Теория автоматического управления

Министерство науки и высшего образования  
Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

Е. Э. Страшинин, А. Д. Заколяпин,  
С. П. Трофимов, А. А. Юрлова

Теория авТомаТического  
управления

Учебник 

Рекомендовано методическим советом  
Уральского федерального университета 
для студентов вуза, обучающихся по направлению подготовки 
27.03.04 — Управление в технических системах

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 
2019 

УДК 681.5.011(075.8)
ББК 32.965-01я73
          Т33

Серия «Учебник УрФУ» основана в 2017 году

Редакционная коллегия серии: 
доц., канд. техн. наук Е. В. Вострецова; доц., канд. техн. наук В. Г. Ко-
берниченко; И. Ю. Плотникова (ответственный редактор серии)

Авторы: Е. Э. Страшинин, А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, 
А. А. Юрлова

Рецензенты:
кафедра информатики Уральского государственного горного уни-
верситета (завкафедрой канд. техн. наук, доц. А. В. Дружинин); 
проф., д-р техн. наук В. В. Побединский (кафедра сервиса и техни-
ческой эксплуатации транспортных технологических машин Ураль-
ского  государственного лесотехнического университета 

Научный редактор — канд. техн. наук А. В. Цветков

На обложке используется изображение с сайта https://www.insys-icom.com/

Т33
Теория автоматического управления : учебник / Е. Э. Страшинин, 
А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, А. А. Юрлова ; Мин-во науки 
и высш. образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 
2019. — 456 с. — (Учебник УрФУ).
ISBN 978-5-7996-2788-1

Предлагаемый учебник основан на лекциях двухсеместрового курса «Те-
ория автоматического управления», читаемого в Департаменте автомати-
ки и информационных технологий Уральского федерального университе-
та. Первая часть посвящена линейным непрерывным системам управления, 
вторая — нелинейным системам управления, третья — цифровым системам 
управления.
Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению 
подготовки 27.03.04 — Управление в технических системах.
УДК 681.5.011(075.8)
ББК 32.965-01я73

ISBN 978-5-7996-2788-1
© Уральский федеральный 
      университет, 2019

Îãëàâëåíèå

Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Ââåäåíèå â òåîðèþ àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ . . . . . . . . . . . .
14

I
Ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå ñèñòåìû óïðàâëå-
íèÿ
33
Ãëàâà 1. Ìåòîäû àíàëèçà íåïðåðûâíûõ ñèñòåì . . . . . . . . .
35

Ÿ 1.1. Ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Ÿ 1.2. Ëèíåàðèçàöèÿ èñõîäíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . .
37
Ÿ 1.3. Ëèíåéíûå ñèñòåìû, çàäàííûå îáûêíîâåííûìè
äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â íîðìàëüíîé ôîðìå
Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.3.1
Îäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ . . .
47
1.3.2
Ðåøåíèå íåîäíîðîäíûõ âåêòîðíî-ìàòðè÷íûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
. . . . . . . . . .
52
Ÿ 1.4. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ìàòðèö . . . . . . . . . . . .
53
1.4.1
Ñîáñòâåííûå ÷èñëà, õàðàêòåðèñòè÷åñêèé
ïîëèíîì, ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà . . . . . . . .
53
1.4.2
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå
âåêòîðû òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû . . . . . .
58
1.4.3
Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè îò ìàòðèöû ÷åðåç
åå ëåâûå è ïðàâûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû . . . . .
62
Ÿ 1.5. Ñâîéñòâà äâèæåíèé ëèíåéíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . . . . .
67
1.5.1
Ìàòðè÷íàÿ âåñîâàÿ è ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèè . . .
67
1.5.2
Ìîäàëüíàÿ (ñïåêòðàëüíàÿ) èíòåðïðåòàöèÿ
ðåøåíèÿ âåêòîðíî-ìàòðè÷íûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ
ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . .
73

