Расчет параметров системы «летательный аппарат-автопилот» с использованием MATLAB и SIMULINK (продольное движение)

А.А. Малахов

Расчет параметров системы 
«летательный аппарат — автопилот»  
с использованием MATLAB и SIMULINK 
(продольное движение) 

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 629.7.05
ББК 39.52:39.57
        М18

Издание доступно в электронном виде по адресу 
https://bmstu.press/catalog/item/6912/

Кафедра «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации»

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Малахов, А. А.
Расчет параметров системы «летательный аппарат — автопилот» с использованием 
MATLAB и SIMULINK (продольное движение) : учебное 
пособие. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. —  
201, [3] с.

ISBN 978-5-7038-5463-1

Учебное пособие содержит примеры использования вычислительной системы 
MATLAB и среды SIMULINK для анализа свойств системы «летательный аппарат — 
автопилот» и расчета параметров автопилота в рамках изучения дисциплины «Сис- 
темы автоматического управления летательными аппаратами». Может быть рекомендовано 
для освоения приемов работы в системе MATLAB и среде SIMULINK 
при тренинге, выполнении домашних заданий, а также курсового и дипломного 
проектирования.
Предназначено для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана специальности 24.05.06 
«Системы управления летательными аппаратами», прежде всего специализаций  
04 «Приборы систем управления летательных аппаратов», 05 «Автоматы стабилизации 
систем управления летательных аппаратов», 06 «Инерциальные навигационные 
комплексы систем управления летательных аппаратов», 07 «Прецизионные устройства 
систем управления летательных аппаратов», 08 «Технология приборов систем 
управления летательных аппаратов» кафедры ИУ-2 «Приборы и системы ориентации, 
стабилизации и навигации». 

УДК 629.7.05
ББК 39.52:39.57

ISBN 978-5-7038-5463-1

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

М18

Факультет «Информатика и системы управления»

Предисловие

Учебное пособие предназначено для углубления знаний, полученных при 
освоении лекционного материала и участии в семинарских занятиях, а также 
для самостоятельного изучения студентами дисциплины «Расчет и конструирование 
элементов автопилотов» УМКД.ИУ2-51.2010/2011, входящей  
в основную образовательную программу подготовки специалистов, обучающихся 
по специальности 24.05.06 «Системы управления летательными аппаратами», 
специализаций 04 «Приборы систем управления летательных аппаратов», 
05 «Автоматы стабилизации систем управления летательных аппаратов»,  
06 «Инерциальные навигационные комплексы систем управления летательных 
аппаратов», 07 «Прецизионные устройства систем управления летательных 
аппаратов», 08 «Технология приборов систем управления летательных 
аппаратов» кафедры ИУ-2 «Приборы и системы ориентации, стабилизации 
и навигации» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Представленные в пособии материалы основаны на практических задачах 
проектирования и математического моделирования, возникающих при анализе 
характеристик самолета и синтезе контуров управления. Пособие предназначено 
для выполнения практикума по конструированию систем автоматического 
управления летательных аппаратов (автопилотов) и тренинга по 
освоению методов модельно-ориентированного проектирования с применением 
высокопроизводительной вычислительной системы MATLAB, включая 
пакеты расширений и среду визуального моделирования SIMULINK. Рассмотренные 
примеры ориентированы на практические расчетные работы при 
выполнении домашних заданий, курсовых и дипломных проектов, а также 
могут быть использованы при проведении интерактивного тренинга по применению 
MATLAB и SIMULINK в рамках лабораторных работ.
Основной целью освоения материала, представленного в учебном пособии, 
является закрепление и практическое применение теоретических знаний, 
полученных при изучении базовых дисциплин, а также получение практических 
навыков в процессе решения задач анализа и синтеза систем, предназначенных 
для автоматизированного управления движением летательных 
аппаратов.
Для изучения дисциплины необходимо предварительное освоение следующих 
дисциплин:
1. Математика.
2. Теоретическая механика.
3. Информатика.
4. Языки программирования и вычислительные системы.
5. Теория автоматического регулирования.
6. Автоматическое управление летательными аппаратами.
При освоении материала учебного пособия необходимо придерживаться 
следующих методических рекомендаций.
В пособии использован модельно-ориентированный подход к решению 
задач проектирования на основе численных методов с использованием современных 
вычислительных систем. Показан обзор методик анализа и синтеза 
структурных схем автопилота от работы с исходными данными и урав-

