детали. 
Поэтому создание семейства высокоточных конечных элементов на 
базе смешанных аппроксимаций перемещений полиномами треть-
их и четвертых порядков для моделирования сложных механиче-
ских систем с циклической поворотной симметрией следует отме-
тить как получение новых научных результатов. 
Монография состоит из предисловия и 14 глав. 
В предисловии дается формулировка проблемы развития мето-
дов расчета на ЭВМ колебаний и напряженно-деформированного 
состояния сложных оболочечных и трехмерных элементов машин с 
использованием автоматизированной конечно-элементной програм-
мной системы. В настоящее время машиностроительные предприя-
тия оснащены достаточно мощной вычислительной техникой, однако 
имеет место некоторое отставание прикладного программного обес-

Предисловие 

печения расчетов динамики и прочности машин. Такие программ-
ные продукты базируются, как правило, на упрощенных математи-
ческих моделях (стержни, кольцевые пластины, тонкостенные без-
моментные оболочки вращения). Все это приводит к увеличению 
объема экспериментальных работ, к необходимости разработки и 
изготовления нескольких вариантов конструкции. Для ликвидации 
этого отставания и для существенного уточнения базовых конечно-
элементных моделей и написана настоящая монография. Она посвящена 
вопросам повышения эффективности использования ЭВМ 
и метода конечных элементов (МКЭ) в нелинейных трехмерных 
расчетах динамики и прочности сложных механических систем. 
Глава 1. Анализ развития автоматизированных конечно-
элементных систем для расчета машиностроительных конструкций. 
Одной из наиболее трудоемких задач при разработке систем 
автоматизированного проектирования машиностроительных конструкций 
является создание специализированного программного 
комплекса для расчетов динамики и прочности элементов, блоков и 
конст-рукции в целом на основе метода конечных элементов. 
От уровня достоверности математических моделей и от затрат машинного 
времени в значительной степени зависит эффективность 
систем автоматического проектирования (САПР) машиностроительных 
конструкций. 
Таким образом, при автоматизации расчетов динамики и прочности 
необходимо решить две взаимосвязанные задачи: 
1. Разработать математическое и программное обеспечение, обладающее 
высокой точностью и достоверностью. 
2. Снизить трудоемкость расчетов, в первую очередь, в результате 
применения суперэлементного подхода, учета циклической симметрии 
конструкций, анализа и сопоставления различных методов 
решения задач линейной алгебры. 
Особого внимания заслуживает снижение трудоемкости подготовки 
исходных данных и графическое представление результатов 
расчетов. 
Глава завершается формулировкой проблем разработки и численного 
исследования новых конечно-элементных моделей, базирующихся 
на смешанных аппроксимациях перемещений полиномами 
высших порядков. 