3

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ÿ 1.6. Ìîäåëè ñòàöèîíàðíûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì
â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
75
1.6.1
Ìàòðèöà ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé . . . . . . . . .
75
1.6.2
Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé . . .
81
Ÿ 1.7. Êîìïëåêñíûé ïåðåäàòî÷íûé êîýôôèöèåíò . . . . . . . . .
85
1.7.1
Ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ
¾êîìïëåêñíûé ïåðåäàòî÷íûé êîýôôèöèåíò¿ . .
85
1.7.2
Ðåàêöèÿ äèíàìè÷åñêèõ çâåíüåâ
íà ãàðìîíè÷åñêèå âîçäåéñòâèÿ
. . . . . . . . . .
87
1.7.3
×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè
. . . . . . . . . . . .
89
Ÿ 1.8. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå îáúåêòîâ è ñèñòåì
óïðàâëåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.8.1
Ñîãëàøåíèå îá îáîçíà÷åíèÿõ
. . . . . . . . . . .
91
1.8.2
Ñòðóêòóðíûå ñõåìû è ãðàôû ñòàöèîíàðíûõ ñè-
ñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Ÿ 1.9. Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.9.1
Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííîãî äâèæå-
íèÿ
è âåñîâîé ìàòðèöû ëèíåéíîé ñèñòåìû . . . . . . 107
1.9.2
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè . . . . . . . . 111
1.9.3
Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Ãóðâèöà . . . . . . . . . 112
1.9.4
×àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
(êðèòåðèé Íàéêâèñòà)
. . . . . . . . . . . . . . . 116
Ÿ 1.10.Êà÷åñòâî ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.10.1 Îñíîâíûå ïîêàçàòåëè êà÷åñòâà
. . . . . . . . . . 129
1.10.2 Îøèáêè ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ â óñòàíîâèâ-
øèõñÿ ðåæèìàõ. Ñòàòè÷åñêèå è àñòàòè÷åñêèå ñè-
ñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.10.3 Òî÷íîñòü ñèñòåì ïðè îòðàáîòêå ãàðìîíè÷åñêèõ
ñèãíàëîâ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.10.4 Ñâÿçü ìåæäó ëîãàðèôìè÷åñêèìè
àìïëèòóäíî- ÷àñòîòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè
è êà÷åñòâîì ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ÑÀÓ . . . . 140
1.10.5 Ñîîòíîøåíèå ìàñøòàáîâ âî âðåìåííîé
è ÷àñòîòíîé îáëàñòÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ÿ 1.11.Èíòåãðàëüíûå êðèòåðèè êà÷åñòâà ñ ïîçèöèé
îáùíîñòè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî è ìîäàëüíîãî ñèíòåçà . . . . . . 145
Ãëàâà 2. Ìåòîäû ñèíòåçà íåïðåðûâíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . 151

Ÿ 2.1. Âûáîð êîððåêòèðóþùèõ çâåíüåâ. Ìåòîä æåëàåìûõ
Ë×Õ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Ÿ 2.2. Óïðàâëÿåìîñòü ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì . . . . . 155
Ÿ 2.3. Íàáëþäàåìîñòü ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì . . . . . 159
Ÿ 2.4. Çàìåíà áàçèñà â ëèíåéíîì êîíå÷íîìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ÿ 2.5. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû è ìàòðèöû ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Ÿ 2.6. Çàìåíà áàçèñà â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ÿ 2.7. Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà
â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
ñ ïîìîùüþ ìàòðèö óïðàâëÿåìîñòè è íàáëþäàåìîñòè . . . . . . 176
Ÿ 2.8. Êàíîíè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . 179
2.8.1
Óïðàâëÿåìîå êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñèñòå-
ìû ñî ñêàëÿðíûì âõîäîì . . . . . . . . . . . . . . 179
2.8.2
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ è ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà
äëÿ ñèñòåìû â ÓÊÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.8.3
Èäåíòèôèêàöèîííîå êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëå-
íèå
ñèñòåìû ñ îäíèì (ñêàëÿðíûì) âûõîäîì . . . . . 187
2.8.4
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ è ñòðóêòóðà
äëÿ ñèñòåìû â ÈÊÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Ÿ 2.9. Îáðàòíàÿ ñâÿçü ïî ñîñòîÿíèþ, îáåñïå÷èâàþùàÿ
çàäàííîå (æåëàåìîå) ðàñïîëîæåíèå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë
â çàìêíóòîé ñèñòåìå ñ îäíèì (ñêàëÿðíûì) âõîäîì . . . . . . . . 189
Ÿ 2.10.Ñèíòåç óïðàâëåíèÿ â ìíîãîìåðíîé ñèñòåìå. Çàäà÷à
ðàçäåëåíèÿ êàíàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.10.1 Ðàçäåëåíèå èñõîäíîãî îáúåêòà íà ïîäñèñòåìû
èíòåãðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2.10.2 Ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñà â ïðîñòðàíñòâå Rn . . . . 198
2.10.3 Ôîðìèðîâàíèå óïðàâëåíèÿ
. . . . . . . . . . . . 204
2.10.4 Èòîãîâûé àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ÿ 2.11.Îñíîâû ïîñòðîåíèÿ èäåíòèôèêàòîðîâ ñîñòîÿíèÿ
(íàáëþäàòåëåé). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.11.1 Íàáëþäàòåëü Ëþåíáåðãåðà ïîëíîãî ïîðÿäêà
. . 210
2.11.2 Íàáëþäàòåëü ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà
. . . . . . . 217
2.11.3 Íàáëþäàòåëü Ëþåíáåðãåðà ìèíèìàëüíîãî ïîðÿä-
êà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Ÿ 2.12.Ñèíòåç ðåàëèçóåìîãî óïðàâëåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé çà-
äàííûå äèíàìè÷åñêèå è ñòàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû
óïðàâëåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2.12.1 Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû ñ îáðàòíîé ñâÿ-
çüþ è íàáëþäàòåëåì ïîëíîãî ïîðÿäêà . . . . . . 224
2.12.2 Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû
ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ è íàáëþäàòåëåì
ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.12.3 Ðåçóëüòèðóþùèé àëãîðèòì ñèíòåçà äëÿ ñèñòå-
ìû
ñ îäíèì âõîäîì è îäíèì âûõîäîì . . . . . . . . . 227
2.12.4 Èòîãîâûå ïðèìåðû ïîëíîãî ñèíòåçà
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2.12.5 Ñèñòåìà ñî ñêàëÿðíûìè âõîäîì è âûõîäîì
è íàáëþäàòåëåì ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêà . . . . . 233
2.12.6 Ìíîãîìåðíàÿ ñèñòåìà ñ ðàçäåëåíèåì êàíàëîâ
è íàáëþäàòåëåì ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêà . . . . . 238