Предисловие

нениями движения до создания модели «летательный аппарат — автопилот» 
и численного эксперимента по оценке получаемых динамических характеристик 
системы с замкнутым контуром траекторного управления.
Учебное пособие состоит из введения, четырех глав и трех приложений. 
Содержание материала распределено по главам таким образом, чтобы дать 
представление о последовательности шагов, выполняемых при разработке 
систем автоматического управления самолета, от создания исходной математической 
модели с последующим переходом к анализу свойств управляемого 
объекта, выбору схемы контура, обеспечивающего требуемые характеристики 
устойчивости и управляемости, до построения контура управления 
траекторным движением и анализа работы механизмов управления. 
Материалы всех глав следует прорабатывать последовательно, используя 
представленные модели и примеры расчетов для наилучшего понимания  
изучаемых теоретических положений. 
На старших курсах при выполнении курсовых и дипломных работ каждая 
глава может быть использована самостоятельно для решения определенного 
круга задач.
Рекомендуется следующий порядок изучения материала пособия.
В первой главе рассмотрены задачи подготовки исходных данных и ана-
лиза свойств динамического объекта с использованием численных методов, 
реализованных в функциях MATLAB. Показан принцип создания модели 
динамической системы в пространстве состояний. Примеры основаны на 
простых алгоритмах и могут быть использованы на начальной стадии изуче-
ния задач проектирования и приемов работы с MATLAB. 
Во вторую главу включены задачи расчета контуров управления, обеспе-
чивающих требуемые динамические характеристики самолета. Показаны 
примеры расчета параметров системы в формате программ — скриптов 
MATLAB, реализованы более сложные, в сравнении с начальными раздела-
ми, операции расчета и вывода результатов, показана подготовка данных 
MATLAB-программой для модели SIMULINK. Оценка свойств системы  
и настройка требуемых параметров выполнена путем создания SIMULINK-
модели системы и расчета переходных процессов, в том числе для статически 
неустойчивого самолета. Показаны принципы оценки результатов модели-
рования и корректировки параметров контура управления для настройки 
системы. 
В третьей главе рассмотрены автоматы управления заданными параме-
трами полета (автопилоты) — автопилоты тангажа и система управления 
высотой полета. Примеры SIMULINK-моделей имеют более сложную струк-
туру и позволяют реализовать известные методики расчета и настройки систем 
управления, что может быть использовано для более глубокого изучения 
функциональных возможностей MATLAB и SIMULINK и применения при 
курсовом и дипломном проектировании на кафедре по ряду дисциплин.
В четвертой главе представлены модель рулевого привода и пример вклю-
чения в контур управления тангажом. Эти материалы дополняют третью 
главу и показывают, как сделать очередной шаг к повышению функциональ-