Предисловие                                                  7 

Глава 2. Колебания и напряженно-деформированное состояние 
оболочечных конструкций. Одним из наиболее важных примеров 
расчета оболочек является анализ рабочих лопаток турбомашин. 
В процессе работы турбомашины в лопатках возникают 
значительные статические и динамические напряжения. Выход из 
строя даже одной лопатки компрессора приводит к выходу из 
строя всей турбомашины и значительным экономическим потерям. 
Все это заставляет разрабатывать теоретические методы оценки 
прочностных и вибрационных характеристик рабочих лопаток. 
Для расчета колебаний лопаток сложной геометрии, включая ло-
патки радиальных турбомашин, лопаток с бандажными антивибра-
ционными полками широкое распространение получил метод ко-
нечных элементов. Для расчета колебаний лопаток компрессора ис-
пользуют плоские, криволинейные и трехмерные изопараметриче-
ские конечные элементы. При первом подходе наилучшие результа-
ты и минимальная трудоемкость получены при анализе колебаний 
лопаток компрессора с использованием треугольных конечных эле-
ментов переменной толщины с изгибно-мембранной жесткостью. 
При расчете вводится предположение, что напряженное состоя-
ние рабочей лопатки определяется по линейной теории оболочек 
с использованием гипотезы Кирхгофа. Если относительные пере-
мещения для элемента оболочки малы, а кривизна незначительна, то 
плоская и изгибная деформации не связаны в пределах каждого ко-
нечного элемента. Следовательно, напряженное состояние в сре-
динной поверхности может быть описано с помощью классического 
аппарата двумерной задачи теории упругости, а напряженное состо-
яние, возникающее при изгибе, — на основе теории изгиба тонких 
пластин. Рассмотрен треугольный конечный элемент, находящийся 
одновременно под действием внешних нагрузок, которые приложе-
ны и в срединной поверхности, и по нормали к плоскости элемента. 
При описании изгибных деформаций функцию прогиба можно за-
писать в виде аппроксимирующего полинома третьей степени. 
Глава 3. Колебания и напряженно-деформированное состоя-
ние трехмерных тел. Широкий класс деталей машин не может 
быть описан на основании двумерных конечно-элементных аппрок-
симаций. К числу таких деталей можно отнести рабочие лопатки 
компрессоров и газовых турбин. Для лопаток турбины характерно 
совместное использование толстых профилей с достаточно тонкой 

Предисловие 

выходной кромкой в корневой части лопатки и относительно тон-
ких сильно искривленных профилей на ее периферии. 
Известный в технической литературе метод расчета деталей та-
кого класса основан на использовании квадратичных суперпарамет-
рических конечных элементов. Вместе с тем этому подходу прису-
щи неоднократно отмечаемые в литературе погрешности, связанные 
с неточным заданием нормали для суперпараметрической модели. 
Для таких деталей машин необходимо использовать уравнения 
трехмерной теории упругости. 
Рассмотрены основные матричные соотношения метода конечных 
элементов, основанные на уравнениях трехмерной теории упругости 
в перемещениях. На этих соотношениях базируется методика расчета 
динамики и прочности трехмерных деталей машин. 
Применение метода конечных элементов в задачах теории упру-
гости основано на предположении, что исследуемое трехмерное 
тело может быть заменено дискретной моделью с некоторой сово-
купностью узловых параметров. Вычисление параметров в точках, 
отличных от узловых, осуществляется при помощи специально по-
добранных аппроксимирующих функций, или функций формы, так 
как именно их зачастую используют для описания геометрии трех-
мерного тела. В качестве основных неизвестных при составлении 
уравнения равновесия такой дискретной модели принимают пере-
мещения узлов. 
В заключительной части главы приведены численные результа-
ты для ряда реальных высоконагруженных машиностроительных 
конструкций. Формулируются выводы, относящиеся к преимуще-
ствам смешанных трехмерных аппроксимаций по сравнению с луч-
шими мировыми аналогами. 
Глава 4. Геометрическая и физическая нелинейности меха-
нических систем. В предыдущих главах при выводе конечно-
элементных соотношений использовалось предположение о ли-
нейной связи между перемещениями, деформациями и напряже-
ниями, что позволяло описывать рассматриваемую задачу линей-
ными дифференциальными уравнениями. Однако на практике 
задача расчета динамики и прочности механических систем не яв-
ляется линейной в силу наличия большого многообразия силовых 
факторов. Все нелинейные процессы, возникающие в условиях 
сложного нагружения, можно разделить на геометрически нели-
нейные и физически нелинейные. 