II
Íåëèíåéíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ
249
Ãëàâà 3. Ýëåìåíòû òåîðèè íåëèíåéíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . 251

Ÿ 3.1. Ìåòîä ôàçîâîé ïëîñêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.1.1
Ôàçîâàÿ ïëîñêîñòü. Îñíîâûå ïîíÿòèÿ
. . . . . . 253
3.1.2
Ôàçîâûå ïîðòðåòû ëèíåéíîãî çâåíà âòîðîãî ïî-
ðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
3.1.3
Îñîáûå òðàåêòîðèè íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè . . . 267
3.1.4
Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé . . . . 275
3.1.5
Ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ îñíîâíûõ ïîêàçàòåëåé
ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïî ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì
ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

6

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

3.1.6
Ôàçîâûå ïîðòðåòû ðåëåéíûõ ñõåì. Ìíîãîëèñò-
íàÿ ôàçîâàÿ ïëîñêîñòü . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.1.7
Ïîíÿòèå î ñèñòåìàõ ñ ïåðåìåííîé ñòðóêòóðîé . 289
Ÿ 3.2. Àíàëèç íåëèíåéíûõ ñèñòåì ìåòîäîì ãàðìîíè÷åñêîãî
áàëàíñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.2.1
Ãàðìîíè÷åñêàÿ ëèíåàðèçàöèÿ íåëèíåéíûõ çâå-
íüåâ. Ýêâèâàëåíòíûé êîìïëåêñíûé ïåðåäàòî÷-
íûé êîýôôèöèåíò . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
3.2.2
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåëèíåéíûõ çâåíüåâ
. 305
3.2.3
Ïîñòðîåíèå îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäîì Ä-
ðàçáèåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
3.2.4
Ïîñòðîåíèå îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè â ïëîñêîñòè
îäíîãî êîìïëåêñíîãî ïàðàìåòðà ìåòîäîì Ä-ðàçáèåíèé308
3.2.5
Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïàðàìåòðîâ
ïåðèîäè÷åñêèõ ðåæèìîâ . . . . . . . . . . . . . . 313
3.2.6
Ðåæèì âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé . . . . . . . . . 323