Предисловие

ности модели сложной системы и приблизить свойства модели к свойствам 
реальной системы. 
В приложениях приведены исходные данные, которые использованы  
в расчетах во всех главах пособия, а также дополнения и пояснения по работе 
с MATLAB и SIMULINK, ориентированные на углубленное изучение 
рассмотренных примеров и приемов работы.
В текст пособия включены такие объекты, как рисунки, таблицы, графики, 
фрагменты программного кода и результаты вычислений. Им присвоена 
нумерация с указанием главы и порядкового номера в главе, разделенных 
точкой, для указания на приложение использована литера П, при этом:
– номер формулы указан в круглых скобках, например, (3.12), (П1.2), 
формулы, размещенные на голубом фоне, являются исходными, на желтом 
фоне размещены формулы, полученные в результате преобразований;
– фрагмент программного кода на языке MATLAB обозначен термином 
Script (сокращение от Scripting language — высокоуровневый язык сценариев), 
скрипты размещены на голубом фоне;
— распечатки результатов работы программы («листинги»), выводимые  
в командное окно (или в файл документа при оформлении результатов работы 
MATLAB-программы по команде Publish), обозначены термином List 
(сокращение от Listing) и размещены на зеленом фоне.
Материалы пособия могут быть полезны при различном уровне освоения 
MATLAB и SIMULINK, в том числе для следующих целей: 
– первоначального изучения возможностей системы MATLAB с целью 
решения задач по дисциплинам «Расчет и синтез на ЭВМ» и «Расчет и конструирование 
элементов автопилотов»;
– совершенствования навыков при выполнении лабораторных работ и 
домашних заданий по системам автоматического управления летательным 
аппаратом;
– подробного изучения функциональных возможностей и применения 
при курсовом и дипломном проектировании на кафедре ИУ-2 по специальным 
дисциплинам;
– разработки более широкого круга приложений, выходящих за рамки 
расчета систем управления летательным аппаратом.
В конце каждой главы приведены контрольные вопросы, которые позволят 
обучающемуся сконцентрировать внимание на ключевых задачах 
рассматриваемого этапа проектирования и применения системы MATLAB.

Принятые сокращения

АПУ 
— автомат продольного управления
ДПТ НВ — двигатель постоянного тока независимого возбуждения
ЛА 
— летательный аппарат
ЛАФЧХ — логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика
ЛСС 
— линейная стационарная система (см. также LTI)
САУ 
— система автоматического управления
ЭДС 
— электродвижущая сила

ASCII (American Standard Code for Information Interchange) — Американский
стандартный код для обмена информации. Таблица кодировки содер-
жит 128 символов (256 символов — в расширенной версии ASCII)
FRD (Frequency Response Data) (model) — (модель) данных частотной 
характеристики
LTI (Linear Time Invariant) (system) — линейная инвариантная во времени
(система); см. также ЛСС
PID (Proportional Integral Derivative) — пропорционально-интегрально-
дифференциальный (регулятор)
SS (State Space) — пространство состояний
TF (Transfer Function) — передаточная функция (системы)
ZPK (Zero Pole Gain) — нулевой полюс усиления; факторизованная форма
передаточной функции, символ K соответствует коэффициенту 
усиления (gain)

Введение

В МГТУ им. Н.Э. Баумана система MATLAB изучается в рамках многих 
дисциплин и может быть рекомендована для выполнения курсовых и дип- 
ломных проектов на кафедре ИУ-2.
В учебном пособии представлена работа с MATLAB на примерах решения 
задач анализа свойств объекта управления и формирования контуров управ-
ления. В качестве объекта управления рассмотрен летательный аппарат само-
летного типа.
В учебное пособие включены следующие задачи проектирования:
– анализ свойств объекта управления (продольное движение самолета);
– расчет параметров автоматов обеспечения требуемых характеристик 
устойчивости и управляемости;
– моделирование продольного движения самолета с автопилотом; 
– включение сервопривода в контур управления.
Применение системы MATLAB рассмотрено на следующих примерах:
– программирование в MATLAB;
– корневой метод анализа;
– анализ LTI-систем (пакет расширений Control System Toolbox);
– расчет параметров переходного процесса;
– представление систем в пространстве состояний;
– работа в среде визуального проектирования SIMULINK;
– редактирование и отладка программ;
– вывод результатов в численном и графическом виде.
В примерах показано, как организовать исходные данные, а также осу-
ществить обмен данными между рабочей средой MATLAB и моделью, со-
бранной в SIMULINK. Для решения задач в максимальной степени исполь-
зованы имеющиеся функции MATLAB и пакета расширений Control System 
Toolbox.
Для каждой рассматриваемой задачи приведены базовые сведения из 
теории, сопровождаемые необходимыми уравнениями и исходными данны-
ми, тексты программ (скрипты), решения задач доведены до результатов  
в численном или графическом формате.
Важным этапом проектирования является проведение модельного экс-
перимента, необходимость и значимость которого состоит в том, что он по-
зволяет наглядно представить свойства динамической системы и облегчает 
настройку контура управления. Математическое моделирование с использо-
ванием MATLAB и SIMULINK дает возможность с высокой точностью вы-
полнить анализ свойств исследуемого объекта и оценить влияние параметров 
настройки и действие возмущений.
Материал структурирован, исходя из конкретных задач проектирования 
систем управления для самолета. Сначала рассмотрены приемы анализа 
свойств объекта управления, а затем решаются задачи структурного и пара-
метрического синтеза. Решение задач ориентировано на применение клас-
сических методов теории автоматического управления, а в качестве теорети-