Предисловие                                                  9 

Первый тип нелинейности выражается в нелинейной зависимо-
сти деформаций от перемещений. Наиболее полно это проявляется 
в задачах о конечных деформациях и больших перемещениях при 
малых деформациях (например, при расчете деталей машин). 
Однако даже при малых деформациях, не превышающих пре-
дел упругости материала, и малых перемещениях необходим учет 
геометрической нелинейности. Так, мембранные напряжения, воз-
никающие в растягиваемых центробежными силами лопатках тур-
бомашин, могут явиться причиной значительного уменьшения пе-
ремещений и роста собственных частот. Другой пример: при 
значительной неравномерности нагрева в лопатке могут появиться 
зоны, в которых несущая способность и, следовательно, собствен-
ные частоты всей конструкции будут уменьшаться. 
Второй тип нелинейности выражается в появлении в материале 
при определенных условиях неупругих деформаций. Частным слу-
чаем отклонения от линейно-упругого поведения является пла-
стичность, характеризующаяся необратимым деформированием, 
которое начинается при достижении некоторого напряжения — 
предела текучести материала. 
На базе смешанной аппроксимации перемещений полиномами 
высоких порядков разработаны алгоритмы, учитывающие геомет-
рическую и физическую нелинейность. Рассмотрено нелинейное 
поведение ряда модельных примеров и реальных конструкций. 
Полученные численные результаты удовлетворительно согласуют-
ся с известными результатами других авторов и с эксперименталь-
ными данными, полученными на заводах-изготовителях. 
Глава 5. Суперэлементная расчетная схема сложных меха-
нических систем. Расчет динамики и прочности сложных маши-
ностроительных конструкций с использованием МКЭ приводит 
к необходимости решения задач линейной алгебры с большой раз-
мерностью матриц. Это требует значительных объемов оператив-
ной и внешней дисковой памяти, существенных затрат машинного 
времени. Все это имеет особое значение при решении динамиче-
ских задач. 
Одним из возможных направлений повышения точности и сни-
жения трудоемкости расчетов динамики и прочности деталей ма-
шин является использование суперэлементной методики, которая 
основана на выделении «внешних» степеней свободы конструкции.  

Предисловие 

В настоящее время известны многочисленные примеры использова-
ния этого подхода в статических задачах. Процесс исключения 
внутренних степеней свободы представляет собой в этом случае 
процедуру блочного исключения Гаусса. Попытка прямого перено-
са блочного исключения Гаусса на задачи колебания привела к 
необходимости преобразования матрицы динамической жесткости 
подконструкций. 
Для повышения эффективности и упрощения алгоритмов рас-
чета собственных частот и форм колебаний целесообразно при 
разработке программных комплексов МКЭ использовать процеду-
ру исключения внутренних степеней свободы до формирования 
матрицы динамической жесткости. Такой подход позволяет на 
уровне матриц жесткости и масс конструкции, полученных с по-
мощью алгоритма статической конденсации, использовать стан-
дартные программы решения задачи о собственных значениях. 
В настоящей главе используется методика расчета динамики и 
прочности машин, которая основана на применении алгоритма 
статической конденсации и базируется на смешанной аппроксима-
ции перемещений полиномами высших порядков. 
Решаются задачи оптимизации выбора внешних степеней сво-
боды для типовых машиностроительных конструкций, которые 
обеспечивают достаточно высокую достоверность численных ре-
зультатов при умеренных затратах машинного времени. 
Глава 6. Метод модальных матриц в динамике сложных 
механических систем. Использован вариант метода модального 
синтеза, основанный на использовании собственных форм коле-
баний элементов, включая формы колебаний как жесткого цело-
го. В общем случае первый элемент конструкции связывается со 
вторым элементом посредством приравнивания перемещений в 
граничных узлах. В качестве примера рассмотрена пластина с 
жесткой заделкой на концах, длина которой равна 0,24 м. Сниже-
ние числа используемых в модальном синтезе форм колебаний с 
28 до 10 изменило низшую частоту колебаний системы лишь на 
2,3 %. Размерность задачи удалось при этом снизить почти в 
шесть раз. 
Глава 7. Суперэлементная методика исследования цикли-
чески симметричных систем. Большое внимание к исследованию 
колебаний механических систем с циклической поворотной сим-
метрией связано прежде всего с двумя факторами. Во-первых, 
конструкции подобного типа находят широкое распространение