III
Öèôðîâûå (èìïóëüñíûå) ñèñòåìû óïðàâ-
ëåíèÿ
327
Ãëàâà 4. Îñíîâû òåîðèè èìïóëüñíûõ ñèñòåì
àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Ÿ 4.1. Èñõîäíûå ïîíÿòèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Ÿ 4.2. Èäåàëüíûé èìïóëüñíûé ýëåìåíò è ôîðìèðóþùåå çâåíî
330
Ÿ 4.3. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÈÑÀÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.3.1
Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ðàçíîñòíûõ
óðàâíåíèé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.3.2
Ïðÿìîé ìåòîä ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé
â ðåàëüíîì âðåìåíè . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.3.3
Àëãîðèòìè÷åñêèå ñõåìû. Âåêòîðíî-ìàòðè÷íûå
ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . 348
Ÿ 4.4. Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà. . . . . . . . . . . . . . 350
4.4.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4.2
Ìîäèôèöèðîâàííîå z-ïðåîáðàçîâàíèå
. . . . . . 355
4.4.3
Îñíîâíûå ñâîéñòâà äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ëàïëàñà è z-ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . 355

7

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

4.4.4
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ èìïóëüñíîé ñèñòåìû
(Äèñêðåòíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ)
. . . . . . 357
Ÿ 4.5. Îñîáåííîñòè ñòðóêòóðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
â èìïóëüñíûõ ñèñòåìàõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
4.5.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . 361
4.5.2
Ñèñòåìà ñ åäèíè÷íîé îòðèöàòåëüíîé
îáðàòíîé ñâÿçüþ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
4.5.3
Íàëè÷èå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ
íåïðåðûâíûõ çâåíüåâ . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.5.4
Ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå äèñêðåòíûå
çâåíüÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
4.5.5
Âñòðå÷íî-ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå
äèíàìè÷åñêèõ çâåíüåâ
. . . . . . . . . . . . . . . 365
Ÿ 4.6. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè èìïóëüñíûõ ñèñòåì. . . . . . 367
4.6.1
Ïîíÿòèå îá àìïëèòóäíî-ôàçîâûõ õàðàêòåðèñòè-
êàõ
èìïóëüñíûõ ñèñòåì (ãîäîãðàôû z-ïðåîáðàçîâàíèé)367
4.6.2
Îñíîâíûå îñîáåííîñòè ÷àñòîòíûõ ôóíêöèé
èìïóëüñíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
4.6.3
Ðàñ÷åò ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
èìïóëüñíîé ñèñòåìû íà îñíîâàíèè
÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê ïðèâåäåííîé
íåïðåðûâíîé ÷àñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
4.6.4
Îñîáåííîñòè ñïåêòðîâ ñèãíàëîâ â ÈÑÀÓ
. . . . 376
Ÿ 4.7. Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè èìïóëüñíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . . 381
4.7.1
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì äèñêðåòíîé çàìêíó-
òîé ñèñòåìû
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
4.7.2
Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè èìïóëüñíûõ ñèñòåì
ïî êîðíÿì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ . . . 383
4.7.3
×àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè . . . . . . . . 393
Ÿ 4.8. Áèëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.8.1
Ñîïîñòàâëåíèå ïëîñêîñòåé êîìïëåêñíûõ
ïåðåìåííûõ p, z, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.8.2
Ïñåâäî÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè. Ïñåâäî÷àñòîò-
íûé ñèíòåç ÈÑÀÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ÿ 4.9. Ñèíòåç ëèíåéíîé ÈÑÀÓ ñ ìàêñèìàëüíûì
áûñòðîäåéñòâèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
4.9.1
Ñèñòåìà ñî âñåìè íóëåâûìè ïîëþñàìè
êàê ôèëüòð ñ êîíå÷íîé ïàìÿòüþ
. . . . . . . . . 408
4.9.2
Ñèíòåç ñèñòåìû ñ ìàêñèìàëüíûì
áûñòðîäåéñòâèåì
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Ÿ 4.10.Âåêòîðíî-ìàòðè÷íîå îïèñàíèå íåïðåðûâíûõ
îáúåêòîâ ñ äèñêðåòíûì óïðàâëåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
4.10.1 Ñèñòåìû ñ öèôðîàíàëîãîâûì
ïðåîáðàçîâàòåëåì íóëåâîãî ïîðÿäêà
. . . . . . . 416
4.10.2 Èìïóëüñíûé ýëåìåíò ñ óêîðî÷åííûì èìïóëüñîì 418
4.10.3 Ñèñòåìà ñ öèôðîàíàëîãîâûì ïðåîáðàçîâàòåëåì
íóëåâîãî ïîðÿäêà ñ çàäåðæêîé â âûäà÷å óïðàâ-
ëåíèÿ
(îòíîñèòåëüíî ìîìåíòà èçìåðåíèÿ) . . . . . . . . 420
4.10.4 Èìïóëüñíûå ñèñòåìû ñ êðàòíûìè ÷àñòîòàìè
êâàíòîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Ÿ 4.11.Äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
4.11.1 Äèñêðåòíûé àíàëîã ôîðìóëû Êîøè . . . . . . . 433
4.11.2 Îáåñïå÷åíèå åäèíè÷íîé ñòàòèêè ïðè ñèíòåçå
äèñêðåòíîé ñèñòåìû áåç ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëü-
íîãî
èíòåãðàòîðà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Ÿ 4.12.Ïðèìåíåíèå òåîðèè èìïóëüñíûõ ñèñòåì
ê ïîñòðîåíèþ àëãîðèòìà ÄÏÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
4.12.1 Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (ÄÏÔ)
. . . 437
4.12.2 Ïîíÿòèå î ÄÏÔ íà ñêîëüçÿùåì èíòåðâàëå âðå-
ìåíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
4.12.3 Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ
êîýôôèöèåíòîâ ÄÏÔ â ðåàëüíîì ìàñøòàáå âðå-
ìåíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
4.12.4 Ðåàëèçàöèÿ ðåêóððåíòíîãî àëãîðèòìà . . . . . . 445
Ÿ 4.13.Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñïåêòðàëüíûìè
õàðàêòåðèñòèêàìè íåïðåðûâíûõ è äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ . . . 448
4.13.1 Èñõîäíûå âûðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4.13.2 Ñâÿçè (ñîîòíîøåíèÿ) . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