Введение

ческой основы при расчетах средств автоматизации пилотирования для 
самолета использованы методики, изложенные в известных монографиях, 
которые заслуженно признаны классическими в данной области.
Практика работы со студентами показывает, что зачастую в учебном про-
цессе и проведении лабораторного практикума большее внимание уделяется 
работе с SIMULINK, чем основам работы с функциями MATLAB, что  
в принципе понятно, поскольку SIMULINK дает возможность наглядно 
представить изучаемую систему в виде модели, набранной из блоков, к тому 
же легко запускаемой на выполнение без написания программ и специальных 
процедур, необходимых для решения дифференциальных уравнений. 
В данном пособии представлены методика проектирования, в которой 
явно выделены задачи, основанные на расчетах и численных методах теории 
управления и реализуемые функциями MATLAB, и задачи модельного экс-
перимента, проводимого в SIMULINK. Такое сочетание и совместное ис-
пользование различных подходов в процессе исследования и разработки 
сложных систем позволяет получить наиболее полное представление о свой-
ствах объекта, рассчитать и настроить контур управления, наглядно оформить 
результаты, выполнить модельный эксперимент и в ряде случаев сделать 
дополнительную проверку полученных решений.
Таким образом, изучение приемов работы идет «от задачи», при этом 
даются пояснения к представленным программным блокам и комментарии 
к получаемым численным результатам. Дополнительные пояснения по рабо-
те с MATLAB и SIMULINK даны в приложениях.
В конце пособия приведены список литературы и ссылки, используя 
которые можно получить дополнительные сведения о MATLAB и SIMULINK.

Глава 1. Анализ свойств летательного аппарата (самолета)  
в продольном движении

Для построения систем управления необходимо в первую очередь оценить 
свойства летательного аппарата — ЛА (самолета) как объекта, к которому 
будут приложены управляющие воздействия. Здесь и далее под «свободным 
ЛА» понимается самолет, не управляемый ни летчиком, ни каким-либо авто- 
матом, причем рули такого самолета закреплены в нейтральном положении.
Свойства самолета как объекта управления определены его пилотажными 
характеристиками, которые представляют его летно-тактические возмож-
ности и подразделяются на три основные взаимосвязанные группы: харак-
теристики маневренности, устойчивости и управляемости.
Под маневренностью самолета понимается его способность за определен-
ное время изменять высоту, скорость и направление полета. К характеристи-
кам маневренности относятся диапазон скоростей и высот горизонтального 
полета самолета, дальность полета, скороподъемность, время разгона и 
торможения, взлетные и посадочные скорости и т. д. Таким образом, манев-
ренность самолета определяет его тактические возможности.
Под устойчивостью движения «свободного самолета» понимается его 
способность сохранять исходный режим (возвращаться к исходному режиму) 
полета по окончании действия внешних возмущений. Очевидно, что если 
самолет неустойчив в определенном ограниченном диапазоне высот и ско-
ростей полета, то его маневренные характеристики не могут быть использо-
ваны в полной мере.
Под характеристиками управляемости самолета понимается его способ-
ность реагировать определенными изменениями параметров движения на 
отклонения органов управления. При ручном пилотировании следует оценить 
управляемость самолета как реакцию на усилия, прикладываемые летчиком 
к рычагам управления, и на перемещения рычагов управления. Управляемость 
самолета находится в прямой зависимости от его динамических свойств,  
в первую очередь от устойчивости его возмущенного движения при отклонении 
органов управления. 