9

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

10

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

 èçäàíèè èçëàãàþòñÿ îñíîâû òåîðèè óïðàâëåíèÿ òåõíè÷åñêèìè
îáúåêòàìè ðàçëè÷íîé ïðèðîäû è íàçíà÷åíèÿ. Êíèãà ñîäåðæèò òðè
÷àñòè: íåïðåðûâíîå óïðàâëåíèå ëèíåéíûìè, èëè ëèíåàðèçîâàííû-
ìè, îáúåêòàìè, íåëèíåéíûå ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ è
öèôðîâûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ëèíåéíûìè äèíàìè÷åñêèìè îáúåêòà-
ìè.
 ïåðâîé ÷àñòè â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðèÿ â ðàìêàõ ìå-
òîäîâ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèÿ. Ïî÷òè âñå èçëîæåíèå âåäåòñÿ ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì âåêòîðíî-ìàòðè÷íîãî àïïàðàòà. ×àñòîòíûì ìåòîäàì
çäåñü óäåëÿåòñÿ ëèøü ìàëîå âíèìàíèå, òàê êàê èì ïîñâÿùåíî áîëü-
øîå ÷èñëî ó÷åáíèêîâ è ó÷åáíûõ ïîñîáèé.  îñíîâó ïîëîæåíû ìî-
äàëüíûå ìåòîäû àíàëèçà è ñèíòåçà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Ïîêàçàíà
ñâÿçü ìåæäó îïòèìàëüíûì ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûì ñèíòåçîì è ìî-
äàëüíûì ñèíòåçîì, ïîçâîëÿþùèì îñìûñëåííî ñôîðìèðîâàòü ìàò-
ðèöó øòðàôîâ îïòèìàëüíîé ñèñòåìû è ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü àë-
ãîðèòìû ñèíòåçà. Àâòîðû êíèãè íà ëåêöèîííûõ, ïðàêòè÷åñêèõ è
ëàáîðàòîðíûõ çàíÿòèÿõ àïðîáèðóþò óíèâåðñàëüíîñòü è ýôôåêòèâ-
íîñòü ìåòîäîâ ìîäàëüíîãî ñèíòåçà ïðèìåíèòåëüíî ê îáúåêòàì ðàç-
ëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì, èñïîëü-
çóþùèì ìåòîäû ìåõàíèêè, ãèäðàâëèêè, àýðîäèíàìèêè, ýëåêòðîäèíà-
ìèêè. Äëÿ ðåàëèçàöèè ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ òðåáóþòñÿ àëãîðèò-
ìû îöåíêè êîîðäèíàò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà. Â ñâÿçè ñ ýòèì â
êíèãå èçëàãàåòñÿ òåîðèÿ íàáëþäàòåëåé Ëþåíáåðãåðà ïîëíîãî, ïîíè-
æåííîãî è ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêîâ. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû ñî ñêàëÿðíûìè âõîäîì è âûõîäîì è ìíîãî-
ìåðíûå ñèñòåìû ñ ïîëíîé èëè ÷àñòè÷íîé ðàçâÿçêîé êàíàëîâ.
Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà ïðîñòåéøèì ìåòîäàì ðàñ÷åòà íåëèíåé-
íûõ ñèñòåì. Ìåòîäû ôàçîâîé ïëîñêîñòè èçëàãàþòñÿ, ÷òîáû ïîçíà-

11

Ïðåäèñëîâèå

êîìèòü ÷èòàòåëÿ ñî ñïåöèôè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè íåëèíåéíûõ ñè-
ñòåì  çàâèñèìîñòüþ êà÷åñòâà ïðîöåññîâ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ñ
àâòîêîëåáàòåëüíûìè ïðîöåññàìè, ñî ñêîëüçÿùèìè ðåæèìàìè. Èçëà-
ãàþòñÿ òàêæå ìåòîäû ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè è ãàðìîíè÷åñêî-
ãî áàëàíñà. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìåòîä ãàðìîíè÷åñêîãî áàëàíñà ïðèìå-
íèì è äëÿ íåóñòîé÷èâûõ îáúåêòîâ. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå âûíóæäåííîãî
ðåæèìà. Ïðèâîäÿòñÿ ïîêàçàòåëüíûå ïðèìåðû.
Òðåòüÿ ÷àñòü ýòîé êíèãè íà äàííûé ìîìåíò íàèáîëåå àêòóàëüíà.
Îíà ïîëíîñòüþ áàçèðóåòñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêîé îñíîâå ïåðâîé ÷àñòè
êíèãè. Òðåòüÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà öèôðîâûì ñèñòåìàì àâòîìàòè÷åñêî-
ãî óïðàâëåíèÿ (ÑÀÓ). Ïîêàçûâàåòñÿ ìåñòî öèôðîâûõ ÑÀÓ â òåîðèè
è ïðàêòèêå ñîâðåìåííûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Íà ïðîòÿæåíèè âñå-
ãî èçëîæåíèÿ çäåñü ïàðàëëåëüíî îáñóæäàåòñÿ êàê ñïåöèôèêà öèô-
ðîâûõ ñèñòåì, òàê è îáùíîñòü èñïîëüçóåìîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî èí-
ñòðóìåíòà ñ ìåòîäîëîãèåé ñèñòåì íåïðåðûâíûõ. Òåîðèÿ öèôðîâûõ
ÑÀÓ íà÷èíàåòñÿ ñ îáñóæäåíèÿ èìïóëüñíîãî ýëåìåíòà, íàðóøàþùåãî
íåïðåðûâíîñòü ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè â öåïè ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ.
Âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ìíîãèõ âàðèàíòîâ èìïóëüñíûõ ýëåìåíòîâ
ðàçëè÷íîé àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè.  îñíîâå ïîñòðîåíèÿ îáùåé òåî-
ðèè èìïóëüñíûõ, öèôðîâûõ ñèñòåì ëåæèò ïîäõîä, ïðè êîòîðîì èì-
ïóëüñíûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí-
íûõ èäåàëüíîãî èìïóëüñíîãî ýëåìåíòà (ÈÈÝ) è ëèíåéíîãî äèíàìè-
÷åñêîãî ôîðìèðóþùåãî çâåíà.
 òðåòüåé ÷àñòè êíèãè ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé è
ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (ÐÓ), èçëàãàþòñÿ àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èõ
ðåøåíèÿ. Îïðåäåëÿþòñÿ äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (ÄÏÔ),
Z-ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ è êîìïëåêñíûé ïåðåäàòî÷-
íûé êîýôôèöèåíò öèôðîâîé (èìïóëüñíîé) ñèñòåìû, à òàêæå äîêà-
çûâàþòñÿ èõ ñâîéñòâà. Îáñóæäàþòñÿ ìåòîäû ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ ñòðóêòóðíûõ ñõåì, îòìå÷àþòñÿ àíàëîãèè ñ ñîîòâåòñòâó-
þùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè â íåïðåðûâíûõ ñèñòåìàõ è óêàçûâàåòñÿ
ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå íåïðåðûâíûõ è èìïóëüñíûõ ñèñòåì. Ïîêà-
çûâàåòñÿ, êàê ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìè÷åñêèõ ñõåì â ðåàëüíîì âðåìå-
íè ìîæíî ðåøèòü ÐÓ. Ñ ïîçèöèé áàçèñà îáúÿñíÿåòñÿ ìíîãîâàðèàíò-
íîñòü àëãîðèòìè÷åñêèõ ñõåì â çàäà÷å ðåøåíèÿ ÐÓ.
Êàê òåîðåòè÷åñêè, òàê è íà êîíêðåòíûõ ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ÷è-
òàòåëü çíàêîìèòñÿ ñ ñîâåðøåííî íåîæèäàííûìè ñ ïîçèöèé íåïðå-
ðûâíûõ ñèñòåì è ÷ðåçâû÷àéíî èíòåðåñíûìè ñïåöèôè÷åñêèìè îñî-