§ 1.1. Уравнения движения и передаточные функции,  
необходимые для расчетов

Для анализа свойства ЛА как динамической системы рассмотрим систему 
линейных дифференциальных уравнений, описывающих продольное коротко- 
периодическое возмущенное движение [1, система уравнений (П3.1)]:








ϑ
ϑ
α
α
δ
ϑ
α
α
ϑ
α

+
+
+
= −
− +
+
=
−
+
+ ∆
=







c
c
c
c

c
c
c
H

1
5
2
3

4

6
6

0
0

в,
,
.

(1.1)

Глава 1. Анализ свойств летательного аппарата (самолета)...

Здесь ϑ  — угол тангажа; ci — коэффициенты аэродинамической 
модели (см. приложение 1); α  — угол атаки; δв  — отклонение руля 
высоты (управляющее возмущение); ∆H  — вариация (малое отклонение) 
высоты полета.
В операторной форме система уравнений (1.1) будет иметь вид

s s
c
c s
c
c
s
s
c
c
c
s H

+
(
)
+
+
(
)
= −
−
+
+
(
)
=
−
+
+
=







1
5
2
3

4

6
6

0
0

ϑ
α
δ
ϑ
α
ϑ
α

в,
,
.
∆

Здесь s — оператор Лапласа.

(1.2)

Для дальнейшего рассмотрения примем ϑ
ω
=
z  (где ωz — угловая скорость 
тангажа) или, в операторной форме, s
z
ϑ
ω
=
.

Формулы для расчета коэффициентов с1–с6 приведены в [1, 2]. Они получены 
путем линеаризации нелинейной модели, описывающей движение ЛА 
в атмосфере.
Процедура линеаризации основана на рассмотрении движения самолета 
при задании малых отклонений — вариаций параметров движения в окрестности 
заданной точки, характеризующей установившийся режим полета, 
например горизонтальный полет на заданной высоте с установившейся скоростью. 
Именно в условиях задания малых отклонений от исходного режима 
движения можно рассматривать в линейной постановке задачу анализа изменения 
параметров движения при воздействии возмущений, в том числе 
управляющих воздействий. При рассмотрении движения системы в пределах 
малых отклонений от опорных значений параметров накладываются ограничения 
на их возможные изменения, что следует учитывать при расчетах  
и моделировании.
В продольном возмущенном движении короткопериодическое возмущенное 
движение проявляется достаточно быстро, т. е. при любом воздействии 
на штурвальную колонку или ручку управления самолет первоначально  
реагирует появлением угловой скорости ωz и изменением угла атаки α, что 
вызывает тенденцию к изменению высоты, при этом изменение скорости 
полета V начинается значительно позже, когда траектория полета уже суще-
ственно изменилась (тяга считается постоянной). Поэтому координатой 
регулирования, по переходной функции которой определяют характеристи-
ки продольной управляемости, является приращение нормальной перегруз-
ки Δnу. При рассмотрении линейной модели ЛА можно установить, что 
приращение нормальной перегрузки Δnу в короткопериодическом возмущен-
ном движении связано с приращением угла атаки Δα соотношением

∆
=
∆
n
c

c
y
y

y

α
α
г п
.
,      или     ∆
=
∆
n
c c
g
y
4 6
α.
(1.3)

Здесь cy

α  — коэффициент силы лобового сопротивления по углу 
атаки; cу г.п — коэффициент подъемной силы в режиме горизонталь-
ного полета; g — ускорение свободного падения.