12

Ïðåäèñëîâèå

áåííîñòÿìè ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê öèôðîâûõ äèíàìè÷åñêèõ ñè-
ñòåì. Ïîïóòíî ñ èçëîæåíèåì òåîðèè èìïóëüñíûõ ñèñòåì â êíèãå âû-
âîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà î ñîîòíîøåíèè ìåæäó
âåðõíåé ñóùåñòâåííîé ÷àñòîòîé âõîäíîãî ñèãíàëà è ÷àñòîòîé êâàí-
òîâàíèÿ ñèãíàëîâ ïî âðåìåíè. Ôîðìóëèðóåòñÿ ÷àñòîòíûé êðèòåðèé
óñòîé÷èâîñòè, àíàëîãè÷íûé êðèòåðèþ Íàéêâèñòà, è ïðèâîäèòñÿ ëà-
êîíè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî.
Äàëüíåéøåìó ðàçâèòèþ ìåòîäîëîãèè ðàáîòû ñ öèôðîâûìè ñèñòå-
ìàìè â íàïðàâëåíèè ïðååìñòâåííîñòè ìåòîäîâ íåïðåðûâíûõ ñèñòåì
ñïîñîáñòâîâàëî áèëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå. Ýòî ïîçâîëèëî ïåðåéòè
îò êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z ê íîâîé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Èñ-
÷åçëà ïåðèîäè÷íîñòü äèñêðåòíûõ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ ïåðåäàòî÷-
íûõ ôóíêöèé, âîññòàíîâèâøèõ âñå íàðàáîòàííûå â òåîðèè íåïðåðûâ-
íûõ ñèñòåì ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ïñåâäî÷àñòîòíûõ
ëîãàðèôìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Åùå îäíà îñîáåííîñòü ¾öèôðû¿ 
ýòî âîçìîæíîñòü ñèíòåçà ñèñòåì ñ êîíå÷íîé ïàìÿòüþ, òî åñòü ëèíåé-
íûõ öèôðîâûõ ñèñòåì ñ ìàêñèìàëüíûì áûñòðîäåéñòâèåì. Íà ýòîì
çàêàí÷èâàåòñÿ èçëàãàåìàÿ â êíèãå êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü òåîðèè öèô-
ðîâûõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ.
Èñïîëüçîâàíèå âåêòîðíî-ìàòðè÷íîãî àïïàðàòà, ìåòîäîâ ïðîñòðàí-
ñòâà ñîñòîÿíèé îòêðûâàåò íîâûå ãîðèçîíòû â ñèíòåçå ñîâåðøåííûõ
öèôðîâûõ ÑÀÓ.  ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ (ëåòàòåëüíûå àïïàðàòû, ñè-
ñòåìû ïîä÷èíåííîãî ðåãóëèðîâàíèÿ â ýëåêòðîïðèâîäå) ÷àñòî âñòðå-
÷àþòñÿ ñèñòåìû ñ íåñêîëüêèìè ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè êâàíòîâàíèÿ
ñèãíàëîâ ïî âðåìåíè. Ýòèì âîïðîñàì è ïîñâÿùåíà çàêëþ÷èòåëüíàÿ
÷àñòü íàñòîÿùåé êíèãè.
Ó÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí
äëÿ ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ
âóçîâ è
èíæåíåðíî-òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè óïðàâëåíèÿ òåõíî-
ëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè. Òàêîãî ðîäà êíèãà íåìûñëèìà áåç èçëîæå-
íèÿ íåîáõîäèìîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòðóìåíòà. Åñòåñòâåííî, àâ-
òîðû ïîíèìàþò íåîáõîäèìîñòü òàêîãî ïîäõîäà. Îñîáåííî ýòî âàæ-
íî â çàäà÷àõ îáó÷åíèÿ. Íóæíî íå èçëîæåíèå ïåðå÷íÿ àëãîðèòìîâ â
îáëàñòè àíàëèçà è ñèíòåçà ñèñòåì, à âîñïèòàíèå â áóäóùèõ ðàçðà-
áîò÷èêàõ íàó÷íîãî ìûøëåíèÿ, ñîâåðøåííî íåîáõîäèìîãî â ñâÿçè ñ
óñêîðÿþùèìèñÿ ïðîöåññàìè ðàçâèòèÿ íàó÷íî-òåõíè÷åñêèõ ðåøåíèé
âñå íîâûõ è íîâûõ çàäà÷, êîòîðûå ñòàâèò ïåðåä íàìè æèçíü. Àâòîðû
âûñòðîèëè ïîâåñòâîâàíèå â êíèãå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïî ìåðå èç-
ëîæåíèÿ ìàòåðèàëà â ïîëíóþ ñèëó íà÷èíàëè ðàáîòàòü èçó÷åííûå ñ

13

Ïðåäèñëîâèå

ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòðóìåíòà, âïîëíå êîíêðåòíûå, ïðàê-
òè÷åñêèå ìåòîäû ñèíòåçà ðåàëèçóåìûõ àëãîðèòìîâ óïðàâëåíèÿ. È
âñå ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ ïðèìåðàìè.

14

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÒÅÎÐÈÞ ÀÂÒÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß

Íà ðóáåæå XVIIIXIX ââ., â ýïîõó ïðîìûøëåííîãî ïåðåâîðîòà,
â Åâðîïå íà÷èíàåòñÿ íîâûé ýòàï ðàçâèòèÿ àâòîìàòèêè, ñâÿçàííûé
ñ âíåäðåíèåì åå â ïðîìûøëåííîñòü. 1765 ã. çíàìåíóåòñÿ ïîñòðîé-
êîé ðåãóëÿòîðà óðîâíÿ êîòëà ïàðîâîé ìàøèíû È. È. Ïîëçóíîâà.
 1784 ã. ïîÿâëÿåòñÿ öåíòðîáåæíûé ðåãóëÿòîð ñêîðîñòè ïàðîâîé ìà-
øèíû Äæ. Óàòòà.
 ýòî âðåìÿ ôîðìèðóåòñÿ ðÿä âàæíûõ ïðèíöèïîâ àâòîìàòèêè:
ïðèíöèï ðåãóëèðîâàíèÿ ïî îòêëîíåíèþ Ïîëçóíîâà  Óàòòà è ïðèí-
öèï ðåãóëèðîâàíèÿ ïî íàãðóçêå Ïîíñåëå. Ïåðâûé èç íèõ ðàçâèëñÿ
â êîíöåïöèþ îáðàòíîé ñâÿçè, âòîðîé  â òåîðèþ èíâàðèàíòíîñòè
(Ã. Â. Ùèïàíîâ, Í. Í. Ëóçèí, Á. Í. Ïåòðîâ). Èäåÿ ðåãóëèðîâàíèÿ
ïî íàãðóçêå ìîæåò áûòü ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðå ãåíåðàòîðà
ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì (ñåðèåñíûì) âîçáóæäåíèåì (ðèñ. 1).

aI

П
R

1
B
U

ОB2

H
R

OB1

Г

Рис.1.1. Пример регулирования по 

возмущению

Ðèñ. 1. Ïðèìåð ðåãóëèðîâàíèÿ ïî âîçìóùåíèþ

15

α1

α2

α

B
U

+
–

0
U

з
U

1

2

oc
oc
U

H
R

Г

–
+

1α

α

M
ω

2r

ðåãóëÿòîðà. Âñëåäñòâèå ýòîãî çàñëîíêà ïîäíèìàåòñÿ (óâåëè÷èâàåò-
ñÿ ðàññòîÿíèå S) è ðàñòåò ðàñõîä ïàðà Q, ïîäàâàåìîãî â òóðáèíó.
Ýòî ïðèâîäèò ê ðîñòó ÷èñëà îáîðîòîâ òóðáèíû ω, à ñëåäîâàòåëüíî,
ê êîìïåíñàöèè íàãðóçî÷íîãî ìîìåíòà MÍ.

Ðèñ. 3. Ñèñòåìà ñòàáèëèçàöèè ñêîðîñòè ïàðîâîé ìàøèíû

17